許教授講故事

(1)

許教授 ^講故事

◎許志農／台灣師範大學數學系尼采在《拜火教教主如是說》這本書裡，

有一段耐人咀嚼的哲學思考：「當你見到猴子笨拙的行為時，你該覺得好笑還是自卑呢？到底是取笑猴子的不靈活，笨手笨腳的行為，還是對笨拙的猴子可以演化出人類，而我們似乎很難比牠們進步得更多感到自卑呢？」

人類之所以異於動物，主要是具有靈巧的雙手與聰明的大腦。據說一百多年前當科學家還無法了解頭腦內部結構時，就以頭殼的外型來測量智商的多寡。就是科學昌明的現代，還是有很多人相信皮指紋分析可以找出孩子的才能，用指紋的「渦紋」和「蹄狀紋」兩種紋路來判斷性格及命運傾向。

就讓我們來欣賞一道具有靈巧雙手，但頭腦普通的猴子所玩的把戲：

1 有一隻會洗牌的猴子，牠只會洗四張牌，

而且每次都用同樣的模式洗牌。猴子的主人拿出分別寫著 1,2,3,4 的四張牌給猴子，並將牌子排好，讓由上而下順序為編號 1,2,3,4 的四張牌，如下圖的第一列所示。

猴子洗第一次牌後不讓主人看牌子的順序，接著洗第二次牌仍然不給主人看，然後猴子洗第三次牌並讓主人看牌號的順序。這時主人發現從上而下的牌號為

2, 4, 1, 3.

猴子的主人想了一下說：「我知道猴子洗第一次牌後，牌號從上而下的順序。」你知道嗎？

洗牌的方式有很多種，但無論如何洗，最後它總是 1,2,3,4 這四個數字重新排列，又四個數字排成一列計有

4! 4 3 2 1 = × × × = 24

種不同的排法，所以只需仔細討論這 24 種排法中，哪一種可以在經歷三次同樣操作後，順序變成 2,4,1,3 即可。我們把這 24 種排列（以下稱為洗牌法）根據其特性分成三大類：

(1) 有固定點的洗牌法

如下圖所示，在洗一次牌後，順序為 2, 4, 3, 1.

將這順序跟開始的

1, 2, 3, 4 比較，將會發現 3 號牌沒有變動。

(2)

像這種有固定點的洗牌法，無論洗幾次，固定的牌還是紋風不動。在猴子洗牌遊戲中，洗三次之後並沒有固定不動的牌，所以猴子會的洗牌法不屬於這種。

為了節省操作空間及方便解釋，在這裡我們引入函數的關係來解釋洗牌；前面所提的洗牌法

（將 1 洗到 4 的位置，2 洗到 1 的位置，3 洗到 3 的位置，4 洗到 2 的位置）也可以用如下的函數

f

來表示。

從圖中不難發現水平的對應箭號→就是不動牌 3 的位置。當以這樣的洗牌方式洗兩次時，會對應到合成函數

f

²

=  f f

的結果，圖示如下。

此時，

1 號牌會洗到

2

(1) ( (1)) (4) 2

f = f f = f =

的位置，

2 號牌會洗到

2

(2) ( (2)) (1) 4

f = f f = f =

的位置，

3 號牌會洗到

2

(3) ( (3)) (3) 3

f = f f = f =

的位置，

4 號牌會洗到

2

(4) ( (4)) (2) 1

f = f f = f =

的位置。

不過，從圖中的合成更容易看到這樣的洗牌效果。

(2) 分成兩群的洗牌法

有一種比較奇怪的洗牌方法，例如洗完之後從上而下的牌號為

2, 1, 4, 3.

這種洗牌法所對應的洗牌函數

f

為

從洗牌函數

f

的合成中發現，無論洗幾次總是 1 與 2 位置的牌互相輪換，3 與 4 位置的牌互相輪換。又(1)中所舉例的洗牌函數

因為 3 的位置固定不動，其餘位置是 1→4→2

→1 的輪換，所以也算是分成

{3}

與

{1, 2, 4}

兩群的洗牌法。

猴子所對應的洗牌函數

f

，因為合成三次之後為

它是 1→3→4→2→1 的輪換，所以猴子洗牌的函數也不屬於這一類。

(3)

(3) 輪換式的洗牌法

這一類型的洗牌法就是沒有固定點，也沒有分成兩群自己輪換的洗牌方法，即四張牌一起輪換的意思。我們可以用窮舉法將四張牌一起輪換的洗牌函數

f

列舉如下，共計六種。

因為是四張牌輪換，所以四次之後會輪到原來的位置，以

f

₁驗算如下。

也就是說，

f

₁⁴

( ) i = i i ( = 1, 2, 3, 4)

，即

f

₁⁴是把每個元素對到自己的函數，稱它為單位函數。因為

f

₁⁴

, f

₂⁴

, f

₃⁴

, f

₄⁴

, f

₅⁴

, f

₆⁴都是單位函數，又猴子洗牌函數

f

也是其中之ㄧ，所以

4

( ) ( 1, 2, 3, 4)

f i = i i =

。利用合成函數的性質

4 3

( ) ( ) ( 1, 2, 3, 4)

f i = f  f i = i i =

知道

f

與

f

3互為反函數。因為

所以

或

也就是說，猴子的洗牌函數

f = f

₂。我們驗算它的三次合成，得

此與猴子洗牌三次之後給主人看的順序一致。

故猴子洗一次牌後的順序為

(4)

阿基米德的現代性



◎ 洪萬生／台灣師範大學數學系在一些數學史的著作中，阿基米德總是被視

為積分學的先驅人物。誠然，阿基米德所使用的逼近法，的確具有現代積分的意義。不過，如果仔細對比定積分(definite integral)與他的曲線形求積（譬如拋物線截區求面積），我們可以發現阿基米德的逼近法與現代的方法，有著本質的差異。這種「對比」容易被忽略的原因之一，

似乎就在於他為了避開取極限而使用的窮盡法 (the method of exhaustion)，由於涉及古希臘哲學家亞里斯多德的「潛在無窮」(potential infinity)，而成為眾所矚目的焦點。事實上，

這也可以解釋斯坦(Sherman Stein)的《阿基米德幹了什麼好事？》何以將窮盡法列為討論單元之一。

針對級數求和而言，所謂潛在無窮，是指吾人不能將無窮多項加起來。因此，當阿基米德考慮拋物線截區求面積時，他利用「有限多項的等比級數之和」逼近這一面積，然後，利用窮盡法證明它們最終必須相等。在這個論證中，阿基米德正如同稍早的歐幾里得一樣，是不可能將無窮多個正量加起來，而這正是「真正無窮」(actual infinity)的意涵。

然則，阿基米德的潛在無窮究竟是什麼呢？

以曲線區域面積的逼近為例（參考圖一有關拋物線截區之逼近），《阿基米德寶典－失落的羊皮書》(The Archimedean Codex, 2007)提供了一個「想像的對話」：

阿基米德在曲線區域內塞進一些三角形，而留下空白處之大小大於一顆沙

粒。來了一位批評者說：「還是有一顆

沙粒的差別。」「哦！是這樣？」阿基米德喊道：「好吧！我就再重複使用我

的機制更多次。」結果空白處之大小小於一顆沙粒。「等一等，」批評者說：「空白處還是比頭髮寬。」阿基米德就（用同樣的機制）繼續下去。空白處總是小於批評者所提的大小。這樣的對話可以無止境的繼續下去。這是潛在無窮。

顯然，根據這種進路以及歸謬法（合起來通稱為窮盡法），阿基米德完成了許多重要的求（面 / 體）積工作，而締造了希臘數學的高峰。

〈圖一〉

上述這一類論述，是在 2001 年 1 月以前，

有關希臘數學史的大要。讓我們引述《阿基米德寶典－失落的羊皮書》的作者之論斷如下：

希臘人把數學發展成精確的、嚴格的科學。他們避免了矛盾及錯誤。這麼做的過程之中，他們也避開了無窮的陷阱。

他們的科學立基於你想要怎麼大就怎麼大，或你想要怎麼小就怎麼小的數目，但絕對不是無窮大或無窮小。想要怎麼大就怎麼大的數目，是為「潛在無窮大」，但不是真正的無窮大。希臘人不用真正的無窮大。

本書作者之一雷維爾‧內茲(Reviel Netz)為舉世知名的阿基米德權威學者，目前任教於史丹佛大學。他出身劍橋大學科學史系，曾受教於希臘科學史大師洛伊德(Geoffrey Lloyd)，因此，這一版本應該是希臘數學史的標準敘事。

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現在，《阿基米德寶典－失落的羊皮書》的再度問世，加上二十世紀才誕生的同步加速器、

資訊與顯影等高科技之應用，我們乃得以揭露了前所未知的秘密，而敦促數學史家改寫這一重要的篇章。那就是：阿基米德竟然實際上將無窮多項加起來，還有，他甚至進一步去比較兩個無窮集合。後者這一極有膽識的運算，史家原本認為直到十九世紀，德國偉大數學家康托 (Georg Cantor, 1845-1918) 創造超限集合理論時，才正式進入數學舞臺。

這一部於 1998 年 10 月 29 日在紐約佳士得拍賣場，以高價 220 萬美金售出的古書，是教士約翰‧麥隆納斯(Ioannes Mylonas)在西元 1229 年 4 月 14 日所抄寫的祈禱書，為的是在耶穌復活週年日，當作禮物獻給教會。至於所使用的再生羊皮紙，則是取原載有阿基米德的著作

《平衡平面》、《球及圓柱》、《圓的測量》、《螺線》、《浮體》、《方法》以及《胃痛》，以及其他內容的羊皮書，刮掉文字再度使用，因而這部祈禱書也稱為再生羊皮書。還有，這些再生羊皮紙原先書寫的文章，則大約是出現在西元 970 年。

除了阿基米德的上述著作之外，這一本再生羊皮書還保存了雅典一位最偉大演說家的講稿、古代對亞里斯多德的評論，也包括了一些拜占庭的文章、十世紀末的聖歌，和一位聖人的傳記。另有七張書頁之手稿，目前還無法辨別身分。因此，

這一本再生羊皮書，簡直就是「一座擁有特殊古代手稿的小圖書館」。

2001 年 1 月，雷維爾‧內茲邀請日本大阪大學的希臘數學史家齊藤憲(Ken Saito)一起研究阿基米德的《方法》(The Method)。這一份西元 970 年的手抄稿當然是《阿基米德寶典－失落的羊皮書》在 1998 年再度問世時，數學史家頗感興奮的原因。這是因為 1906 年海柏格(Johan Ludwig Heiberg)在君士坦丁堡發現此一再生羊皮書時，最震撼希臘史家的就是它見證了阿基米德運用機械方法(mechanical method)，而發現

體積公式。後者這一嚴密證明，無疑結合了前述的逼近法與窮盡法，其中主要牽涉到潛在無窮的概念。然而，海柏格在再生羊皮書上無法讀到的，但經由 2001 年 3 月以紫外線照射的高解析數值影像，卻足以顯示它運用了不折不扣的真正無窮的概念。

根據內茲的報導（見《阿基米德寶典－失落的羊皮書》第 8 章），當阿基米德證明《方法》

第 14 命題：「圓柱截體體積等於外圍正立方體體積的六分之一」時，他三度指出：某某幾何量的集合會與其他幾何量的集合，在數目上相等。就本例而言（請參考圖二），請看內茲的解說如下：

任取一切片，就產生立方體的一個三角形，它立於長方形的一個線段之上。而阿基米德指出，組成三角柱的各個三角形的數目，與組成長方形的各線段的數目，兩者是一樣的。

這一進路令人想到十六世紀的卡瓦列利(B.

Cavalieri, 1598-1647)所提出的所謂「卡瓦列利原理」：「給定兩個立體一般高，如果等高處的截面面積相等，則這兩個立體體積相等。」不過，

卡瓦列利卻小心翼翼地避開了「那些無窮多個截面是否可以疊回成為原來立體」之問題，理由無他，他正是不敢觸及真正無窮之概念。

○

^{註相反}

地，顯然由於連結到真正無窮之概念，於是，阿基米德毫不猶豫地將無窮多個項加起來。總之，

內茲告訴我們說：「命題 14 不再用到物理－但在那裡，無窮個東西相加再也不是隱藏式的，而是明確的，立基於無窮求和的法則。」而這，也就是 2001 年 3 月史家得以確定的阿基米德現代性表現之一。

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阿基米德數學的另一個現代性，則是一個他稱之為「胃痛」的組合學問題：將給定正方形切割成 14 片之後（參考圖三），再重新拼湊成為正方形的方法有多少種？

〈圖三〉

阿基米德的答案是：17152 種！這個組合問題，

它出現在這一本再生羊皮書的最後一頁，現在就以《胃痛》來表示，卻是讓內茲花了很多力氣、

並且得到數學家的最多幫忙，最後才得以釐清。

至於成功解讀的關鍵，則在於吾人「對於將要解讀的文章的可能意義，能夠做某種猜測，你才可能有所解讀。」因此，「海柏格之所以無法解讀

《方法》之有關無窮的段落或《胃痛》，這是最大的原因；他不曾預期有真正的無窮，或者組合學。」這個問題的正確答案，是電腦科學家比爾‧

卡特勒(Bill Cutler)率先提出，後來，幾位著名的數學家包括鼎鼎大名的隆‧格拉罕(Ron Graham)及金芳蓉夫婦檔，都只靠紙與筆，好比阿基米德只靠紙莎草及蘆葦筆一樣，而給出了同樣的答案。

本書作者除了前述的雷維爾‧內茲之外，還有修復此一再生羊皮書的計畫主持人威廉‧諾爾 (William Noel)，他是華特絲美術館(Walters Museum)手稿及珍本部門策展人，學術專長為 1020 年代來自英國坎特伯利的教會手抄本裝飾畫。諾爾自稱是「阿基米德的雜役」，凡是修復的協調分工與尋求高科技的支援，甚至於訪問這一再生羊皮書曾經典藏之處，都由諾爾負責。事實上，他也是接受這本再生羊皮書擁有者（在本書中被稱為 B 先生）委託的主要負責人，所以，

他對於這一再生羊皮書的整個修復及解讀過程，提供了鉅細靡遺的報導，其中甚至引述了他們的團隊之一些相關的電子郵件之內容，再現了部分研究活動，頗讓讀者有親臨其境之感。

另一方面，數學史家內茲則專司解讀工作。

由於他曾出版《希臘數學演繹法的形成：認知歷史的研究》(The Shaping of Deduction in Greek Mathematics: A Study in Cognitive History, 1999)，所以，內茲研究古代數學文本時，基於認知科學之洞識，總是想知道：

數學經驗是什麼？它怎樣印入心（靈之）眼 (the mind’s eye) 中？我確信要了解其意涵，我們必須能夠閱讀正確翻譯的數學，此種翻譯必須保持原作者的架構，因為從此架構我們可看出古人是怎樣看待他們的科學的。

簡單地說，從認知科學觀點切入，文本的形式 (form)與內容(content)同樣重要，認知與邏輯，抽象觀念與具體圖像，終究無法分離！因此，「經由研究圖形及符號、書頁及手稿的認知歷史，我們可能會進一步倒回去了解敘拉古的阿基米德的頭腦。」總之，內茲在獲邀參與這一研究計畫時，他曾「狂野幼稚、狂喜而令人受不了的尖叫……」難怪他在解釋過阿基米德的名字的由來後，提供了如下的「粉絲物語」(fans’

note)：

在其純科學的作品中，阿基米德一直讓東西溢出浴缸：藝術與科學，美麗與秩序。讓我們開始觀看，這些元素如何在阿基米德的作品中聯手出現。

誠然，在內茲的書寫中，我們總可以讀到他的研究過程中所流露的狂喜，這對於一位歷史學家的

「隔離的智慧」而言，的確是一大考驗，不過，

看起來內茲倒是蠻甘之如飴。

最後，我們針對本書的書寫策略，提供一點簡要的評論。兩位作者在書寫本書時分工合作，

其中涉及希臘數學史與阿基米德手稿解讀工作者，一概由內茲負責，其他則由諾爾執筆。就此

(7)

而言，本書可以說是科普寫作的一個創舉。譬如說吧，本書第 1、3、5、7、9、11 等奇數章，都出自諾爾，至於偶數章第 2、4、6、8、10 以及

（第 12 章）結語章，則是內茲的創作。序文則是兩人共同創作。這種安排顯然是經過精心設計。通常，諾爾書寫的部分比較像「偵探」報告，

其中有帶著電視節目製作人走訪伊士坦堡、聖城耶路撒冷以及西西里（阿基米德的故鄉），也有多方面說明如何利用各種人力資源與高科技，以利於再生羊皮書之解讀工作。相對地，內茲書寫的部分則側重阿基米德數學之相關論述，幫助讀者深入了解希臘數學史，內容則極有質感。由於內茲認為文本內容離不開形式，因此，他在說明如何解讀此一再生羊皮書時，總是一再強調手抄本形式的重要性。這一進路無形中呼應了高科技的顯影工作之策略，因而可以和諾爾所書寫的比較具有實作(practice)特色的奇數章融洽銜接。換句話說，由於內茲強調古代文本的認知意義，因此，它的內容 vs.形式的意義得以凸顯，

同時，古代文本的一個現代詮釋，顯然也必須顧及詮釋者的理論與實作之結合。這一點，當然也讓本書的數學內容說明，顯得「家常可口」，而不致於乾澀難以下嚥。

總之，面對本書，外行人當然可以看熱鬧－

至少可以發思古之幽情，分享世界文化遺產，至於內行人呢，則一定可以看出門道。這本來就是一般科普書籍期望獲得的讀者反應。不過，本書論述阿基米德數學時，堅持實質內容之鋪陳（譬如第 6 章），而且，也沒有在提及達文西時東拉西扯（科普作家通常喜歡談論名人軼事，以降低內容的硬度），的確是科普書籍少見的氣魄，值得我們欽佩與效法。還有，筆者希望中小學數學教師有機會精讀本書第 4 章〈視覺科學〉，從容領會「希臘圖形的邏輯」以分享阿基米德的數學經驗，那麼，在教學上一定可以帶來很多的啟發才是！

參考文獻：

洪萬生(2007).

《好個阿基米德》科學月刊 38(8): 630-632 斯坦 (2004).

《阿基米德幹了什麼好事！》台北：天下文化 Dijksterhuis, E.J. (1987).

Archimedes.

Princeton, NJ: Princeton University Press.

Netz, Reviel and William Noel (2007).

The Archimedes Codex.

London: Weidenfeld & Nicolson.

Stein, Sherman (1999).

Archimedes:

What Did He Do Besides Cry Eureka?

Washington, DC: MAA.

○

^註^E

第五世紀中國的祖沖之(429-500)在證明球體積公式時，也提出此一原理的類似版本：「夫疊棊成立積，緣冪勢既同，則積不容異。」只是他的無窮觀念究竟如何，我們還無以索解。

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數學繪圖軟體

◎ 陳禾凱／台北縣立錦和高中

GeoGebra 簡介

GeoGebra 是由Markus Hohenwarter 所設計的數學繪圖軟體，曾榮獲歐洲多項軟體大獎，一開始是他在 2001 年於奧地利 Salzburg 大學寫有關數學教育博士論文的程式計畫，現在已發展成多國語言（30 多種），跨平台（Window、Mac、Linux）

的數學繪圖軟體，並有美國科學基金會的資助，

繪圖功能持續加強中。

GeoGebra 這軟體的名稱拆開來是

Geo+Gebra，顧名思義是結合了幾何(Geometry) 與代數(Algebra)的教育軟體，若在繪圖區畫出圓或直線，代數視窗就會出現對應的方程式，反過來若是輸入代數方程式，繪圖區便出現其圖形，操作的感覺就像是把 GSP 及 Graphmatica

○

^註^E

A融合在一起，代數算式和圖形，一左一右，兩個同時出現，既生瑜又生亮。GeoGebra 把幾何圖形和代數方程式的關係緊密的結合在一起。

GeoGebra 和 GSP 的比較

提到數學的繪圖教學軟體，大家第一個想到的便是 GSP(Geometry Sketch Pad)，因此筆者特地在此將兩種軟體比較一下（如附表），並針對其中數項發表個人的看法。

1. 首先是價格，這可是很重要的！教學軟體要能夠普級，影響很大，筆者在電腦教室以學校所購買的 GSP 教導班上同學們繪製圓錐曲線的圖形，一堂課短短的 50 分鐘，學生們均

意猶未盡，紛紛詢問何處可下載試用版軟體，當我告訴他們網路上沒有試用版可供下載

○

註，要回家用只有自行購買，學生們均十分失望，無法想像擁抱數學竟如此痛苦，

要花費 1600 元，才能享受繪圖樂趣。如此一來，教師若在學校以 GSP 教授數學繪圖，無異成為推銷員。若是以GeoGebra 來進行教學就沒這個困擾。

2. 由於 GeoGebra 是以 Java 程式語言撰寫，Java 的優缺點，如支援多國語言、跨平台、執行速度慢，GeoGebra 也都有，不過在比較舊的電腦才感覺出速度慢的困擾，以筆者的 Acer 512TE 筆記型電腦為例（7 年前的機型），硬體配備： CPU：Pentium III 680HZ 256MB memory，第一次執行 GeoGebra 時，以為是當機，費時 15 秒才見繪圖畫面出來，在繪圖過程中若按 Delete 鍵要刪除某物件，或是按 Ctrl-Z 要回復前一步驟，都要停個 1 秒多才會顯示結果，還好其他的繪圖操作一切順暢，當然若使用的電腦機型不要那麼舊，如 Pentium IV 512MB memory 等級以上的電腦，

就感覺不出上述的情形。

3. GeoGebra 以 Java 撰寫的最大好處是將圖形儲存成網頁時，可以 100％轉換為網頁畫面，

GeoGebra 還支援 Latex 語法，可在畫面上顯示根號、次方及分數，這都是 GSP 所望塵莫及的，因此數學家在網路上要討論數學問題

(9)

時，用 GeoGebra 來繪圖是一個很好的選擇。

4. 國內引進 GSP 較早，使用 GSP 的師生較多，

相對之下 GeoGebra 似乎乏人問津，這可以由 Google 蒐尋相關的中文網頁看出來，但若看看世界各地的使用情形，以 Google 輸入 Geometry sketchpad 及 GeoGebra 分別所找到的網頁數 387000 及 362000 來看，兩者在這世界的使用人口差不多，但以 GeoGebra 的支援多國語言特性，使用 GeoGebra 可稱的上是與世界接軌。

5. GeoGebra 號稱是高中數學的教學軟體，當然有許多和高中數學直接相關的指令，如輸入

2 2

1 x − xy + y =

，可畫出來斜方向的橢圓，

右下方有指令視窗，以滑鼠下拉可看到一大串的指令，如極限、單位向量、切線…等，

另外還有許多指令有待更正以符合我國現行高中教材，如：單位垂直向量（單位法向量）、第一軸線（長軸）、第二軸線（短軸）…等，

不過瑕不掩瑜，這些小問題是可以克服的。

6. 若對 GeoGebra 的使用有任何問題，可上 GeoGebra 的討論區和世界各地的使用者請教解決方法，也可對 GeoGebra 的未來發展提出建議，是要多加些什麼功能或指令，程式設計者 Markus Hohenwarter 還會親自回答。

7. 學習數學繪圖軟體並不難，主要是利用滑鼠

來點選圓規或直尺工具來畫圖，因此操作 GSP 和操作 GeoGebra 其實大同小異，若是有操作過 GSP 的經驗，學習 GeoGebra 應很快就可熟悉，此外筆者針對高中課程常見的數學題目圖形以 GeoGebra 繪製，並用 Wink（哦!又是一個好用的 freeware）錄下畫面，讓初學者看一眼也知道如何來使用 GeoGebra，有興趣的人歡迎來錦和高中數學網學習。

後記

資訊科技的進步及網路的無遠弗界大大地改變了我們的生活、及學習方式，回想二十年前筆者念大學時對於數學繪圖軟體的印象，是系上工作站中一個神袐軟體，如今任何人只要利用網路就可輕鬆下載回來安裝，實在不可同日而語。

○

^註^E

1. Graphmatica 也是一個免費數學繪圖軟體，可輸入函數或方程式，立即顯示出圖形，建中數學科網站有中文使用手冊可供下載。

2. GSP 的一般試用版已不准放在網頁中供人下載，故師大數學、建中數學網站中的試用版，已悄悄的取消，GSP 的官方網站有提供 Instructor Evaluation Edition 以供教師評估是否購買作為教學用途之用，有效期限 60 天。

GSP 及 GeoGebra 的對照表（評分最高 5 分，最低 1 分，個人主觀意見，僅供各位參考）

項目 GSP 評

分 GeoGebra 評

分價格校園版 50000 元、個人版 6000 元。

學生版 1600 元。 1

免費，自行至網站下載安裝。

5

執行速度

良好。

5

較舊的電腦機型會有：

起動稍慢，按 Ctrl-Z 會停頓一下才復原到前一動作，其餘一般運作良好。

若硬體為 Pentium IV 512MB memory 以上配備，則沒有上述問題。

4

繪圖工具基本的線及圓。

3

有較多的繪圖工具，如：半圓、切線、極限、

中垂線、角平分線，過 5 點的圓錐曲線…等 4

自訂工具可。 5 可。 1

相關書籍資源

中文書:

聯經出版社：國中幾何動動動網站 :

陳創義、官長壽等有豐富的範例檔案 Gsp 的官方網站

http://www.dynamicgeometry.com/

4

中文書: 無。

網站:

錦和高中數學教學網。

GeoGebra Forum：討論區（英文、法文…等）

GeoGebraWiKi：任何人均可上傳提供檔案，

分享教育資源（中文、英文、法文…等）。

3

輸出為網頁轉換為 JavaSketchPad，但對於某些

繪圖指令不支援。 3

GeoGebra 是以 Java 語言設計的，100％可轉

換為網頁。 5

可畫出的高中數學圖

1.函數圖，動點軌跡圖。

2.能用動點軌跡來畫拋物線、橢圓、

雙曲線。

3.空間圖形可利用 3d 坐標架模擬描繪。

4

1.函數圖，動點軌跡圖。

2.可輸入代數方程式把拋物線、橢圓、雙曲線等的圖形畫出來（類似 Graphmatica）

3.有指令可直接畫出積分的上下和的連續矩形。

4. 空間圖形需另外下載 GeoGebra3D 來繪圖 5

文字工具

可在圖形上加入文字（不支援 Latex

語法）。 3

可在圖形上加入文字（支援 Latex 語法，可顯示 2、 1

3 、根號及分數）。 5

(11)

◎ 吳孝仁／國立政大附中探討空間中兩條相異直線的關係，在教學的過

程中一般都是從這樣的分類開始：

1. 兩條直線在同一個平面上

這時候直線的關係對學生來說是明顯的舊經驗，平行或不平行，不平行會相交，交點也在兩條直線所處的平面上。

2. 兩條直線不在同一個平面上

這時候兩條直線不平行但也不相交，歪歪斜斜的，

所以叫一組歪斜線。

再來從課本裡學習到經典例題：如何去計算一組歪斜線的公垂線？這也讓學生了解到確實有公垂線的存在；如果再加上幾何上的觀察，那學生應該會更有感覺了。

幾何上是這樣解釋的：假設有兩條歪斜線

,

a b

。考慮包含

a

而平行

b

的平面

π

，把直線

b

投影到

π

上為

b′

，那麼

a

與

b′

會有交點

P′

。因為投影的關係，所以

P′

會是

b

上的某個點

P

的投影，

那麼直線

PP′

就是歪斜線

a b ,

的公垂線。

這篇文章想要做的是，由一些代數條件來看一組歪斜線與其公垂線之間的關係；希望能提供給各位先進作為深入教學或是概念連結的一些素材。

在這裡先規定一些符號，兩條相異的直線

,

a b

。方向（向量）分別為

a b ,

。另外

a b ,

上各有一個點

A B ,

，於是如此一來我們就可以寫出

,

a b

的直線方程式，但是這待會再談。先觀察到一件事情：如果

a b ,

是一組歪斜線，那麼

a b ,

不會平行。另外，

 AB

也不會與

a b ,

共平面，否則

a b ,

是同一個平面上的不平行直線，這樣會有交點。

換句話說：

,

a b

是一組歪斜線

⇒ , , a b  AB

不共平面事實上，

a b , ,  AB

不共平面也是充分的，即

a b ,

是一組歪斜線

⇔ , , a b  AB

不共平面我們注意到了

a b , ,  AB

不共平面可以轉化為代數條件，即是

a b , ,  AB

所張的平行六面體體積非零。

換句話說：

,

a b

是一組歪斜線

⇔

* det * 0

a b AB

 

  ≠

 

  

^(#) 既然

a b ,

間有一條公垂線，所以條件(#)似乎保證了公垂線的存在性。我們繼續討論下去，取

,

a b

的外積

a * × b *

，方向上垂直

a b ,

。所以公垂線的方向有了，但是要成為

a b ,

的公垂線，還必須保證以

a * × b *

為方向的直線與

a b ,

各有一個交點，所以這兩個交點存在與否就決定了

a b ,

的公垂線。

(12)

假設兩條直線

a b ,

的參數方程式：

: *

: * ,

a X A a t b X B b s t s

 = +

 = + ∈

 �

直線

c

的方向為

a * × b *

。試想，如果

a b ,

上各有一點

A B

₀

,

₀落在直線

c

上，那麼由前述討論，直線

c

就是

a b ,

的公垂線。

考慮方程組

( ) ( )

( )

[ ]

* * * *

*

, , 1 * * * (##) A a t B b s a b

a t b s A B a b a

t s b a b

AB

+ = + + ×

⇔ − + − = ×

 

 

⇔  −  = ×

 

  

因為

a b ,

是一組歪斜線

[

0 0

]

* det * 0

*

(##) , , 1 a

b AB a

b AB

t s

 

 

⇒   ≠

 

 

 

 

⇒ −  

 

 

⇒



^{是可逆矩陣} 有實數解

假設

0 0

*

* A A a t B B b s

= +

以及直線

c

(

⁰ ⁰

) ( )

: * * ,

2 A B

c X + a b r r

= + × ∈�

於是

A B

₀

,

₀分別落在

a b ,

上而且

0 0

* *

A − B = a × b

另外

( ) ( )

0 0

0

0 0

0

* * 1 ,

2 2 2

* * 1 ,

2 2 2

A B a b

r X A

A B a b

r X B

+ ×

= = + =

+ ×

= − = − =

當

這意謂著直線

c

通過

A B

₀

,

₀，所以

c

為

a b ,

的公垂線。至此，已經完成我們的論證。

繼承之前的符號，在這裡下個結論：

1.

a b ,

是一組歪斜線

⇔

* det * 0

a b AB

 

  ≠

 

  

^(#) 2. 條件(#)提供了以

a * × b *

為方向的直線和

a b ,

各有一個交點的充分性

3.

* det * 0

a b AB

 

  ≠

 

  

^{蘊含了公垂線的存在}

○

^註^E

1. 文中直線參數式

X = + A a t *

是以向量的形式來表示，

t

是

a *

的係數積。

2.

A B ,

個別來看是點，但是表示成

( ^A ⁻ ^B )

^時則

視為向量

 AB

。

(13)

國立台灣師範大學數學系 96 學年度 ^{推薦甄選入學}

指定項目甄試試題

一、計算證明題（考試時間：2 小時）

1. 在電影「詭絲」中，一位物理學家以孟傑海綿（Menger sponge）來捕捉鬼魂；下面是平面上孟傑海綿的製作方法。

第一階段：取一個邊長為

a

的正方形（參看下圖一），將正方形等分成九個邊長為

3 a

的小正方

形，再將中央的小正方形切除（參看下圖二）。

第二階段：對前階段留下的所有邊長為

3 a

的小正方形，每個都等分成九個邊長為

9 a

的小正方

形，再將中央的小正方形切除（參看下圖三）。

以下依此類推。

(1) 若孟傑海綿是完成第五階段後所製成的，則製作過程中共切除多少個各種大小的正方形？

(2) 若孟傑海綿是完成第

n

階段後所製成的，則製作過程中共切除多少個各種大小的正方形？

被切除的正方形周長共多少？被切除的正方形面積共多少？

2. (1) 試證：若

x y ,

與

z

都是不等於

0

的正實數，則下述不等式恆成立：

2 2 2

1 1 1 x y z

x y z xyz

+ + ≥ + +

.

(14)

(2) 設△

ABC

的三邊長分別為

a b ,

與

c

，而其內切圓半徑為

r

。若

s

表示△

ABC

周長的一半，試證：

2 2 2 2

1 1 1 1

( s a ) + ( s b ) + ( s c ) ≥ r

− − −

^.

3. 設

2007

次整係數多項式

f x ( ) = ( x − 1)( x − 2)  ( x − 2007) 1 −

等於兩個整係數多項式

g x ( )

與

( )

h x

的乘積，令

k x ( ) = g x ( ) + h x ( )

。

(1) 試證：

k (1) = k (2) =  = k (2007) = 0

。

(2) 試證：兩多項式

g x ( )

與

h x ( )

中必有一是常數多項式。

4. 設甲袋原有

k − 1

個白球與

1

個黑球

( k ≥ 2)

，而乙袋原有

k

個白球。今自甲袋與乙袋中同時各取出一球放入對方袋中，這動作我們稱之為一次換球；對每個正整數

n

，令

P

_n表示

n

次換球後黑球仍在甲袋的機率。

(1) 試求

P

₂與

P

₃。

(2) 設

n

為正整數，試求

P

_n。 (3) 試求

lim

_n

n

P

→∞ 之值。

5. 已知：拋物線的焦點對此拋物線所有切線的對稱點都在拋物線的準線上。

(1) 試證：若一拋物線過切點

P

的切線為

l

，而焦點

F

對切線

l

的對稱點為

D

，則

PD

與準線垂直。

(2) 設一拋物線的準線方程式為

3 x − 2 y − = 4 0

，且與直線

3 x + 11 y + = 6 0

相切於點

( 2 , 0) −

，試求其焦點坐標。

(15)

二、填充題（考試時間：2 小時）

1. 設

ω

為方程式

x

³

− = 1 0

之ㄧ虛根。若無窮級數

2 2

1 1 1

1 3 3 3

n

ω ω

n

ω

+ + +  + + 

之和為

α βω +

，其中

α β ,

為實數，則

α β +

＝。

2. 函數

f x ( ) = x

²

+ + 4 x

²

− 2 x + 10

的最小值為。

3. 在平面坐標系中，

x − + 1 y − = 2 3

之圖形所圍區域的面積為。 4. 考慮數列

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , , , , , , , , 1 3 3 3 9 9 9 9 9 9 9 9 9 

其中值為

1

3

^k⁻ ^的項共有

3

^k⁻1個

( k = 1, 2, 3,  )

。若前

n

項之和為 50，則

n

為位數。

(log 2 = 0.3010, log 3 = 0.4771, log 7 = 0.8451)

5. 設實數

α β ,

滿足

− < < π α π , − < < π β π

，且

1 tan , tan 4

2 2 2

α ₌ β _{= −}

，則

1 1

1 cos + α + sin α ⁺ 1 cos + β + sin β

＝。

6. 設

1 2

3

4 5 6

7 4 6 a a

A a

a a a

 

 

=  

 

 

為

3 3 ×

的矩陣，且

A

的每一列、每一行、每一對角線的總和皆相等，則

方程組

1 2

3

4 5 6

7 2

4 6 2

6 x a y a z a x y z a x a y a z

+ + = −

  + + =

  + + = −



的解

( , , ) x y z

為。

(16)

7. 給定三直線 ₁

2 1 1

₂

1 3 3

: , :

3 2 2 4 2 4

x y z x y z

L + = − = + L − = − = +

− − −

^與 ³

1 1

: 2 2 1

x y z

L + = + =

− −

^。令

點

P

為直線

L

₁與

L

₂的交點，點

Q

為直線

L

₂與

L

₃的交點，則線段

PQ

在平面

: 3 0

E x + + + = y z

上的正射影長度為。 8. 空間中位於點

(0, 2, 2)

的光源，將

xz

平面上的圓

2 2

( 1) 1 0

x z

y

 + − =

 =



照射在

xy

平面上，則這個影像的曲線方程式為。

9. 給定正整數

n ≥ 2

；持續擲一公正的骰子，若連續兩次擲出的點數相同或擲滿

n

次即停止，則一連串擲骰子的所有可能結果有種。

10. 擲一公正的硬幣

8

次；已知擲出正面的次數小於或等於

4

次，則第一次與第二次都擲出正面的機率為。

(17)

國立台灣師範大學數學系 96 學年度 ^{推薦甄選入學}

指定項目甄試試題詳解

一、計算證明題：

1. 令

a

_n代表第

n

階段所切除的正方形個數。因為第一階段切除的正方形邊長為

3 a

，第二階段切

除的正方形邊長為 ₂

3 a

，…，所以第

n

階段所切除的正方形邊長為

3

ⁿ

a

；又因為第一階段切除

1

1 a =

個正方形，第二階段切除

a

₂

= 8

個正方形，第三階段切除

a

₃

= 8

²個正方形，…，所以第

n

階段切除

a

_n

= 8

ⁿ⁻¹個正方形。

(1) 依題意，一共切除

a

₁

+ a

₂

+ a

₃

+ a

₄

+ a

₅個正方形，計算得

1 2 3 4

1 8 + + 8 + + 8 8 = 4681

（個）。

(2) 孟傑海綿在完成第

n

階段後一共切除

1 2 n

a + a +  + a

個各種大小的正方形。計算，得

1 1

8 1 8 1

1 8 8

8 1 7

n n

n−

− −

+ + + = =

 −

（個）。

被切除的正方形周長為

1 1

2

1 1

4 1 8 8

3 3 3

8 1

4 1 8 8 4 3 4 8 1 .

3 3 3 3 8 1 5 3

3

n n

n

n n n

n

a a a

−

 ⋅ + ⋅ + + ⋅ 

 

 

 − 

   

   

=   + + +   =     −     =        −   



被切除的正方形面積為

2 2 2

1 1

2

2 1 1 2

2

1 1

1 8 8

3 3 3

1 8

8 8 9 8

1 1 .

9 9 9 9 8 9

n n

n

n n n

n

a a a

a a

a

−

 ⋅   + ⋅   + + ⋅   

       

       

 

 

 −   

   

=   + + +   =   −    = −         



(18)

2. (1) 將下列三個算幾不等式

2 2

1 1

1 1 2

1 1

1 1 2

1 1

1 1 2

x y z

x y xyz x

y z

y z xyz z x y

z x xyz +

≥ ⋅ =

+

≥ ⋅ =

+ ≥ ⋅ =

相加，得

2 2 2

1 1 1 x y z

x y z xyz

+ + ≥ + +

.

(2) 設

∆

為△

ABC

的面積，根據海龍公式及面積公式，得

( )( )( ) s s a s b s c sr

∆ = − − − =

,

即

2

1 ( )( )( )

s

s a s b s c = r

− − −

利用(1)，得

2 2 2 2

1 1 1 3 ( ) 1

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )

s a b c s

s a s b s c s a s b s c s a s b s c r

− + +

+ + ≥ = =

− − − − − − − − −

^.

3. 設

2007

次整係數多項式

f x ( ) = ( x − 1)( x − 2)  ( x − 2007) 1 −

等於兩個整係數多項式

g x ( )

與

( )

h x

的乘積，令

k x ( ) = g x ( ) + h x ( )

。 (1) 因為

(1) (2) (2007) 1 f = f =  = f = −

，所以

(1) (1) (2) (2) (2007) (2007) 1

g h = g h =  = g h = −

。

又因為

g x ( )

與

h x ( )

都是整係數多項式，

所以

(1), (2), , (2007)

g g  g

(19)

與

(1), (2), , (2007)

h h  h

都是整數。

因此，

g (1)

與

h (1)

必是一個

1

，而另一個為

− 1

，

g (2)

與

h (2)

，…，

g (2007)

與

h (2007)

也都是一個

1

，而另一個為

− 1

。也就是說，

(1) (1) (2) (2) (2007) (2007) 0 g + h = g + h =  = g + h =

，即

(1) (2) (2007) 0 k = k =  = k =

.

(2) 考慮

g x ( )

與

h x ( )

的次數

m = deg ( ) g x

與

n = deg ( ) h x

；為了方便起見，不妨設

m ≥ ≥ n 0

。因為

f x ( ) = g x h x ( ) ( )

的次數是

2007

次，所以

m + = n 2007

；又由

k (1) = k (2) =  = k (2007) = 0

知，

g x ( ) + h x ( )

被

( x − 1)( x − 2)  ( x − 2007)

整除，即

m ≥ deg( ( ) g x + h x ( )) ≥ 2007

。由

m + = n 2007

及

m ≥ 2007

得

m = 2007, n = 0

，故

h x ( )

是常數多項式。

4. 考慮

P

_n與

P

_n₋₁的遞迴關係，因為

n

次換球後黑球仍在甲袋的機率等於

( n − 1)

次換球後黑球仍在甲袋，且第

n

次換球後黑球仍在甲袋的機率

+ − ( n 1)

次換球後黑球跑到乙袋，且第

n

次換球後黑球在甲袋的機率，即

1 1

(1 )

n n n

P P k P

k k

− −

= × − + − ×

.

整理，得

1

1 2 1

2 2

n n

P k P

k

⁻

 −  = −  − 

   

   

^.

因此

1 1

1

1 2 1 2 1 1

2 2 2

n n

n

k k k

P P

k k k

− −

− − −

       

− =       −     =     −  

^.

整理，得

( 2) 1 ( 2)

2 2 2

n n n

k k k

P k k

− − +

= + =

.

(20)

(1) 利用前面的公式，得

2 2 2

( 2) 2 2

2 k k k k

P k k

− + − +

= =

,

3 3 3 2

3 3 3

( 2) 3 6 4

2 k k k k k

P k k

− + − + −

= =

.

(2) 利用前面的公式，得

( 2) 1 ( 2)

2 2 2

n n n

k k k

P k k

− − +

= + =

.

(3) 根據(2)的公式，得

( 2) 1 1 1

lim lim lim

2 2 2

n n n

n n

n n n

k k

P k k

→∞ →∞ →∞

− +  

= =  −  +

 

^.

因為

1 1

2 − k

是小於

1

的定正數，所以

1 1

lim 0

2

n

n^→∞

k

 −  =

 

 

^.

因此

lim 1

n

2

n

P

→∞

=

.

5. (1) 設

P

至準線的垂足為

H

，即

PH

是

P

到準線的最短距離，又根據拋物線的定義

PF = PH

；已知，

D

在準線上，且因為對稱點的關係，所以

PF = PD

。因此

PH = PD

.

由

PH

是

P

到準線的最短距離知

D = H

，

PD

與準線垂直。

(2) 通過點

( 2 , 0) −

，又與準線

3 x − 2 y − = 4 0

垂直的直線方程式為

1

: 2 3 2 ( 2) 3 0 4 L x + y = ⋅ − + ⋅ = −

. 準線與直線

L

₁的交點坐標為

4 20

13 , 13 D   −  

 

^。

現在求

4 20 13 , 13 D   −  

 

^點對切線

3 x + 11 y + = 6 0

的對稱點，

過

D

與切線相垂直的直線方程式為

2

4 20

:11 3 11 3 8

13 13

L x − y = ⋅       − ⋅ −       =

^.

切線與直線

L

₂的交點為

7 9 13 , 13

M    −   

^。利用

FD

的中點為

M

，得焦點

F

的坐標為

10 2

13 13 ,

 

 

 

^.

(21)

二、填充題：

1. 2. 3. 4. 5.

15 13

26 52 24 29

− 12

6. 7. 8. 9. 10.

1 , 1 , 1 2

 − − 

 

 

2 78 3

2

2 0

x + y = 或

²

2 0 0

x y

z

 + =

 =



3 (5 1) 2

n

− 22

163

1. 令此級數為

S

，套用無窮等比級數公式，得

1 3

S ⁼ − ω ⁼ ⁻ ω

.

將分子與分母同乘

4 + ω

，得

2

3(4 ) 3 12

(3 )(4 ) 12

S ω ω

ω ω ω ω

+ +

= =

− + − − +

^.

因為

ω

²

+ + = ω 1 0

，所以

3 12 12 3 1 12 13 13 S = ω ⁺ = + ω

+

^.

故

12 3 15 13 13 13 α β + = + =

。

2. 將

f x ( ) = x

²

+ + 4 x

²

− 2 x + 10

表為

2 2 2 2

( ) ( 0) (0 ( 2)) ( 1) (0 3) f x = x − + − − + x − + −

，

即

f x ( )

代表

x

軸上的動點

P x ( , 0)

至定點

A (0 , − 2)

與

B (1 , 3)

的距離和。其最小值發生在當

P

是

x

軸與直線

AB

的交點時，又直線

AB

的方程式為

5 x − = y 2

. 將

P x ( , 0)

代入解得

2 x = 5

，而最小值為

2 2

(0 1) ( 2 3) 26

AB = − + − − =

.

(22)

3. 因為

x − + 1 y − = 2 3

的圖形對稱

x

軸與

y

軸，所以只需畫

x − + 1 y − = 2 3

在第一象限

的圖形即可知道整個圖形。現在設

x ≥ 0, y ≥ 0

，此時

x − + 1 y − = 2 3

變成

1 2 3

x − + − = y

. (1) 當

x ≥ 1, y ≥ 2

時，

x + = y 6

。

(2) 當

x ≥ 1, y ≤ 2

時，

x − = y 2

。 (3) 當

x ≤ 1, y ≥ 2

時，

x − = − y 4

。 (4) 當

x ≤ 1, y ≤ 2

時，

x + = y 0

。將這四部分畫圖如下左圖，

現在算它們的面積：畫直線

x = 1

及

y = 2

將該區域分成一三角形、一矩形、兩個梯形等四個可以算面積的形狀（如上右圖），其中三角形的面積為

9

2

，矩形面積為 2，兩個梯形面積分別為

4

與

5

2

。故在第一象限所圍出的面積為

9 5

2 4 13 2 + + + = 2

因為對稱的關係，所以圖形圍出的總面積為

4 13 ⋅ = 52

。

4. 將數列分成每

3

^k⁻¹

( k = 1, 2, 3,  )

個一組，根據題意每組和皆為

1

。若前

n

項和為

50

，則

n

是第

50

組的最後一項；又因為第一組有

1

項，第二組有

3

¹項，…，第

50

組有

3

⁴⁹項，所以

50

1 2 49

3 1 1

50

1 1 3 3 3 3

3 1 2 2

n −

= + + + + = = ⋅ −

 −

.

(23)

因為

1

50

log 3 0.3010 50 0.4771 23.5540

2 ⋅ = − + ⋅ =

，

所以

n

為

24

位數。

5. 令

tan a θ 2

=

，可得

2 2

sin , cos 1

2 1 2 1

a

a a

θ θ

= =

+ +

^.

又利用

cos cos

²

sin

²

2 2

θ θ

θ = −

及

sin 2sin cos 2 2 θ θ

θ =

，可得

2

2 2

1 2

cos , sin

1 1

a a

θ = ⁻ θ =

+ +

^.

將上述公式代入所求的式子，得

所求的和 ₂ ₂

2 2 2 2

1 1 5 17 29

1 0.5 2 0.5 1 ( 4) 2 ( 4) 12 6 12

1 1

1 0.5 1 0.5 1 ( 4) 1 ( 4)

= + = − = −

− ⋅ − − ⋅ −

+ + + +

+ + + − + −

.

6. 從假設條件可得等式

3 4 1 5 2 6 1 2

3 4 5 6 2 4 6

7 4 6 7

10 4 11 ,

a a a a a a a a

a a a a a a a

+ + = + + = + + = + +

= + = + + = + + = +

其中

7 + a

₃

+ a

₄

= 10 + a

₃推得

a

₄

= 3, a

₂

+ + 6 a

₆

= + 11 a

₆再推得

a

₂

= 5

，即總和為

2 4

4 + a + a = + + = 4 5 3 12

. 將其和代入關係式

12 11 = + a

₆

= 10 + a

₃得

a

₃

= 2, a

₆

= 1

，代入關係式

12 = + + 7 a

₁

a

₂

= 12 + a

₁得

a

₁

= 0

，代入關係式

12 = + + a

₁

4 a

₅

= + 4 a

₅得

a

₅

= 8

。綜合這些計算，方程組為

7 5 2

2 4 6 2

3 8 6

x z

x y z

x y z + = −

  + + =

  + + = −



利用高斯消去法或加減消去法，可以解得

1 1, , 1

x = − y = − z =

.

(24)

7. 首先求

P Q ,

兩點的坐標，

P

點坐標為

2 1

2 3 7

3 2 (1 , 3 , 3)

2 5

1 3

4 2

x y

x y x y P

x y

+ −

 =

  − = −

 ⇒ ⇒ = −

 − −  − = − 

 =

 − −



.

Q

點坐標為

1 3

2 5

4 2

( 3 , 1 , 1)

1 1 2

2 2

x y

x y x y Q

− −

 =

  − = −

 − − ⇒ ⇒ = −

 + +   + = −

 =

 −



.

接下來計算線段

PQ

，

P

點至平面

E

的距離

d P E ( , )

及

Q

點至平面

E

的距離

d Q E ( , )

如下：

2 2 2

(1 ( 3)) (3 1) ( 3 1) 6 ; 1 3 3 3 4

( , ) ;

1 1 1 3 3 1 1 3 2

( , ) .

1 1 1 3 PQ

d P E

d Q E

= − − + − + − − = + − +

= =

+ +

− + + +

= =

+ +

利用畢氏定理，線段

PQ

在平面

E x : + + + = y z 3 0

上的正射影長為

2

2 2 2

4 2 2

( ( , ) ( , )) 6 78

3 3 3

PQ d P E d Q E  

− − = −  −  =

 

^.

8. 將

xz

平面上的圓

2 2

( 1) 1 0

x z

y

 + − =

 =



表為參數式

( , x y z , ) = (cos , 0 , 1 sin ) t + t

,

t

為實數。

若通過點

(0 , 2 , 2)

與

(cos , 0 , 1 sin ) t + t

的直線與

xy

平面相交於點

( , x y , 0)

，則

cos 0 0 2 (1 sin ) 2

0 2 0 2

t t

x y

− = − = + −

− − −

^,

解得

2 2

cos , sin

2 2

x y

t t

y y

= − = +

− −

^.

(25)

利用

cos

²

t + sin

²

t = 1

，得

2 2

2 2 1

x y

y y

 −  +  +  =

 −   − 

   

^,

整理，得

2

2 0

x + y =

.

9. 設總共擲骰子

k

次，討論如下：

(1)

i < n

的擲法

第一次擲有

6

種可能，之後的每一回都不能與上一回相同，故有

5

種可能，而最後第

i

回與第

i − 1

回相同，只有

1

種，所以共有

6 5 ×

ⁱ⁻²

× 1

種。

(2)

i = n

的擲法

表示到了第

n − 1

回時還沒有重複的點數，而最後一回不管重複與否都要結束，故有

6 5 ×

ⁿ⁻²

× 6

種結果。

一共有

( )

1

2 2

2

6 5 1 6 5 6 3 5 1 2

n

i n n

i

− − −

=

× × + × × = −

∑

種。

10. 設

A

代表前兩次都擲出正面的事件，

B

代表擲出小於或等於

4

次的事件。

2 6

0 6

4 8

0 8

1 1

( ) 4 2 1 6 15 22

( | )

( ) 1 1 8 28 56 70 163

2

i i

P A B C P A B

P B C

=

∩ + +

= = = =

+ + + +

∑

^.

許教授 講故事