絕對值
主題一 數線上的分點公式
設數線上兩點 A(
x
)、B(y
)。且 m、n 為正數。1. 兩點距離公式
A 與 B 兩點的距離為
|
x－y|
＝|
y－x|
2. 分點公式
若 P 點在 AB 上，且 AP ： BP ＝ m：n，則 P 點座標為 (my nx m n
)。pf
：◎註：逆向者加負號，公式相同。
當 P 點是 AB 中點時，即 m＝n＝1，此時 P＝ x＋y 2
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1. 設 A( 2 )、B( 5 )、P(5 2 ＋2 5
7 )為數線上三點，求 AP ： BP ＝ ？
【2：5】
2. 已知a
b，試比較下列各數之大小：6 7 a
b、4 5 a
b、 2 a b
m n
A(x) P B(y )
3. 已知數線上兩點 A(－1)、B(15)。
(1) 已知點 P(x)在 AB 上，且 AP ： BP ＝ 3：5 ，求 x 的值 (2) 已知 AB 外一點 Q(y)，滿足 AQ ： BQ ＝ 3：5 ，求 y 的值
【5】；【－25】
4. 已知數線上兩點 A(－6)、B(12)。
(1) 已知 P 點在 A、B 之間，且 AP ＝2 BP ，求 P 點座標 (2) 已知 AB 外一點 R，滿足 AR ＝7 BR ，求 R 點座標
【6】；【15】
5. 已知數線上兩點 A(－4)、B(8)，若數線上另一點 P 使得 AP ： BP ＝ 1：5 ，則 P 點 坐標為何？
※ 此題有兩解
【－2、－7】
主題二 絕對值方程式 1. 絕對值的幾何意義
| x－a | 表示：
| x＋a | 表示：
2. 只有一個絕對值的方程式 (直接拆解)
| x |＝k ⇒ x＝±k
| x－a |＝k ⇒ x＝a±k
3. *兩個以上的絕對值方程式 (討論 x 的可能位置)
| mx－a |＋| nx－b |＝k ⇒
作法一：分段討論
作法二：幾何作圖分析
◎註：根據等量公理可知，
| x－a |＝k | 3x－3a |＝3k | －3x＋3a |＝3k 的解皆相同
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1. 試解方程式：
(1)
| x 1 | 10
(2) | 1－x |＝3 (3) | 2x－3 |＝5 (4) | 3x＋1 |＝2 (5) | 2－3x |＋4＝8【－9 或 11】；【－2 或 4】；【－1 或 4】；【－1 或 1
3 】；【－ 2 3 或 2】
2. 試解方程式：(1) 2| x |＋1＝7 (2) 2| 3x－1 |＋5＝9
【－3 或 3】；【－ 1 3 或 1】
3. 試解下列方程式：(1) | x＋7 |＝| 3x－3 | (2) | 2x－1 |－| x＋1 |＝0
【－1 或 5】；【0 或 2】
○
進高 手 過 招 ○
階1. 試求方程式 | x－1 |－2x－5＝0 的解。
【x＝－ 4 3 】
2. 試解下列方程式：
(1) | x＋1 |＋| x－5 |＝6 (2) | x＋1 |＋| x－5 |＝4 (3) | x＋1 |＋| x－5 |＝10
【－1≤ x ≤5】；【無解】；【－3 或 7】
3. 試求方程式 | 2x－2 |＋| x＋2 |＝4 的解。
【x＝0 或 4 3 】
4. 試求方程式 | x＋1 |－| 2x－2 |＝1 的解。
【x＝ 2 3 或 2】
主題三 絕對值不等式 1. 絕對值不等式的解
| x | ≤ k ⇔ －k ≤ x ≤ k
| x | < k ⇔ －k < x < k
| x | ≥ k ⇔ x ≥ k 或 x ≤ －k
| x | > k ⇔ x > k 或 x < －k
2. 類推
| x－a | ≤ k ⇔ －k ≤ x－a ≤ k ⇔ a－k ≤ x ≤ a＋k
| x－a | ≥ k ⇔ x－a ≥ k 或 x－a ≤ －k ⇔ x ≥ a＋k 或 x ≤ a－k
| －x＋a | ≤ k ⇔ ⇔
| －x－a | ≤ k ⇔ ⇔
| ax－b | ≤ k ⇔ ⇔
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1. 解下列各不等式：(1) | x | ≤ 5 (2) | x | > 2 (3) 2< | x | < 9
2. 解下列各不等式：
(1) | x＋1 | ≤ 2 (2) | 3－x |＞2 (3) | 2x－1 |＜5 (4) | x－3 | ≥ 1 (5) |－x＋2 | ≤ 4 (6) | 3x＋1 |＞8
3. 解下列各不等式：
(1) | x |＜2
| x－2 |＜1 (2)
| x＋1 |＜3
| 1－x | ≤ 4 (3) 1 ≤ | 2x－1 |＜5 (4) 1 ≤ | 2x＋3 |＜4
4. 根據下列各不等式的解，求出未知數
(1) 設不等式| x－a | ≤ b 的解為 35 ≤ x ≤ 39，則數對(a,b)＝
(2) 設不等式| x＋a |＞b 的解為 x＜－2 或 x＞9，則數對(a,b)＝
(3) 設不等式|2x－a | ≤ b 的解為－2 ≤ x ≤ 8，則數對(a,b)＝
(4) 設不等式|3x－a | ≤ b 的解為－6 ≤ x ≤ 4，則數對(a,b)＝
(5) 設不等式|ax＋2 | ≤ b 的解為－3 ≤ x ≤ 11，則數對(a,b)＝
(6) 設不等式|ax＋b | ≤ 3 的解為 5 ≤ x ≤ 11，則數對(a,b)＝
【(37,2)】；【( 7 2 , 11
2 )】；【(6,10)】；【(－3,15)】；【(－ 1 2 , 7
2 )】；【(－1, 8)或(1,－8)】
○
進高 手 過 招 ○
階1. 解不等式 | x＋2 |＋2 | x－4 | ≤ 15，得 x 的範圍為？
【－3 ≤ x ≤ 7 】
