微微微分分分方方方程程程I 习习习题题题课课课讲讲讲义义义

微

微 微分 分 分方 方 方程 程 程I 习 习题 习 题 题课 课 课讲 讲 讲义 义 义

硕 硕 硕士 士 士19级 级 级 数 数 数学 学 学科 科 科学 学 学学 学 学院 院 院 吴 吴 吴天 天 天

2019年 年 年12月 月 月19日 日 日

前 前 前 言 言 言

微分方程I, 在中国科大是一门数学系的基础必修课. 它的主要内容包括: 常微分方程和偏微分方程两部 分. 常微分方程主要包括一阶方程的初等积分法、解的存在唯一性与延拓、奇解与包络、高阶方程与线性微 分方程组、幂级数解法与迭代法等; 偏微分方程主要包括一阶拟线性偏微分方程的特征线、运输方程、波动方 程、扩散方程、Fourier方法、调和函数与Laplace方程的基本解、对数梯度估计等.

本讲义将习题课的主要内容罗列出来, 可以说一个提纲. 为避免大家查阅困难, 我尽量将公式安排的紧凑, 因此看似页数虽少, 但内容颇多. 不仅如此, 证明大多比较简略, 一来启发大家思考, 二来缩短篇幅. 水平有限, 如有谬误, 还望批评指正.

本课程的另两位助教: 徐恒博士和葛霖硕士, 他们也在讲解习题课之后将所讲内容加入进来, 特此感谢两位 助教为习题课讲义提供的内容!

2019秋-微分方程I助教 吴天 2019年10月13日 于 中国科学技术大学

目

目 目 录 录 录

前

前前 言言言 i

1 预预预备备备知知知识识识 1

1.1 一些需要了解的公式 . . . 1

1.2 有理函数的原函数 . . . 2

1.3 巧用Euler积分计算定积分 . . . 3

1.4 复矩阵的Jordan标准形理论 . . . 4

2 一一一阶阶阶常常常微微微分分分方方程方程程的的的初初初等等等解解解法法法 5 2.1 分离变量法 . . . 5

2.2 齐次方程及其变形 . . . 5

2.3 一阶线性方程 . . . 7

2.4 积分因子法 . . . 7

2.5 因变量可解出型 . . . 9

2.6 参数变换法 . . . 9

2.7 三种著名的方程 . . . 10

2.8 综合例题 . . . 11

3 微微微分分分方方方程程程组组组与与与高高高阶阶阶方方方程程程 12 3.1 常系数线性微分方程 . . . 12

3.2 常系数线性微分方程组 . . . 13

4 一一一阶阶阶拟拟拟线线线性性性常常常微微微分分方分方方程程程定定定性性性理理理论论论初初初步步步 17 4.1 常微分方程的几何含义 . . . 17

4.2 解的局部存在唯一性 . . . 17

5 一一一阶阶阶拟拟拟线线线性性性偏偏偏微微微分分分方方方程程程 19 5.1 一阶线性偏微分方程的求解 . . . 19

5.2 一阶拟线性偏微分方程的求解 . . . 20

5.3 运输方程与波动方程的d’Alembert公式 . . . 20 ii

6 二二二阶阶阶偏偏偏微微微分分分方方程方程程的的的基基基本本本方方方法法法 21

6.1 二阶半线性方程的分类与标准型 . . . 21

7 调调调和和和函函函数数数的的的性性性质质质 23 7.1 调和函数与平均值性质 . . . 23

7.2 调和函数的梯度估计 . . . 24

7.3 Laplace方程的基本解 . . . 25

7.4 Harnack不等式 . . . 30

参参参考考考文文文献献献 34

第

第 第1讲 讲 讲 预 预 预备 备 备知 知 知识 识 识

秋名山上行人稀, 常有车手较高低. 旧时车道今犹在, 不见当年老司机.

——某位车技高超的助教

§1.1 一 一 一些 些 些需 需 需要 要 要了 了 了解 解 解的 的 的公 公 公式 式 式

在数学分析中, 我们主要学习了微积分的有关知识, 其中一些基本结论是需要我们熟练掌握的. 现将一些容 易忽略的公式介绍如下.

一些基本函数的导数公式:

(tan x)⁰= sec²x (cot x)⁰= − csc²x (sec x)⁰= sec x tan x (csc x)⁰= − csc x cot x 5 (arcsin x)⁰= 1

√1 − x² (arccos x)⁰ = − 1

√1 − x² (arctan x)⁰ = 1 1 + x² (arccot x)⁰= − 1

1 + x² (log_ax)⁰ = 1

x ln a (a^x)⁰= a^xln a (a > 0, a 6= 1)

【例1.1.1】计算幂指函数(u(x))^v(x)的导数.

解 记f (x) = v(x) ln (u(x)), 则f⁰(x) = v⁰(x) ln (u(x)) +v(x)u⁰(x) u(x) .

∴

u(x)^v(x)0

= e^{f (x)}0

= (u(x))^v(x)



v⁰(x) ln (u(x)) +v(x)u⁰(x) u(x)

 .

【例1.1.2】求证:

n

X

k=1

k²n k



= n(n + 1)2ⁿ⁻²(n ∈ N^∗).

证明 构造f (x) =

n

X

k=1

k²n k



x^k−1之后通过求导和积分等操作可得.

常见的Taylor展开如下:

e^x=

∞

X

n=0

xⁿ

n! sin x =

∞

X

n=0

(−1)ⁿ

(2n + 1)!x²ⁿ⁺¹ cos x =

∞

X

n=0

(−1)ⁿ (2n)!x²ⁿ ln(1 + x) =

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹

n xⁿ (−1 < x 6 1) arctan x =

∞

X

n=0

(−1)ⁿ

2n + 1x²ⁿ⁺¹ (−1 < x 6 1) (1 + x)^α=

∞

X

n=0

α n



xⁿ (|x| < 1), 其中α n



= 1 n!

n−1

Y

k=0

(α − k) (∀α ∈ R) 一些基本函数的积分公式:ˆ

dx

x = ln |x| + C

ˆ dx

√1 + x² = arcsinh x + C = ln(x +p

x²+ 1) + C

1

2 1. 预备知识 ˆ dx

√x²− 1 = arccosh x + C = ln(x +p

x²− 1) + C ˆ

ln xdx = x ln x − x + C

【例1.1.3】

ˆ

sech xdx.

解 ˆ

sech xdx =

ˆ d(sinh x) cosh²x =

ˆ d(sinh x)

1 + sinh²x= arctan(sinh x) + C.

§1.2 有 有 有理 理 理函 函 函数 数的 数 的 的原 原 原函 函 函数 数 数

称P (x)

Q(x) (P, Q ∈ R[x])形式的函数为有理函数. 定义它的次数:

degP (x)

Q(x) = deg P (x) − deg Q(x).

定

定定理理理1.1 设P [x], Q[x] ∈ R[x], 且Q(x)在R上的完全因子分解:

Q(x) = bm k

Y

i=1

(x − αi)^ri

l

Y

j=1

(x²+ βjx + γj)^sj

其中m = deg Q,

k

X

i=1

ri+ 2

l

X

j=1

sj= m, β_j²< 4γj, 则存在Aij, Bij, Cij∈ R, 使得 P (x)

Q(x) =

k

X

i=1 ri

X

j=1

A_ij (x − αi)^j +

l

X

i=1 si

X

j=1

B_ijx + C_ij (x²+ βix + γi)^j.

【例1.2.1】

ˆ x³+ 1

x⁴− 3x³+ 3x²− xdx.

解 设 x³+ 1

x⁴− 3x³+ 3x²− x = a x+ b

x − 1+ c

(x − 1)² + d

(x − 1)³· · · (F) 在(F)两侧同乘x, 并令x = 0 : a = −1;

在(F)两侧同乘(x − 1)³, 并令x = 1 : d = 2;

在(F)两侧同乘x, 并令x → +∞ : b = 2;

此时, 将x = 2代入(F):c = 1.

∴

ˆ x³+ 1

x⁴− 3x³+ 3x²− xdx = ln(x − 1)²

|x| − x

(x − 1)² + C.

【例1.2.2】

ˆ x

(x + 1)²(x²+ x + 1)dx =

ˆ dx

(x +1 2)²+3

4

−

ˆ dx

(x + 1)² = 2

√3arctan2x + 1

√3 + 1 x + 1 + C.

【例1.2.3】

ˆ 5x + 3 (x²− 2x + 5)²dx.

解

ˆ 5x + 3

(x²− 2x + 5)²dx = −5

2· 1

(x²− 2x + 5)²+ 8

ˆ dx

(x²− 2x + 5)². 注意到

ˆ dx

x²− 2x + 5= x x²− 2x + 5+

ˆ 2x²− 2x (x²− 2x + 5)²dx

= x − 1 x²− 2x + 5+ 2

ˆ dx

x²− 2x + 5− 8

ˆ dx

(x²− 2x + 5)²

∴

ˆ 5x + 3

(x²− 2x + 5)²dx = 2x − 7

2(x²− 2x + 5)+1

2arctanx − 1 2 + C.

对于关于sin x, cos x的有理函数, 我们可以通过万能变换:t = tanx

2化为关于t的有理函数.

【例1.2.4】

ˆ dx

sin x(1 + cos x)

t=tan^x₂

======= ˆ 1

2

 t + 1

t

 dt = 1

4tan²x 2 +1

2ln  tanx

2   + C.

1.3. 巧用EULER积分计算定积分 3

§1.3 巧 巧 巧用 用 用Euler积 积 积分 分 分计 计 计算 算 算定 定 定积 积 积分 分 分

我们有如下Euler积分的定义:

Γ(s) = ˆ _∞

0

e^−tt^s−1dt (s > 0), B(p, q) = ˆ 1

0

x^p−1(1 − x)^q−1dx (p, q > 0).

它们具有如下性质:

(1)Γ(n + 1) = n! (∀n ∈ N); (2)(递推公式)Γ(s + 1) = sΓ(s);

(3)(余元公式)Γ(p)Γ(1 − p) = π

sin pπ (∀0 < p < 1); (4)B(p, q) =Γ(p)Γ(q)

Γ(p + q) (p, q > 0);

(5)(Legendre加倍公式)Γ(2s) = 2^2s−1

√π Γ(s)Γ(s +1 2).

定定定理理理1.2 ∀α, β > −1, ˆ ^π

2

0

cos^αx sin^βxdx = 1

2B α + 1 2 ,β + 1

2

 . 证明 设t = sin²x, 则

ˆ ^π₂

0

cos^αx sin^βxdx = 1 2

ˆ 1 0

t^β−12 (1 − t)^α−12 dt.

【例1.3.1】

ˆ ^π₂

0

cos⁶x sin⁴xdx = 1 2

Γ(7 2)Γ(5

2) Γ(6) = 3π

512.

【例1.3.2】计算

∞

X

n=1

1 n2n

n

 .

解

∞

X

n=1

1 n2n

n

 =

∞

X

n=1

(n − 1)!n!

(2n)! =

∞

X

n=1

B(n, n + 1) =

∞

X

n=1

ˆ 1 0

tⁿ(1 − t)ⁿ⁻¹dt.

注意到|tⁿ(1 − t)ⁿ⁻¹| 6 1 4

ⁿ⁻¹ , 故

∞

X

n=1

tⁿ(1 − t)ⁿ⁻¹在[0, 1]上一致收敛, 于是

∞

X

n=1

1 n2n

n

 = ˆ 1

0

∞

X

n=1

tⁿ(1 − t)ⁿ⁻¹dt = ˆ 1

0

t

t²− t + 1dt = π 3√

3.

【例1.3.3】证明:

ˆ 1 0

ln Γ(x)dx = ln√ 2π.

证明 记I = ˆ 1

0

ln Γ(x)dx, 则 2I =

ˆ 1 0

ln (Γ(x)Γ(1 − x)) = ln π − 1 π

ˆ π 0

ln sin xdx.

记J = ˆ ^π₂

0

ln sin xdx = ˆ ^π₂

0

ln cos xdx, 则 2J =

ˆ ^π

2

0

lnsin 2x 2 dx = 1

2 ˆ π

0

ln sin xdx − π 2 ln 2, 因此J = −π

2 ln 2, 从而I = ln√ 2π.

以下两道题目留作练习:

【例1.3.4】证明:

ˆ 1 0

sin πx ln Γ(x)dx = 1 π

 lnπ

2 + 1 .

【例1.3.5】证明:

ˆ π 0

√ dx

3 − cos x= 1 4√

πΓ²(1 4).

4 1. 预备知识

§1.4 复 复 复矩 矩 矩阵 阵 阵的 的 的Jordan标 标 标准 准 准形 形 形理 理 理论 论 论

本节的矩阵均在复数域内考察. 记Nn =

n−1

X

i=1

Ei,i+1, 称Jn(λ) = λIn + Nn为以λ为特征值的n阶Jordan块.

称J为Jordan矩阵, 如果∃{Ji}^s_i=1为Jordan块, 使得J = diag(J1, · · · , J_s).

定

定定理理理1.3 (Jordan相似标准化定理)∀A ∈ C^n×n, ∃P ∈ GLn(C), J为Jordan矩阵, 使得P⁻¹AP = J . 下面通过具体例子给出如何计算Jordan标准形和过渡矩阵P .

【例1.4.1】求A =





























1 1 1 1 1 1 0 2 0 1 2 3 0 0 2 0 1 −1 0 0 0 2 1 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2





























的Jordan标准形J, 并求可逆方阵P , 使P⁻¹AP = J .

解 特征多项式ϕA(λ) = (λ − 1)(λ − 2)⁵. 研究A的根子空间:

(A − 2I)³x = 0的解空间为span{x⁽³⁾₁ }, 其中x⁽³⁾₁ = (0, 0, 0, 0, 1, −2)^T. 其对应的链为:

x⁽²⁾₁ = (A − 2I)x⁽³⁾₁ = (−1, −4, 3, −3, 0, 0)^T, x⁽¹⁾₁ = (A − 2I)x⁽²⁾₁ = (−3, −3, 0, 0, 0, 0)^T. (A − 2I)²x = 0的解空间为span{x⁽²⁾₁ , x⁽²⁾₂ }, 其中x⁽²⁾₂ = (−3, 0, 0, 0, 1, 0)^T. 其对应的链为:

x⁽¹⁾₂ = (A − 2I)x⁽²⁾₂ = (4, 2, 1, 1, 0, 0)^T.

(A − I)x = 0的解空间为span{y}, 其中y = (1, 0, 0, 0, 0, 0)^T. 经检查, 它们确实线性无关.

∴ P = (y, x⁽¹⁾1 , x⁽²⁾₁ , x⁽³⁾₁ , x⁽¹⁾₂ , x⁽²⁾₂ ) =





























1 −3 −1 0 4 −3 0 −3 −4 0 2 0

0 0 3 0 1 0

0 0 −3 0 1 0

0 0 0 1 0 1

0 0 0 −2 0 0



























 , J =





























1 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 2



























 .

实际上, 求出的P 和J均不是唯一的, 因为根向量的取法不唯一, 并且Jordan块的顺序不唯一. 不过对应的 根向量必须与对应的Jordan块代表的根子空间相对应.

【例1.4.2】计算Jn(λ)^k (k ∈ N^∗).

解 当λ = 0时, Jn(0)^k= N_n^k=











n−k

X

j=1

Ej,j+k, k < n,

0, k > n.

当λ 6= 0时, Jn(λ)^k= (λI_n+ N_n)^k=

k

X

j=0

k j



λ^k−jN_n^j.

【例1.4.3】证明e^A= P e^JP⁻¹, 其中A的Jordan相似标准化为A = P J P⁻¹. 解 e^A=

∞

X

j=0

A^j j! =

∞

X

j=0

P J^jP⁻¹

j! = P e^JP⁻¹.

结合这两道例题, 我们知道: 计算一个矩阵的指数, 只要将其Jordan标准化即可, 这是因为Jordan标准形的 整数次幂是容易计算的.

第

第 第2讲 讲 讲 一 一 一阶 阶 阶常 常 常微 微 微分 分 分方 方 方程 程 程的 的 的初 初 初等 等 等解 解 解法 法 法

本讲无特别说明, 记p = dy dx.

§2.1 分 分 分离 离 离变 变 变量 量 量法 法 法

顾名思义, 分离变量法适用于x, y两个变量是分开的状态, 这时可以直接积分求解. 只需在分离变量的时, 候注意好别丢掉分母为0引起的特解即可.

【例2.1.1】y⁰= tan y.

解 dy

tan y = dx, 两侧积分: x = ˆ dy

tan y = ln | sin y| + C, 即y = arcsin(Ce^x) (|Ce^x| 6 1).

注意到y = kπ (k ∈ Z)也是特解, 因此最终通解为sin y = Ce^x(C ∈ R).

容易看出, 上题的解是具有多个分支的, 即y可以取任一主值区间. 我们再看下面这个问题.

【例2.1.2】y⁰= tan y, y(0⁻) = π 2.

解 利用上一问的结果得到C = 1, 因此解为sin y = e^x (x < 0 < y < π 2).

仔细研究可以发现, 上题在y的其他主值区间也存在很多满足方程的解, 但是它们与本题得到的解之间存在 着奇点, 导致最终解的存在区间不是连通集, 而连通性在我们这门课中一般是对解的存在区间必须的要求.

【例2.1.3】sec²x tan ydx + sec²y tan xdy = 0.

解 留作练习. 参考答案: tan x tan y = C.

通常来讲, 常数可以取所有实数的时候可以不特别注明, 否则是需要注明的(例如C 6= 0).

【例2.1.4】y⁰= ³ ry²+ 1

x⁴+ 1的每条积分曲线有两条水平渐近线.

证明 ˆ y

y0

dη p3

η²+ 1 = ˆ x

x0

dξ p3

ξ⁴+ 1, 令x → +∞, 右侧收敛迫使左侧收敛. 而当y → ∞时, 左侧发散.

而由被积函数恒正, 得到y随x的单调性, 进而y(+∞)收敛, 故y = y(+∞)为一条水平渐近线.

同理, y = y(−∞)亦是一条水平渐近线. 同样利用y随x的单调性, 这两条水平渐近线并不是同一条.

【例2.1.5】证明: 第一象限边界上每一点只能引出y⁰=

rln(1 + y)

sin x 的一条通过该象限内部的积分曲线.

证明 ˆ y

0

dη pln(1 + η)=

ˆ x 0

√dξ

sin ξ. 结合考察积分的收敛性易得结论, 留作练习.

§2.2 齐 齐 齐次 次 次方 方 方程 程及 程 及 及其 其 其变 变 变形 形 形

我们称y⁰ = F (x

y)型的方程为一阶齐次方程. 一般使用y = ux进行代换. 不过在代换的过程中x一般会出现 在分母, 因此要注意考察特解的情况.

5

6 CHAPTER 2. 一阶常微分方程的初等解法

【例2.2.1】y²+ x²y⁰= xyy⁰. 解 y⁰= y²

xy − x². 设u = y

x, 则u⁰x + u = u²

u − 1. 参考答案: y = Ce^yx. 对于y⁰= F a₁₁x + a12y + b1

a21x + a22y + b2



, 如果方程







a₁₁x + a₁₂y + b₁= 0 a21x + a22y + b2= 0

满秩且解为(x0, y0), 则考虑

h = x − x₀, k = y − y₀ 有y⁰= F a₁₁h + a₁₂k

a21h + a22k



, 这是一个齐次方程. 这个过程中也要注意特解的问题, 下面看几个例子.

【例2.2.2】(2x − 4y + 6)dx + (x + y − 3)dy = 0.

解 设h = x − 1, k = y − 2, 则(2h − 4k)dh + (h + k)dk = 0, 即dk

dh =4k − 2h k + h .

(经检验, dh = 0与k + h = 0均不是特解. 这个过程是必需的, 不过一般不用写在过程里.) 令u = k

h, 则hdu

dh+ u = 4u − 2

u + 1 . 可以解出(u − 1)²

(u − 2)³ = Ch, 即(x − y + 1)²= C(2x − y)³. 特别地, 经检验, u = 2, 即y = 2x是方程的特解.

这道题目中, 特解可以理解为是在C = ∞时产生的. 因此令C = ∞也是发现特解的一种重要方式.

【例2.2.3】(2x + y + 1)dx − (4x + 2y − 3)dy = 0.

解 这题对应的线性方程组不是满秩的. 然而, 我们只需设z = 2x + y + 1即可, d(z − 2x − 1)

dx = z

2z − 5. 参考答案: 2x + y − 1 = Ce^2y−x.

还有许多题目不需要解方程组算出h, k的代换式, 而是可以利用方程本身的特点观察出来.

【例2.2.4】(y⁰+ 1) lny + x

x + 3 =y + x x + 3. 解 设z = y + x, t = x + 3, 则dz

dtlnz t =z

t. 参考答案: lny + x

x + 3 − 1 = C y + x.

【例2.2.5】y⁰ = y + 2

x + 1 + tany − 2x x + 1 . 解 设k = y + 2, h = x + 1, 则dk

dh = k

h+ tan(k

h− 2). 参考答案: siny − 2x

x + 1 = C(x + 1).

还有一类方程, 可以通过作变换: x = t^p, z = y^q, 化为齐次方程. 具体使用这个方法的时候, 通常先挑一些 容易观察的项, 看看是否能够观察出p和q的关系. 这种方法显然不是万能的, 而很多方程能够看起来让你想到 试一试这种办法.

【例2.2.6】x³(y⁰− x) = y².

解 设y = z². 参考答案: x²= (x²− y) ln(Cx), 特解y = x².

【例2.2.7】2x²y⁰ = y³+ xy.

解 设x = t². 参考答案: x = −y²ln(Cx), 特解y = 0.

【例2.2.8】2xdy + (x²y⁴+ 1)ydx = 0.

解 设x = t², y = z⁻¹. 参考答案: x²y⁴ln(Cx²) = 1, 特解y = 0和x = 0.

实际上, 上题只要p = −2q即可, 大家可以试着证明一下. 下题同理, 留作练习.

【例2.2.9】ydx + x(2xy + 1)dy = 0.

解 设y = z⁻¹. 参考答案: y²e^−xy1 = 1, 特解y = 0和x = 0.

【例2.2.10】2

3xyy⁰ =p

x⁶− y⁴+ y².

解 想办法将根号齐次化, 因此自然设x =√³

t, y =√

z. 参考答案: arcsin y²

|x|³ = ln(Cx³), 特解|x|³= y².

【例2.2.11】设f (k)连续, y = k0x是y⁰ = f (y

x)的解. 求证:

(1)若f⁰(k₀) < 1, 则任何一个其他的解都不与y = k₀x在原点处相切.

2.3. 一阶线性方程 7

(2)若f⁰(k0) > 1, 则有无穷多个解与y = k0x相切.

证明 设u = y

x, 则u⁰x = f (u) − u. 显然可知f (k0) = k0. L^ATEX本题未完待续.

§2.3 一 一 一阶 阶 阶线 线 线性 性 性方 方 方程 程 程

我们称y⁰+ P (x)y = Q(x)型的方程为一阶线性方程, 如果Q ≡ 0, 称它是齐次的. 对于齐次的情况, 我们很 容易通过分离变量法求解. 对于非齐次的情况, 我们可以先按照Q ≡ 0的情况来解, 之后将解中的常数C换成一 个未知函数u, 代入到这个非齐次方程, 将u解出来, 这就是常数变易法. 由此得到线性方程的通解:

y(x) = e^{−´P (x)dx}

ˆ

Q(x)e^{´P (s)ds}dx + C

 .

对于这个公式的理解应该是: 每个不定积分号表示的是取定某个定积分, 并且前后两个e指数上的不定积 分取的是同一个原函数. 不过对于许多一阶线性方程, 我们不一定循规蹈矩地按照如上公式或常数变易法进行, 而可以通过观察进行凑微分.

【例2.3.1】xy⁰− 2y = 2x⁴. 解 可以构造 y

x²

0

= 2x. 参考答案: y = x⁴+ Cx².

【例2.3.2】(x + y²)dy = ydx.

解 很多时候, 打破定势思维, 将x看作是y的函数会得到比较好的结果. 参考答案: x = y²+ Cy, 特解y = 0.

【例2.3.3】(sin²y + x cot y)y⁰ = 1.

解 并不是说已经有y⁰的情况下, 你就不可以将x看作是y的函数了. 只要把dy = 0的情况单独考虑即可.

参考答案: x = − sin y cos y + C cos y.

【例2.3.4】(2x + y)dy = ydx + 4 ln ydy.

解 并不是说已经有y⁰的情况下, 你就不可以将x看作是y的函数了. 只要把dy = 0的情况单独考虑即可.

本题在积分因子法还会出现. 参考答案: x

y² + 2 ln²y − y = C.

【例2.3.5】证明Gronwall不等式: 如果y⁰+ a(x)y 6 0 (x > 0), 则y(x) 6 y(0) exp



− ˆ x

0

a(s)ds

 . 证明 注意到 d

dx



y(x) exp

ˆ x 0

a(s)ds



6 0即可.

§2.4 积 积 积分 分 分因 因 因子 子 子法 法 法

积分因子法相对灵活许多, 需要根据具体情况具体分析. 对于P dx + Qdy = 0, 如果Py = Qx, 称之为恰当 方程. 对于任意的恰当方程, 总是存在Φ(x, y), 使得

dΦ(x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy

因此Φ(x, y) = C即为恰当方程的通积分. 如果它不是恰当方程, 那我们通过取恰当的积分因子µ, 使 µ(x, y)P (x, y)dx + µ(x, y)Q(x, y)dy = 0

成为一个恰当方程, 这种方法就是积分因子法.

【例2.4.1】(ye^x+ 2e^x+ y²)dx + (e^x+ 2xy)dy = 0.

解 经检验, Py= Qx= e^x+ 2y, 因此它已经是恰当方程了. 因此

Φx= ye^x+ 2e^x+ y² ⇒ Φ(x, y) = ye^x+ 2e^x+ xy²+ f (y).

8 CHAPTER 2. 一阶常微分方程的初等解法

代入Φy= e^x+ 2xy, 有: f⁰(y) = 0, 因此通积分为ye^x+ 2e^x+ xy²= C.

【例2.4.2】(2x + y)dy = ydx + 4 ln ydy.

解 本题使用分组积分法: y²dx − 2xydy + 4y ln ydy − y²dy = 0, 即d(x

y²) + 4ln y

y³ dy −dy y² = 0.

因此两侧积分, 有: x

y² −2 ln y + 1 y² +1

y = C. 经检验, y = 0不是特解.

上述分组积分法的关键在于, 某些项只含有其中一个变量, 因此只要选取只含该变量的积分因子, 使得其余部分 可化为全微分, 那么整个方程就化为了恰当方程.

【例2.4.3】dy

dx = y px²+ y²+ x. 解 xdx + ydy =p

x²+ y²dx. 积分因子是 1

px²+ y². 参考答案: y²= 2Cx + C².

本题当然可以使用齐次方程的做法, 但是会比积分因子繁杂许多. 这道题的积分因子是比较常规的形式, 因此可以直接看出来. 许多常见的形式有:

ydx + xdy = d(xy) ydx − xdy

y² = d x y

 xdx + ydy

px²+ y² = d(p

x²+ y²) ydx − xdy

x²+ y² = d(arctanx

y) xdx + ydy x²+ y² =1

2d ln(x²+ y²)

【例2.4.4】 xdx + ydy

p1 + x²+ y² +ydx − xdy x²+ y² = 0.

解 参考答案:p

1 + x²+ y²+ arctanx y = C.

【例2.4.5】(2xy²− y)dx + (y²+ x + y)dy = 0.

解 容易观察, 只要除以y²就能处理好xdy − ydx. 参考答案: x²−x

y + y + ln |y| = C, 特解y = 0.

【例2.4.6】 1 y sinx

y − y x²cosy

x+ 1



dx + 1 xcosy

x− x y²sinx

y + 1 y²

 dy = 0.

解 直接分组积分. 参考答案: cosx y − siny

x− x +1 y = C.

【例2.4.7】(x − y²)dx + 2xydy = 0.

解 容易观察, 只要除以x²就能处理好2xydy − y²dx. 参考答案: x ln |x| + y²= Cx, 特解x = 0.

而很多积分因子是很难直接看出来的, 如果直接考察(µP )y = (µQ)_x是更加困难的问题. 但是, 我们可以假 定µ只与一个变量有关, 此时, 这个偏微分方程就能够化简比较简单的形式, 不过这需要这个偏微分方程只含有 你假定有关的那个变量, 不然这个操作还是行不通的.

【例2.4.8】(x²y²− 1)dy + 2xy³dx = 0.

解 (x²y²− 1)µx− 2xy³µy− 4xy²µ = 0. 因此可以假设µ与x无关, 则yµy+ 2µ = 0, µ(y) = −y⁻². 参考答案: x²y²+ 1 = Cy, 特解y = 0.

【例2.4.9】ye^xydx + (y − xe^xy)dy = 0.

解 积分因子: µ = y⁻². 参考答案: e^xy + ln |y| = C.

【例2.4.10】若方程dy − f (x, y)dx = 0有只依赖于x的积分因子, 试证它一定是线性方程.

证明 µ_x+ f_yµ = 0, 因此f_y与y无关, 故f 是y的线性函数.

这道证明题揭示了一个令人失望的观点: 凡是积分因子只与一个变量有关的, 都可以化为线性方程求解.

不过积分因子法处理线性方程是有它的价值所在的, 因为这种方法可以让我们方便地算出积分因子, 而避免了 常数变易法的复杂运算. 在2.9节会有几个较难的例题.

2.5. 因变量可解出型 9

§2.5 因 因 因变 变 变量 量 量可 可 可解 解 解出 出 出型 型 型

我们研究y = f (p, x)型方程. 这种方程可以考虑对两侧求导: p = f₁⁰(p, x)p⁰+ f₂⁰(p, x). 虽然这样不一定总 可以让我们能够得到答案, 但是给出了一种可行的方法. 唯一需要注意的是, 这样操作会使方程变为二阶, 从而 会导致多出一个常数, 因此最终要注意检查并排除增根.

【例2.5.1】y = xdy dx+ dy

dx

2

. 解 两侧对x求导得: (x + 2p)dp

dx = 0. 因此p = −x

2或p = C. 分别代入原方程, 有:

y = −x²

4 或y = Cx + C².

【例2.5.2】2y = p²+ 4px + 2x².

解 本题可以使用上述常规做法进行, 不过可以有如下观察:

2(y + x²) = (p + 2x)²= ((y + x²)⁰)². 参考答案: y = −x²

2 + Cx +1

2C², 特解y = −x².

【例2.5.3】y = px ln x + (xp)².

解 两侧对x求导得: (p + xp⁰)(ln x + 2xp) = 0, 因此xp = C或px = −ln x 2 . 这时直接将xp整体代入即可: y = C ln x + C², 特解y = −1

4ln²x.

【例2.5.4】2xp = 2 tan y + p³cos²y.

解 注意到2xp cos y = 2 sin y + (p cos y)³, 且(sin y)⁰ = p cos y, 因此设u = sin y, 故u = xu⁰−1 2(u⁰)³. 两侧对x求导: u⁰= xu⁰⁰+ u⁰−3

2(u⁰)²u⁰⁰ ⇒ (x −3

2(u⁰)²)u⁰⁰= 0. 如果u⁰ = C, 则u = Cx − C³. 如果(x − 3

2u⁰²) = 0, 则u = 2 3x

³₂

. 参考答案: sin y = Cx − C³, 特解x = 3 2sin²³y.

§2.6 参 参 参数 数 数变 变 变换 换 换法 法 法

参数变换, 指的是根据方程的具体形式, 将x, y, p中的二者进行参数变换, 从而能够解出x, y关于参数的关 系, 这样就得到了解的一个参数表示.

【例2.6.1】x²− 3p²= 1.

解 设x = cosh t, p = 1

√3sinh t. 则p =y⁰(t)

x⁰(t)可得: y⁰(t) = 1

√3sinh²t.

参考答案: x = cosh t, y = 1

√3

 1

4sinh 2t − t 2

 + C.

上述使用双曲三角函数变换, 是因为一般在积分中遇到这种形式, 使用tan和sec变换的计算更复杂.

【例2.6.2】p²+ y − x²= 0.

解 先使用直接求导法: p = 2x − 2pp⁰, 即p⁰= x p −1

2. 设u = x p−1

2, 则 xdu

dx= (u + 1 2)(1 −1

2u − u²).

参考答案:







y = x²− p²,

(p − αx)^α= C(p − βx)^β. 其中





 α =

√17 − 1 4 , β = −

√17 + 1 4 .

特解y =1

2αx²和y =1 2βx².

【例2.6.3】x³+ p³= 4xp.

解 置p = xt. 参考答案: x = 4t

1 + t³, y = − 8

(1 + t³)² +32 3

1

1 + t³ + C.

10 CHAPTER 2. 一阶常微分方程的初等解法

§2.7 三 三 三种 种 种著 著 著名 名 名的 的 的方 方 方程 程 程

1. Bernoulli方程: y⁰+ p(x)y = q(x)y^α, α 6= 0, 1.

考虑初等变换法: z = y^1−α, 则z⁰+ (1 − α)p(x)z = (1 − α)q(x).

事实上, Bernoulli方程之所以排除α = 0, 1的情况, 是因为它们正对应着非齐次、齐次线性方程.

【例2.7.1】y⁰ = x³y³− xy.

解 设z = y⁻², 则z⁰= 2xz − 2x³. 参考答案: y = (Ce^x2+ x²+ 1)⁻¹², 特解y = 0.

【例2.7.2】xdy − y + xy³(1 + ln x)
dx = 0.

解 参考答案: y =



Cx⁻²−4 9x − 2

3x ln x

−¹₂

, 特解y = 0.

【例2.7.3】y⁰ = 1

x²(e^y+ 3x).

解 设u = e^y, 则u⁰= 3u x +u²

x². 参考答案: y = ln

 2x³ C − x²

 .

【例2.7.4】y⁰ = 1 x²sin y − xy. 解 dx

dy = −yx + sin y · x². 参考答案: x = exp



−y² 2

  C −

ˆ y 0

exp



−η² 2

 sin ηdη

⁻¹ . 2. Riccati方程: y⁰= p(x)y²+ q(x)y + r(x).

Riccati方程是最简单的一阶拟线性方程, 然而在一般情况下, 它是无法通过初等积分法求解的. 如果我们知 道它的一个特解y1(x), 那么设z(x) = y(x) − y1(x), 代入方程得到一个Bernoulli方程:

dz

dx = [2p(x)ϕ1(x) + q(x)]z + p(x)z².

【例2.7.5】y⁰= −y²− 1 4x². 解 观察得: y = 1

2x为一个特解, 因此设z = y + 1

2x, 代入有: z⁰= −z²−z x. 参考答案: y = 1

2x+ 1

Cx + x ln |x|, 特解y = 1 2x.

【例2.7.6】x²y⁰= x²y²+ xy + 1.

解 这个同样可以观察出特解为 y = −1

x. 此处介绍不需要观察的方法: 设u = xy, 则 u⁰x − u = u²+ u + 1 ⇒ du

(u + 1)² =dx x. 参考答案: y = −1

x+ 1

Cx − x ln |x|, 特解xy = −1.

【例2.7.7】x²(y⁰+ y²) + 4xy + 2 = 0.

解 参考答案: y = 1 x + C −2

x, 特解y = −2 x.

【例2.7.8】(x²ln x − 1)y⁰= 2xy²− (2x ln x − x)y − 1 x. 解 参考答案: y = ln x +x²ln x − 1

C − x² , 特解y = ln x.

【例2.7.9】xy⁰+ y²− y = 9x². 解 参考答案: y = 6x

Ce^6x− 1+ 3x, 特解y = 3x.

3. Clairaut方程: y = xp + f (p), 其中f⁰⁰(p) 6= 0.

可以使用直接微分法: [x + f⁰(p)]dp

dx = 0. 容易得到通解为y = Cx + f (C), 特解







x = −f⁰(p),

y = −f⁰(p)p + f (p).

(p为参数).

2.8. 综合例题 11

之所以Clairaut方程可以如此得到解, 是因为xp对x求导会出现p, 正好与左侧y的导数p消掉, 而另一项产生 的p⁰直接和f (p)产生的p⁰相同, 进而可以因式分解.

【例2.7.10】xp²− 2yp + 9x = 0.

解 参考答案: y = 9 2C +C

2x², 特解y = ±3x.

【例2.7.11】y = xp + p + p².

解 参考答案:y = Cx + C + C², 特解y = −1

4(1 + x)².

§2.8 综 综 综合 合 合例 例 例题 题 题

本节作为综合性的总结, 给出一些综合利用上述方法的题目, 或者是需要用到超脱上述方法的技巧的习题.

它们大都要求具有良好的观察力, 因此, 本节习题的难度要大于之前的习题.

【例2.8.1】y⁰³+ y²= yy⁰(y⁰+ 1).

解 (y⁰²− y)(y⁰− y) = 0. 参考答案: y = (x + C)²

4 和y = Ce^x.

【例2.8.2】xy⁰+ y = y(ln x + ln y).

解 (xy)⁰ = y ln(xy). 参考答案: xy = e^Cx, x > 0.

【例2.8.3】y⁰= 1 + e^x+2y.

解 设z = x + 2y, 则z⁰= 1 + 2y⁰= 3 + 2e^z, 因此(e^−z)⁰ = −3e^−z− 2. 参考答案: e^−2y = Ce^−2x−2 3e^x.

【例2.8.4】y⁰= x − y² 2y(x + y²).

解 设u = y², 可化为齐次方程. 参考答案: y⁴+ 2xy²− x²= C 6= 0.

【例2.8.5】y⁰(x²+ y²+ 3) = 2x

 2y −x²

y

 .

解 设t = x², u = y², 可化为齐次方程. 参考答案: (y²− 2x²− 3)³= C(y²− x²− 1)², C 6= 0.

【例2.8.6】y = xp²+ p³.

解 p = p²+ 2xpp⁰+ 3p²p⁰, 即p = 0或(p − 1)dx + (2x + 3p)dp = 0, 后者积分因子为(p − 1).

参考答案: x = 1 (1 − p)²

 C +3

2p²− p³



, y = p² (1 − p)²

 C +3

2p²− p³



+ p³, 特解y = 0和y = x + 1.

【例2.8.7】dy

dx+1 + xy³ 1 + x³y = 0.

解 观察到第二项分式的分子分母具有某种对称性, 因此想到: u = x²y², v = y x.

∴ x = √⁴

uv⁻², y =√⁴

uv². 把它们带入方程, 有:

1

4u⁻³⁴v¹²du +1

2u¹⁴v⁻¹²dv 1

4u⁻³⁴v⁻¹²du −1

2u¹⁴v⁻³²dv

= −1 + uv 1 + u

v

. 化简得:

v(1 + u)(1 + v)du = 2u(1 − u)(1 − v)dv.

参考答案: x²y²− 1 = C(x + y)², 特解y = −x.

第

第 第3讲 讲 讲 微 微 微分 分 分方 方 方程 程组 程 组 组与 与 与高 高 高阶 阶 阶方 方 方程 程 程

对于高阶拟线性方程y⁽ⁿ⁾= f (x, y₁, · · · , y⁽ⁿ⁻¹⁾), 置y_k = y^(k−1), 则







y_i⁰= y_i+1 (∀1 6 i 6 n − 1), y_n⁰ = f (x, y1, · · · , yn).

由此可见, 高阶拟线性方程一定可以转化为最高阶数为1的常微分方程组. 因此, 这两种方程放在一起研究.

本讲讨论的最一般的方程是高阶拟线性方程.

§3.1 常 常 常系 系 系数 数 数线 线 线性 性 性微 微 微分 分 分方 方 方程 程 程

定义如下形式的微分方程为n阶常系数线性微分方程:

n

X

j=0

aj

d^jy

dx^j = 0, an6= 0, aj∈ R.

记Dy = dy

dx, 即“D”为微分算子. Dⁿy := dⁿy

dxⁿ. 设P (λ) =

n

X

j=0

ajλ^j为λ的多项式, 定义P (D)y :=

n

X

j=0

ajD^jy.

对于有理函数具有类似的定义, 不过我们对于1

D理解为积分(只取某一特解, 而并不具有一般不定积分的常

数C). 显然, ∀P (λ), Q(λ) ∈ R[λ], deg P = m, deg Q = n, y ∈ C^mn(R), 则P (D)Q(D)y = Q(D)P (D)y. 除 此之外, 微分算子还具有许多好的性质, 使得我们能用其方便地求得到方程的一个特解:

定

定定理理理3.1 设P 是有理函数, 则:

(1)P (D)(e^ax) = P (a)e^ax, 如果P (a)的分母不为0;

(2)P (D)(e^axy(x)) = e^axP (D + a)(y(x));

(3)P (D²)(sin ωx) = P (−ω²) sin ωx; P (D²)(cos ωx) = P (−ω²) cos ωx.

【例3.1.1】求P (D)y = sin ωx的特解.

解

解解 存在P0, Q₀为多项式, 使得P (D) = P0(D)

Q₀(D), 故P₀(D)y = Q₀(D) sin ωx.

存在P1, P2, Q1, Q2为多项式, 使得P0(D) = P1(D²) + DP2(D²), Q0(D) = Q1(D²) + DQ2(D²).

∴ (P1(D²) − D²P₂(D²))Q₀(D)(sin ωx) = (P₁²(D²) − D²P₂²(D²))(y).

∴ y = (P₁(−ω²)Q₁(−ω²) + ω²P₂(−ω²)Q₂(−ω²)) sin ωx + (P₁(−ω²)Q₂(−ω²) + P₂(−ω²)Q₁(−ω²)) cos ωx P₁²(−ω²) + ω²P₂²(−ω²) .

【例3.1.2】求y⁽⁵⁾+ y = e^x的特解.

解

解解 y(x) = 1

D⁵+ 1e^x= 1 2e^x.

【例3.1.3】求y⁰⁰+ y⁰ = sin x的特解.

解

解解 y(x) = 1

D²+ Dsin x = D²− D

D⁴− D²sin x = −1

2sin x −1 2cos x.

【例3.1.4】计算y⁰⁰+ y = xe^xsin x的一个特解.

12

3.2. 常系数线性微分方程组 13

解解解 考察y⁰⁰+ y = xe^(1+i)x, 则 y(x) = 1

D²+ 1(xe^(1+i)x) = e^(1+i)x 1

1 + (D + 1 + i)²x = e^(1+i)x 1 (1 + 2i)



1 +2 + 2i

1 + 2iD + 1 1 + 2iD²

 x

=e^(1+i)x 1 + 2i

∞

X

n=0



−6 − 2i

5 D − 1 − 2i 5 D²

ⁿ

x = e^(1+i)x 1 − 2i

5 x + −2 + 14i 25



∴ y(x) = e^x

25[(14 − 10x) cos x + (−2 + 5x) sin x]为一个特解.

对于常系数微分方程, 在知道特解的情况下, 可以根据以下两个定理求得通解:

定定定理理理3.1 设P 为实多项式, P (r) = 0具有sj重根rj, 1 6 j 6 t, 则齐次方程P (D)y = 0具有复通解:

y =

t

X

j=1 s_j

X

k=1

C_k^(j)x^k−1

!

e^rjx, C_k^(j)为常数.

定定定理理理3.2 (线性常微分方程解的结构定理)对任意的非齐次线性常微分方程, 它的通解为对应齐次线性方程的通 解加上非齐次方程的一个特解.

结构定理对于任意的线性方程都是适用的, 而无需常系数. 不过我们只有在常系数的情况下, 才能使用定 理3.1求通解、用微分算子法求特解. 定理3.1中的P (r) = 0称为微分方程P (D)y = f (x)的特征方程, rj称为sj重 特征根. 因P 是实多项式, 故复特征根必定是成对出现的, 因此C1e^(α+βi)x+ C2e^(α−βi)x这一项复通解对应的实 通解不难验证为: e^αx(C1cos βx + C2sin βx). 使用这个规律就可以将复通解部分变为实通解.

【例3.1.5】求y⁰⁰⁰− y⁰= x的通解.

解解解 特解y(x) = 1

D(D²− 1)(x) = −1 D

∞

X

n=0

D²ⁿx = −1

Dx = −x²

2 , 特征根r1= 0, r2= 1, r3= −1.

故通解为y(x) = C1+ C₂e^x+ C₃e^−x−x² 2 .

【例3.1.6】求(D²+ 1)y = sin x的通解.

解解解 注意到本题无法直接套用公式(因为−1 + 1 = 0), 故考虑(D²+ 1)y = e^ix, y(x) = 1

D²+ 1(e^ix) = e^ix 1

(D + i)²+ 1(1) = e^ix 1

D(D + 2i)(1) = e^ix 1 2iD

∞

X

n=0

 iD 2

ⁿ

(1) = x 2ie^ix.

∴ y(x) = Im x

2ie^ix= −x

2 cos x为一个特解. 特征根为±i, 故通解为y(x) = C₁cos x + C₂sin x −x 2cos x.

【例3.1.7】y⁽⁴⁾− 4y⁰⁰⁰+ 6y⁰⁰− 4y⁰+ y = (x + 1)e^x. 解解解 y(x) = 1

(D − 1)⁴(x + 1)e^x= e^x 1

D⁴(x + 1) = e^x

 1

120x⁵+ 1 24x⁴

 .

∴ y(x) =



C1+ C2x + C3x²+ C4x³+ 1

24x⁴+ 1 120x⁵



e^x为通解.

【例3.1.8】3y⁰⁰+ 12y = 2 sin²x.

解解解 y(x) = 1

3(D²+ 4)(1−cos 2x) = 1 3

"

1 4

∞

X

n=0



−D² 4

ⁿ

(1) − 1

D²+ 4Re e^2ix

#

= 1 12−1

3Re



e^2ix 1

(2i + D)²+ 4(1)



= 1 12−1

3Re



e^2ix 1

D(1 + 4iD)(1)



= 1 12−1

3Rex 4ie^2ix

= 1

12(1 − x sin x)

∴通解为y(x) = C1cos 2x + C₂sin 2x +1 − x sin 2x 12 .

§3.2 常 常 常系 系 系数 数 数线 线 线性 性微 性 微 微分 分 分方 方 方程 程 程组 组 组

本节默认 #»y = (y1, · · · , yn)^T, #»

C = (C1, · · · , Cn)^T, A为系数矩阵, #»

f (t)为非齐次项.

考察常系数线性微分方程组: d #»y

dx = A #»y + #»

f , A ∈ R^n×n, #»y = (y1, · · · , yn)^T. 类似一阶常系数方程, 它的

14 CHAPTER 3. 微分方程组与高阶方程

齐次方程具有通解: #»y = e^xAC , 其中#» C 为n维常列向量, 之后依旧有常数变易法. 事实上, 这个方法是理论上的#»

结论, 求解常系数线性微分方程组一般是不会使用这种方法的, 下面通过若干例题来看.

【例3.2.1】 #»y⁰=











−1 1 0 0 −1 0 0 0 −4











#»y .

解

解解 y3= C3e^−4x, y2= C2e^−x, 把y2代入第一行: y⁰₁+ y1= C2e^−x, 故 C2

1

D + 1(e^−x) = C2e^−x 1

D − 1 + 1(1) = C2xe^−x 为y1的一个特解. 参考答案: #»y = C1e^−x(1, 0, 0)^T + C2e^−x(x, 1, 0)^T + C3e^−4x(0, 0, 1)^T.

【例3.2.2】 #»y⁰=



 0 a

−a 0



#»y . 解

解解 y⁰⁰₁ = ay₂⁰ = −a²y1, 故y1= C1cos ax + C2sin ax, y2= −C1sin ax + C2cos ax.

【例3.2.3】 #»y⁰=



 2 1 0 2



#»y +



 1 0



.

解

解解 y₂= C₂e^2x, 故y₁⁰ − 2y₁= C₂e^2x. y₁的一个特解为 C₂

D − 2(e^2x) = C₂e^2x1

D(1) = C₂xe^2x. 参考答案: #»y = C₁e^2x(1, 0)^T + C₂e^2x(x, 1)^T.

由此可见, 如果我们能够将方程的一部分转化为高阶线性方程求解(例如准三角型、反对角型、类置换阵 等), 我们可以将这一部分先化为高阶线性方程, 然后使用3.1节的方法求出 #»y 的若干分量, 这样可以将其余难以 处理的分量对应的系数矩阵降阶.

对于不容易转化为高阶方程求解的方程, 我们需要计算其系数矩阵的特征值及其对应的特征向量, 来确定 最终的通解. 具体的操作方法通过以下几个例子给出. 首先看特征根均为单根的情况.

【例3.2.4】 #»y⁰=



 3 4 5 2



#»y . 解

解解 A的特征值为7和−2, 它们对应的特征向量分别是(1, 1)^T和(−4, 5)^T. 参考答案: #»y = C₁e^7x(1, 1)^T + C₂e^−2x(−4, 5)^T.

当A存在重特征根时, 该如何处理呢？请看以下例题.

【例3.2.5】 #»y⁰=











1 ²₃ −²₃ 0 ²₃ ¹₃ 0 −¹₃ ⁴₃











#»y .

解

解解 ϕA(λ) = (λ − 1)³. 考察A − I =











0 ²₃ −²₃ 0 −¹₃ ¹₃ 0 −¹₃ ¹₃











, (A − I)²= O. 容易得到一对Jordan分解:

P =











1 2 0 0 −1 3 0 −1 0









 , J =











1 0 0 0 1 1 0 0 1









 .

因此 #»y = C₁e^x(1, 0, 0)^T + C₂e^x(2, −1, −1)^T + C₃e^x((2, −1, −1)^Tx + (0, 3, 0)^T)是一个特解.

参考答案: C1e^x(1, 0, 0)^T + C₂e^x(0, 1, 1)^T + C₃e^x(2x, 3 − x, −x)^T.

3.2. 常系数线性微分方程组 15

【例3.2.6】 #»y⁰ =

















1 1 1 1

1 1 −1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −1 1

















#»y .

解解解 A的Jordan分解: P =

















−1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0

















, J = diag(−2, 2, 2, 2).

参考答案: #»y = C₁e^−2x(−1, 1, 1, 1)^T+ C₂e^2x(1, 0, 0, 1) + C₃e^2x(1, 0, 1, 0) + C₄e^2x(1, 1, 0, 0).

因此, 对于具有重根的情况, 我们需要考虑它的Jordan标准形中的Jordan块情况, 即矩阵A的根子空间是什 么样的. 它的通解正是由如下形式的特解线性组合而成的:

e^λix(

n_j−1

X

j=0

x^j j!

#»rn_j−1−j) (1 6 n^j 6 s^j, sj为该Jordan块的阶数, 0 ← #»r0← · · · ← #»rs_j−1是根向量链).

下面看几个非齐次方程的初值例题. 上节介绍的微分算子法在某些特殊情况下依旧可以比较方便地使用, 对于较一般的情况, 使用起来没有这么方便. 因此, 将特殊情况罗列于此:

1. #»

f 是多项式的时候, 此时若A可逆, 则 1 D − A(#»

f (x)) = −A⁻¹

∞

X

n=0

A⁻ⁿDⁿ#»

f (x).

2. #»

f 各个分量是周期相同的三角函数时, 1 D − A(#»

f (x)) = D + A D²− A²(#»

f (x)) = D + A

−n²I − A²

#»f (x).

3. 1 D − Ae^ax









 k1

... k_n











= (aI − A)⁻¹e^ax









 k1

... k_n











, 其中a /∈ λ(A).

【例3.2.7】 #»y⁰ =





0 −n²

−n² 0



#»y +



 cos nx sin nx



(n 6= 0).

解解解 齐次方程的通解为 #»y =





e^n2x e^−n2x

−e^n2x e^−n2x





C . 考察原方程的特解:#»

1 D − A(#»

f (x)) = D + A D²− A²(#»

f (x)) = D + A

−n²I − A²



 cos nx sin nx



=





n+1

n(n²+1)sin nx

n−1

n(n²+1)cos nx





参考答案: #»y = C₁e^n2x(1, −1)^T + C₂e^−n2x(1, 1)^T +

 n + 1

n(n²+ 1)sin nx, n − 1

n(n²+ 1)cos nx

^T .

【例3.2.8】 #»y⁰ =











2 1 −2

−1 0 0 1 1 −1











#»y +









 2 − x

0 1 − x









 .

解解解 系数矩阵的特征值为1, i, −i, 对应的特征向量分别为(−1, 1, 0)^T, (1, i, 1)^T, (1, −i, 1)^T.

∴基解矩阵为











−e^x e^ix e^−ix e^x ie^ix −ie^−ix

0 e^ix e^−ix











. 提取后两列各自的实部和虚部, 得到齐次方程的实通解:

#»y = C1e^x(−1, 1, 0)^T+ C2(cos x, − sin x, cos x)^T + C3(sin x, cos x, sin x)^T.

16 CHAPTER 3. 微分方程组与高阶方程

使用微分算子法寻找原方程的特解:

1

D − A( #»y (x)) = −A⁻¹

∞

X

n=0

A⁻ⁿDⁿ









 2 − x

0 1 − x











= −A⁻¹









 2 − x

0 1 − x











− A⁻²











−1 0

−1











=











−1 x 0









 .

参考答案: #»y = C₁e^x(−1, 1, 0)^T + C₂(cos x, − sin x, cos x)^T + C₃(sin x, cos x, sin x)^T + (−1, x, 0)^T.

第 第 第4讲 讲 讲 一 一 一阶 阶拟 阶 拟 拟线 线 线性 性 性常 常 常微 微 微分 分 分方 方 方程 程 程定 定 定性 性理 性 理 理论 论 论初 初 初步 步 步

我们称对于最高阶导数本身是线性的方程为拟线性方程(或半线性方程). 本章研究一阶拟线性常微分方程:

y⁰= f (x, y), f ∈ C(Ω), Ω ⊂ R²为区域 的简单的定性理论: 解的存在性、唯一性、最大存在区间等问题.

§4.1 常 常 常微 微 微分 分 分方 方 方程 程的 程 的 的几 几 几何 何 何含 含 含义 义 义

若y = ϕ(x)为y⁰ = f (x, y)的一个解, 则称Γ : y = ϕ(x)为微分方程的一条积分曲线. 对于P₀(x₀, y₀) ∈ Γ, P₀处切线为y = y0+ f (x₀, y₀)(x − x₀). 因此我们称区域G内每个点P₀(x₀, y₀)处的切线为微分方程在P₀处的线 素. 称G上所有点连同其线素为方向场.

我们称曲线与一个方向场吻合, 如果该曲线上任一点的切线方向与方向场在该点的方向相同, 即该点斜率 为f (x, y). 记Lk : f (x, y) = k, 称其为方向场的等斜线. 显然, 在Lk上的各点线素的斜率均等于k, 从而通过作 出Lk的图像, 有助于我们作积分曲线的图像.

【例4.1.1】y⁰ = −x

y, Lk : y = −x

k, 它与其上任一点的线素垂直相交, 因此可大致得到积分曲线为以O为圆心的 同心圆.

【例4.1.2】y⁰= x²+ y², Lk: x²+ y²= k. 这个例子我们很难画出具体积分曲线的形状, 不过可以知道, 当所取 的线素数目越多、划分越精细的时候, 我们越能够得到精确的曲线形状(比如利用计算机), 进而才能观测曲线 的性态.

我们考虑将自变量和因变量所在空间联合起来:(x, y) ∈ Rⁿ, 我们解方程的过程就是在寻找曲线γ_C ⊂ R². 一般来讲, γC由Φ(x, y) = C的形式给出. 设γ : y = ϕ(x)为积分曲线, 则ϕ⁰(x) = f (x, ϕ(x)). 注意到γ有切向 量T = ex+ ϕ⁰(x)e_y, 故γ为积分曲线⇔ (P (x, y), Q(x, y)) · T = 0 ⇔ P + Qϕ⁰ = 0 ⇔ ϕ⁰= f (x, ϕ(x)).

由第三讲序言可见, 高阶方程总是可以化为若干个一阶的微分方程组成的方程组. 这样, 可以将线素等概念 推广至高维加以解释对应的几何含义, 具体情况此处不再赘述.

§4.2 解 解 解的 的 的局 局 局部 部 部存 存 存在 在 在唯 唯 唯一 一 一性 性 性

考虑y⁰= 2√

1 − y的非常数解: y = 1 − (x + C)² (x 6 −C). 但是

y = f (x, C) =







1 − (x + C)², x 6 −C 1, x > −C 满足方程, 因此在(−C, 1)处, 方程的解不局部唯一. 这正符合教材习题2-2的第5题:

【例4.1.1】设微分方程y⁰ = f (y), 其中f (y)在y = a的某邻域(|y − a| 6 ε)内连续, 而且f (y) = 0当且仅当y = a,

17

18 CHAPTER 4. 一阶拟线性常微分方程定性理论初步

则在直线y = a上的每一点, 方程的解是局部唯一, 当且仅当    

ˆ a±ε a

dy f (y)

= ∞.

证

证证明明明 (⇒)注意到y = a为经过(x0, a)的一个解, 因此它就是唯一解. 考察过(x1, ε)的解 ˆ a+ε

y

dη

f (η)= x1− x.

由于对任意的x0∈ R, 过(x0, a)的解唯一, 因此过(x1, ε)的解不与y = a相交, 这迫使 

ˆ a+ε a

dy f (y)

=    

lim

y→a⁺

ˆ a+ε y

dη f (η)

= ∞.

(⇐)因为f (y) = 0 ⇔ y = a, 故存在0 < δ < ε, 使

f (y) > 0或f (y) < 0 (∀y ∈ (a, a + δ)或y ∈ (a − δ, a)).

利用上述条件, 可以对于y06= a的初值(x0, y₀)的情况直接积分求出唯一解.

对于y0= a的情况, 如果存在除y = a以外的另外一解y = ϕ(x), 满足ϕ(x₀) = a, 则

∞ =    

ˆ y a

1 f (η)dη

= |x − x₀| < ∞ 矛盾! 以上充要条件的证明对于a − ε的情况是同理的.

这里对于上述例子的证明给出两点注记:

(1)y = a上局部存在唯一的意思是: 对任意(x₀, a), 存在其邻域U , 使得以U 上任一点为初值条件的解该邻 域上是唯一的.

(2)事实上, 以上定理有如下加强版, 证明过程完全类似, 留作练习.

【例4.1.2】设微分方程y⁰= f (y)g(x), 其中f (y)在y = a的某邻域(|y − a| 6 ε)内连续, g ∈ C(R), 而且f (y) = 0当 且仅当y = a, 则在直线y = a上的每一点, 方程的解是局部唯一, 当且仅当

ˆ a±ε a

dy f (y)

= ∞.

我们对比Osgood定理:

定

定定理理理3.1 (Osgood)设f (x, y)在区域G内满足|f (x, y1) − f (x, y2)| 6 F (|y¹− y2|), 其中F (r) > 0是r > 0的连续函 数, 瑕积分

ˆ r₁ 0

dr

F (t) = ∞(r1> 0是常数), 则微分方程y⁰= f (x, y)在G内经过每一点的解都是唯一的.

容易看出, 【例4.1.2】的条件只需一个关于f 本身的瑕积分发散即可, 而Osgood定理需要找到一个函数F 满 足Osgood条件, 并验证F 的瑕积分发散. 但是另一方面, Osgood条件得到的是整个区域的存在唯一性, 而【例4.1.2】

得到的是局部存在唯一性. 因此, 二者的结论互有强弱, 如何灵活使用需要根据题目要求具体分析.

例如, 教材习题3-1的第1题的两个小题均可以方便地使用局部唯一性进行证明的, 如果使用Osgood来进行 证明, 虽不一定做不到, 但是会遇到很大的麻烦.

本来这章计划要覆盖所有大家学过的存在性、唯一性、延拓定理、稳定性等知识的, 但是张老师提到他课 上讲的已经很全了(个人也认为的确如此), 并且即使写出这部分习题课讲义, 也无外乎是罗列结论、举一些例 题, 但是这里的题目不会是考察的重点. 只有李雅普诺夫稳定性中的李雅普诺夫函数的构造需要大家着重掌握, 其余的只需大致了解即可. 也欢迎大家对于这部分问题感兴趣的同学单独找我探讨.

第

第 第5讲 讲 讲 一 一 一阶 阶 阶拟 拟 拟线 线 线性 性 性偏 偏 偏微 微 微分 分 分方 方 方程 程 程

我们称如下形式的方程为一阶线性偏微分方程:

n

X

j=1

bj(x1, x2, · · · , xn)∂u

∂xj

+ c(x1, x2, · · · , xn)u = f (x1, x2, · · · , xn). (5.1) 称如下形式的方程为一阶拟线性偏微分方程:

n

X

j=1

bj(x1, x2, · · · , xn, u)∂u

∂xj

= c(x1, x2, · · · , xn, u). (5.2) 本章主要列出一些计算的实例, 部分结论的证明是省略的, 如有需要, 请自行参考有关文献.

§5.1 一 一 一阶 阶 阶线 线 线性 性 性偏 偏 偏微 微 微分 分 分方 方 方程 程 程的 的 的求 求 求解 解 解

我们引入方程5.1的特征方程组:dxi

bi

= dxj

bj

, ∀i, j ∈ {1, 2, · · · , n}. 如果选定一个变量(例如xn)作为自变 量, 特征方程即可变为(n − 1)个一阶常微分方程: dx_i

dxn

= b_i bn

(∀i)组成的方程组.

定定定理理理5.1 若ϕi(x₁, · · · , x_n) = C_i (1 6 i 6 n − 1)是方程5.1的特征方程组独立的首次积分, 作代换:

ξ_i= ϕ_i(x₁, · · · , x_n), 1 6 i 6 n − 1; ξ_n = x_n 则方程5.1可化为关于ξn的一阶常微分方程.

【例5.1.1】(y + z)ux+ (z + x)u_y+ (x + y)u_z = 0.

解解解 这是个c = f = 0的一阶线性PDE. 其特征方程为: dx

y + z = dy

z + x = dz x + y. 利用和比、差比公式: d(x + y + z)

2(x + y + z) =d(y − x)

x − y =d(z − x) x − z . 解得: z − x

y − x = C1, (x − y)²(x + y + z) = C2. 参考答案: u = ϕ z − x

y − x, (x − y)²(x + y + z)



, ϕ可微.

事实上, 任意c = f = 0的一阶线性PDE, 在计算出特征面之后, 均可直接声称答案为如上形式, 无需再通过 换元代入进行计算. 这条性质的证明留作练习.

【例5.1.2】







xu_x+ tu_t= cu, x ∈ R¹, t > 0, u(x, 1) = f (x).

其中c为常数.

解解解 容易观察特征线: x

t = C, 换元: ξ = x

t, η = t. 则xu_x+ tu_t= ηu_η = cu, u = ϕ(ξ)η^c= ϕ(x t)t^c. 代入初值条件, 得: u = f (x

t)t^c.

在这道题中, 如果u(0⁺) = u(0), 我们能够得到题目要求区域中的完整的解, 我们将其称为整体解. 如 果u(0⁺) = ∞, 例如本题c > 0的情况, 我们称解在t = 0时刻“爆破”, 整体解不存在. 爆破理论、爆破解的构造 是当今PDE的主流研究方向之一.

19

20 CHAPTER 5. 一阶拟线性偏微分方程

§5.2 一 一 一阶 阶 阶拟 拟 拟线 线 线性 性 性偏 偏 偏微 微 微分 分 分方 方 方程 程 程的 的 的求 求 求解 解 解

考虑构造方程5.2关于ϕ线性PDE:

n

X

j=1

bj(x1, x2, · · · , xn, u)∂ϕ

∂x_j + c(x1, x2, · · · , xn, u)∂ϕ

∂u = 0. (5.3)

定

定定理理理5.2 若w = ϕ(x1, · · · , xn, u)是方程5.3的解, 则ϕ(x1, · · · , xn, u) = 0是方程5.2的隐式解.

由定理5.2, 结合c = f = 0的一阶线性PDE的解法, 我们有:

定

定定理理理5.3 若ϕi(x1, · · · , xn, u) = Ci (1 6 i 6 n)是方程5.3的特征方程组独立的首次积分, 则 g(ϕ1(x1, · · · , xn, u), · · · ϕn(x1, · · · , xn, u)) = 0

是方程5.2的隐式解.

一般我们称方程5.3的特征方程组为完全特征方程. 特别地, 对于线性PDE, 我们当然可以把它看作特殊的 拟线性PDE, 使用定理5.3方便地得到隐式解, 而无需换元代入. 但是, 这只能暂时得到隐式解, 之后还需要考虑 显化的过程, 实际上能够证明, 拟线性PDE的隐式解一定是能够显化的, 因此, 对于所有的拟线性方程(包括线 性方程), 我们都可以方便地使用定理5.3来计算方程的解.

【例5.1.3】x²u_x+ y²u_y = u², u(x, y)

_y=2x= 1.

解

解解 完全特征方程: dx x² =dy

y² = du u², 故ϕ(1

y −1 x,1

u−1

y) = 0为通解, 显化: 1 u =1

y + f (1 y −1

x).

代入初值条件: 1 = 1

y + f (−1

y), 因此f (x) = 1 + x. 参考答案: u = xy xy + 2x − y.

【例5.1.4】

n

X

k=1

x_k ∂u

∂x_k = 3u, u(x₁, · · · , x_n−1, 1) = h(x₁, · · · , x_n−1).

解

解解 完全特征方程: dxk

xk

=du

3u (∀1 6 k 6 n), 所以u = x³nf (x1

xn

, · · · ,xn−1

xn

).

代入初值条件: u = x³_nh(x1

x_n, · · · ,xn−1

x_n ).

§5.3 运 运 运输 输 输方 方 方程 程 程与 与 与波 波动 波 动 动方 方 方程 程 程的 的 的d’Alembert公 公 公式 式 式

通过前面给出的一阶拟线性PDE的解法, 我们研究运输方程:







ut+ a · Du = f (x, t), x ∈ Rⁿ, a ∈ Rⁿ为常向量, t ∈ (0, ∞), u(x, 0) = g(x), x ∈ Rⁿ.

(5.4) 实际上, 它相当于不含有零阶项的常系数一阶PDE, 它对于计算波动方程的d’Alembert公式起到了至关重 要的作用. 它的求解公式连同下面的d’Alembert公式的证明一起留作练习.

定

定定理理理5.4 方程5.4的解为u(x, t) = g(x − at) + ˆ t

0

f (x + a(s − t), s)ds.

定

定定理理理5.5 (波动方程的d’Alembert公式)考察一维波动方程:







u_tt− c²u_xx= f (x, t), x ∈ R, t > 0, u(x, 0) = φ(x), ut(x, 0) = ψ(x), x ∈ R.

(5.5)

它的解为u(x, t) = 1

2[φ(x + ct) + φ(x − ct)] + 1 2c

ˆ x+ct x−ct

ψ(s)ds + 1 2c

ˆ t 0

ds

ˆ x+c(t−s) x−c(t−s)

f (y, s)dy.