電腦解決數學問題的瓶頸

(1)

電腦解決數學問題的瓶頸

石厚高

我於民國 89 年八月一日退休, 以往大部分時間都要花在學生身上, 現在時間都是自己的了, 想甚麼時候睡就甚麼時候睡, 想看甚麼書就看甚麼書, 應該是很愜意的。唯一的遺憾是再也沒有人聽我說話了, 所以沒有退休的老師要珍惜眼下時光, 在台上口沬橫飛興高彩烈又意氣昂揚, 是多麼的快樂, 不管學生願不願意聽都是非聽不可。

我執教初、高中共 38 年, 有時課本講的不夠, 或習題不周延, 總要另加補充。初中我教了三年, 高中 35 年都是高三。數學和其它科不同, 因為它是學子夢魘, 又容易忘, 所以要複習。學生最怕三角, 因為公式太多不會證明, 當然就記不住了, 所以我就花上二週時間把三角公式幾乎都證明一遍, 也作些課本上沒有的題目, 沒想到很受歡迎。大家也許會問, 二週時間能把三角公式全部講一遍嗎? 又作補充題? 答案是肯定的, 只要上課少講廢話就作得到。

退休之後, 檢視大堆這種 “垃圾”, 雖然丟了一些總是有些 “不捨”, 而且總是覺得也許還會 “東山再起” 或 “復出”。一疊疊的查一疊疊的丟, 感覺有些 “自廢武功” 的味道。為甚麼是垃圾? 因為只有自己用, 它不能成書也不能送人, 沒有人要這些東西。拿起一疊 “反三角函數”

時發現我給大家的一個習題。複習這一節時, 常有學生問 sin

⁻¹

sin 2 或 cos

⁻¹

cos 3 如何作, 一遍遍的講很煩人, 所以就要大家把

x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 時

sin

⁻¹

sin(x), cos

⁻¹

cos(x), tan

⁻¹

tan(x), cot

⁻¹

cot(x), sec

⁻¹

sec(x), csc

⁻¹

csc(x) 作一作, 也就是下面的 48 題

1.sin

⁻¹

sin 1 2.cos

⁻¹

cos 1 3.tan

⁻¹

tan 1 4.cot

⁻¹

cot 1 5.sec

⁻¹

sec 1 6.csc

⁻¹

csc 1 7.sin

⁻¹

sin 2 8.cos

⁻¹

cos 2 9.tan

⁻¹

tan 2 10.cot

⁻¹

cot 2 11.sec

⁻¹

sec 2 12.csc

⁻¹

csc 2 13.sin

⁻¹

sin 3 14.cos

⁻¹

cos 3 15.tan

⁻¹

tan 3 16.cot

⁻¹

cot 3 17.sec

⁻¹

sec 3 18.csc

⁻¹

csc 3 19.sin

⁻¹

sin 4 20.cos

⁻¹

cos 4 21.tan

⁻¹

tan 4 22.cot

⁻¹

cot 4 23.sec

⁻¹

sec 4 24.csc

⁻¹

csc 4 25.sin

⁻¹

sin 5 26.cos

⁻¹

cos 5 27.tan

⁻¹

tan 5 28.cot

⁻¹

cot 5 29.sec

⁻¹

sec 5 30.csc

⁻¹

csc 5 31.sin

⁻¹

sin 6 32.cos

⁻¹

cos 6 33.tan

⁻¹

tan 6 34.cot

⁻¹

cot 6 35.sec

⁻¹

sec 6 36.csc

⁻¹

csc 6 37.sin

⁻¹

sin 7 38.cos

⁻¹

cos 7 39.tan

⁻¹

tan 7 40.cot

⁻¹

cot 7 41.sec

⁻¹

sec 7 42.csc

⁻¹

csc 7 43.sin

⁻¹

sin 8 44.cos

⁻¹

cos 8 45.tan

⁻¹

tan 8 46.cot

⁻¹

cot 8 47.sec

⁻¹

sec 8 48.csc

⁻¹

csc 8

70

(2)

當時想過題目是不是太多了, 過了幾天, 要大家上黑板, 沒想到作對的在 40 題以上, 以後再也沒有學生問這種問題了。

作這類問題要弄清楚三角函數、反三角函數的定義域與值域, 請參閱拙著「數播 80 期四個階段的數學」。能弄清楚, 這 48 題是不會很難的, 例如在求 tan

⁻¹

tan 7 時, 先考慮 tan 7 的值, 7 弳約為 7 ∗ 57.2957

^◦

, 也就是 401.1

^◦

它的同界角是 41.1

^◦

, 所以 tan 7 為正。所以 tan

⁻¹

tan 7 為正, 而反正切的值域在 −

^π ₂

< y <

^π ₂

, 我們要找的是 7 弧度的等值角度, 因為 tan 的週期是 π, 其等值角度是 7 + kπ, 其中 k 是整數, 而介於 (−

^π 2

,

^π ₂

) 的等值角度, 那就是 7 − 2π。

這分補充教材應該是民國 68、69 年間設計的, 以後每年我都要大家作一遍。直至民國 76 年高一新生數學教材改用國立編譯館出版的高中數學標準本, 教材刪去了反三角函數, 我於 78 年開始就不再教反三角函數了, 當然這分題目也就不再要學生作了。民國 89 年數學教材又把反三角函數列入課程標準, 這個習作也許值得參考。

當年我作的 48 個答案, 是寫在一張我自己設計登記隨堂小考成績的表上。因為學校的成績登記表格子太小不方便, 我才印了一些自己用。那個年代的紙張本來就不好, 今天已經泛黃了, 看了十分親切。我又作了一遍, 比對一下全都正確。如果用電腦作也全對嗎? 所以就用 gwbasic 來驗證。

Basic 的書我有一本許慶芳編的「IBM PC 電腦入門與 BASIC」, 這本書的三角函數只有 sin、cos、tan、atn(Arctangent), 例題不多也語焉不詳, 很多電腦書也都一樣, 只要不是談數學的專書, 對於數學這一節都是避重就輕。道理很簡單, 因為作者不是咱們學數學的。

大約半年前我曾用 Gwbasic 作過, 當時沒有作出來。最近我發現書架上另有一本 GW- BASIC 使用手冊 (user manual), 是在牯嶺街舊書店買的, 當時並不感到有甚麼需要, 我不常用 basic, 買來只是備而不用, 放著罷了。書雖然是在舊書店買的, 原持有人好像並沒有用過, 全名 Microsoft GW-BASIC Interpreter (for the MS-DOS Operating System) 出版商是 (Microsoft Corporation, PRINTED IN TAIWAN, R.O.C. Copyright, 1979-1986), 它談數學也是低空掠過。它的三角函數也是只有 sin、cos、tan、atn, 可是在它的附錄裡找到了我需要的資料。下面是其中的一部分:

Appendix C

Mathematical Functions Not Intrinsic to BASIC

- - - - Derived Functions

Functions that are not intrinsic to Microsoft BASIC may be calculated as follows

(3)

Function Microsoft BASIC Equivalent 1. SECANT SEC(X)=1/COS(X)

2. COSECANT CSC(X)=1/SIN(X) 3. COTANGENT COT(X)=1/TAN(X)

4. INVERSE SINE ARCSIN(X)=ATN(X/SQR(-X*X+1))

5. INVERSE COSINE ARCCOS(X)=-ATN(X/SQR(-X*X+1))+1.5708 6. INVERSE SECANT ARCSEC(X)=ATN(X/SQR(X*X-1))

+SGN(SGN(X)-1)*1.5708 7. INVERSE COSECANT ARCCSC(X)=ATN(X/SQR(X*X-1)

+(SGN(X)-1)*1.5708 8. INVERSE COTANGENT ARCCOT(X)=ATN(X)+1.5708 (為便於引用, 行號乃筆者所加)

· · · · 我就用 Gwbasic 來設計, 這個程式不難, 初中學生都會的。可是其中的數學就不是初中學生能懂能設計的了, 因為它有很多的數學。

看看最前面三行, sin(x) 與 csc(x) 互為倒數, tan(x) 與 cot(x) 互為倒數, sec(x) 與 cos(x) 互為倒數, 當然都正確, 這裡要考慮的是六個函數

sin

⁻¹

sin(x), cos

⁻¹

cos(x), tan

⁻¹

tan(x), cot

⁻¹

cot(x), sec

⁻¹

sec(x), csc

⁻¹

csc(x) 的落實。第四行反正弦用數學式來表示就是

sin

⁻¹

(x) = tan

⁻¹

x

√1−x

²

∴

sin

⁻¹

sin(x) = tan

⁻¹

sin(x)

q

1−sin

²

(x) = tan

⁻¹

sin(x)

abs(cos(x)) (A) abs 是絕對值函數 abs(x) = x, x ≥ 0; abs(x) = −x, x < 0。

第五行反餘弦用數學式來表示就是 cos

⁻¹

(x) = − tan

⁻¹

x

√1 − x

²

+π 2

∴

cos

⁻¹

cos(x) = − tan

⁻¹

cos(x)

q

1 − cos

²

(x)+ π

2 = − tan

⁻¹

cos(x)

abs(sin(x)) +π 2 第六行反正割用數學式來表示就是

(4)

sec

⁻¹

(x) = tan

⁻¹ ^√ _x ^x

₂

−1

+ sgn(sgn(x) − 1) ∗

^π ₂

故得 sec

⁻¹

sec(x) = tan

⁻¹

sec x

q

sec

²

(x) − 1 + sgn(sgn(sec(x)) − 1) ∗π 2

= tan

⁻¹

sec x

abs(tan(x))+ sgn(sgn(sec(x)) − 1) ∗ π 2 sgn(x) 是符號函數, 若 x > 0, sgn(x) = 1,

若 x = 0, sgn(x) = 0, 若 x < 0, sgn(x) = −1。

第七行反正割用數學式來表示就是 csc

⁻¹

(x) = tan

⁻¹

x

√x

²

− 1+ (sgn(x) − 1) ∗ π 2

∴

csc

⁻¹

csc(x) = tan

⁻¹

csc(x)

q

csc(x)

²

− 1 + (sgn(csc(x)) − 1) ∗ π 2

= tan

⁻¹

csc(x)

abs(cot(x))+ (sgn(csc(x)) − 1) ∗ π 2 第八行反餘切用數學式來表示就是

cot

⁻¹

(x) = tan

⁻¹

(x) + π 2

∴

cot

⁻¹

cot(x) = tan

⁻¹

cot(x) + π

2 (B)

這個式子不對, 因為 tan

⁻¹

(x) + cot

⁻¹

(x) =

^π ₂

手冊第八行等號右邊 ATN(X) 之前少了一個負號。 (B) 式應該是

cot

⁻¹

(x) = − tan

⁻¹

(x) + π 2

∴

cot

⁻¹

cot(x) = − tan

⁻¹

cot(x) +π 2

所以盡信書不如無書, 當然盡信 manual 不如沒有 manual。張系國作打油詩 “使用手冊, 就和房事一樣; 好的手冊令你仙仙欲死; 壞的手冊總算聊勝於無” 讓人拍案叫絕。

我根據以上使用手冊的規定設計了 basic 程式, 算出 48 個答案逐一核對, 與反正割 sec

⁻¹

(x) 或反餘割 csc

⁻¹

(x) 有關的全錯。

所以 manual 裡 6 與 7 的規定有問題, 這兩個式子我沒有看懂, 也不想深究。兩個指令都很繁, 我想要找個簡單的式子來算出 sec

⁻¹

sec(x) 與 csc

⁻¹

csc(x)。因為 sec

⁻¹

(x)+

csc

⁻¹

(x) =

^π ₂

, sec

⁻¹

(x), csc

⁻¹

(x) 二者有一個求出來, 另一個也就求出來了。

(5)

這兩個式子要如何用 sin(x)、 cos(x)、 tan(x)、 atn(x) 來表示呢? 我在 Johnson and Kiokemeister 著 “CALCULUS with analytic geometry” fourth edition p.331 習題裡找到

26. Prove that sec

⁻¹

x=

^π ₂

− sin

^{−1 1} x

for every x ≥ 1.

所以 sec

⁻¹

x 可以用反正弦 (arc sin) 來表示, 而由 (A) 可知反正弦可以用反正切 (arc tan) 也就是 atn 來表示, 所以把計算 sec

⁻¹

sec(x) 的指令寫成

310 S = 1.5708 - ATN(COS(X)/ABS(SIN(X))) 由 sec

⁻¹

(x) + csc

⁻¹

(x) =

^π ₂

得

csc

⁻¹

x= tan

⁻¹

1 x

q

1 − (

¹ ^x

)

²

∴

csc

⁻¹

csc(x) = tan

⁻¹

1 csc(x)

q

1 − (

csc(x) ¹

)

²

= tan

⁻¹

sin(x)

q

1 − sin

²

(x) = tan

⁻¹

sin(x) abs(cos(x)) 所以把計算 csc

⁻¹

csc(x) 的指令寫成

360 S = ATN(SIN(X)/ABS(COS(X)))

再 run 一次, 48 題全都對了。 48 個答案作得順利, 都沒有發生 division by zero 的情況, 當然是 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7 與 8 的數據特殊。 Gwbasic run 得結果與正確答是有誤差的, 例如

1. sin

⁻¹

sin 1, 2. cos

⁻¹

cos 1, 3. tan

⁻¹

tan 1, 4. cot

⁻¹

cot 1, 5. sec

⁻¹

sec 1, 6. csc

⁻¹

csc 1 六題答案都是 1, gwbasic run 出來的值有 1 與 1.00000400 二種。

37. sin

⁻¹

sin 7, 38. cos

⁻¹

cos 7, 39. tan

⁻¹

tan 7, 40. cot

⁻¹

cot 7, 41. sec

⁻¹

sec 7, 42. csc

⁻¹

csc 7 六題答案都是 7 − 2π, 螢幕顯示 gwbasic run 出來的值有 0.71681470 與 0.71681830 二種。

說兩句題外之言, 天王歌星出席影友會, 有個女生問 “像我這樣的女孩你喜歡嗎?” 讓人混身直起雞皮疙瘩, 再一看原來是初中小女生, 大家都能理解, 高中女生不會問這種問題。要過年了, 把女生用起重機舉得高高的, 大聲吼出 “新年新希望”。有個女生喊 “我要嫁豪門”, 電視沒有給她作特寫, 她應該是高中生, 大學生不會說這種幼稚的話。

(6)

basic 程式雖然容易, 初中生甚至於小學生都會寫, 本文的 basic 程式不是初中生、小學生能寫的, 因為它有高中的反三角函數。這一節不但高中生, 有些理工科大學生都不是很清楚。

是那個混球說的 “以後都用電腦了, 可以不再學數學了”, 他的數學不及格, 不論他是不是數學系畢業的。

我把 gwbasic 程式與 48 個答案的表附在後面, 讀者可以參考。也許學子會問答案表是怎麼作出來的? 我作個簡單的說明, 要把 48 個 basic 作的 11 位整數帶小數作 key in 是多麼的煩人。所以每計算一個就把它連同題號 write 出去成為一筆 record, 48 筆 record 作一個 txt 的 file, 它含有題號與 basic 算出來的答案。這個 file 用 PE3 處理, 題號與答案間有一 “,”。

以下過程學子沒用過 dbase 不必在意可逕行略過。

然後在 dbase III 裡 create 一個 file, 含 NO (題號)、NO1 (答案) 與 NO2 (basic 答案), 再 append 前面 basic 作的 txt file, 這個 file 有 48 筆 record, 其中 NO1 欄 (field) 是空白, 把這一欄全部改成 π

replace all no1 with “π”

再把我作的 48 個答案逐一 key in 。因為 π 已經有了, 就很方便, 否則在 DOS 裡 run dbase III, 要 48 次鍵入 π 的內碼 A36B 是多麼的麻煩。

最後把這個 dbase file copy 成 txt file, 再由 PE3 整理, 分成兩邊, 1-24 題在左邊, 25-48 題在右邊。

以上的資料處理過程在程式裡我沒有寫出來, 因為不 write 出來, 在 run basic 程式時也可以得到 48 個答案, 當然列出這個表看的清楚些。

再來看看誤差的問題。兩個表 “螢幕顯示 Gwbasic run 得之結果” 與 “正確答案與 Gw- basic 答案之比較” 裡有幾題答案不同, 它們是 19、 24、 25、 30、 32、 35、 37、 38、 41、 42。這是因為 single precision、 double precision、 truncate、 print 與 write 的規定所導致, 它不是本文重點, 讀者隨便找本 basic 手冊就可以很有概念了。

我於 6 月 17 日開始構思程式, 20 日左右完成設計, 22 日寫成這篇小文, 23 日細讀不止二遍又作潤色, 我資質駑鈍, 資優人士當然是不需要花這麼多的時間。這段時間我照常是看報紙、電視、吃飯; 看報紙和以往一樣只看副刊, 國家大事隨便翻翻; 體育版與經濟版不看, 因為看不懂。電視當然是西片第一, discovery 與國家地理雜誌次之。自從安裝了有線電視 (第四台) 本地三台電視 (台視、中視、華視) 對我已經不重要了, 當然中視熊旅揚的大陸尋奇是絕不錯過的。電視體育只看日本摔角大賽, 這種節目不傷腦筋; 我常在這個時段裡構思數學或程式或處於半睡、半醒、半養神狀態, 只有在一直挨打的勇士還手時才精神大振, 全神貫注看電視。文章當然是自己的好, 我很喜歡本文。題目不難, 思維方式與處理過程讓學子很快掌握重點。至於讀者與學子能不能看到本文, 那就不是我能決定的了。

(7)

Gwbasic 程式 100 FOR X=1 TO 8

110 S=ATN(SIN(X)/ABS(COS(X))) 120 CNT = CNT + 1

130 PRINT USING “##. ”;CNT;

140 PRINT “arcsin(sin(“;X;”)) = ”;

150 PRINT USING “##.########”;S 160 S=-ATN(COS(X)/ABS(SIN(X)))+1.5708 170 CNT = CNT + 1

190 PRINT “arccos(cos(“;X;”)) = ”;

200 PRINT USING “##.########”;S 210 S=ATN(TAN(X))

220 CNT = CNT + 1

240 PRINT “arctan(tan(“;X;”)) = ”;

250 PRINT USING “##.########”;S 260 S=1.5708 - ATN(1/TAN(X))

270 CNT = CNT + 1

290 PRINT “arccot(cot(“;X;”)) = ”;

300 PRINT USING “##.########”;S 310 S = 1.5708 - ATN(COS(X)/ABS(SIN(X))) 320 CNT = CNT + 1

340 PRINT “arcsec(sec(“;X;”)) = ”;

350 PRINT USING “##.########”;S 360 S = ATN(SIN(X)/ABS(COS(X))) 370 CNT = CNT + 1

390 PRINT “arccsc(csc(“;X;”)) = ”;

400 PRINT USING “##.########”;S 410 NEXT X

(8)

螢幕顯示 Gwbasic run 得之結果 1. arcsin(sin( 1 )) = 1.00000000

2. arccos(cos( 1 )) = 1.00000400 3. arctan(tan( 1 )) = 1.00000000 4. arccot(cot( 1 )) = 1.00000400 5. arcsec(sec( 1 )) = 1.00000400 6. arccsc(csc( 1 )) = 1.00000000 7. arcsin(sin( 2 )) = 1.14159300 8. arccos(cos( 2 )) = 2.00000400 9. arctan(tan( 2 )) = -1.14159300 10. arccot(cot( 2 )) = 2.00000400 11. arcsec(sec( 2 )) = 2.00000400 12. arccsc(csc( 2 )) = 1.14159300 13. arcsin(sin( 3 )) = 0.14159270 14. arccos(cos( 3 )) = 3.00000400 15. arctan(tan( 3 )) = -.14159270 16. arccot(cot( 3 )) = 3.00000400 17. arcsec(sec( 3 )) = 3.00000400 18. arccsc(csc( 3 )) = 0.14159270 19. arcsin(sin( 4 )) = -.85840740 20. arccos(cos( 4 )) = 2.28318900 21. arctan(tan( 4 )) = 0.85840740 22. arccot(cot( 4 )) = 0.85841090 23. arcsec(sec( 4 )) = 2.28318900 24. arccsc(csc( 4 )) = -.85840740

25. arcsin(sin( 5 )) = -1.28318500 26. arccos(cos( 5 )) = 1.28318900 27. arctan(tan( 5 )) = -1.28318500 28. arccot(cot( 5 )) = 1.85841100 29. arcsec(sec( 5 )) = 1.28318900 30. arccsc(csc( 5 )) = -1.28318500 31. arcsin(sin( 6 )) = -.28318530 32. arccos(cos( 6 )) = 0.28318900 33. arctan(tan( 6 )) = -.28318530 34. arccot(cot( 6 )) = 2.85841100 35. arcsec(sec( 6 )) = 0.28318900 36. arccsc(csc( 6 )) = -.28318530 37. arcsin(sin( 7 )) = 0.71681470 38. arccos(cos( 7 )) = 0.71681830 39. arctan(tan( 7 )) = 0.71681470 40. arccot(cot( 7 )) = 0.71681830 41. arcsec(sec( 7 )) = 0.71681830 42. arccsc(csc( 7 )) = 0.71681470 43. arcsin(sin( 8 )) = 1.42477800 44. arccos(cos( 8 )) = 1.71681800 45. arctan(tan( 8 )) = -1.42477800 46. arccot(cot( 8 )) = 1.71681800 47. arcsec(sec( 8 )) = 1.71681800 48. arccsc(csc( 8 )) = 1.42477800

(9)

正確答案與 Gwbasic 答案之比較

題號答案 Basic 之解題號答案 Basic 之解 1 1 1.00000000 25 5-2π -1.28318600 2 1 1.00000400 26 2π-5 1.28318900 3 1 1.00000000 27 5-2π -1.28318500 4 1 1.00000400 28 5-π 1.85841100 5 1 1.00000400 29 2π-5 1.28318900 6 1 1.00000000 30 5-2π -1.28318600 7 π-2 1.14159300 31 6-2π -0.28318530 8 2 2.00000400 32 2π-6 0.28318870 9 2-π -1.14159300 33 6-2π -0.28318530 10 2 2.00000400 34 6-π 2.85841100 11 2 2.00000400 35 2π-6 0.28318870 12 π-2 1.14159300 36 6-2π -0.28318530 13 π-3 0.14159270 37 7-2π 0.71681480 14 3 3.00000400 38 7-2π 0.71681810 15 3-π -0.14159270 39 7-2π 0.71681470 16 3 3.00000400 40 7-2π 0.71681830 17 3 3.00000400 41 7-2π 0.71681810 18 π-3 0.14159270 42 7-2π 0.71681480 19 π-4 -0.85840750 43 3π-8 1.42477800 20 2π-4 2.28318900 44 8-2π 1.71681800 21 4-π 0.85840740 45 8-3π -1.42477800 22 4-π 0.85841090 46 8-2π 1.71681800 23 2π-4 2.28318900 47 8-2π 1.71681800 24 π-4 -0.85840750 48 3π-8 1.42477800

(10)

以上是作者民國九十一年六月底的作品, 其中有二、三行審稿人文字, 下面是看了審稿人的意見, 又作的補充。

審稿人說: 資訊界軟體兩年更新一次, 成長速度令人感嘆, 現在的數學軟體, 可以輕易的算出作者所呈現的問題, 底下是 MAPLE 執行的結果, 而且是用符號計算 (symbolic calculation) 值表示出來:

>for n from 1 by 1 to 8 do

printf(“%35s %a %s %a\n”,“arcsin(sin(“,n,”)=”,arcsin(sin(n)));

printf(“%35s %a %s %a\n”,“arccos(cos(“,n,”)=”,arccos(cos(n)));

printf(“%35s %a %s %a\n”,“arctan(tan(“,n,”)=”,arctan(tan(n)));

printf(“%35s %a %s %a\n”,“arccot(cot(“,n,”)=”,arccot(cot(n)));

printf(“%35s %a %s %a\n”,“arcsec(sec(“,n,”)=”,arcsec(sec(n)));

printf(“%35s %a %s %a\n”,“arccsc(csc(“,n,”)=”,arccsc(csc(n)));

end do;

結果與我的h正確答案與 Gwbasic 答案之比較i表中之「答案」欄完全相同, 就不必列出了。

我由 Gwbasic 手冊公式 6 與 7 作設計求 48 題的解時, 反正割與反餘割的指令各為 310 與 360

310 S =ATN(X/SQR(1/COS(X)*1/COS(X)-1))+SGN(SGN(1/COS(X))-1)*1.5708 360 S=ATN(1/SIN(X)/SQR(1/SIN(X)*1/SIN(X)-1))+(SGN(1/SIN(X))-1)*1.5708 有關的 12 題答案都不對, 所以改用自己找到的公式, 求出反正割與反餘割的 12 題正確答案。

用審稿人的公式, 指令 310 與 360 改成

310 S = 1.5708-SGN(1/COS(X))*1.5708+SGN(1/COS(X))*ATN(ABS(TAN(X))) 360 S = SGN(1/SIN(X))*(1.5708-ATN(ABS(1/TAN(X))))

得各題之答為

( 5) 1 ( 6) 1.000004 (11) 2.000007 (12) 1.141596 (17) 3.000007 (18) .1415962 (23) 2.283193 (24) −.8584109 (29) 1.283185 (30) −1.283189 (35) .2831853 (36) −.283189 (41) .7168147 (42) .7168183 (47) 1.716822 (48) 1.424782 和我作的比對, 至小數第五位或第六位才有誤差, 也就很滿意了。

(11)

審稿人又說: 反三角函數只能藉由 arctangent 來計算, 那是 15∼20 年前的事, 現在藉由 Gwbasic 以 arctangent 來算其他的反三角函數值, 大概有很多人會搞不清楚為什麼要這樣做。

我想 GWBASIC 作與 MAPLE 作是不一樣的, 前者適合高中生, 後者適合大學生。二者有差別, 前者 “數學內涵” 多, 後者完全不懂反三角函數, 也一樣可以作, 作了以後大腦一片空白。例如測試 1237 是否為質數, 使用 Mathematica 來作, 求 PrimeQ[1237] 的結果, 馬上就可以知道它是 true 或 false; 寫個 Basic 程式, 用小於或等於 1237 的平方根的質數來逐一試除, 都不能除盡, 所以 1237 就是質數了。二者感受不同, 前者初中生就可以作了, 後者要高中生才能設計。吃甘庶與喝甘庶汁也是不同的, 後者沒有感覺, 前者有成就感。

不談使用電腦與否, 這 48 題高中生學反三角函數時應該作一作。所以審稿人說「.. 那是 15∼20 年前的事..」我是期期以為不可。而審稿人「..MAPLE 執行的結果, .. 是用符號計算 (symbolic calculation) 值表示出來」至少對初學反三角函數的高中生來說是沒有意義的, 至於一般的大學生, 因為審稿人又說「目前大學一年級學生, 反三角函數概念清楚的, 實在不多..」, 所以「符號計算 (symbolic calculation) 」對「目前大學一年級學生」來講意義也不大。 MAPLE 的作法是數學家、數學老師、大學理工科資優生用的, 他們的數學有相當程度, 至少對反函數、反三角函數有很清楚的認知, 使用高階語言 MAPLE 才有意義。

本來我以為審稿人是剛拿到學位的老師, 才會有這種想法, 可是他用了「.. 一對一且映成..」的文字, 所以他在讀高一時是在民國 54 年至 62 年間 (54∼62), 因為那時本地高中都是用的東華本, 也只有這幾年才用這種文字, 以後都用「.. 對射且蓋射..」了。所以審稿人的年紀應是 45∼53 之間, 也是資深有經驗的老師了, 對本人看法也許不能欣然同意, 至少也會坦然接受。教材教法很是敏感, 因為它是見人見智的事。

審稿人說: 目前大學一年級學生, 反三角函數概念清楚的, 實在不多。檢討過去高一下的數學課程, 三角函數從和積互化公式開始, 到正餘弦函數之疊合、棣美弗定理、 1 的 n 次方根。課程幾乎用趕的, 在學生資質中等的學校, 教得真是辛苦。新課程實施之後, 加入反三角函數的教學, 更是雪上加霜, 我們迫切需要有更簡單、明瞭、直觀的教材, 數學老師要更用心的把它說明清楚, 是不爭的事實。

甚麼都可以速成, 只有學問不能速成。本文與拙著「四個階段的數學」原載「數播 80」或可為「我們迫切需要有更簡單、明瞭、直觀的教材」之缺失稍作棉薄。

公式 8 等號右邊少了一個負號, 審稿人把它與自己發現的公式 6 與 7 都作了證明, 因為都是用圖形來證的, 簡潔又漂亮, 我把它納入本文。

(12)

審稿人的公式 6 和證明

sec

⁻¹

(x) = π

2 − sgn(x) · π

2 + sgn(x) · tan

⁻¹

√ x

²

− 1

...

.. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. . . .. .. . ... . .. .. . .. . .. .. ..

... .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .

sec

⁻¹

x x

1

√x

²

− 1

.. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. ..

圖 1 證明:

因為 sec

⁻¹

: {x| |x|≥1} → {y|0≤y ≤π, y 6=

^π 2

} tan

⁻¹

: {x| x∈R} → {y| −

^π 2

< y <

^π ₂

} 由右圖 (1) 可以看出, 當 x ≥ 1 時, sec

⁻¹

x = tan

⁻¹

√

x

²

− 1

.

...

.. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . ... .. . .. .. . .. .. .. .

.

... . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. .

. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. ..

. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. .

sec

⁻¹

x

tan

⁻¹

√ x

²

− 1

−x

1 -1

√x

²

− 1

√x

²

− 1

. .. .. . .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . . .. . . .. ..

. .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . .. . . .. .. .

圖 2

由上圖 (2) 可以看出, 當 x ≤ −1 時, sec

⁻¹

x= π − tan

⁻¹

√ x

²

− 1 我們取 (tan

⁻¹

√

x

²

−1) 與 (π−tan

⁻¹

√

x

²

−1) 的算數平均數

^π ₂

為中心, 用 (

^π ₂

−tan

⁻¹

√ x

²

−1) 的差量以 sgn(x) 來調整, 就得到公式:

sec

⁻¹

(x) = π

2 − sgn(x) ·π

2 + sgn(x) · tan

⁻¹

√

x

²

− 1, 其中 |x| ≥ 1

審稿人的公式 7 與證明

csc

⁻¹

(x) = sgn(x) · (

^π ₂

− tan

⁻¹

√

x

²

− 1), 或 csc

⁻¹

(x) = sgn(x) · tan

⁻¹ ^√ x ¹

2

−1

(|x| 6= 1)

當 x ≥ 1 時, 可用右圖 (3) 表示, 當 x ≤

−1 時同理可證。

...

.. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . . .. .. . ... . .. .. . .. .. . .. ..

... .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .

csc

⁻¹

x x

√x

²

− 1

1

.. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . . .. . . ..

圖 3

(13)

審稿人證明公式 8 (原文等號右邊少一負號)

由下圖 (4), 當 x > 0 時, 容易看出 cot

⁻¹

x+ tan

⁻¹

x=

^π ₂

的關係

.

...

. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. . .. ... .. .. .. . .. .. . .. .

.

... . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . ..

cot

⁻¹

x

tan

⁻¹

x

√x

²

+1

x

1

. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .

. . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . .. . .. . .. . .. .. .

圖 4

當 x < 0 時, 如圖 (5), cot

⁻¹

x 是個鈍角, 它的終邊落在第二象限, tan

⁻¹

x 是一個負角, 終邊落在第四象限 cot

⁻¹

x+ tan

⁻¹

x=

^π ₂

的關係依然存在。

...

.. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. .. . ... .. .. . .. .. .. . .. .

... .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .

.. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . . .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. ..

. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. .

cot

⁻¹

x tan

⁻¹

x x

1

x 1

... . .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. . .. . .. .. . . .. .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . . .. . .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. ..

... ..

.. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . ..

圖 5 當 x = 0 時, cot

⁻¹

x+ tan

⁻¹

x=

^π ₂

也成立

—本文作者執教建中現已退休—