許教授 講故事
◎許志農/台灣師範大學數學系 尼采在《拜火教教主如是說》這本書裡,
有一段耐人咀嚼的哲學思考:「當你見到猴子笨 拙的行為時,你該覺得好笑還是自卑呢?到底 是取笑猴子的不靈活,笨手笨腳的行為,還是 對笨拙的猴子可以演化出人類,而我們似乎很 難比牠們進步得更多感到自卑呢?」
人類之所以異於動物,主要是具有靈巧的 雙手與聰明的大腦。據說一百多年前當科學家 還無法了解頭腦內部結構時,就以頭殼的外型 來測量智商的多寡。就是科學昌明的現代,還 是有很多人相信皮指紋分析可以找出孩子的才 能,用指紋的「渦紋」和「蹄狀紋」兩種紋路 來判斷性格及命運傾向。
就讓我們來欣賞一道具有靈巧雙手,但頭 腦普通的猴子所玩的把戲:
1 有一隻會洗牌的猴子,牠只會洗四張牌,
而且每次都用同樣的模式洗牌。猴子的主人拿 出分別寫著 1,2,3,4 的四張牌給猴子,並將牌子 排好,讓由上而下順序為編號 1,2,3,4 的四張 牌,如下圖的第一列所示。
猴子洗第一次牌後不讓主人看牌子的順 序,接著洗第二次牌仍然不給主人看,然後猴 子洗第三次牌並讓主人看牌號的順序。這時主 人發現從上而下的牌號為
2, 4, 1, 3.
猴子的主人想了一下說:「我知道猴子洗第一次 牌後,牌號從上而下的順序。」你知道嗎?
洗牌的方式有很多種,但無論如何洗,最 後它總是 1,2,3,4 這四個數字重新排列,又四個 數字排成一列計有
4! 4 3 2 1 = × × × = 24
種不同的排法,所以只需仔細討論這 24 種排法 中,哪一種可以在經歷三次同樣操作後,順序 變成 2,4,1,3 即可。我們把這 24 種排列(以下稱 為洗牌法)根據其特性分成三大類:
(1) 有固定點的洗牌法
如下圖所示,在洗一次牌後,順序為 2, 4, 3, 1.
將這順序跟開始的
1, 2, 3, 4 比較,將會發現 3 號牌沒有變動。
像這種有固定點的洗牌法,無論洗幾次,固定 的牌還是紋風不動。在猴子洗牌遊戲中,洗三 次之後並沒有固定不動的牌,所以猴子會的洗 牌法不屬於這種。
為了節省操作空間及方便解釋,在這裡我們引 入函數的關係來解釋洗牌;前面所提的洗牌法
(將 1 洗到 4 的位置,2 洗到 1 的位置,3 洗到 3 的位置,4 洗到 2 的位置)也可以用如下的函 數
f
來表示。從圖中不難發現水平的對應箭號→就是不動牌 3 的位置。當以這樣的洗牌方式洗兩次時,會對 應到合成函數
f
2= f f
的結果,圖示如下。此時,
1 號牌會洗到
2
(1) ( (1)) (4) 2
f = f f = f =
的位置,2 號牌會洗到
2
(2) ( (2)) (1) 4
f = f f = f =
的位置,3 號牌會洗到
2
(3) ( (3)) (3) 3
f = f f = f =
的位置,4 號牌會洗到
2
(4) ( (4)) (2) 1
f = f f = f =
的位置。不過,從圖中的合成更容易看到這樣的洗牌效 果。
(2) 分成兩群的洗牌法
有一種比較奇怪的洗牌方法,例如洗完之後從 上而下的牌號為
2, 1, 4, 3.
這種洗牌法所對應的洗牌函數
f
為從洗牌函數
f
的合成中發現,無論洗幾次總是 1 與 2 位置的牌互相輪換,3 與 4 位置的牌互相 輪換。又(1)中所舉例的洗牌函數因為 3 的位置固定不動,其餘位置是 1→4→2
→1 的輪換,所以也算是分成
{3}
與{1, 2, 4}
兩 群的洗牌法。猴子所對應的洗牌函數
f
,因為合成三次之後 為它是 1→3→4→2→1 的輪換,所以猴子洗牌的 函數也不屬於這一類。
(3) 輪換式的洗牌法
這一類型的洗牌法就是沒有固定點,也沒有分 成兩群自己輪換的洗牌方法,即四張牌一起輪 換的意思。我們可以用窮舉法將四張牌一起輪 換的洗牌函數
f
列舉如下,共計六種。因為是四張牌輪換,所以四次之後會輪到原來 的位置,以
f
1驗算如下。也就是說,
f
14( ) i = i i ( = 1, 2, 3, 4)
,即f
14是 把每個元素對到自己的函數,稱它為單位函 數。因為f
14, f
24, f
34, f
44, f
54, f
64都是單位函 數,又猴子洗牌函數f
也是其中之ㄧ,所以4
( ) ( 1, 2, 3, 4)
f i = i i =
。利用合成函數的性質4 3
( ) ( ) ( 1, 2, 3, 4)
f i = f f i = i i =
知道f
與f
3互為反函數。因為所以
或
也就是說,猴子的洗牌函數
f = f
2。我們驗算 它的三次合成,得此與猴子洗牌三次之後給主人看的順序一致。
故猴子洗一次牌後的順序為
阿基米德的現代性
◎ 洪萬生/台灣師範大學數學系 在一些數學史的著作中,阿基米德總是被視為積分學的先驅人物。誠然,阿基米德所使用的 逼近法,的確具有現代積分的意義。不過,如果 仔細對比定積分(definite integral)與他的曲 線形求積(譬如拋物線截區求面積),我們可以 發現阿基米德的逼近法與現代的方法,有著本質 的差異。這種「對比」容易被忽略的原因之一,
似乎就在於他為了避開取極限而使用的窮盡法 (the method of exhaustion),由於涉及古希臘 哲學家亞里斯多德的「潛在無窮」(potential infinity),而成為眾所矚目的焦點。事實上,
這也可以解釋斯坦(Sherman Stein)的《阿基米 德幹了什麼好事?》何以將窮盡法列為討論單元 之一。
針對級數求和而言,所謂潛在無窮,是指吾 人不能將無窮多項加起來。因此,當阿基米德考 慮拋物線截區求面積時,他利用「有限多項的等 比級數之和」逼近這一面積,然後,利用窮盡法 證明它們最終必須相等。在這個論證中,阿基米 德正如同稍早的歐幾里得一樣,是不可能將無窮 多個正量加起來,而這正是「真正無窮」(actual infinity)的意涵。
然則,阿基米德的潛在無窮究竟是什麼呢?
以曲線區域面積的逼近為例(參考圖一有關拋物 線截區之逼近),《阿基米德寶典-失落的羊皮 書》(The Archimedean Codex, 2007)提供了一 個「想像的對話」:
阿基米德在曲線區域內塞進一些三角 形,而留下空白處之大小大於一顆沙
粒。來了一位批評者說: 「還是有一顆
沙粒的差別。」「哦!是這樣?」阿基 米德喊道:「好吧!我就再重複使用我
的機制更多次。」結果空白處之大小小 於一顆沙粒。 「等一等,」批評者說: 「空 白處還是比頭髮寬。」阿基米德就(用 同樣的機制)繼續下去。空白處總是小 於批評者所提的大小。這樣的對話可以 無止境的繼續下去。這是潛在無窮。
顯然,根據這種進路以及歸謬法(合起來通稱為 窮盡法),阿基米德完成了許多重要的求(面 / 體)積工作,而締造了希臘數學的高峰。
〈圖一〉
上述這一類論述,是在 2001 年 1 月以前,
有關希臘數學史的大要。讓我們引述《阿基米德 寶典-失落的羊皮書》的作者之論斷如下:
希臘人把數學發展成精確的、嚴格的科 學。他們避免了矛盾及錯誤。這麼做的 過程之中,他們也避開了無窮的陷阱。
他們的科學立基於你想要怎麼大就怎 麼大,或你想要怎麼小就怎麼小的數 目,但絕對不是無窮大或無窮小。想要 怎麼大就怎麼大的數目,是為「潛在無 窮大」,但不是真正的無窮大。希臘人 不用真正的無窮大。
本書作者之一雷維爾‧內茲(Reviel Netz)為舉 世知名的阿基米德權威學者,目前任教於史丹佛 大學。他出身劍橋大學科學史系,曾受教於希臘 科學史大師洛伊德(Geoffrey Lloyd),因此,這 一版本應該是希臘數學史的標準敘事。
現在,《阿基米德寶典-失落的羊皮書》的 再度問世,加上二十世紀才誕生的同步加速器、
資訊與顯影等高科技之應用,我們乃得以揭露了 前所未知的秘密,而敦促數學史家改寫這一重要 的篇章。那就是:阿基米德竟然實際上將無窮多 項加起來,還有,他甚至進一步去比較兩個無窮 集合。後者這一極有膽識的運算,史家原本認為 直到十九世紀,德國偉大數學家康托 (Georg Cantor, 1845-1918) 創造超限集合理論時,才正 式進入數學舞臺。
這一部於 1998 年 10 月 29 日在紐約佳士得 拍賣場,以高價 220 萬美金售出的古書,是教士 約翰‧麥隆納斯(Ioannes Mylonas)在西元 1229 年 4 月 14 日所抄寫的祈禱書,為的是在耶 穌復活週年日,當作禮物獻給教會。至於所使用 的再生羊皮紙,則是取原載有阿基米德的著作
《平衡平面》、《球及圓柱》、《圓的測量》、《螺 線》、《浮體》、《方法》以及《胃痛》,以及其他 內容的羊皮書,刮掉文字再度使用,因而這部祈 禱書也稱為再生羊皮書。還有,這些再生羊皮紙 原先書寫的文章,則大約是出現在西元 970 年。
除了阿基米德的上述著作之外,這一本再生羊皮 書還保存了雅典一位最偉大演說家的講稿、古代 對亞里斯多德的評論,也包括了一些拜占庭的文 章、十世紀末的聖歌,和一位聖人的傳記。另有 七張書頁之手稿,目前還無法辨別身分。因此,
這一本再生羊皮書,簡直就是「一座擁有特殊古 代手稿的小圖書館」。
2001 年 1 月,雷維爾‧內茲邀請日本大阪 大學的希臘數學史家齊藤憲(Ken Saito)一起研 究阿基米德的《方法》(The Method)。這一份西 元 970 年的手抄稿當然是《阿基米德寶典-失落 的羊皮書》在 1998 年再度問世時,數學史家頗 感興奮的原因。這是因為 1906 年海柏格(Johan Ludwig Heiberg)在君士坦丁堡發現此一再生羊 皮書時,最震撼希臘史家的就是它見證了阿基米 德運用機械方法(mechanical method),而發現
體積公式。後者這一嚴密證明,無疑結合了前述 的逼近法與窮盡法,其中主要牽涉到潛在無窮的 概念。然而,海柏格在再生羊皮書上無法讀到 的,但經由 2001 年 3 月以紫外線照射的高解析 數值影像,卻足以顯示它運用了不折不扣的真正 無窮的概念。
根據內茲的報導(見《阿基米德寶典-失落 的羊皮書》第 8 章),當阿基米德證明《方法》
第 14 命題:「圓柱截體體積等於外圍正立方體體 積的六分之一」時,他三度指出:某某幾何量的 集合會與其他幾何量的集合,在數目上相等。就 本例而言(請參考圖二),請看內茲的解說如下:
任取一切片,就產生立方體的一個三角 形,它立於長方形的一個線段之上。而 阿基米德指出,組成三角柱的各個三角 形的數目,與組成長方形的各線段的數 目,兩者是一樣的。
這一進路令人想到十六世紀的卡瓦列利(B.
Cavalieri, 1598-1647)所提出的所謂「卡瓦列利 原理」:「給定兩個立體一般高,如果等高處的截 面面積相等,則這兩個立體體積相等。」不過,
卡瓦列利卻小心翼翼地避開了「那些無窮多個截 面是否可以疊回成為原來立體」之問題,理由無 他,他正是不敢觸及真正無窮之概念。
○
註 相反地,顯然由於連結到真正無窮之概念,於是,阿 基米德毫不猶豫地將無窮多個項加起來。總之,
內茲告訴我們說:「命題 14 不再用到物理-但在 那裡,無窮個東西相加再也不是隱藏式的,而是 明確的,立基於無窮求和的法則。」而這,也就 是 2001 年 3 月史家得以確定的阿基米德現代性 表現之一。
阿基米德數學的另一個現代性,則是一個他 稱之為「胃痛」的組合學問題:將給定正方形切 割成 14 片之後(參考圖三),再重新拼湊成為正 方形的方法有多少種?
〈圖三〉
阿基米德的答案是:17152 種!這個組合問題,
它出現在這一本再生羊皮書的最後一頁,現在就 以《胃痛》來表示,卻是讓內茲花了很多力氣、
並且得到數學家的最多幫忙,最後才得以釐清。
至於成功解讀的關鍵,則在於吾人「對於將要解 讀的文章的可能意義,能夠做某種猜測,你才可 能有所解讀。」因此,「海柏格之所以無法解讀
《方法》之有關無窮的段落或《胃痛》,這是最 大的原因;他不曾預期有真正的無窮,或者組合 學。」這個問題的正確答案,是電腦科學家比爾‧
卡特勒(Bill Cutler)率先提出,後來,幾位著 名的數學家包括鼎鼎大名的隆‧格拉罕(Ron Graham)及金芳蓉夫婦檔,都只靠紙與筆,好比 阿基米德只靠紙莎草及蘆葦筆一樣,而給出了同 樣的答案。
本書作者除了前述的雷維爾‧內茲之外,還 有修復此一再生羊皮書的計畫主持人威廉‧諾爾 (William Noel),他是華特絲美術館(Walters Museum)手稿及珍本部門策展人,學術專長為 1020 年代來自英國坎特伯利的教會手抄本裝飾 畫。諾爾自稱是「阿基米德的雜役」,凡是修復 的協調分工與尋求高科技的支援,甚至於訪問這 一再生羊皮書曾經典藏之處,都由諾爾負責。事 實上,他也是接受這本再生羊皮書擁有者(在本 書中被稱為 B 先生)委託的主要負責人,所以,
他對於這一再生羊皮書的整個修復及解讀過 程,提供了鉅細靡遺的報導,其中甚至引述了他 們的團隊之一些相關的電子郵件之內容,再現了 部分研究活動,頗讓讀者有親臨其境之感。
另一方面,數學史家內茲則專司解讀工作。
由於他曾出版《希臘數學演繹法的形成:認知歷 史的研究》(The Shaping of Deduction in Greek Mathematics: A Study in Cognitive History, 1999),所以,內茲研究古代數學文本時,基於 認知科學之洞識,總是想知道:
數學經驗是什麼?它怎樣印入心(靈 之)眼 (the mind’s eye) 中?我確信 要了解其意涵,我們必須能夠閱讀正確 翻譯的數學,此種翻譯必須保持原作者 的架構,因為從此架構我們可看出古人 是怎樣看待他們的科學的。
簡單地說,從認知科學觀點切入,文本的形式 (form)與內容(content)同樣重要,認知與邏 輯,抽象觀念與具體圖像,終究無法分離!因 此,「經由研究圖形及符號、書頁及手稿的認知 歷史,我們可能會進一步倒回去了解敘拉古的阿 基米德的頭腦。」總之,內茲在獲邀參與這一研 究計畫時,他曾「狂野幼稚、狂喜而令人受不了 的尖叫……」難怪他在解釋過阿基米德的名字的 由來後,提供了如下的「粉絲物語」(fans’
note):
在其純科學的作品中,阿基米德一直讓 東西溢出浴缸:藝術與科學,美麗與秩 序。讓我們開始觀看,這些元素如何在 阿基米德的作品中聯手出現。
誠然,在內茲的書寫中,我們總可以讀到他的研 究過程中所流露的狂喜,這對於一位歷史學家的
「隔離的智慧」而言,的確是一大考驗,不過,
看起來內茲倒是蠻甘之如飴。
最後,我們針對本書的書寫策略,提供一點 簡要的評論。兩位作者在書寫本書時分工合作,
其中涉及希臘數學史與阿基米德手稿解讀工作 者,一概由內茲負責,其他則由諾爾執筆。就此
而言,本書可以說是科普寫作的一個創舉。譬如 說吧,本書第 1、3、5、7、9、11 等奇數章,都 出自諾爾,至於偶數章第 2、4、6、8、10 以及
(第 12 章)結語章,則是內茲的創作。序文則 是兩人共同創作。這種安排顯然是經過精心設 計。通常,諾爾書寫的部分比較像「偵探」報告,
其中有帶著電視節目製作人走訪伊士坦堡、聖城 耶路撒冷以及西西里(阿基米德的故鄉),也有 多方面說明如何利用各種人力資源與高科技,以 利於再生羊皮書之解讀工作。相對地,內茲書寫 的部分則側重阿基米德數學之相關論述,幫助讀 者深入了解希臘數學史,內容則極有質感。由於 內茲認為文本內容離不開形式,因此,他在說明 如何解讀此一再生羊皮書時,總是一再強調手抄 本形式的重要性。這一進路無形中呼應了高科技 的顯影工作之策略,因而可以和諾爾所書寫的比 較具有實作(practice)特色的奇數章融洽銜 接。換句話說,由於內茲強調古代文本的認知意 義,因此,它的內容 vs.形式的意義得以凸顯,
同時,古代文本的一個現代詮釋,顯然也必須顧 及詮釋者的理論與實作之結合。這一點,當然也 讓本書的數學內容說明,顯得「家常可口」,而 不致於乾澀難以下嚥。
總之,面對本書,外行人當然可以看熱鬧-
至少可以發思古之幽情,分享世界文化遺產,至 於內行人呢,則一定可以看出門道。這本來就是 一般科普書籍期望獲得的讀者反應。不過,本書 論述阿基米德數學時,堅持實質內容之鋪陳(譬 如第 6 章),而且,也沒有在提及達文西時東拉 西扯(科普作家通常喜歡談論名人軼事,以降低 內容的硬度),的確是科普書籍少見的氣魄,值 得我們欽佩與效法。還有,筆者希望中小學數學 教師有機會精讀本書第 4 章〈視覺科學〉,從容 領會「希臘圖形的邏輯」以分享阿基米德的數學 經驗,那麼,在教學上一定可以帶來很多的啟發 才是!
參考文獻:
洪萬生(2007).
《好個阿基米德》科學月刊 38(8): 630-632 斯坦 (2004).
《阿基米德幹了什麼好事!》台北:天下文化 Dijksterhuis, E.J. (1987).
Archimedes.
Princeton, NJ: Princeton University Press.
Netz, Reviel and William Noel (2007).
The Archimedes Codex.
London: Weidenfeld & Nicolson.
Stein, Sherman (1999).
Archimedes:
What Did He Do Besides Cry Eureka?
Washington, DC: MAA.
○
註E第五世紀中國的祖沖之(429-500)在證明球體積 公式時,也提出此一原理的類似版本:「夫疊棊 成立積,緣冪勢既同,則積不容異。」只是他的 無窮觀念究竟如何,我們還無以索解。
數學繪圖軟體
◎ 陳禾凱/台北縣立錦和高中
GeoGebra 簡介
GeoGebra 是由Markus Hohenwarter 所設計 的數學繪圖軟體,曾榮獲歐洲多項軟體大獎,一 開始是他在 2001 年於奧地利 Salzburg 大學寫有 關數學教育博士論文的程式計畫,現在已發展成 多國語言(30 多種),跨平台(Window、Mac、Linux)
的數學繪圖軟體,並有美國科學基金會的資助,
繪圖功能持續加強中。
GeoGebra 這軟體的名稱拆開來是
Geo+Gebra,顧名思義是結合了幾何(Geometry) 與代數(Algebra)的教育軟體,若在繪圖區畫出 圓或直線,代數視窗就會出現對應的方程式,反 過來若是輸入代數方程式,繪圖區便出現其圖 形,操作的感覺就像是把 GSP 及 Graphmatica
○
註EA融合在一起,代數算式和圖形,一左一右,兩個 同時出現,既生瑜又生亮。GeoGebra 把幾何圖形 和代數方程式的關係緊密的結合在一起。
GeoGebra 和 GSP 的比較
提到數學的繪圖教學軟體,大家第一個想到 的便是 GSP(Geometry Sketch Pad),因此筆者特 地在此將兩種軟體比較一下(如附表),並針對 其中數項發表個人的看法。
1. 首先是價格,這可是很重要的!教學軟體要 能夠普級,影響很大,筆者在電腦教室以學 校所購買的 GSP 教導班上同學們繪製圓錐曲 線的圖形,一堂課短短的 50 分鐘,學生們均
意猶未盡,紛紛詢問何處可下載試用版軟 體,當我告訴他們網路上沒有試用版可供下 載
○
註 ,要回家用只有自行購買,學生們均 十分失望,無法想像擁抱數學竟如此痛苦,要花費 1600 元,才能享受繪圖樂趣。如此一 來,教師若在學校以 GSP 教授數學繪圖,無 異成為推銷員。若是以GeoGebra 來進行教學 就沒這個困擾。
2. 由於 GeoGebra 是以 Java 程式語言撰寫,Java 的優缺點,如支援多國語言、跨平台、執行 速度慢,GeoGebra 也都有,不過在比較舊的 電腦才感覺出速度慢的困擾,以筆者的 Acer 512TE 筆記型電腦為例(7 年前的機型),硬 體配備: CPU:Pentium III 680HZ 256MB memory,第一次執行 GeoGebra 時,以為是當 機,費時 15 秒才見繪圖畫面出來,在繪圖過 程中若按 Delete 鍵要刪除某物件,或是按 Ctrl-Z 要回復前一步驟,都要停個 1 秒多才 會顯示結果,還好其他的繪圖操作一切順 暢,當然若使用的電腦機型不要那麼舊,如 Pentium IV 512MB memory 等級以上的電腦,
就感覺不出上述的情形。
3. GeoGebra 以 Java 撰寫的最大好處是將圖形 儲存成網頁時,可以 100%轉換為網頁畫面,
GeoGebra 還支援 Latex 語法,可在畫面上顯 示根號、次方及分數,這都是 GSP 所望塵莫 及的,因此數學家在網路上要討論數學問題
時,用 GeoGebra 來繪圖是一個很好的選擇。
4. 國內引進 GSP 較早,使用 GSP 的師生較多,
相對之下 GeoGebra 似乎乏人問津,這可以由 Google 蒐尋相關的中文網頁看出來,但若看 看世界各地的使用情形,以 Google 輸入 Geometry sketchpad 及 GeoGebra 分別所找 到的網頁數 387000 及 362000 來看,兩者在 這世界的使用人口差不多,但以 GeoGebra 的 支援多國語言特性,使用 GeoGebra 可稱的上 是與世界接軌。
5. GeoGebra 號稱是高中數學的教學軟體,當然 有許多和高中數學直接相關的指令,如輸入
2 2
1
x − xy + y =
,可畫出來斜方向的橢圓,右下方有指令視窗,以滑鼠下拉可看到一大 串的指令,如極限、單位向量、切線…等,
另外還有許多指令有待更正以符合我國現行 高中教材,如:單位垂直向量(單位法向量)、 第一軸線(長軸)、第二軸線(短軸)…等,
不過瑕不掩瑜,這些小問題是可以克服的。
6. 若對 GeoGebra 的使用有任何問題,可上 GeoGebra 的討論區和世界各地的使用者請教 解決方法,也可對 GeoGebra 的未來發展提出 建議,是要多加些什麼功能或指令,程式設 計者 Markus Hohenwarter 還會親自回答。
7. 學習數學繪圖軟體並不難,主要是利用滑鼠
來點選圓規或直尺工具來畫圖,因此操作 GSP 和操作 GeoGebra 其實大同小異,若是有操作 過 GSP 的經驗,學習 GeoGebra 應很快就可熟 悉,此外筆者針對高中課程常見的數學題目 圖形以 GeoGebra 繪製,並用 Wink(哦!又是 一個好用的 freeware)錄下畫面,讓初學者 看一眼也知道如何來使用 GeoGebra,有興趣 的人歡迎來錦和高中數學網學習。
後記
資訊科技的進步及網路的無遠弗界大大地改 變了我們的生活、及學習方式,回想二十年前筆 者念大學時對於數學繪圖軟體的印象,是系上工 作站中一個神袐軟體,如今任何人只要利用網路 就可輕鬆下載回來安裝,實在不可同日而語。
相關網址
1. 錦和高中數學學習網 GeoGebra 教學http://learn.jhsh.tpc.edu.tw/~smath/link1.html 2. GeoGebra 官方網站http://www.geogebra.org
3. GeoGebra 的中文翻譯討論區http://enjoy.phy.ntnu.edu.tw/course/index.php?category=3 4. GeoGebra 的使用討論區(英法德)http://www.geogebra.org/forum/
5. GeoGebra Wiki GeoGebra 的維基百科全書 http://www.geogebra.org/en/wiki/
6. Wink 的下載網址http://www.debugmode.com
○
註E1. Graphmatica 也是一個免費數學繪圖軟體,可輸入函數或方程式,立即顯示出圖形,建中數學科網站 有中文使用手冊可供下載。
2. GSP 的一般試用版已不准放在網頁中供人下載, 故師大數學、建中數學網站中的試用版,已悄悄的取 消,GSP 的官方網站有提供 Instructor Evaluation Edition 以供教師評估是否購買作為教學用途之 用,有效期限 60 天。
GSP 及 GeoGebra 的對照表(評分最高 5 分,最低 1 分,個人主觀意見,僅供各位參考)
項 目 GSP 評
分 GeoGebra 評
分 價 格 校園版 50000 元、個人版 6000 元。
學生版 1600 元。 1
免費,自行至網站下載安裝。
5
執行速度
良好。
5
較舊的電腦機型會有:
起動稍慢,按 Ctrl-Z 會停頓一下才復原到 前一動作,其餘一般運作良好。
若硬體為 Pentium IV 512MB memory 以上配 備,則沒有上述問題。
4
繪圖工具 基本的線及圓。
3
有較多的繪圖工具,如:半圓、切線、極限、
中垂線、角平分線,過 5 點的圓錐曲線…等 4
自訂工具 可。 5 可。 1
相關書籍資源
中文書:
聯經出版社:國中幾何動動動 網站 :
陳創義、官長壽等有豐富的範例檔案 Gsp 的官方網站
http://www.dynamicgeometry.com/
4
中文書: 無。
網站:
錦和高中數學教學網。
GeoGebra Forum:討論區(英文、法文…等)
GeoGebraWiKi:任何人均可上傳提供檔案,
分享教育資源(中文、英文、法文…等)。
3
輸出為網頁 轉換為 JavaSketchPad,但對於某些
繪圖指令不支援。 3
GeoGebra 是以 Java 語言設計的,100%可轉
換為網頁。 5
可畫出的高中 數學圖
1.函數圖,動點軌跡圖。
2.能用動點軌跡來畫拋物線、橢圓、
雙曲線。
3.空間圖形可利用 3d 坐標架模擬描 繪。
4
1.函數圖,動點軌跡圖。
2.可輸入代數方程式把拋物線、橢圓、雙曲 線等的圖形畫出來(類似 Graphmatica)
3.有指令可直接畫出積分的上下和的連續 矩形。
4. 空間圖形需另外下載 GeoGebra3D 來繪圖 5
文字工具
可在圖形上加入文字(不支援 Latex
語法)。 3
可在圖形上加入文字(支援 Latex 語法,可 顯示 2、 1
3 、根號及分數)。 5
◎ 吳孝仁/國立政大附中 探討空間中兩條相異直線的關係,在教學的過
程中一般都是從這樣的分類開始:
1. 兩條直線在同一個平面上
這時候直線的關係對學生來說是明顯的舊經驗,平 行或不平行,不平行會相交,交點也在兩條直線所 處的平面上。
2. 兩條直線不在同一個平面上
這時候兩條直線不平行但也不相交,歪歪斜斜的,
所以叫一組歪斜線。
再來從課本裡學習到經典例題:如何去計算一 組歪斜線的公垂線? 這也讓學生了解到確實有公 垂線的存在;如果再加上幾何上的觀察,那學生應 該會更有感覺了。
幾何上是這樣解釋的:假設有兩條歪斜線
,
a b
。考慮包含a
而平行b
的平面π
,把直線b
投 影到π
上為b′
,那麼a
與b′
會有交點P′
。因為投 影的關係,所以P′
會是b
上的某個點P
的投影,那麼直線
PP′
就是歪斜線a b ,
的公垂線。這篇文章想要做的是,由一些代數條件來看一 組歪斜線與其公垂線之間的關係;希望能提供給各 位先進作為深入教學或是概念連結的一些素材。
在這裡先規定一些符號,兩條相異的直線
,
a b
。方向(向量)分別為a b *, *
。另外a b ,
上各 有一個點A B ,
,於是如此一來我們就可以寫出,
a b
的直線方程式,但是這待會再談。先觀察到一 件事情:如果a b ,
是一組歪斜線,那麼a b *, *
不會 平行。另外, AB
也不會與
a b *, *
共平面,否則a b ,
是同一個平面上的不平行直線,這樣會有交點。換句話說:
,
a b
是一組歪斜線⇒ *, *, a b AB
不共平面 事實上,
a b *, *, AB
不共平面也是充分的,即
a b ,
是一組歪斜線⇔ *, *, a b AB
不共平面 我們注意到了
a b *, *, AB
不共平面可以轉化 為代數條件,即是
a b *, *, AB
所張的平行六面體體 積非零。
換句話說:
,
a b
是一組歪斜線⇔
* det * 0
a b AB
≠
(#) 既然a b ,
間有一條公垂線,所以條件(#)似乎 保證了公垂線的存在性。我們繼續討論下去,取*, *
a b
的外積a * × b *
,方向上垂直a b ,
。所以公 垂線的方向有了,但是要成為a b ,
的公垂線,還必 須保證以a * × b *
為方向的直線與a b ,
各有一個交 點,所以這兩個交點存在與否就決定了a b ,
的公垂 線。假設兩條直線
a b ,
的參數方程式:: *
: * ,
a X A a t b X B b s t s
= +
= + ∈
�
直線
c
的方向為a * × b *
。試想,如果a b ,
上各有 一點A B
0,
0落在直線c
上,那麼由前述討論,直線c
就是a b ,
的公垂線。考慮方程組
( ) ( )
( )
[ ]
* * * *
* * * *
*
, , 1 * * * (##) A a t B b s a b
a t b s A B a b a
t s b a b
AB
+ = + + ×
⇔ − + − = ×
⇔ − = ×
因為
a b ,
是一組歪斜線[
0 0]
* det * 0
*
*
(##) , , 1 a
b AB a
b AB
t s
⇒ ≠
⇒ −
⇒
是可逆矩陣 有實數解假設
0 0
0 0
*
* A A a t B B b s
= +
= +
以及直線c
(
0 0) ( )
: * * ,
2
A B
c X + a b r r
= + × ∈�
於是
A B
0,
0分別落在a b ,
上而且0 0
* *
A − B = a × b
另外( ) ( )
( ) ( )
0 0
0
0 0
0
* * 1 ,
2 2 2
* * 1 ,
2 2 2
A B a b
r X A
A B a b
r X B
+ ×
= = + =
+ ×
= − = − =
當
當
這意謂著直線
c
通過A B
0,
0,所以c
為a b ,
的公垂 線。至此,已經完成我們的論證。繼承之前的符號,在這裡下個結論:
1.
a b ,
是一組歪斜線⇔
* det * 0
a b AB
≠
(#) 2. 條件(#)提供了以a * × b *
為方向的直線和a b ,
各有一個交點的充分性3.
* det * 0
a b AB
≠
蘊含了公垂線的存在○
註E1. 文中直線參數式
X = + A a t *
是以向量的形式 來表示,t
是a *
的係數積。2.
A B ,
個別來看是點,但是表示成( A − B )
時則視為向量
AB
。
國立台灣師範大學數學系 96 學年度 推薦甄選入學
指定項目甄試試題
一、計算證明題(考試時間:2 小時)
1. 在電影「詭絲」中,一位物理學家以孟傑海綿(Menger sponge)來捕捉鬼魂;下面是平面上 孟傑海綿的製作方法。
第一階段:取一個邊長為
a
的正方形(參看下圖一),將正方形等分成九個邊長為3
a
的小正方形,再將中央的小正方形切除(參看下圖二)。
第二階段:對前階段留下的所有邊長為
3
a
的小正方形,每個都等分成九個邊長為9
a
的小正方形,再將中央的小正方形切除(參看下圖三)。
以下依此類推。
(1) 若孟傑海綿是完成第五階段後所製成的,則製作過程中共切除多少個各種大小的正方 形?
(2) 若孟傑海綿是完成第
n
階段後所製成的,則製作過程中共切除多少個各種大小的正方形?被切除的正方形周長共多少?被切除的正方形面積共多少?
2. (1) 試證:若
x y ,
與z
都是不等於0
的正實數,則下述不等式恆成立:2 2 2
1 1 1 x y z
x y z xyz
+ + ≥ + +
.(2) 設△
ABC
的三邊長分別為a b ,
與c
,而其內切圓半徑為r
。若s
表示△ABC
周長的一 半,試證:2 2 2 2
1 1 1 1
( s a ) + ( s b ) + ( s c ) ≥ r
− − −
.3. 設
2007
次整係數多項式f x ( ) = ( x − 1)( x − 2) ( x − 2007) 1 −
等於兩個整係數多項式g x ( )
與( )
h x
的乘積,令k x ( ) = g x ( ) + h x ( )
。(1) 試證:
k (1) = k (2) = = k (2007) = 0
。(2) 試證:兩多項式
g x ( )
與h x ( )
中必有一是常數多項式。4. 設甲袋原有
k − 1
個白球與1
個黑球( k ≥ 2)
,而乙袋原有k
個白球。今自甲袋與乙袋中同時各 取出一球放入對方袋中,這動作我們稱之為一次換球;對每個正整數n
,令P
n表示n
次換球 後黑球仍在甲袋的機率。(1) 試求
P
2與P
3。(2) 設
n
為正整數,試求P
n。 (3) 試求lim
nn
P
→∞ 之值。
5. 已知:拋物線的焦點對此拋物線所有切線的對稱點都在拋物線的準線上。
(1) 試證:若一拋物線過切點
P
的切線為l
,而焦點F
對切線l
的對稱點為D
,則PD
與準 線垂直。(2) 設一拋物線的準線方程式為
3 x − 2 y − = 4 0
,且與直線3 x + 11 y + = 6 0
相切於點( 2 , 0) −
,試求其焦點坐標。
二、填充題(考試時間:2 小時)
1. 設
ω
為方程式x
3− = 1 0
之ㄧ虛根。若無窮級數2 2
1 1 1
1 3 3 3
n
ω ω
nω
+ + + + +
之和為
α βω +
,其中α β ,
為實數,則α β +
= 。2. 函數
f x ( ) = x
2+ + 4 x
2− 2 x + 10
的最小值為 。3. 在平面坐標系中,
x − + 1 y − = 2 3
之圖形所圍區域的面積為 。 4. 考慮數列1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , , , , , , , , 1 3 3 3 9 9 9 9 9 9 9 9 9
其中值為1
1
3
k− 的項共有3
k−1個( k = 1, 2, 3, )
。若前n
項之和為 50,則n
為 位 數。(log 2 = 0.3010, log 3 = 0.4771, log 7 = 0.8451)
5. 設實數
α β ,
滿足− < < π α π , − < < π β π
,且1
tan , tan 4
2 2 2
α = β = −
,則
1 1
1 cos + α + sin α + 1 cos + β + sin β
= 。6. 設
1 2
3
4 5 6
7
4 6 a a
A a
a a a
=
為
3 3 ×
的矩陣,且A
的每一列、每一行、每一對角線的總和皆相等,則方程組
1 2
3
4 5 6
7 2
4 6 2
6 x a y a z a x y z a x a y a z
+ + = −
+ + =
+ + = −
的解( , , ) x y z
為 。7. 給定三直線 1
2 1 1
21 3 3
: , :
3 2 2 4 2 4
x y z x y z
L + = − = + L − = − = +
− − −
與 31 1
: 2 2 1
x y z
L + = + =
− −
。令點
P
為直線L
1與L
2的交點,點Q
為直線L
2與L
3的交點,則線段PQ
在平面: 3 0
E x + + + = y z
上的正射影長度為 。 8. 空間中位於點(0, 2, 2)
的光源,將xz
平面上的圓2 2
( 1) 1 0
x z
y
+ − =
=
照射在
xy
平面上,則這個影像的曲線方程式為 。9. 給定正整數
n ≥ 2
;持續擲一公正的骰子,若連續兩次擲出的點數相同或擲滿n
次即停止,則 一連串擲骰子的所有可能結果有 種。10. 擲一公正的硬幣
8
次;已知擲出正面的次數小於或等於4
次,則第一次與第二次都擲出正面 的機率為 。國立台灣師範大學數學系 96 學年度 推薦甄選入學
指定項目甄試試題詳解
一、計算證明題:
1. 令
a
n代表第n
階段所切除的正方形個數。因為第一階段切除的正方形邊長為3
a
,第二階段切除的正方形邊長為 2
3
a
,…,所以第n
階段所切除的正方形邊長為3
na
;又因為第一階段切除1
1
a =
個正方形,第二階段切除a
2= 8
個正方形,第三階段切除a
3= 8
2個正方形,…,所以 第n
階段切除a
n= 8
n−1個正方形。(1) 依題意,一共切除
a
1+ a
2+ a
3+ a
4+ a
5個正方形,計算得1 2 3 4
1 8 + + 8 + + 8 8 = 4681
(個)。(2) 孟傑海綿在完成第
n
階段後一共切除1 2 n
a + a + + a
個各種大小的正方形。計算,得1 1
8 1 8 1
1 8 8
8 1 7
n n
n−
− −
+ + + = =
−
(個)。被切除的正方形周長為
1 1
2
1 1
1 1
4 1 8 8
3 3 3
8 1
4 1 8 8 4 3 4 8 1 .
3 3 3 3 8 1 5 3
3
n n
n
n n n
n
a a a
a a a
−
−
−
⋅ + ⋅ + + ⋅
−
= + + + = − = −
被切除的正方形面積為
2 2 2
1 1
2
2 1 1 2
2
1 1
1 8 8
3 3 3
1 8
8 8 9 8
1 1 .
9 9 9 9 8 9
n n
n
n n n
n
a a a
a a
a
−
−
−
⋅ + ⋅ + + ⋅
−
= + + + = − = −
2. (1) 將下列三個算幾不等式
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1 2
1 1
1 1 2
1 1
1 1 2
x y z
x y xyz x
y z
y z xyz z x y
z x xyz +
≥ ⋅ =
+
≥ ⋅ =
+ ≥ ⋅ =
相加,得
2 2 2
1 1 1 x y z
x y z xyz
+ + ≥ + +
.(2) 設
∆
為△ABC
的面積,根據海龍公式及面積公式,得( )( )( ) s s a s b s c sr
∆ = − − − =
,即
2
1 ( )( )( )
s
s a s b s c = r
− − −
利用(1),得
2 2 2 2
1 1 1 3 ( ) 1
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )
s a b c s
s a s b s c s a s b s c s a s b s c r
− + +
+ + ≥ = =
− − − − − − − − −
.3. 設
2007
次整係數多項式f x ( ) = ( x − 1)( x − 2) ( x − 2007) 1 −
等於兩個整係數多項式g x ( )
與( )
h x
的乘積,令k x ( ) = g x ( ) + h x ( )
。 (1) 因為(1) (2) (2007) 1 f = f = = f = −
, 所以(1) (1) (2) (2) (2007) (2007) 1
g h = g h = = g h = −
。又因為
g x ( )
與h x ( )
都是整係數多項式,所以
(1), (2), , (2007)
g g g
與
(1), (2), , (2007)
h h h
都是整數。
因此,
g (1)
與h (1)
必是一個1
,而另一個為− 1
,g (2)
與h (2)
,…,g (2007)
與h (2007)
也都是一個1
,而另一個為− 1
。也就是說,(1) (1) (2) (2) (2007) (2007) 0 g + h = g + h = = g + h =
, 即(1) (2) (2007) 0 k = k = = k =
.(2) 考慮
g x ( )
與h x ( )
的次數m = deg ( ) g x
與n = deg ( ) h x
;為了方便起見,不妨設m ≥ ≥ n 0
。因為f x ( ) = g x h x ( ) ( )
的次數是2007
次,所以m + = n 2007
;又由k (1) = k (2) = = k (2007) = 0
知,g x ( ) + h x ( )
被( x − 1)( x − 2) ( x − 2007)
整除,即m ≥ deg( ( ) g x + h x ( )) ≥ 2007
。由m + = n 2007
及m ≥ 2007
得m = 2007, n = 0
,故h x ( )
是常數多項式。4. 考慮
P
n與P
n−1的遞迴關係,因為n
次換球後黑球仍在甲袋的機率等於( n − 1)
次換球後黑球仍 在甲袋,且第n
次換球後黑球仍在甲袋的機率+ − ( n 1)
次換球後黑球跑到乙袋,且第n
次換球 後黑球在甲袋的機率,即1 1
1 1
(1 )
n n n
P P k P
k k
− −
= × − + − ×
.整理,得
1
1 2 1
2 2
n n
P k P
k
− − = − −
.因此
1 1
1
1 2 1 2 1 1
2 2 2
n n
n
k k k
P P
k k k
− −
− − −
− = − = −
.整理,得
( 2) 1 ( 2)
2 2 2
n n n
n n n
k k k
P k k
− − +
= + =
.
(1) 利用前面的公式,得
2 2 2
2 2 2
( 2) 2 2
2
k k k k
P k k
− + − +
= =
,3 3 3 2
3 3 3
( 2) 3 6 4
2
k k k k k
P k k
− + − + −
= =
.(2) 利用前面的公式,得
( 2) 1 ( 2)
2 2 2
n n n
n n n
k k k
P k k
− − +
= + =
.(3) 根據(2)的公式,得
( 2) 1 1 1
lim lim lim
2 2 2
n n n
n n
n n n
k k
P k k
→∞ →∞ →∞
− +
= = − +
.因為
1 1
2 − k
是小於1
的定正數,所以1 1
lim 0
2
n
n→∞
k
− =
.因此
lim 1
n
2
n
P
→∞
=
.5. (1) 設
P
至準線的垂足為H
,即PH
是P
到準線的最短距離,又根據拋物線的定義PF = PH
;已知,D
在準線上,且因為對稱點的關係,所以PF = PD
。因此PH = PD
.由
PH
是P
到準線的最短距離知D = H
,PD
與準線垂直。(2) 通過點
( 2 , 0) −
,又與準線3 x − 2 y − = 4 0
垂直的直線方程式為1
: 2 3 2 ( 2) 3 0 4 L x + y = ⋅ − + ⋅ = −
. 準線與直線L
1的交點坐標為4 20
13 , 13 D −
。現在求
4 20 13 , 13 D −
點對切線3 x + 11 y + = 6 0
的對稱點,過
D
與切線相垂直的直線方程式為2
4 20
:11 3 11 3 8
13 13
L x − y = ⋅ − ⋅ − =
.切線與直線
L
2的交點為7 9 13 , 13
M −
。利用FD
的中點為M
,得焦點F
的坐標為10 2
13 13 ,
.
二、填充題:
1. 2. 3. 4. 5.
15 13
26 52 24 29
− 12
6. 7. 8. 9. 10.
1 , 1 , 1 2
− −
2 78 3
2
2 0
x + y = 或
22 0 0
x y
z
+ =
=
3 (5 1) 2
n
− 22
163
1. 令此級數為S
,套用無窮等比級數公式,得1 3
1 3
1 3
S = − ω = − ω
.
將分子與分母同乘
4 + ω
,得2
3(4 ) 3 12
(3 )(4 ) 12
S ω ω
ω ω ω ω
+ +
= =
− + − − +
.因為
ω
2+ + = ω 1 0
,所以3 12 12 3 1 12 13 13 S = ω + = + ω
+
.故
12 3 15 13 13 13 α β + = + =
。2. 將
f x ( ) = x
2+ + 4 x
2− 2 x + 10
表為2 2 2 2
( ) ( 0) (0 ( 2)) ( 1) (0 3) f x = x − + − − + x − + −
,即
f x ( )
代表x
軸上的動點P x ( , 0)
至定點A (0 , − 2)
與B (1 , 3)
的距離和。其最小值發生在當P
是x
軸與直線AB
的交點時,又直線AB
的方程式為5 x − = y 2
. 將P x ( , 0)
代入解得2
x = 5
,而最小值為2 2
(0 1) ( 2 3) 26
AB = − + − − =
.3. 因為
x − + 1 y − = 2 3
的圖形對稱x
軸與y
軸,所以只需畫x − + 1 y − = 2 3
在第一象限的圖形即可知道整個圖形。現在設
x ≥ 0, y ≥ 0
,此時x − + 1 y − = 2 3
變成1 2 3
x − + − = y
. (1) 當x ≥ 1, y ≥ 2
時,x + = y 6
。(2) 當
x ≥ 1, y ≤ 2
時,x − = y 2
。 (3) 當x ≤ 1, y ≥ 2
時,x − = − y 4
。 (4) 當x ≤ 1, y ≤ 2
時,x + = y 0
。 將這四部分畫圖如下左圖,
現在算它們的面積:畫直線
x = 1
及y = 2
將該區域分成一三角形、一矩形、兩個梯形等四個 可以算面積的形狀(如上右圖),其中三角形的面積為9
2
,矩形面積為 2,兩個梯形面積分別 為4
與5
2
。故在第一象限所圍出的面積為9 5
2 4 13 2 + + + = 2
因為對稱的關係,所以圖形圍出的總面積為4 13 ⋅ = 52
。4. 將數列分成每
3
k−1( k = 1, 2, 3, )
個一組,根據題意每組和皆為1
。若前n
項和為50
,則n
是第50
組的最後一項;又因為第一組有1
項,第二組有3
1項,…,第50
組有3
49項,所以50
1 2 49
3 1 1
501
1 3 3 3 3
3 1 2 2
n −
= + + + + = = ⋅ −
−
.因為
1
50log 3 0.3010 50 0.4771 23.5540
2 ⋅ = − + ⋅ =
,所以
n
為24
位數。5. 令
tan a θ 2
=
,可得2 2
sin , cos 1
2 1 2 1
a
a a
θ θ
= =
+ +
.又利用
cos cos
2sin
22 2
θ θ
θ = −
及sin 2sin cos 2 2 θ θ
θ =
,可得2
2 2
1 2
cos , sin
1 1
a a
a a
θ = − θ =
+ +
.將上述公式代入所求的式子,得
所求的和 2 2
2 2 2 2
1 1 5 17 29
1 0.5 2 0.5 1 ( 4) 2 ( 4) 12 6 12
1 1
1 0.5 1 0.5 1 ( 4) 1 ( 4)
= + = − = −
− ⋅ − − ⋅ −
+ + + +
+ + + − + −
.
6. 從假設條件可得等式
3 4 1 5 2 6 1 2
3 4 5 6 2 4 6
7 4 6 7
10 4 11 ,
a a a a a a a a
a a a a a a a
+ + = + + = + + = + +
= + = + + = + + = +
其中
7 + a
3+ a
4= 10 + a
3推得a
4= 3, a
2+ + 6 a
6= + 11 a
6再推得a
2= 5
,即總和為2 4
4 + a + a = + + = 4 5 3 12
. 將其和代入關係式12 11 = + a
6= 10 + a
3得a
3= 2, a
6= 1
, 代入關係式12 = + + 7 a
1a
2= 12 + a
1得a
1= 0
, 代入關係式12 = + + a
14 a
5= + 4 a
5得a
5= 8
。 綜合這些計算,方程組為7 5 2
2 4 6 2
3 8 6
x z
x y z
x y z + = −
+ + =
+ + = −
利用高斯消去法或加減消去法,可以解得
1
1, , 1
x = − y = − z =
.7. 首先求
P Q ,
兩點的坐標,P
點坐標為2 1
2 3 7
3 2 (1 , 3 , 3)
2 5
1 3
4 2
x y
x y x y P
x y
+ −
=
− = −
⇒ ⇒ = −
− − − = −
=
− −
.
Q
點坐標為1 3
2 5
4 2
( 3 , 1 , 1)
1 1 2
2 2
x y
x y
x y x y Q
− −
=
− = −
− − ⇒ ⇒ = −
+ + + = −
=
−
.
接下來計算線段
PQ
,P
點至平面E
的距離d P E ( , )
及Q
點至平面E
的距離d Q E ( , )
如下:2 2 2
2 2 2
2 2 2
(1 ( 3)) (3 1) ( 3 1) 6 ; 1 3 3 3 4
( , ) ;
1 1 1 3 3 1 1 3 2
( , ) .
1 1 1 3 PQ
d P E
d Q E
= − − + − + − − = + − +
= =
+ +
− + + +
= =
+ +
利用畢氏定理,線段
PQ
在平面E x : + + + = y z 3 0
上的正射影長為2
2 2 2
4 2 2
( ( , ) ( , )) 6 78
3 3 3
PQ d P E d Q E
− − = − − =
.8. 將
xz
平面上的圓2 2
( 1) 1 0
x z
y
+ − =
=
表為參數式( , x y z , ) = (cos , 0 , 1 sin ) t + t
,t
為實數。若通過點
(0 , 2 , 2)
與(cos , 0 , 1 sin ) t + t
的直線與xy
平面相交於點( , x y , 0)
,則cos 0 0 2 (1 sin ) 2
0 2 0 2
t t
x y
− = − = + −
− − −
,解得
2 2
cos , sin
2 2
x y
t t
y y
= − = +
− −
.利用
cos
2t + sin
2t = 1
,得2 2
2 2
2 2 1
x y
y y
− + + =
− −
,整理,得
2
2 0
x + y =
.9. 設總共擲骰子
k
次,討論如下:(1)
i < n
的擲法第一次擲有
6
種可能,之後的每一回都不能與上一回相同,故有5
種可能,而最後第i
回 與第i − 1
回相同,只有1
種,所以共有6 5 ×
i−2× 1
種。(2)
i = n
的擲法表示到了第
n − 1
回時還沒有重複的點數,而最後一回不管重複與否都要結束,故有6 5 ×
n−2× 6
種結果。一共有
( )
1
2 2
2
6 5 1 6 5 6 3 5 1 2
n
i n n
i
− − −
=
× × + × × = −
∑
種。
10. 設
A
代表前兩次都擲出正面的事件,B
代表擲出小於或等於4
次的事件。2 6
0 6
4 8
0 8
1 1
( ) 4 2 1 6 15 22
( | )
( ) 1 1 8 28 56 70 163
2
i i
i i
P A B C P A B
P B C
=
=