四技二專

四技二專

統一入學測驗

數學（Ｃ）

一、試題分析

110 年統測數學 C 是一份難易適中的試卷。這次的題目有別於 108、109 年的偏難 試卷（註：108、109 年統測數學 C 滿分各僅有 17、26 位），試題的難易分配平均，中 等偏易的題目置於卷首，偏難或繁瑣的題目置於卷末，而大都是中等上下的題目，整 體考生的分數應會提高不少。其他特色如下：

1. 生活素養：

「108 數學新課綱」強調生活素養，統測已經連續三年加入生活素養題，而敘述 也更加精簡流暢。如：第 4、7、12、21、24 題。

2. 圖形試題：

這次統測有圓錐曲線的圖形描繪，有向量的描繪，有要找三角函數圖形的交點，

這些都需要把圖形描繪出來以輔助求解，平時宜培養畫圖解題的習慣。如：第 8、

9、16、18、25 題。

3. 參考公式的提示：

統測已經連續五年提供參考公式，這些公式已不再是聊備一格，在解題時都可以 提供關鍵的提示，考生應善用「參考公式」去思考解題策略。

如：第 2 題以參考公式提供的「三角函數的平方和關係式」來處理，輔以平方差 公式，可以迅速解題。倘若以「正切（ tan ）的商數關係和正割（sec ）的倒數 關係」來解題，恐怕是化簡為繁，更耗費時間。

4. 特殊試題(1)：

第 5 題是取材自大學微積分習題，目的應是測驗考生以導數的定義來輔助求解，

但是此題將極限直接運算，反而更簡易。

5. 特殊試題(2)：

第 25 題乍看之下是要以定積分求面積，但是課綱內並無介紹對數函數的積分，因 此本題似乎只是在估計面積。

綜合上述，110 年的考生得分將會回歸常態，各種程度的學生都會有適當的鑑別 度。只不過這兩年，若當年數學學測的題目偏易（難），則當年統測數學Ｃ似乎就會因 而偏難（易）。考生們也許可以參考來年數學學測的風向

110 年

二、配分比例表

單元名稱 題數 單元名稱 題數

直線方程式 1 數列與級數 1

三角函數 1 指數與對數及其運算 2

三角函數的應用 3 排列組合 2

向量 1 機率與統計 2

式的運算 2 圓 1

聯立方程式 2 二次曲線 2

複數 1 微分 1

不等式及其應用 1 積分 2

數學 C 參考公式

1. 三角函數的平方和關係式： 1 tan 

²

  sec

²

 2. 三角函數的二倍角公式：sin 2   2sin cos  

3. 三角函數的和差角公式： ^sin



^{  }



^{ sin cos    cos sin  }

4. ABC 的正弦定理：

sin sin sin

a b c

A  B  C 5. 算幾不等式：若 a  0, b  ，則 0

2

a b   ab

單選題（每題 4 分，共 100 分）

( ) 1. 若



^{x  3 1 3 x}



^{ x  1}



^{ x A  3  x B  1 ，其中} A、 B 為實數，則下列何者正確？

(A) A  (B) 2 B  (C) 1 A   (D) 2 B   。 1 ( ) 2. 若 tan   sec   ，則 tan 5   sec   ？

(A) 3

 (B) 1 5

 (C) 1 5

5 (D) 3 5 。

( ) 3. sin10 cos10 cos50 sin 25 cos25 cos20         ？ (A) 1

2 (B) 1

4 (C) 1

 (D) 1 4

 。 2 ( ) 4. 某實驗室將 108 個不同樣本在常溫

常壓下依固體、液體、氣體及金屬、

半金屬、非金屬分類如表(一)。若 從固體及液體類中取出一個樣本，

則其為半金屬的機率為何？

(A) 5

32 (B) 3

32 (C) 1

16 (D) 1 18 。

總 分

固體 液體 氣體 總計 金屬 79 2 0 81 半金屬 9 0 0 9 非金屬 5 1 12 18

總計 93 3 12 108

表(一)

110

學 年 度 四 技 二 專 統 一 入 學 測 驗

數學(C)

( ) 5.

 

0

1 1

3 2 3 2 lim

h

h h



   

 ？ (A) 1

 25 (B) 1

 (C) 1 9

9 (D) 1 25 。 ( ) 6. 若

⁷

1

2 2 1

m

a m



m

 

  ^{、 b }

_k



⁶_0

₂ ^k _k ^ _ ¹ ₁ ^{、 c } 

_i⁸₃

_{2 5} ⁱ _i ^ _ ⁴ ，則下列敘述何者正確？

(A)b a c   (B)c a b   (C)c a b   (D)a b c   。 ( ) 7. 設 ( ) I t 為 A 城市某種傳染病在時間t 的感染率，且

 

3

1 , 0 1 49 7

^t

I t 

_

t 

 

  

 

。

若 a 、b 、c 分別表示 t  、 0 t  、 3 t  時的感染率，則下列何者正確？ 6 (A) b  6 a (B) c  20 a (C) c  4 b (D) b  7 a 。

( ) 8. 若圓 C 與 y 軸相切，且圓心為拋物線 y x 

²

 4 x  5 之頂點，則下列何者為 圓C 的方程式？

(A) x

²

 y

²

 4 x  2 y   (B) 4 0 x

²

 y

²

 4 x  2 y  1 0  (C) x

²

 y

²

 4 x  2 y  4 0  (D) x

²

 y

²

 4 x  2 y  1 0  。

( ) 9. 若 有 兩 個 二 次 曲 線 方 程 式 ， 分 別 為 x

²

 4 y

²

 4 x  16 y   與 4 0

  ² ²

₁

5 2

4

1

x y 

 

 ，則下列何者為此兩曲線的圖形組合？

(A) (B)

(C) (D)

( ) 10.若 k 為實數，且二元一次聯立方程組

  ²

3 1 0

4 1 8 1 0 k x y k

x k y k

 



   

   

  有無限多組解，

則 k 可為下列何值？

(A) 3

 (B) 1 2

 (C) 1 2

2 (D) 3

2 。

( ) 11. 若 x 、 y 、 z 為相異實數，則三階行列式

x y x y x y z y z y z x z x z

 

  

 

？

(A)0 (B)



x y y z z x 







 (C)



 ^x

²

^{ y}

²

 ^y

²

^{ z}

²

 ^z

²

^{ x}

²



(D)



^{x y }

 ²

^{y z }

 ²

^{z x }

²

^。

( ) 12. 跆拳道隊有 8 個隊員，教練安排所有隊員每 2 人一組分別在 A、B、C 、D 四個不同場地練習，則共有幾種安排的方式？

(A)105 (B)2520 (C)5040 (D)40320。

( ) 13. 已知 a 、 b 為實數。若直線 L

₁

: y ax b   與 L

₂

: y bx a   相互垂直，且

2 2

50

a  b  ，則 L

₁

與 L

₂

的交點與原點的距離為多少？

(A) 4 3 (B)7 (C)5 2 (D) 2 13 。

( ) 14. 已 知 ABC  中 ， a 、 b 、 c 分 別 為 A  、 B  、 C  之 對 邊 長 。 若 : : 3 : 4 : 6

ab bc ca  ，則sin : sin : sin A B C  ？ (A)4：3：2 (B)4：2：3 (C)2：3：4 (D)3：2：4。

( ) 15. 已知三次多項式 ^{f x}

 

^{ ax bx}

³

^

²

^{ cx d  滿足 f}

 

^{1  f}

 

^{2  f}

 

^{  ，且 2 2}

 

^{1 8}

f   ，則下列何者正確？

(A) a   1 (B) b  (C) 1 c   4 (D) d  。 4

( ) 16.已知 , , a b c 為平面上的三向量，且 a c   ， 0 b c   ， 0 a  ， 5 b  ， 12 13

c  。若 a b   ，則 a b 0   ？ (A) 30  (B) 60  (C) 65  (D) 156  。 ( ) 17. 

³₁

^{3 x  2}

¹¹⁰

^{dx  ？}

(A) 7

¹¹¹

1

333  (B) 3

¹¹¹

1

333  (C) 7

¹¹⁰

1

330  (D) 7

¹¹¹

1 111  。 ( ) 18. 下列敘述何者正確？

(A) tan

y   3 的週期為

 3 (B) tan

²

  sec

²

  1

(C)  2 sin    cos   2 (D)若 cos   sin  ，則 2

4 n

     ，其中 n 為整數。

( ) 19. 已知 i   ， 1

2 2

3 3

3 3

i i a bi

i i

        

     

    ，則 a b   ？ (A) 1 3

2

  (B) 1  (C) 1 3 2

  (D)1。

( ) 20. 若 x 為實數，則

²

2

₂

9 x 2

  x

 的最小值為何？

(A) 2 (B) 5

2 (C)13

2 (D)6 。

( ) 21. 一個空的書櫃有上、中、下共三層，若將國文、英文、數學三本課本放入 書櫃的任一層，且當課本放在同一層左右順序不同時視為不同排列，則共 有幾種不同的排法？

(A)60 (B)36 (C) 27 (D)18。

( ) 22. 若直線 y mx  與拋物線 ^{f x}

 

^{   x}

²

^{4 x}  相切，且切點在第一象限內，則 ¹ m ？

(A)1 (B) 2 (C) 4 (D)6 。 ( ) 23.

₁⁴

x 1 x 1 dx

x x

       

  

 

 ^？

(A) 57

5 (B) 77

5 (C) 87

5 (D)107 5 。 ( ) 24. 小明量測園藝店同一種盆栽 21 棵植

物的高度資料如表(二)，其中有一盆 高度為 24 公分，可視為量測異常值。

若將此異常值從資料中移除，則下 列哪一個統計量，在移除前後改變 最多？

(A)平均數 (B)中位數 (C)眾數 (D)全距。

( ) 25. 假設 A表函數 y  log

₃

x 圖形與直線 y  、 0 x  3 所圍區 域面積，如圖(一)。若以幾何圖形的觀念來判斷 A的大 小範圍，則下列何者正確？

(A) 0 1 A 2

  (B) 1 1

2   (C)1 A   A 2 (D) A  。 2

21 棵盆栽的高度（單位：公分）

8 9 9 9 10 10 11 11 12 12 12 12 13 13 13 14 14 15 15 16 24

表(二)

圖(一)

110 年統一入學測驗 數學(C)

本試題答案係依據統一入學測驗中心公布之標準答案

1.

［解 1］

(1) 在處理部分分式時，先消去分母

(2) 當兩多項式相等時，任一實數代入兩多項 式所得到的值也相等

［解 2］

(1) 在處理部分分式時，先消去分母

(2) 當兩多項式相等時，其相對應的次數與係 數均相等

［解 1］



^x33x



^x11



^{ xA3xB1}

上式等號的兩側同乘以



^x3



^{x ，得 1}



   

3x 1 A x 1 B x3  (1) 令x  代入： 3

   

3 3 1        A 3 1 B 3 3  8 2 A  0 A  4 (2) 令x  代入： 1

   

3 1 1        A 1 1 B 1 3  2 0 2B   B   1

由(1)和(2)可知，A  ，4 B   ，故選(D) 1

［解 2］



^x33x



^x11



^{ xA3xB1}

上式等號的兩側同乘以



^x3



^{x ，得 1}



   

3x 1 A x 1 B x 3



^{Ax A}

 

^{Bx 3B}



   



^{A B x}

 

^{A 3B}



    

由多項式相等，則 3

3 1

A B A B

  

   









  ： 2 B  2 B   1 1

B   代入：A    

 

^{1 3} A  4 因此A  ，4 B   ，故選(D) 1

2.

(1) 三角函數的平方和關係式：

2 2

1 tan  sec 

 tan²sec²   1 (2) 平方差公式：

  

2 2

A B  A B A B 

三角函數平方和關係式：

2 2

1 tan sec 

 tan²sec²  1





^{tansec}



^{tansec}



^{  1}

∵ tansec 5

∴ ^{5 tan}



^sec



^{  1}

 tan sec 1

    5

3.

(1) 三角函數的二倍角公式：

sin 22sin cos   sin cos 1sin 2

  2  (2) 三角函數的和差角公式：

 

sin   sin cos cos sin  (3) 三角函數的負角公式：

 

sin    sin

1.D 2.B 3.C 4.B 5.A 6.D 7.C 8.D 9.D 10.C

11.A 12.B 13.B 14.D 15.C 16.B 17.A 18.C 19.B 20.A

21.A 22.B 23.A 24.D 25.C

觀察

sin10 cos10  cos50  sin 25 cos25  cos20

(1) 由正弦的二倍角公式 sin cos 1sin 2

  2 

  

 

 

 

1 1

sin10 cos10 sin 2 10 sin 20

2 2

      

 

1 1

sin 25 cos25 sin 2 25 sin50

2 2

       (2) sin10 cos10  cos50  sin 25 cos25  cos20

 1 sin 20

2  cos50  1 sin50

2  cos20

 

1 sin20 cos50 cos20 sin50

2     

 

1 sin20 cos50 cos20 sin50

2     

   

1sin 20 50 1sin 30

2 2

      

 

1 sin30 1 1 1

2 2 2 4

 

        

4.

機率的定義：

設樣本空間 S 之中，每個樣本發生的機會均 等，若 A S ，則事件 A 發生的機率為

   

^{n A}

 

^A

P A  n S  事件 的元素個數S 樣本空間 的元素個數

(1) 設樣本空間 S 為固體及液體類

而固體類有 93 個樣本，液體類有 3 個樣 本，則^{n S }

 

^{93 3 96 }

(2) 設從固體及液體類中取出一個樣本為半 金屬的事件為 A，而固體類的半金屬有9 個樣本，液體類的半金屬有 0 個樣本，則

 

^{9 0 9}

n A    由(1)和(2)可知

所求^{P A}

   

^{n An S}

 

^{96 329  3}

5.

［解 1］

極限運算的化簡

［解 2］

(1) 導數的定義：

     

lim0 h

f a h f a

f a ^ h

   

(2) 除法的微分：

若

   

 

f x A x

B x ，其中^{B x }

 

⁰

則

         

 

²

A x B x B x A x

f x B x

  

 

 

 

［解 1］

∵



^{3 1h}



^{2 3 2 5 1  1h15}

^



^{5 5h}



^5



^{55 h}



^{h 5}



^{5 hh}



⁵

∴

   

0 0

1 1

3 2 3 2 5 5

lim lim

h h

h

h h

h h

 

 

    



^limh0



^{5 h1}



^5



^{5 0 5 1}



^{ 251}

［解 2］

觀察

 

0

1 1

3 2 3 2 limh

h h



   

令 ^{f x}

 

^ _x¹₂

則

     

0

3 3

3 lim

h

f h f

f ^ h

   

 

0

1 1

3 2 3 2 limh

h h



   



而

     

 

²

1 2 2 1

2

x x

f x x

    

 



 

 

²

 

²

0 2 1 1 1

2 2

x

x x

    

 

 

則

 

 

²

1 1

3 3 2 25 f    



因此

 

0

1 1

3 2 3 2 1

lim^h 25

h h



   

 

6.

級數  的展開

(1) ⁷

1

2 2 1

m

a m

m



 





1 2 2 2 3 2 7 2

2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 7 1

   

    

       

1 2 3 4 5 1 0 5 7 9 11 13

        (2) ⁶

0

1 2 1

k

b k

k



 





0 1 1 1 2 1 6 1

2 0 1 2 1 1 2 2 1 2 6 1

   

    

       

1 2 3 4 5 1 0 5 7 9 11 13

        (3) ⁸

3

4 2 5

i

c i i



 





3 4 4 4 5 4 8 4

2 3 5 2 4 5 2 5 5 2 8 5

   

    

       

1 2 3 4 1 0 5 7 9 11

      

由(1)、(2)和(3)可知， a b c 

7.

零指數與負整數指數：

設a  且 n 為正整數，0 a  ，⁰ 1 n 1 a n

a

 

感染率

 

3

1 1 49 7 ^t I t  

 

  

 

(1)

 

0 0

3

1 1

0 1 49 7

1 49 7 a I   

 

 

  

 

1 1

1 49 1 50

 

 

(2)

 

3 1

3

1 1

3 1 49 7

1 49 7

b I _

   

 

 

  

 

1 1

1 49 1 8 7

 

 

(3)

 

6 2

3

1 1

6 1 49 7

1 49 7

c I _

   

 

 

  

 

2

1 1

1 2 1 49 7

 

  由(1)、(2)和(3)可知

25

b 4 a，c25a，c4b 故選(C)

8.

(1) 二次函數（拋物線）的配方

(2) 拋物線^{y a x h}



^



^{2 的頂點為k}

 

^{h k ,}

(3) 若圓的圓心為

 

h k 且半徑為 r ^, 則圓方程式為



^{x h}

 

^{2 y k}



^{2 r2}

(1) 拋物線^{y x 24x 5}



^x24x



^{ 5}

^



^{x2   2 2 x 22}



^{  5 22}

^{ }



^{x 2}



²      ¹ ^x

 

² ^{2 1} 則拋物線的頂點為



^2,1



(2) 圓 C 的圓心為拋物線的頂點



^2,1



而圓 C 與 y 軸相切，

則圓 C 的半徑為 2 2  故圓 C 的方程式為

 

^{2 2}



¹



^{2 22}

x y

      

 





^x2

 

^{2 y1}



^24





^{x24x 4}

 

^{y22y  1 4}



 x²y²4x2y  1 0

9.

(1) 將橢圓的一般式配方成標準式 (2)

  

²



²

2 2 1

x h y k

a b

 

  （a b  ） 0 是左右焦點的橢圓，中心為

 

^{h k ,}

長軸長為 2a ，短軸長為 2b (3)

  

²



²

2 2 1

x h y k

a b

 

  （ ,a b  ） 0 是左右焦點的雙曲線，中心為

 

^{h k ,}

貫軸長為 2a ，共軛軸長為 2b

(1) x²4y²4x16y  4 0 



^x24x

 

^{4 y24y}



^{  4}





^{x2   2 2 x 22}



^

⁴



^{y2   2 2 y 22}



 4 2²   4 2² 



^x2



^24



^y2



^{2 16}

16





²

 

^{2 2}



² ₁

16 4

x y

 



  

²



²

2 2

2 2

4 2 1 x y

 

這是左右焦點的橢圓方程式 其中心為



^2,2



而a _橢 4，b _橢 2

則長軸長 2 a_橢  2 4 8 短軸長 2b   _橢 2 2 4 (2)



²

 

^{2 1}



² ₁

4 5

x y

 



   

 

2 2

2 2

2 1

2 5 1 x y

 

這是左右焦點的雙曲線方程式 其中心為



^2,1



而a _雙 2，b 雙 5 則貫軸長 2a   雙 2 2 4 共軛 軸長 2b  雙 2 5 2 5

由(1)和(2)，將兩個方程式作圖如下：

故選(D)

10.

克拉瑪公式：

設方程組 ^{1 1 1}

2 2 2

a x b y c a x b y c

 

  



令 ^{1 1}

2 2

a b a b

  ， ^{1 1}

2 2

x

c b c b

  ， ^{1 1}

2 2

y

a c a c

 

若方程組有無限多組解，則      _{x y} 0

方程組

 

²

3 1 0

4 1 8 1 0

kx y k

x k y k

   

     





 

  

²



3 1

4 1 8 1

kx y k

x k y k

    

     



令^{  1 4k}



^k31



 

²

4 1 3 1 4 4 3

k k k k

       

 



^{8 2 11 4}

 ^

^{3 1}

^

x

k

k k

   

  

 

2

1 3

8 1 4 1 k

k k

  

 



^{k 1 4}

 

^{k 1 3 8}

 

^{k2 1}



 

        



^{20k2 8k 1 20}



^{k2 8k 1}

       

 



^{2 1}



^{1 8 2 11}

1 8 1

y

k k k k

k k

  

   



 



^{8 2 1}

 ^

^{1 1}

^

k k k

 

       



^{8k3 1}



^{8k3 1}

     

∵ 方程組有無限多組解

∴ 由克拉瑪公式可知：      _{x y} 0

(1)    0 4k²4k  3 0 



^{2k1 2}



^{k  3}



⁰

 1 k  或 32

 2

(2)    _x 0 20k²8k  1 0 



^{2k1 10}



^{k  1 0}



 1 k  或 12

10

(3)    y 0 8k³  1 0  ³ 1

k   8 1 k  2 由(1)、(2)和(3)可知， 1

k  2

11.

(1) 行列式的任一行（列）的 k 倍加到另一行

（列），其值不變

(2) 行列式的某一行（列）都是0 ，其值為 0

0

0 0

0 x y x y x y y x y x y z y z y z z y z y z x z x z x x z x z

  

     

  

（行列式的某一行（列）都是 0，其值為 0 ）

12.

(1) 乘法原理：

若完成一件事可以依序分成若干步驟，則 完成這件事的方法數為各步驟的方法數 之乘積

(2) 相異物的組合：

從 n 個相異物取出 k 個為一組的方法數

為



¹

 

¹



!

nk

n k

n n n k

C k

     







從 倒數， 個數相乘

分步驟安排8 個隊員在 A 、 B 、 C 、 D 場地 (1) A 場地：從8 個隊員中選 2 個

有 ⁸2 8 7 28 C  2!  種 (2) B 場地：已經有 2 個隊員在 A 場地 剩下8 2 6  個，從中選 2 個 有 ⁶2 6 5 15

C  2!  種

(3) C 場地：已經有 4 個隊員在 A 、 B 場地 剩下8 4 4  個，從中選 2 個 有 ⁴₂ 4 3 6

C  2!  種

(4) D 場地：已經有 6 個隊員在 A、B、C 場 地，剩下8 6 2  個

都安排在 D 場地，只有1種 由(1)、(2)、(3)、(4)可知

共有 28 15 6 1 2520    種方式

13.

(1) 斜截式：

直線 y mx b  的斜率為 m

(2) 若兩直線垂直，則其斜率乘積為 1 (3) 兩點



^{x y 與1, 1}

 

^{x y 的距離為 2, 2}





^{x x1 2}

 

^{2 y1y2}



²

(1) 由直線的斜截式：

直線L y ax b₁:   的斜率為a 直線L y bx a₂:   的斜率為 b ∵ L1 L2

∴ 斜率乘積為 1  ab   1 (2) 求兩直線L 與₁ L 的交點： ₂

1:

L y ax b   ax y  b 

2:

L y bx a   bx y  a 



  ：



^{a b x a b}



^{   x  1}

1

x  代入：a    1 y b  y a b 

則L 與₁ L 的交點為₂



^{1,a b}



 

¹

 

 

¹

  1

(3) 交點



^{1,a b 與原點}

  

^{0,0 的距離：}



^{1 0}

 

^{2 a b 0}



^{2  1}



^{a b}



²



^{2 2}



1 a 2ab b

   



^{a2 b2}



^{2ab 1}

   

∵ ab   且1 a²b²50

∴ 距離為 ^{50 2    }

 

^{1 1 49 7}

14.

正弦定理：

設 ABC 的三邊長為 a 、 b 、 c 則 :a b c: sin : sin : sinA B C

(1) ∵ ab bc ca: : ab : bc : ca abc abc abc



1 1 1: :

c a b

 且ab bc ca : : 3 : 4 : 6 ∴ 1 1 1: : 3 : 4 : 6

c a b 則 : : 1 1 1: :

3 4 6 c a b 

1 12 : 1 12 : 1 12

3 4 6

    4 : 3 : 2  a b c : : 3 : 2 : 4

(2) 由正弦定理可知，

sin : sin : sinA B C a b c : : 3 : 2 : 4

15.

因式定理的應用：

設 、  、 為相異實數 若 f x 為三次多項式

 

且 ^f

 

^{  f}

 

^{  f}

 

^{  k}

則可以設 ^{f x}

  

^{a x}



^x



^{x  }



^k

 

f x 為三次多項式且領導係數為 a 而 ^f

 

^{1  f}

 

^{2  f}

 

^{  2 2}

設 ^{f x}

  

^{a x1}



^x     ²



^x

 

²  2



¹



²



²



²

a x x x

    

  

^{1 1 1}



^{1 2}



^{1 2}



²

f    a     

   

^{2 3 1 2 6 2}

a a

        

∵ ^{f   ∴}

 

^{1 8 6a    2 8 a  1}

則 ^{f x}

 

^{  1}



^{x 1}

 

^x2



^x2



^{ 2}



^{x 1}



 



^{x 2 4}



^{ 2}



^{x3 x2 4x 4}



²

    

3 2 4 6

x x x

   

與 ^{f x}

 

^{ax3bx2  比較係數 cx d}

得a  ，1 b   ，1 c   ，4 d  6 故選(C)

16.

(1) 向量的垂直：

設兩個非零向量 u 與 v 則 u  v  u  v  0 (2) 若兩向量的內積為正值 則其夾角為銳角或 0

(3) 若兩向量的內積為負值 則其夾角為鈍角或180

(1) ∵ a c  ∴ a0  c (2) ∵ b c  ∴ b0  c (3) ∵ a b  0

∴ a 與 b 的夾角為鈍角或180

由(1)、(2)和(3)，可以畫出 a 、 b 、 c 的 相對位置

故 a 與 b 反向，夾角為180

因此 a b  a  b cos180

 

5 12 1 60

     

17.

(1) 代換積分：

設^{u g x}

 

^{是可微分函數}

則



^baf g x

   

g x dx

^{ }





^{g b}g a_{ }^{ }f u du

^{ }

(2) 1 ¹

1

b n n b

a a

u du u n

 





1 ¹ 1 ¹

1 1

n n

b a

n n

 

  

 

其中n   1 (1) 令u3x 2

將上式等號的兩側對 x 微分：

du 3

dx   du3dx  1 dx3du (2) 定積分的範圍：

1 3 1 7 x u

由(1)和(2)可知，

 

3 110 7 110 7 110

1 1 1

1 1

3 2

3 3

x dx u  du u du

  

7 7

110 1 111

1 1

1 1 1

3 110 1u ^ 333u

  



111 111

111 111

1 7 1 1 7 1 7 1

333 333 333 333 333

       

18.

(1) 週期的變化：

若 f  的週期為T

 

則 f k 的週期為 T

 

k ，其中k  0 (2) 三角函數的平方和關係式：

2 2

1 tan sec 

(3) sina bcos的極值：

最大值為 a²b² 最小值為 a²b²

(4) ysin和ycos的圖形

(1) ytan的週期為

∵ tan tan 1

3 3

   

∴ tan

y 3的 係數為 1 3 則 tan

y 3的週期為 3 1 3

  

(2) 三角函數的平方和關係式：

2 2

1 tan  sec   tan²sec²   1 (3) sincos的極值如下：

最大值 1 1² ² 2 最小值  1 1²  ² 2 則 2 sin cos 2

(4) 在坐標平面上，觀察ysin和ycos 的圖形

若 cossin 則 4

  、 5 4 、 9

4 、 13 4 即： 4 n，其中 n 為整數 由(1)、(2)、(3)、(4)的討論

故選項(C)是正確的

19.

(1) 虛數單位：

若i   ，則1 i   ² 1 (2) 複數的除法：

  



^{a bi c di}

 

a bi

c di c di c di

 

   

   

2 2

ac bd bc ad i c d

  

 

(3) 複數的相等：

設 a 、 b 、 c 、 d 均為實數 若 a bi c di  

則 a c 且 b d

(1) ∵



^3i

  

^{2 3 2 2 3  i i2}

^{ 3 2 3i   }

 

^{1 2 2 3i}

∴

 

 

2 2

2

3 3 2 2 3

3 3 2 2 3

i i i

i i i

      

 

   

  

 

 

2 1 3 1 3 1 3 2 1 3

i i

i i

  

 

  

 

  

1 3 2

1 3 1 3 i

i i

 

 

 

 

2 2 2 2

1 2 1 3 3

1 3

i i

   

 

^{1 2 3}

 

³

4 i

  



2 2 3

4 i

 

²



^{1 3}



4 i

  



1 3

2 i

 

(2) ∵ 3 2

3 i i

  

 

  

  與

3 2

3 i i

  

 

  

  互為倒數 ∴

3 2 2

3 1 3

i

i i

   

 

    

 

 

  

2 1 3 1 3 1 3

i

i i

  

   

 

 

²

 

²

2 1 3

1 3

i

  

 

^{2 1}



³



^{1 3}

4 2

i i

   

 

由(1)和(2)可知

2 2

3 3 1 3 1 3

2 2

3 3

i i i i

i i

         

   

     

   

     1 1 0i 則a   ，1 b  ，因此0 a b      1 0 1

20.

算幾不等式：

若a  ，0 b  0 則 2

a b  ab

2 2

x  與 ₂9 2

x  均為正數 由算幾不等式：

 

 

2

2 2

2

2 9 2 2 9

2 2

x x x

x

     





2

2

2 9 2 2 3 x  x

 

2

  ² 2 ₂9 6 x 2

 x 



4

  ² 2 ₂9 2 x 2

 x 

 故 ² 2 ₂9

x 2

 x

 的最小值為 2

21.

加法原理：

若完成一件事的方法可以分成若干類（任兩 類不重複），則完成這件事的方法數為各類方 法數的總和

(1) 3 本課本都在同一層：

3  3! 3 6 18   種排法 3 本課本的排法

從三層中選一層

(2) 3 本課本都在不同層：

（每一層只有1本課本）

3! 6 種排法

(3) 恰有 2 本在同一層：

3

3C2  2 362!  種排法

剩下1本課本有兩層可選

從三層中選一層，再選 2 本課本排入 由(1)、(2)、(3)可知

共有18 6 36 60   種排法

22.

直線與圓錐曲線的關係：

直線與圓錐曲線的方程式可以合併成

2 0

ax bx c  或ay²by c  0

若直線與圓錐曲線相切（只有1個交點）

則合併的方程式有兩相等實根 其判別式為 0 ，即b²4ac 0

(1) 拋物線 ^{f x}

 

^{  x2 4x 1}

 ^{y  x2 4x  1}



^x24x



^{ 1}

 



^{x2   2 2 x 22}



^{1 22}

^{  }



^{x 2}



^{2 3}

則拋物線的頂點為

 

^{2,3 ，開口向下}

(2) 令mx  x² 4x 1  ^x2



^m4



^{x  1 0}

若 y mx 與y  x² 4x 相切（只有11 個交點）

則上式有兩相等實根，其判別式為 0 故



^{m 4}



^{2    4 1 1 0}





^{m28m16 4 0}



^{ }

 m²8m12 0 



^m2



^{m  6}



⁰

 m  或 6 2 1 當m  時： 2

^x2



^m4



^{x  1 0}

 ^{x2 }



^{2 4}



^{x  1 0}

 x²2x  1 0 



^{x 1}



^20

 x  1

將x  代入1 y  x² 4x ： 1 y          1 4 1 1² 1 4 1 2 則直線與拋物線相切於點

 

^1,2

2 當m  時： 6

^x2



^m4



^{x  1 0}

 ^{x2 }



^{6 4}



^{x  1 0}

 x²2x  1 0





^{x 1}



^{2  0 x   1}

將x   代入1 y  x² 4x ： 1 ^{y   }

 

^{1 2    4}

 

^{1 1}

      1 4 1 6

則直線與拋物線相切於點



^{  1, 6}



由於直線與拋物線的切點在第一象限內 故m  2

23.

(1)



^ba



f x

   

g x dx



   

b b

af x dx ag x dx









(2) 1 ¹

1

b n n b

a a

x dx x n

 





1 1

1 1

1 1

n n

b a

n n

 

   

 

其中n   1

(1) x 1 x 1 x x 1 1 1

x x x x

       

  

 

x x 1

 x x

1 1 1 3

2 2 2

x x x x  x^ x

3 3 2 2

1 1 x x x x

  

(2)

4

3 3

4 4 1

2 2

1 1

1

1 3 12 x xdx x dx x ^

 



^{52 4}

 

⁵⁴

1 1

2 2

5x 5 x

 

^{ 2}₅

 

^{4 5 }₅²

 

^{1 5}

64 2 62

5 5 5

  

(3)

4

3 3

4 4 1

2 2

1 1

1

1 1

3 12

dx x dx x

x x

  

 

 

 

4 4

1 2 1 1

2 2 2

2x 4 1

x

   

    

     ¹

 

^{2 1}

由(1)、(2)、(3)可知

4 1

1 1

x x dx

x x

    

  

 



4 1

x x 1 dx x x

 

   

 



4 4

1 1

x xdx 1 dx









x x 62 1 57

5 5

  

24.

了解資料平均數、中位數、眾數與全距的意 義

(1) 21棵的高度總和

8 3 9 2 10 2 11 4 12 3 13

           2 14 2 15 16 24 262      

其平均數 262 21 12.48  ≒ （公分）

移除 24 （公分）的數據，剩下 20 棵的高 度總和262 24 238 

其平均數 238 20 11.9   （公分）

則移除前後的平均數相差 12.48 11.9 0.58 

≒ （公分）

(2) 21棵植物高度的中位數（由小到大的第 11個數據）為12 （公分）

移除 24 （公分）的數據，剩下 20 棵植物 高度的中位數（由小到大的第10 、11 個 數據平均）為 12 12 12

2

  （公分）

則中位數沒有改變

(3) 21棵植物高度的眾數為12 （公分）

移除 24 （公分）的數據，剩下 20 棵植物 高度的眾數也是12（公分），則眾數沒有 改變

(4) 21棵植物高度的全距為24 8 16  （公分）

移除 24 （公分）的數據，剩下 20 棵植物 高度的全距為16 8 8  （公分）

則移除前後的全距相差 16 8 8

   （公分）

由(1)、(2)、(3)、(4)可知，全距改變最多

25.

了解對數函數ylog_ax的圖形

(1) 如圖，畫出直線x  和1 y  ，則四邊形1 PQRS 為長方形，面積為 2 1 2  (2) PQR 是直角三角形

面積為 1 2 1 1 2  

(3) ∵ A 是鋪色部分的面積

∴ A  長方形 PQRS 的面積 2 且 A PQR的面積 1

則1  ，故選(C) A 2