賭戲公平賠率漸近性質的探討

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賭戲公平賠率漸近性質的探討

Lambert W 函數的一個應用實例

蘇柏奇

摘要: 本文提供一個中學生可以瞭解的賭戲情境, 透過期望值之計算, 採用觀察、推測、驗證及一般化的策略, 來求出一個賭局的公平賠率及公平顆數。進而藉助於電腦套裝軟體 Maple 所提供計算能力的協助, 來探討公平顆數與骰子面數之比值的漸近性質。在解決問題的過程中, 意外的涉及了 Lambert W 函數, 因其並非初等函數, 提供中學生一個結合資訊科技和網路資源, 以擴展其數學能力的具體實例。

1. 從民間的一個骰子賭戲說起

1.1. 投擲 3 顆 6 面骰子之賭戲

民間有一個常見的骰子賭戲, 賭戲進行時, 檯面上有 3 × 2 的六格方陣, 其上分別有 1∼6 點的圖像, 賭客將賭金放至格子內來下注, 下注完畢, 莊家一次投擲三顆骰子, 接著便依照所擲出的點數來計算輸贏。出現一顆的點數, 莊家賠給下注者下注金額的一倍, 同理, 兩顆則賠兩倍, 三顆則賠三倍, 而未出現的點數之押金則全歸莊家所有。為什麼莊家採用投擲三顆六面骰子的模式呢?

六種點數中, 無論押哪一個點數, 輸贏並無差別, 不妨假設押1點1元, 計有:「沒有出現1 點, 賠1元」、「恰出現一個1點, 賺1元」、「恰出現兩個1點, 賺2元」及「恰出現三個1點, 賺3 元」等四種情形, 其期望值約為 -0.0787。依照相同規則, 投擲兩顆或四顆骰子的期望值分別約為 -0.3611 及 0.1844。從期望值看來, 投擲三顆骰子雖然稍有利於莊家, 但不失為最接近公平的方式。若將期望值為 0 的骰子顆數稱為「公平顆數」, 但此賭戲的公平顆數是一個介於3、 4之間的非整數, 因此民間的莊家通常採取三顆六面的模式。

若將出現所押點數一顆時, 所賠金額與押金的比值稱為「賠率」 (本賭戲之賠率即為1), 並 將期望值為 0 的賠率稱為「公平賠率」。民間擲三顆骰子賭戲之公平賠率為何? 設賠率為 t, 押 1

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點 1 元, 若出現一個 1 點, 得 t 元; 兩個 1 點, 得 2t 元; 三個 1 點, 得 3t 元; 若未出現 1 點, 則損 失 1 元。其期望值為 −125 + 108t

216 。當期望值為 0 時, 得公平賠率為 t = 125

108 = 1.157 . . . .。

1.2. 投擲 k 顆 n 面之骰子的賭戲

我們接著考慮一般的情形, 考慮「投擲 k 顆 n 面骰子 (點數分別為 1, 2, . . . , n), 若出現 所押點數 a 顆 (a > 0), 則獲得押金的 at 倍; 若未出現所押點數, 則沒收押金」之賭戲, 試問 公平賠率 t 為何? 假設押 1 點 1 元, 輸贏情況如下:

出現 1 點之骰子數出現 1 點骰子之排列數其它點數骰子之排列數輸贏金額

0 C₀^k (n− 1)^k -1

1 C₁^k (n− 1)^k⁻¹ t

... ... ... ...

k C_k^k (n− 1)^k^−k kt

其期望值為

C₀^k× (n − 1)^k× (−1)

n^k +· · · + C_i^k× (n − 1)^k⁻ⁱ× it

n^k +· · · +C_k^k× (n − 1)^k^−k × kt n^k

=−(n − 1)^k+ t∑k

i=1C_i^k× (n − 1)^k⁻ⁱ× i n^k

當期望值為 0 時, 得公平賠率

t = (n− 1)^k

∑k i=1

C_i^k× (n − 1)^k⁻ⁱ× i

(1)

式中分母

∑k i=1

C_i^k× (n − 1)^k⁻ⁱ× i =

∑k i=1

k× Ci^k−1⁻¹× (n − 1)^k⁻ⁱ。當令 j = i − 1 時, 左式 可化簡為

k×

k−1

∑

j=0

C_j^k⁻¹× (n − 1)^(k^−1)−j = k× n^k⁻¹ 代入 (1), 得公平賠率

t = (n− 1)^k

kn^k⁻¹ (2)

我們將在下一節探討若放寬顆數須為整數的限制時, 民間賭戲的公平顆數的相關問題。

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2. 利用 Maple 求解公平顆數

若放寬顆數須為整數的限制, 則民間賭戲的公平顆數為何? 將 t = 1、 n = 6 代入 (2), 則 公平顆數即為 5^k− k6^k⁻¹ = 0 的解。利用 Maple 求解, 得 k 值:

> fsolve(5^x-x*6^(x-1)=0,x);

3.292126772

接著利用 Maple 分別計算 n = 10 及 n = 1, 000 時之骰子的公平顆數。

> fsolve(9^x-x*10^(x-1)=0,x);

5.564147008

> fsolve(999^x-x*1000^(x-1)=0,x);

567.0406229

將 n = 6、10、50、150、200、400、900、1,000 之公平顆數列表如下,

n k k/n

6 3.29212677 0.5486877953 10 5.56414701 0.5564147008 50 28.2536524 0.5650730472 150 84.9685761 0.5664571741 200 113.325814 0.5666290715 400 226.754583 0.5668864568 900 510.326289 0.5670292100 1000 567.040623 0.5670406229

從中不難發現 k/n 的值都相當接近。於是我們大膽猜測: 當 n 越來越大時, k/n 將會趨近於 某一個定值。我們將觀察以 n 為變數的函數 s = k/n 的漸近性質。將 k = sn 及 t = 1 代入 (2), 化簡得 (n− 1)^sn

n^sn = s, 再化簡得

(1− 1

n)ⁿ = s¹^s (3)

我們再利用 Maple, 分別計算 n = 10, 000、 n = 100, 000 及 n = 1, 000, 000 時, 所對應的 s 值。

(4)

> fsolve((1-1/10000)^10000=s^(1/s),s);

0.5671330276

> fsolve((1-1/100000)^100000=s^(1/s),s);

0.5671422642

> fsolve((1-1/1000000)^1000000=s^(1/s),s);

0.5671431878

將三種面數之 s 值列表如下,

n s

10,000 0.5671330276 100,000 0.5671422642 1,000,000 0.5671431878

我們相信當 n 越來越大時, s 會趨近於一個定值。中學階段的數學工具不足以求出 s 來, 我們 再次利用 Maple 來求解 (3)

> solve((1-1/n)^n=s^(1/s),s);

得到

s =

−Lambert W(

− n ln(ⁿ⁻¹_n ) )

n ln(ⁿ⁻¹_n ) (4)

式 4 中, Maple 利用 Lambert W 函數表出 s 的值來。

Lambert W 函數 (朗伯 W 函數), 又稱為「歐米加函數」或「乘積對數」, 是複變函數 f (z) = ze^z 的反函數。即對所有的複數 z, 可以得到 W (z)e^{W (z)} = z。事實上, Lambert W 函數是一個多值函數。若限制 W , x 為實數, 則函數僅對於 x ≥ −1/e ≈ −0.3678 · · · 有定 義, 在區間 (−1/e, 0) 內是多值的; 如果加上 w ≥ −1 的限制, 則定義了一個如下圖的單值函 數 W (x)。

(5)

Lambert W 函數雖不能用初等函數來表示, 但在諸多領域有廣泛的運用, 例如它可以用來解許多含有指數的方程, 也出現在某些微分方程的解中; 在組合數學方面, 則運用於樹狀圖個數的計算。 (以上資料, 引自維基百科) 我們則在前兩節中, 藉著投擲骰子的賭戲情境, 透過 Maple 計算上的協助, 也引出了 Lambert W 函數。

式 (4) 中, 利用 l’Hospital Rule, 得

nlim→∞

(− n ln(n− 1 n )

)

= 1.

故得

nlim→∞s =

limn→∞Lambert W

(− n ln(ⁿ⁻¹_n ) )

lim_n_→∞

(− n ln(ⁿ⁻¹_n )

) = Lambert W(1).

查詢維基百科, 得 Lambert W(1) = Ω, 利用 Maple 計算其近似值。

> evalf((LambertW(1)),60);

0.567143290409783872999968662210355549753815787186512508135131 故得賠率為 1 之賭戲, 當 n 夠大時, s 會趨近於 Ω。

4. 更進一步的分析

在成功的解出賠率為 1 時, s 的值趨近於一個定數 Ω 之後, 我們再問賠率為 t 時的 s 值 是否也有類似的性質? 將 k = ns 代入 (2), 化簡得 st = (1 − 1/n)^sn, 當 n 無限大時, 再化 簡為 st = e^−s, 得 se^s = 1/t, 利用 Lambert W 函數, 即得

s = Lambert W(1/t) (5)

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不難得知, 給定骰子面數, 當賭局賠率越低時, 公平顆數就越高。但是否可能出現賠率很低, 而使得公平顆數幾乎與骰子面數相當, 甚或超過的狀況呢? 直覺上是有可能的, 但此時賠率 為何? 試求公平顆數等於骰子面數時的賠率, 將 s = 1 代入 (5), 得 Lambert W(1/t) = 1, 因為 Lambert W(e) = 1,

故得當 n 無限大時, t = e⁻¹ = 0.3678· · · 。

參考文獻

1. 維基百科: Lambert W 函數、 Ω 常數。

—本文作者任教苗栗縣立興華高中^—