习题课

习题课

一、 导数和微分的概念及应用 二、 导数和微分的求法

导数与微分

第二章

一、 导数和微分的概念及应用

• 导数

: x

x f x

x x f

f x 





 

  

) ( )

lim ( )

( 0

当 时 , 为右导数 当 时 , 为左导数

 

x 0 f_(x)

 

x 0 f_(x)

• 微分 :

x x

f x

f ( ) ( )d

d  

• 关系 :可导 可微

• 应

用 :(1) 利用导数定义解决的问题

(3) 微分在近似计算与误差估计中的应用 (2) 用导数定义求极

限

1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则 x x

x

C) 0; (ln ) _x ; (sin ) cos

(     ¹  

其他求导公式都可由它们及求导法则推出 ; 2) 求分段函数在分界点处的导数 ,及某些特殊

函数在特殊点处的导数 ;

3) 由导数定义证明一些命题 .

例 1. 设f (x₀) _{存在 , 求}

) . (

) ) (

lim ( ⁰

0 2

0 x

x f x

x x

f

x 















解 :

原式

=



 





 













 x

x f x

x x

f

x

) (

) ) (

lim ( ⁰

0 2

0 x  ( x )2

)2

( x x  

 )

(x₀

 f 

例

2. 若 f (1)  0 _且 f (1)_{存在 , 求} . tan

) 1 (

) cos lim (sin

2

0 e x

x x

f

x x 





解 :

1 )

cos (sin

lim ²

0  

 x x

x

原式 = ² ₂

0

) cos lim (sin

x

x x

f

x





且 f (1)  0 联想到凑导数的定义式

2 2

0

) 1 cos

sin 1

lim (

x x

x f

x    

  sin² x  cos x 1

1 cos

sin² x  x  )

1 (

 f )

1 (

 f  )

2 1 1

( 

 (1)

2 1 f 



例 3. 设 f (x) _在 x  2 _{处连续 , 且} 3, 2

) lim (

2 



 x x f

x

求 f (2) .

解 : f (2)  lim ( )

2 f x

x ]

) 2 (

) ) (

2 [(

lim2   

  x

x x f

x  0

2

) 2 ( )

lim ( )

2

( 2 

 

  x

f x

f f

x

2 ) lim (

2 

  x x f

x  3

思考

例 4. 设

lim 1 )

( _{( 1)}

) 1 ( 2





 ^ _ 



 n x

x n

n e

b ax

e x x

f

试确定常数 a , b 使 f (x) 处处可导 , 并求

. ) (x f  解 :f (x) 

1 , x

b x

a 

1 , x

) 1

2 (

1 a b 

1 , x

x2

, 1时



x f (x)  a; x 1时，f (x)  2x. )

1 ( )

1 ( )

1

( f f

f ^  ^ 

) 1 ( )

1

( _

  f  f

处可导，得 在

利用 f (x) x 1

即 a  b 1 ¹₂ (a  b 1)

 2 a

, 1 ,

2  



 a b f (1)  2







 

 2 , 1

1 ,

) 2

( x x

x x f

) (x

f  是否为连续函 判别 : 数 ?

 ) (x f

1 , x

b x

a 

1 , x

) 1

2 (

1 a b 

1 , x

x2

, 1时



x f (x)  a, x 1时，f (x)  2x

 ) (x

设 f , 讨论 f (x) 在 x  0

解 : lim ( )

0 f x

x

又 x

f x

f

x

) 0 ( )

lim (

0





例 5.

所以

) (x

f _在 x  0_{处连续 .}

即 f (x) 在 x  0处可导 . x x

x

sin 1 lim ²

0

  0  f (0)

x x

x

sin 1 lim0

  0

0 1 ,

2 sin x  x x

0 ,

0 x 

处的连续性及可导性 .

x

x _x

x

2 1 0

lim sin

 

0 )

0 (  f 

二、 导数和微分的求法

1. 正确使用导数及微分公式和法则 2. 熟练掌握求导方法和技巧

(1) 求分段函数的导

数 注意讨论界点处左右导数是否存在和相等 (2) 隐函数求导法 对数微分法

(3) 参数方程求导法

(4) 复合函数求导法( 可利用微分形式不变性 ) (5) 高阶导数的求法 逐次求导归纳 ;

间接求导 法 ;

利用莱布尼兹公 式 .

例 6. 设 y  e^{sin x} sine^x  f (arctan ¹_x), _其中 f (x) _可 . 微 ,

求 y

例 7.设 x  0时g(x) 有定义，且 g (x) _{存在 , 问怎样} 选择 a ,,b c ^{可使下述函数在} x  0 _{处有二阶导数 .}

 ) (x f

解 : 由题设f (0) _{存在 , 因此}

1) 利用f (x)

在

2) 利用 f_(0)  f_(0),

0

) 0 ( )

lim ( )

0 (

0 

 

  

 x

g x

f g

x  g_ (0)

0

) 0 ( )

lim ( )

0 (

2

0 





 

  

 x

g c

bx x

f a

x

 b 而

) 0

(

 g b

得 0

2  bx  c, x  ax

0 ,

)

(x x 

g

) 0

 (

 g b

3) 利用f_(0)  f_(0),

0

) 0 ( )

lim ( )

0 (

0 

 

 

 ^

  _ x

g x

f g

x  g_(0)

0 ) 2

lim ( )

0 (

0 



 

  

 x

b b

x f a

x  2a

而

得 (0) 2

1 

 g a

) 0 ( g c 

 ) (x

f ax²  bx  c, x  0 0 ,

)

(x x 

g