一阶微分方程的 习题课

一阶微分方程的 习题课

一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题

解法及应用

第十二章

一、一阶微分方程求解

1. 一阶标准类型方程求解

关键 : 辨别方程类型 , 掌握求解步骤

四个标准类型 : 可分离变量方程 , 齐次方程 , 线性方程 , 全微分方程

例 1. 求下列方程的通 解

; 1 0

) 1

(   ₂ e^{y3 x}  y y

提示 : (1)因e^y3x  e ^y3e^x, 故为分离变量方程 :

通解

; )

2

( xy  x²  y²  y 2 ;

) 1 3

( ₂

y y x

 

 .

2 3

3 ) 6

4

( _{2 3}

2 3

y y

x

y x y x



 

 

x e

y e

y^{2 y3} d  ^x d

 ^

C e

e^y3  ^x  3

1

方程两边同除以 x 即为齐次方程 , ,

0时

 x

y y

x y

x   ²  ²  )

2 (

时，

 0 x

1 u2

u

x   

1 u2

u

x    

 

y  1 y ² 

 

y   1 y ² 

令 y = u x , 化为 离变量方程 . 分

调换自变量与因变量的地位 , 2 2

) 1 3

( y x y

 



, d 2

d ₂

y y x

x    用线性方程通解公式求解 .

化为

3 2

2 3

2 3

3 ) 6

4

( x y y

y x y x



 

 

方法 1 这是一个齐次方程 .方法 2 化为微分形式

0 d

) 2

3 ( d

) 3

6

( x³  xy² x  x² y  y³ y 

故这是一个全微分方程 .

x u  y 令

x y Q

y x P



 

 

 6



例 3.设 F(x) ＝ f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在 ( －∞ ,+∞) 内满足以下条件 : f (x)  g(x), g(x)  f (x), 且 f (0)  0,

(1) 求 F(x) 所满足的一阶微分方程 ; (2) 求出 F(x) 的表达式 .

解 : (1)  F(x)  f (x)g(x)  f (x)g(x) )

( )

( ²

2 x f x

g 



) ( ) ( 2 )]

( )

(

[g x  f x ²  f x g x



) ( 2 )

2

( e^{x 2}  F x



所以 F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程 : .

2 )

( )

(x g x e^x

f  

(2) 由一阶线性微分方程解的公式得





e x

F^{( )}  ^{2d x}







e ^{x x} 

 ^2



代入上式，

将 F(0)  f (0)g(0)  0 得 C  1 于是 F(x)  e^2x  e^2x

e x

x F x

F( )  2 ( )  4 ²

x

x Ce

e²  ^2



练习题 :

) , ( yx

y M

x o

练习题 :

P327 题 5 . 已知某曲线经过点 ( 1 , 1

轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 ), . 提示 : 设曲线上的动点为 M (x,y),

) (X x y

y

Y    

令 X = 0, 得截距Y  y  yx, 由题意知微分方程为 x

x y

y   

即   1 y  1 y x

定解条件为 y _x1  1.

 ^{x tan  xy} x

此点处切线方程为 它的切线在纵