四技二專

(1)

四技二專

統一入學測驗

數學（Ｃ）

一、試題分析

110 年統測數學 C 是一份難易適中的試卷。這次的題目有別於 108、109 年的偏難試卷（註：108、109 年統測數學 C 滿分各僅有 17、26 位），試題的難易分配平均，中等偏易的題目置於卷首，偏難或繁瑣的題目置於卷末，而大都是中等上下的題目，整體考生的分數應會提高不少。其他特色如下：

1. 生活素養：

「108 數學新課綱」強調生活素養，統測已經連續三年加入生活素養題，而敘述也更加精簡流暢。如：第 4、7、12、21、24 題。

2. 圖形試題：

這次統測有圓錐曲線的圖形描繪，有向量的描繪，有要找三角函數圖形的交點，

這些都需要把圖形描繪出來以輔助求解，平時宜培養畫圖解題的習慣。如：第 8、

9、16、18、25 題。

3. 參考公式的提示：

統測已經連續五年提供參考公式，這些公式已不再是聊備一格，在解題時都可以提供關鍵的提示，考生應善用「參考公式」去思考解題策略。

如：第 2 題以參考公式提供的「三角函數的平方和關係式」來處理，輔以平方差公式，可以迅速解題。倘若以「正切（ tan ）的商數關係和正割（sec ）的倒數關係」來解題，恐怕是化簡為繁，更耗費時間。

4. 特殊試題(1)：

第 5 題是取材自大學微積分習題，目的應是測驗考生以導數的定義來輔助求解，

但是此題將極限直接運算，反而更簡易。

5. 特殊試題(2)：

第 25 題乍看之下是要以定積分求面積，但是課綱內並無介紹對數函數的積分，因此本題似乎只是在估計面積。

綜合上述，110 年的考生得分將會回歸常態，各種程度的學生都會有適當的鑑別度。只不過這兩年，若當年數學學測的題目偏易（難），則當年統測數學Ｃ似乎就會因而偏難（易）。考生們也許可以參考來年數學學測的風向

110 年

(2)

二、配分比例表

單元名稱題數單元名稱題數

直線方程式 1 數列與級數 1

三角函數 1 指數與對數及其運算 2

三角函數的應用 3 排列組合 2

向量 1 機率與統計 2

式的運算 2 圓 1

聯立方程式 2 二次曲線 2

複數 1 微分 1

不等式及其應用 1 積分 2

(3)

數學 C 參考公式

1. 三角函數的平方和關係式：1 tan ² sec² 2. 三角函數的二倍角公式：sin 2 2sin cos 

3. 三角函數的和差角公式：^sin^{ }^ ^^{sin cos}^ ^ ^^{cos sin}^ ^

4. ABC 的正弦定理：

sin sin sin

a b c

A  B  C 5. 算幾不等式：若a0,b ，則0

2

a b  ab

單選題（每題 4 分，共 100 分）

( ) 1. 若

^x^^{3 1}³^x^^x^¹ ^ ^x^A^³^ ^x^B^¹^，其中A、 B 為實數，則下列何者正確？

(A)A  (B)2 B  (C)1 A   (D)2 B   。 1 ( ) 2. 若 tan sec  ，則 tan5  sec  ？

(A) 3

 (B) 15

 (C) 15

5 (D) 3 5。

( ) 3. sin10 cos10 cos50 sin 25 cos25 cos20        ？ (A) 1

2 (B) 1

4 (C) 1

 (D) 14

 。 2 ( ) 4. 某實驗室將 108 個不同樣本在常溫

常壓下依固體、液體、氣體及金屬、

半金屬、非金屬分類如表(一)。若從固體及液體類中取出一個樣本，

則其為半金屬的機率為何？

(A) 5

32 (B) 3

32 (C) 1

16 (D) 1 18。

總分

固體液體氣體總計金屬 79 2 0 81 半金屬 9 0 0 9 非金屬 5 1 12 18

總計 93 3 12 108

表(一)

110

學年度四技二專統一入學測驗

數學(C)

(4)

( ) 5.  

0

1 1

3 2 3 2 limh

h h



   

 ？ (A) 1

25 (B) 1

 (C) 19

9 (D) 1 25。 ( ) 6. 若 ⁷

1

2 2 1

m

a m

 m

 



 ^、^b^_k



⁶_₀ ₂^k_k^_¹₁^、^c^



_i_⁸₃ _{2 5}ⁱ_i^_⁴ ，則下列敘述何者正確？

(A)b a c  (B)c a b  (C)c a b  (D)a b c  。 ( ) 7. 設 ( )I t 為 A 城市某種傳染病在時間t 的感染率，且  

3

1 , 0 1 49 7 ^t

I t  _ t 

 

  

 

。

若 a 、b 、c 分別表示t  、0 t  、3 t  時的感染率，則下列何者正確？ 6 (A)b6a (B)c20a (C)c4b (D)b7a。

( ) 8. 若圓 C 與 y 軸相切，且圓心為拋物線y x ²4x5之頂點，則下列何者為圓C 的方程式？

(A)x²y²4x2y  (B)4 0 x²y²4x2y1 0 (C)x²y²4x2y4 0 (D)x²y²4x2y1 0 。

( ) 9. 若有兩個二次曲線方程式，分別為 x²4y²4x16y  與4 0

  ² ² ₁

5 2

4

1

x y 

 

 ，則下列何者為此兩曲線的圖形組合？

(A) (B)

(C) (D)

( ) 10.若 k 為實數，且二元一次聯立方程組

  ²

3 1 0

4 1 8 1 0 k x y k

x k y k





   

  有無限多組解，

則 k 可為下列何值？

(A) 3 (B) 1 (C) 1 (D) 3。

(5)

( ) 11. 若 x 、 y 、 z 為相異實數，則三階行列式

x y x y x y z y z y z x z x z

 

  

 

？

(A)0 (B)x y y z z x     (C)



^x²^^y²



^y²^^z²



^z²^^x²



(D)^{x y}^  ² ^{y z}^  ² ^{z x}^ ²^。

( ) 12. 跆拳道隊有 8 個隊員，教練安排所有隊員每 2 人一組分別在 A、B、C 、D 四個不同場地練習，則共有幾種安排的方式？

(A)105 (B)2520 (C)5040 (D)40320。

( ) 13. 已知 a 、 b 為實數。若直線L₁: y ax b  與L₂: y bx a  相互垂直，且

2 2 50

a b  ，則L₁與L₂的交點與原點的距離為多少？

(A) 4 3 (B)7 (C)5 2 (D) 2 13 。

( ) 14. 已知 ABC 中， a 、 b 、 c 分別為 A 、 B 、 C 之對邊長。若 : : 3 : 4 : 6

ab bc ca  ，則sin : sin : sinA B C  ？ (A)4：3：2 (B)4：2：3 (C)2：3：4 (D)3：2：4。

( ) 15. 已知三次多項式 ^{f x} ^^{ax bx}³^ ²^^{cx d}^ ^滿足 ^f  ¹ ^ ^f  ² ^ ^f  ^{  ，且}² ²

 ^{1 8}

f   ，則下列何者正確？

(A)a  1 (B)b  (C)1 c   4 (D)d  。 4

( ) 16.已知 , ,a b c 為平面上的三向量，且 a c  ，0 b c  ，0 a  ，5 b  ，12 13

c  。若 a b  ，則 a b0   ？ (A) 30 (B) 60 (C) 65 (D) 156 。 ( ) 17.



³₁³^x^²¹¹⁰^dx ^^？

(A)7¹¹¹ 1

333 (B)3¹¹¹ 1

333 (C)7¹¹⁰ 1

330 (D)7¹¹¹ 1 111 。 ( ) 18. 下列敘述何者正確？

(A) tan

y 3的週期為

 3 (B)tan² sec²  1

(C) 2 sin  cos  2 (D)若 cos sin ，則 2

4 n

    ，其中 n 為整數。

(6)

( ) 19. 已知i   ，1

2 2

3 3

i i a bi

i i

       

     

    ，則 a b  ？ (A) 1 3

2

  (B) 1 (C) 1 3 2

  (D)1。

( ) 20. 若 x 為實數，則 ² 2 ₂9 x 2

  x

 的最小值為何？

(A) 2 (B) 5

2 (C)13

2 (D)6 。

( ) 21. 一個空的書櫃有上、中、下共三層，若將國文、英文、數學三本課本放入書櫃的任一層，且當課本放在同一層左右順序不同時視為不同排列，則共有幾種不同的排法？

(A)60 (B)36 (C) 27 (D)18。

( ) 22. 若直線y mx 與拋物線 ^{f x} ^{  }^x² ⁴^x 相切，且切點在第一象限內，則¹ m ？

(A)1 (B) 2 (C) 4 (D)6 。 ( ) 23. ₁⁴ x 1 x 1 dx

x x

     

  

 



^？

(A) 57

5 (B) 77

5 (C) 87

5 (D)107 5 。 ( ) 24. 小明量測園藝店同一種盆栽 21 棵植

物的高度資料如表(二)，其中有一盆高度為 24 公分，可視為量測異常值。

若將此異常值從資料中移除，則下列哪一個統計量，在移除前後改變最多？

(A)平均數 (B)中位數 (C)眾數 (D)全距。

( ) 25. 假設 A表函數ylog₃x圖形與直線y  、0 x 3所圍區域面積，如圖(一)。若以幾何圖形的觀念來判斷 A的大小範圍，則下列何者正確？

(A)0 1 A 2

  (B) 1 1

2  (C)1A   A 2 (D)A  。 2

21 棵盆栽的高度（單位：公分）

8 9 9 9 10 10 11 11 12 12 12 12 13 13 13 14 14 15 15 16 24

表(二)

圖(一)