提要172：Dirac’s delta函數(t - a)在工程上的應用

(1)

提要 172：Dirac’s delta 函數  (t - a)在工程上的應用

首先來瞭解Dirac’s delta 函數



ta



之定義，其定義如下圖所示：

圖1 Dirac’s delta 函數



ta



之定義，其中k0 亦即：

 



   



 otherwise k a t a if a k

t 0, ,

 1

現在再來討論



ta



之應用。由單位階梯函數的討論知，如圖 1 所示之函數亦可以單位階梯函數加以表示。圖 2 係先引用單位階梯函數u



ta



與

 



t a k



u   ，作相減之運算，得出類似圖1 之結果，如圖 2 所示：

圖2 引用單位階梯函數^u



^t^^a



^與^u



^t^



^a^^k

 

^作出類似Dirac’s delta 函數的圖形

(2)

再拿1/k 乘以圖 2 之函數u



tk



u



t



ak

 

，如圖3 所示：

圖3

  

1^k



^u ^t^^k



^^u



^t^



^a^^k

  

之圖形

只要作極限之運算，讓k0，則圖 3 實際上就是圖 1。請讀者留意，圖 3 所示曲線下之面積大小為1，因此，圖 3 若乘以大小為 P 之定值：



t a



P 

則曲線下之面積變為P，而當k0時，曲線下之面積大小仍然是P，如圖 4 所 示：

圖4 ^P^



^t^^a



之示意圖

因為k 很小，所以圖 4 之意義為：「在 t = a 時，^P^



^t^^a



^{之函數值為}P；但是當 t  a 時，^P^



^t^^a



^{之函數值為}0。」這是一種擾動只發生在某一特定位置或某一特定時間之情況的描述。因此，在力學問題中，可用以描述集中力之作用情況；

在污染問題中，可用以描述點狀之污染源；在磁場問題中，亦可用以描述點狀之磁鐵等等。由此可知，Dirac’s delta 函數^



^t^^a



之應用非常廣泛。例如，若考慮如圖5 所示之樑中點 x = L/2 位置受集中力 P 之作用：

(3)

圖5 樑中點受集中力作用之示意圖

再引用圖4 之概念，則可將荷重 P 表為函數^P^



^x^^a



^。函數^P^



^x^^a



^係表

示：「當x = a 時，函數^P^



^x^^a



^之值為P；在其他位置情況下，函數^P^



^x^^a



^之

函數值為0。」以上之描述，可以圖 6 加以表示：

圖6 以 Dirac’s delta 函數表集中荷中作用時之示意圖

【附註】

1. 圖 1 至圖 4 之討論，是以 t 為自變數；圖 5 與圖 6 之討論，是以 x 為自變數。

2. 解析與 Dirac’s delta 函數有關之微分方程式時，必須採用積分轉換的方法，

之前所介紹的Laplace 轉換，即是積分轉換方法的一種。