賭國風雲
黃文璋
1. 天性好賭
考古的證據顯示, 賭博的歷史源遠流長, 幾乎自人類文明之始就有了。 中外歷史小說 及電影裡, 也常有賭的情節, 賭似乎是與 生活分不開的。 賭還不一定是賭錢。 如金庸 (1996a) 射鵰英雄傳中 (第十九、 二十及二十 二回), 愛賭的老頑童周伯通, 與西毒歐陽鋒 賭是否真能把海上鯊魚盡數殲滅, 一時輸了, 只好遵守諾言, 跳到海裡。 結果周伯通後來找 到一隻未死的鯊魚, 且為了扳回勝局, 與那隻 鯊魚在大海中共存了好一些日子。 另外, 在金 庸 (1996b) 天龍八部第八回中, 黃眉僧為了 救段譽, 要挑戰四大惡人之首的段延慶圍棋, 又為了爭取先手, 要段延慶猜他七十歲後, 兩 隻腳的足趾, 是奇或偶? 連這個也可以賭, 真 是匪夷所思, 而賭注是下棋的先手。 你想知 道究竟誰賭贏嗎? 結局也很奇特, 建議讀者 不妨去查看原書。 宋書羊玄保傳, 說他 “善 奕 , 品第三, 太祖與賭郡, 戲勝, 以補宣 城太守”。 下圍棋贏了皇帝可當太守, 這種賭 還真不錯。 有趣的賭尚有很多。 如有一首曲名 為 “瀟灑走一回” 的歌, 其中有句歌詞 “我拿 青春賭明天’。
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電影裡不論是以賭為主題, 或有賭的情 節, 更是不勝枚舉。 本文題目亦為一部電影的 片名, 由莎朗史東 (Sharon Stone) 及勞勃 狄尼洛 (Robert De Niro) 主演, 英文片名 Casino(1995) 即為賭場的代名。
美國有兩大著名的賭城。 其一在西部, 即距洛杉磯 (Los Angeles) 約四小時車 程的拉斯維加斯 (Las Vegas), 在內華達 (Nevada) 州。 其二在東部, 即距紐約 (New York) 市約四小時車程的大西洋城 (At- lantic City), 在紐澤西 (New Jersey) 州。
蘇珊莎蘭登 (Susan Sarandon) 與畢蘭卡斯 特 (Burt Lancaster) 兩位曾主演一部片名 就叫大西洋城 (1980) 的電影, 當然是以該 城為背景。 另外, 讓尼可拉斯凱吉 (Nicolas Cage) 獲奧斯卡金像獎最佳男主角 (1995) 的遠離賭城 (Leaving Las Vegas), 那個賭 城不是別的, 就是拉斯維加斯。 在此二大賭 城的吃與住都很便宜。 許多賭場還有精彩的
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表演, 有些賭場還每小時發遊客 1 美元, 可連 發 7小時。 一個目的, 都是吸引遊客流連忘返, 持續地賭。
開賭場當然是為了賺錢, 利用機率來設 計出一些讓賭場立於不敗之地的賭戲。 至於 若你具備特異功能, 賭場卻不會有好的風度。
如在雨人 (Rain Man) 那部奧斯卡金像獎最 佳影片 (1988) 中, 達斯汀霍夫曼 (Dustin Hoffman, 這部電影也讓他贏得奧斯卡金像 獎最佳男主角) 演一位患有自閉症但很會記 牌的人, 與演他弟弟的湯姆克魯斯 (Tom Cruise), 聯手玩二十一點 (即 Blackjack), (合法地) 贏了八萬多美元, 賭場便請他們離 開, 不准他們再玩了。
除了那些聲光十色的賭場, 我們周圍隨 時都有各種賭在進行。 如合法發行的各種彩 券、 樂透獎 (lottery)、 賽馬、 運動比賽場外 下注等。 至於地下賭場, 及種種小規模的賭更 是不知有多少, 好賭是人的天性。 每個人都希 望能一夜致富 (民國 88 年 7 月 3 日中國時報 第 13 版指出, 威力球彩券由於獎金超高而吸 引大批民眾購買, 其歷年來最高獎額是西元 1998 年開出的兩億九千五百七十萬美元)。
平生著作極多, 筆名牛哥的李費蒙, 其第 一部作品, 書名就叫賭國仇城。 十賭九輸, 賭 為萬惡之源, 我們完全支持少賭為妙。
南方朔 (1999) 一文對賭博在中國的歷 史, 做了很好的回顧。 在論語陽貨篇, 子曰
“飽食終日, 無所用心, 難矣哉! 不有博奕 者乎? 為之猶賢乎已!” 又在孟子離婁篇下 , 孟子曰“世俗所謂不孝者五: 惰其四肢, 不 顧父母之養, 一不孝也; 博奕, 好飲酒, 不顧 父母之養, 二不孝也; · · ·”。 博是一種兩人對
局的勝負遊戲, 奕即圍棋。 遊戲裡要加上彩金 才夠刺激。 因此博奕不被視為正途。 孔子時代 尚以為博奕雖不好, 但比 “飽食終日無所用心 者” 好些, 孟子時代就視博奕為不孝的一種。
到東漢末年, 韋曜寫過一篇 “戒博奕論”, 勸 世人不要玩博奕。 可見很早以前博奕已成為 賭博之同義詞, 且被認為是一該戒掉的遊戲。
民國 88 年 6 月 15 日, 立法院審查 “公益彩券 發行條例”, 結果挾帶過關所謂 “博奕條款”, 即“為舉辦國際認可的競技活動, 得申請主管 機關核准發行特種公益彩券”, 舉國譁然。
既然少賭為妙, 那為什麼還要討論賭呢?
此一方面為了獲知贏的策略, 賭戲在機率論 早期的發展中, 曾扮演重要角色。 以今日而 言, 了解賭局輸贏的機率, 當有助於為少賭找 到理論依據。 另一方面, 賭與冒險關係密切。
具冒險性格的人, 天生多半有好賭的基因。 人 類文明的進步, 當然有賴多數孜孜不倦, 腳踏 實地的人。 但少數冒險家, 一旦成功, 常可大 幅提昇文明的進步。 歷史上張騫通西域, 哥倫 布 (Columbus, 1451-1506) 發現美洲, 愛 迪生 (Edison, 1847-1931) 的致力於發明, 都屬頗有冒險精神者。 即使不見得志在提昇 人類文明, 社會上仍可接受一些願意冒險對 自我挑戰的人, 如攀登喜馬拉雅山之類的。 在 他們冒險前, 算算成功機率, 將可做為要花多 大功夫以事先準備的參考。 許信良脫離民進 黨以選總統, 有人說他是天生的賭徒, 此次的 豪賭, 賭注是自己的政治前途。 旁人也許覺得 不值, 但對許信良來說, 他必是覺得划得來。
所以即使是少賭, 但了解賭的內涵, 對我們做 各種決策, 將為一重要的依據。
附帶一提, 在舊約聖經出埃及記第二十 章, 載有十誡。 在諸多“不可”的規定中, 卻 無不可賭博。 事實上聖經裡有不少“拈鬮”的 事蹟。 如在利未記第十六章, “為那兩隻羊拈 鬮, 一鬮歸與耶和華, 一鬮歸與阿撒瀉勒”。 即 使是獻給上帝的羊, 也並非挑較肥大者, 而 是拈鬮, 讓上帝也碰運氣。 又在民數記第二 十六章, 耶和華曉諭摩西說“ . . ., 還要拈鬮 分地。” 連上帝都提議拈鬮。 至於耶穌被釘死 在十字架上後, 兵丁也是以拈鬮來分他的裡 衣 (見新約聖經約翰福音第十九章)。 在英文 裡鬮為 lot, 如果查大英百科全書 (Encyclo- pedia Britannica, 1984), 在 Lottery 項下 有:
History of lotteries. The practice of determining the distribution of prop- erty by lot is traceable to ancient times.
Dozens of references can be found in the Bible to the practice. In one example from the Old Testament (Num. 26:55- 56), God instructed Moses to take a cen- sus of the people of Israel and to divide the land among them by lot. · · ·
拈鬮 (lot) 就發展成今日的樂透獎 (lot- tery)。 通過抽籤搖彩, 憑機會以分配獎金, 自 西元 1530 年義大利的佛羅倫斯 (Florence) 設立第一個公開發行彩券的機構, 今日樂透 獎以各種不同的方式, 風行於世界許多國家。
又 gamble(賭博) 是由 game(遊戲、 比賽) 演變來的。 所以對 gamble 似也不須太排斥, 不妨當作賭戲。 只要不著迷, 賭不過是一種遊 戲, 一充滿樂趣的遊戲。 至於 casino 則起源 於 casa, 為渡假娛樂小屋。
2. 致勝策略
在面臨各種挑戰時, 致勝策略是大家所 追求的。 有人認為 “退此一步即無死所”, 有 人認為“退一步海闊天空”。 到底該不該退, 要 視不同的情況而定, 大原則是要致勝, 而非堅 持到底退還是進。 在天龍八部中, 那困住多少 圍棋高手的珍瓏棋局是如何被解出的? 乃是 由棋藝低淺的虛竹, 閉了眼睛, 亂下一子, 殺 了自己的一大塊白棋後, 而天地一寬, 終於破 解 (見三十一回)。 任何人所想的, 總是如何脫 困求生, 從沒有人故意往死路上去想。 但結果 死路卻導致豁然開朗, 終於勝利。 要致勝, 便 不能拘泥於某種形式, 所謂隨機應變是也。 又 有些賽局並無必勝策略, 此時致勝策略便是 尋求最大的獲勝機率。
我們先給兩個簡單的例子。 讀者在看解 答之前, 不妨直觀上先猜測答案究竟為何?
例1. 在越戰獵鹿人
(The Deer Hunter, 1978)
那部電影裡,
有一描述虐待戰俘的方法。在一可裝 6發子彈的左輪手槍 (revolver) 裡, 只放一顆子彈, 隨機地一轉後, 要二戰俘輪流 用手槍向自己的頭部發射, 直到有一名戰俘 中槍, 另一名戰俘才逃過一劫。 這就是所謂俄 羅斯輪盤 (Russian roulette) 的遊戲。 你認 為先發射者是否較不利呢?
解: 事實上若子彈的位置在 1, 3, 5, 則 先發射者會死亡, 若子彈在 2, 4, 6 的位置, 則後發射者會死亡。 子彈一放定後, 就確定了 何者會死亡。 而放在 1, 3, 5 及 2, 4, 6 的位 置之機率各為 1/2。 所以先發射或後發射, 死 亡的機率皆為 1/2。
此問題尚有不少推廣, 可參考 Sandell (1997)。
例2. A, B 二人組一隊與 C 下棋。 賽 法如下: A, B 輪流與 C 下, 若在三局中 C 連勝二局, 則 C 贏, 否則 C 輸, 但 C 可挑 選先與 A 下或先與 B 下。 若已知 A 的棋技 較 B 為佳, C 該如何選擇呢?
解: 乍看之下, C 若先與 B 下, 則與 A 只要下一局, 似乎較有利。 另一方面由於要連 勝兩局, 第二局非勝不可, 故似乎又該選擇與 B 下第二局, 因此先與 A 下似乎較有利, 我 們來推導看看。
設 C 勝 A 的機率為 a, 勝 B 的機 率為 b, 且設 a < b。 C 要連勝兩局, 則必 須是勝勝勝, 勝勝敗, 或敗勝勝。 故先與 A 下, 贏的機率為 aba + ab(1 − a) + (1 − a)ba = ab(1 − a)。 若先與 B 下, 贏的機率 為 bab + ba(1 −b) + (1 −b)ab = ab(2 −b)。
而因 a < b, 故先與 A 下贏的機率較大。
底下為一尋找最佳策略的例子 (取自 Rawsthorne(1989))。 由此例可看出, 所謂
“最佳”往往須先做些限制, 否則是不會存在 最佳策略的。
例3. 有一賭徒, 身上一文不名。 賭場 老闆好心地讓他玩 100 回。 每回他可選擇下 述二賭法之一: (1) 無條件地獲得 1 元, (2) 先取一整數 n ≥ 2, 然後有 2/(n + 1) 之機 率獲得 n 元, 有 (n−1)/(n+1) 之機率失去 1元。 選擇賭法 (2) 之先決條件是他身上至少 要有 1 元。 若此賭徒希望玩 100 回後, 可獲得 至少 200元, 則其最佳策略 (即達到目的的機
率要最大) 為何? 並問對採用該策略, 其成功 之機率為何?
解: 首先看賭徒若每次皆採賭法 (1), 則 可穩獲 100元, 但他顯然並不滿意。 不論採賭 法 (1) 或賭法 (2), 每次之期望值皆為 1 元 (n · 2/(n + 1) − 1 · (n − 1)/(n + 1) = 1)。
玩 100次後之所得, 以 W 元表之, 則 W 之 期望值為100。 賭徒是想得到至少是期望值二 倍的錢才滿足, 野心不小。
賭徒可採如下策略: 在奇數回採賭法 (1), 在偶數回 (如第 k 次) 採賭法 (2), 並 取 n = 99 + k。 繼續採此策略, 直到一旦贏 一偶數回, 自此起便皆採賭法 (1)。 可看出只 要贏一偶數回, 則 100回後之總所得恰為 200 元, 但若一次偶數回皆未贏, 則最後之總所得 為 0元。 而 50次偶數回皆輸的機率為
100 102
102
104· · ·196 198
198
200 = 100 200 = 1
2. 故採用此策略, 有 1/2 之機率, W = 200, 有 1/2 之機率 W = 0 (期望值仍為 100)。
因不論採用那一策略, W ≥ 0 必成 立 (為什麼?), 且 E(W ) = 100 必成立, 故W ≥ 200 之機率不可能超過 1/2, 否則 E(W ) > 100。 故W ≥ 200 之機率要等於 1/2, 唯一的可能是 W = 200 及 W = 0 之 機率各為 1/2。
讀者不難理解, 若欲望增大 (將200元的 底限提高), 則達到目的之機率必然降低, 因 所得之期望值總是維持 100元。
在 Rawsthorne (1989) 一文中, 亦如 下證明前述策略為唯一的最佳策略。 可惜其 證明有誤。 在習題中, 我們會讓讀者以較少的
回數, 來了解最佳策略是不唯一的。 底下為了 簡潔, 將“元”皆略去。
因已指出 W = 200 或 W = 0 為 最佳策略下, 唯一可能的結局, 故 99 回結束 後, 累積所得必為1或199, 且在第100回, 賭 徒必須分別選賭法 (2) 且 n = 199, 或賭 法 (1)。 若 1與 199為 99回結束後, 僅可能的 累積所得, 則98回結束後, 累積所得必為0或 198, 且在第 99 回, 賭徒須選賭法 (1)。 一般 而言, 若0與 100 + k 為第 k 回結束後, 僅可 能的累積所得, 且 k為偶數, 則在此回之前的 累積所得, 必須是 1 或 99 + k, 且在第 k 回 賭徒須分別選賭法 (2) 且 n = 99 + k 或賭 法 (1)。 同理, 若 1 與 100 + k 為第 k 回結 束後, 僅可能的累積所得, 且 k 為奇數, 則在 此回之前的累積所得, 必須是0或 99 + k, 且 在第 k 回賭徒須選賭法 (1)。 即得證前述策 略之唯一性。
奮勇爭先不一定都是好的, 有時不妨讓 一步, 見下例。
例4. 設有 A, B, C 三人決鬥, 每人 每次可發射一槍, 由於 A 的技術最差, 讓 A 先發射, B 的技術次之, 因此 B 第二位發 射。 C 則為一死亡射手, 命中率百分之百, 他 第三位發射。 如此依序發射, 直至只餘一人存 活。 每次輪到某位發射, 他可選擇向一位對手 開槍, 或對空發射 (因此不會傷及任何人)。 死 亡射手則不允許對空發射。 問 A 之最佳策略 為何?
解: 令 A, B, C 三人每次發射射中 (假 設射中後便令對手致命) 對手之機率分別為 p1, p2 及 1, 0 < p1 < p2 < 1。 A 先發
射, 可選擇對空、 對 C, 或對 B 發射等三種 策略。 底下我們分別計算在三種策略下, A 獲 勝之機率。
(一) 對空發射。 我們列出使 A 贏之各可能 的後續如下:
(i) B 射中 C, A 射中 B。
(ii) B 射中 C, “A 未射中 B, B 未 射中 A” 循環 r 次 (r ≥ 1), A 射中 B。
(iii) B 未射中 C, C 射中 B, A 射 中 C。
令 P1 表若採策略 (一), A 贏之機率。
則
P1=p2p1+
∞
X
r=1
p2((1−p1)(1−p2))rp1
+(1−p2)p1
=p1+p1p2(1−p1)(1−p2) 1−(1−p1)(1−p2)
=p1(1−(1−p1)(1−p2)2) 1−(1−p1)(1−p2) . (二) A 射向 C。 採用此策略, 在 A 射出
後, 有兩種使 A 贏之可能性。 其一為 A 未射中 C, 則此後便如同 (一) 之發 展。 其二為 A 射中 C, 則後續之發展 為: B 未射中 A, “A 未射中 B, B 未 射中 A”循環 r 次 (r ≥ 0), A 射中 B。
令 P2 表採策略 (二), A 贏之機率。 則 P2=(1−p1)P (A贏|A第一發未射中)
+
∞
X
r=0
p1(1−p2)((1−p1)
·(1−p2))rp1
=(1−p1)p1(1−(1−p1)(1−p1)2) 1−(1−p1)(1−p2)
+ p21(1−p2) 1−(1−p1)(1−p2)
=p1(1−p1)(1−(1−p1)(1−p2)2) 1−(1−p1)(1−p2) + p21(1−p2)
1−(1−p1)(1−p2).
(三) A 射向 B。 在 A 射出後有兩種可能 性。 其一為 A 射中 B, 則 A 隨即被 C 射中, 因此 A 不可能贏。 其二為 A 未 射中 B, 則 A 要贏, 此後便如同 (一) 之發展。
令 P3 表採策略 (三), A 贏之機率。 則 P3= (1 − p1)P (A贏|A第一發未射中)
= (1 − p1)P1.
因 1 − p1 < 1, 故不論 p1, p2 之值為 何, 策略 (三) 劣於策略 (一)。 所以 A 不可 能採取策略 (三)。 而策略 (一) 與策略 (二) 何者較佳, 就看 P1 與 P2 何者較大。 而
P1− P2 = p21(p2− (1 − p1)(1 − p2)2) 1 − (1 − p1)(1 − p2) . 故 P1 > P2, 若且唯若
p2 > (1 − p1)(1 − p2)2. (1) 因 1 − p1 < 1, 經由解 p2 > (1 − p2)2, 得 不論 p1 之值為何, 當 p2 > (3 −√
5)/2 =. 0.382, 則 A 採策略 (一) 較好。 而因 1 − p1 > 1 − p2, 經由解 p2 < (1 − p2)3, 得 p2 約小於 0.318 時, A 採策略 (二) 較好。 可 以這麼講, 當 p2 較大時, A 放棄先手, 讓 B 先解決 C, 再與 B 拼命。 但若 p2 較小, 則 C 不易被 B 射中, 此時 A 要協助 B 先對
付 C。 至於 0.318 < p2 < 0.382 (這是一 不太大的區間) 時就要檢驗 (1) 式是否成立, 以決定是否採策略 (一)。
在歷史上, 當三國鼎立, 且是一弱二強 時, 最弱者通常是慫恿次強者挑釁最強者, 而 最弱者最好是先袖手旁觀, 待次強者打敗最 強者後, 最弱者再與次強者一拼; 若是二弱一 強, 那二弱就要先聯手打強者, 最弱者此時絕 不能置身事外, 否則次弱者被最強者消滅後, 最弱者立即不保。 這是最弱者在夾縫中生存 之道。
前述決鬥問題還可做不同的假設, 可參 考 Gardner (1972/73)。
3. 破產問題
賭博雖帶給人們很大的娛樂效果, 如果 賭到破產則是一件令人傷感的事。 本節我們 來看幾個跟破產有關的問題。
底下考慮一賭博的模式。 在隨機過程 (Stochastic processes) 裡的馬可夫過程 (Markov processes) 中, 常稱此為古典破產 問題 (classical ruin problem), 也屬於隨機 漫步 (random walk) 中的問題。
設每次之賭注為 1 元, 贏與輸之機率分 別為 p 及 q, p + q = 1。 又設一開始有 r 元, 0 ≤ r ≤ n, 若全輸光或賭資達到 n 元便停 止不玩了。 我們假設 (證明見黃文璋 (1995) 第二章)“最後”必定是輸光或達到 n 元。 令 ur 表輸光 (即破產) 之機率, vr = 1 − ur 則 表達到目標之機率, n = ∞ 則表賭博之對手 (如莊家) 有無限的資金。 則由假設可得下述
方程組:
u1= q + pu2, (2) ui= qui−1+ pui+1 , 2 ≤ i ≤ n − 2, un−1= qun−2.
而 u0 = 1, un = 0 為二邊界條件。 (2) 為一差分方程組 (difference equations), 若 p 6= q, 可如下求解。
先將 (2) 改寫為 ui− ui−1
= q
p(ui−1−ui−2), i = 2, 3, . . . , n. (3) 再將 (3) 式由 i = 2 至 i = j, 左、 右分別 乘起來並消去共同項得
uj− uj−1
= (q
p)j−1(u1−1), j =1, 2, . . . , n. (4) 將 (4) 式由 j = 1 至 j = r, 左、 右分別相 加得
ur−1=1−(qp)r
1−pq (u1−1), r =1, 2,. . ., n.
(5) 利用 un = 0, 由上式可得 u1 −1 = −(1 − q/p)(1 − (q/p)n)−1, 代入(5) 式即求出 p 6=
q 時
ur=(q/p)n−(q/p)r
(q/p)n−1 , r = 1, 2, . . . , n−1.
(6) 若 p = q, (4) 式成為
uj−uj−1= u1−1, j =1, 2, . . . , n. (7)
由此得
ur−1=r(u1−1), r =1, 2, . . . , n. (8) 利用 un = 0, 解出當 p = q 時,
ur=n−r
n , r = 1, 2, . . . , n−1. (9) 至於 vr, 由 ur+ vr = 1 立即可求出來。
另外, 若n = ∞ , 則 ur 之解為 ur =
1 , 若 q ≥ p,
(q/p)r, 若 q < p. (10) 若 p = q, 由 vr = 1 − ur = r/n, 可知若一賭徒帶了 r = 999 元去賭, 則有 0.999 之機率在輸光全部錢之前贏得1元。 若 p = 0.4, q = 0.6, 此賭局雖對賭徒不利, 但 此時在輸光全部錢之前贏得 1 元之機率近似 2/3:
1 − (3/2)1,000− (3/2)999 (3/2)1,000− 1
= 1 − (3
2 − 1) (3/2)999 (3/2)1,000− 1
= 1 − (. 3
2 − 1) 1 3/2 = 2
3.
一般而言, 一賭徒若一開始之賭資 r 夠大, 則 在破產前要贏到一不算大的錢 n − r 之機率 並不小。稍後我們會做一些比較, 底下先看一 有趣的例子。
某人每年都去一趟摩納哥 (Monaco, 位於法國東南海岸之一小國) 的蒙地卡羅 (Monte Carlo, 俗稱賭城) 渡假幾天, 當然賭 是免不了的。 幾年下來他總是可贏到足夠的 錢來支付旅費及一切開銷, 個中原因他無法 猜透, 以為冥冥中有股奇妙的力量在幫他。 事 實上此並非一太令人驚訝的現象。 假設 p = q = 1/2, 且他帶的錢約為旅費的 9 倍, 則每 年在破產前要贏到旅費的機率約為 9/10。 連
續 10年要贏到旅費之機率為 (9/10)10, 此值 約為 0.3486 並不算太小。 而且因每年達到目 標的機率 9/10 很大, 若偶爾那一年沒達到 目標, 可能會只當做運氣不好, 而不會太在意 (10 年中至少贏 9 次的機率約為 0.7361)。 要 知通常人們有了先入為主的印象後, 往往找 證據支持該印象, 而有意無意地忽略對該印 象不利的證據。
由上述討論知, 富者要愈富是較容易的。
只是通常少有人覺得自己已是富者, 儘管資 金充裕 (r 不小), 但由於野心也很大 (n 更 大), 因此破產的可能性未能減小。
我們再看若改變賭注的大小會如何? 若 將每次賭注 1 元改為每次 1/2元, 此與一開始 有 2r 元, 輸光或贏至 2n 元便停止, p 及 q 維持不變, 是等價的。 則破產的機率 u∗r 為 (利用(6) 及 (9))
u∗r =
(q/p)2n−(q/p)2r (q/p)2n−1
= ur(q/p)n+(q/p)r
(q/p)n+1 > ur, 若q > p,
< ur, 若q < p, ur , 若q = p.
(11) 即若 p = q, 改變賭注不影響破產之機率; 若 q > p, 賭注減半破產機率變大; 若 q < p, 賭注減半破產之機率變小。 賭注若加倍情形 則反過來。 一般而言, 在 r 與 n 不變之下, 若 賭局對賭徒有利 (p > q), 則賭注愈小對賭徒 愈有利, 反之若賭局對賭徒不利 (p < q), 則 賭注愈大對賭徒愈有利。 例如, 由表 1 (此表 取自 Feller (1968) p.347), 可看出設 p = 0.45 < q = 0.55, 且r = 90, n = 100, 若每 次賭 1 元, 則破產機率約為 0.866; 若每次賭 10 元 (等價於 r = 9, n = 10), 則破產機率
降至約 0.210。 此現象可解釋歷史上, 兩軍作 戰時, 居劣勢的一方往往採孤注一擲的策略, 要與對方拼命, 而居優勢的一方則往往是用 蠶食的方法。 在史記項羽本記裡, 楚漢久相持 未決, 項王謂漢王 (劉邦) 曰“天下匈匈數歲 者, 徒以吾兩人耳, 願與漢王挑戰決雌雄, 毋 徒苦天下之民父子為也。”漢王笑謝曰“吾寧 鬥智不能鬥力。”其時項羽已漸居下風, 劉邦 是不會願意與其決死戰的。
p q r n u
rD
r0.5 0.5 9 10 0.1 9
0.5 0.5 90 100 0.1 900
0.5 0.5 900 1,000 0.1 90,000 0.5 0.5 950 1,000 0.05 47,500 0.5 0.5 8, 000 10,000 0.2 16,000,000
0.45 0.55 9 10 0.210 11
0.45 0.55 90 100 0.866 765.6 0.45 0.55 99 100 0.182 171.8
0.4 0.6 90 100 0.983 441.3
0.4 0.6 99 100 0.333 161.7
表 1. 在不同 p, q, r, n 下之破產機率 當天下大亂, 群雄並起, 逐鹿中原, 其中 卻只有一能成而為王, 其餘皆敗而為寇。 此時 須得設法減小為寇 (破產) 的機率。
我們也可以選舉來說明。 佔優勢的政黨, 往往易在小選區中獲勝 (如村里), 小政黨在 小選區是難有機會的。 但在大選區中 (如縣 市, 甚至全國), 小政黨有時就有機會獲勝了。
讀者不妨想想台灣的選舉現況。
除了破產及贏錢的機率, 我們對一賽局 會持續多久之期望值也很有興趣。 也就是我 們想知道平均可玩多少次? 令 Ar 表一開 始有 r 元, 至此賽局結束所需玩之次數。 則 Dr = E(Ar) 為有限 (證明見 Feller (1968)
Chapter XIV.4), 並滿足下述非齊性差分方 程式
Dr=q(Dr−1+1)+p(Dr+1+1)
=qDr−1+pDr+1+1, 1 ≤r ≤n−1, (12) 且有邊界值
D0 = Dn = 0. (13) 其解為先找出齊性方程式的解, 再找一特別 解, 兩者相加要滿足邊界值。
計算過程省去了, 解為
Dr=
r
q−p − q−pn
(q/p)r−1
(q/p)n−1 , p 6= q,
r(n − r) , p = q. (14) 此期望值較我們想像中的大。 例如, 若某人有 r = 1 元, 而 n = 1, 000, 且 p = q, 則 D1 = 999, 雖破產機率高達 0.999, 但在破 產前, 卻可玩不少次。 其他例子見表 1。 另外
n→∞lim Dr =
∞ , 若 q ≤ p,
r
q−p , 若 q > p. (15) 輪盤賭 (roulette) 流行於賭場中的歷史 已很久。 Isaac (1995) p.57 對它如下地描述:
Roulette is perhaps the most glamorous and romantic of casino games.
在美國此遊戲大致是這樣子: 在一輪盤 上有 38 格, 其中有 36 格為數字 1 至 36 (18 個紅色 18 個黑色), 另外兩格為綠色, 一個為 0, 一個為 00。 主持人轉動輪子, 凹槽裡的球 也跟著轉動, 最後停在某一格。 有各種賭法, 如賭紅色或黑色, 奇數或偶數, 某一數字, 或
某一群數字 (如 1-18, 19-36, 1-12, 13-24, 25-36 等)。 獲勝的期望值很容易求, 如
P (紅) = P (黑) = P (奇數) = P (偶數)
=18 38
= 0.47368,. P (1) = 1
38
= 0.02631..
賭紅、 黑、 奇、 偶之賠率皆為 1 賠 1, 賭任一 數字之賠率為 35 賠 1。 莊家贏就是靠 0 及 00 二格。 如果賭注是 1 元, 賭紅色之期望淨 所得為
1 ·18
38 − 1 ·20
38 = −2 38
= −0.05263,.
賭任一數字之期望淨所得為 35 · 1
38− 1 · 37
38 = − 2 38
= −0.05263,.
二者相同。
有經驗的賭徒在下賭之前, 常會先在場 邊觀察一陣子。 如果連續好多回黑色都未出 現, 由於好賭者多半也懂點機率, 則依據大數 法則 (Law of Large Numbers), 他認為 黑色“應”會快出現了, 於是押了一大筆錢在 黑色, 結果黑色仍未出現。 不服氣再押黑色, 仍輸了。 事實上每次的旋轉為獨立, 輪盤並 無記憶。 大數法則只是說, 如果轉動的次數夠 多, 黑色出現的相對頻率接近 18/38 的機率 很大。 所以我們確知黑色“總是”會出現的, 但 大數法則並未告訴我們何時黑色會出現, 當 然更沒告訴我們下一次的旋轉, 黑色是否“較 易”出現。
誤解機率的含義是破產的開始。 設以 X1, X2, . . . , Xn 分別表各次之淨所得, 且以
Sn = X1+ X2+ · · · + Xn 表至第 n 次之 累積淨所得。 大數法則指出當 n 很大時,
Sn
n 接近 − 2
38的機率很接近1.
由此可看出, 當 n 很大時, Sn 不但是負的, 且絕對值很大的機會很大。 換句話說, 對前述 輪盤賭, 大數法則告訴我們, 只要持續地賭, 再多的錢都輸光的機會很大。
4. 公正賭局
一賭局 (或賽局) 若賭徒淨所得之期望 值為 0, 便稱此為一公正的賭局 (fair game)。
不公正的賭局有兩種情況, 依淨所得之期望 值為正或為負, 而稱為有利 (favorable) 或不 利 (unfavorable)。 必須一提的是, 若淨所得 之變異數為無限大時, 公正的賭局就絕對是 一誤用的名詞, 見 Feller (1968), Chapter X 之說明。
丟一公正的骰子, 出現幾點就給你多少 元。 因點數的期望值為 3.5, 所以如果每玩一 次要先付 3.5元, 則此為一公正的賭局。
吃角子老虎 (slot machine), 這是賭場 裡常可見到的一種機器, 簡單好玩。 從那一排 一排的機器中, 挑一台坐到其面前, 即使還沒 開始投錢, 左鄰右舍嘩啦嘩啦錢掉下來的聲 音, 帶給你很大的聽覺享受, 彷彿那些錢是 你的。 再加上不少人一直任掉下來的錢堆在 面前, 每次從其中挑幾個丟, 全輸光再去換零 錢。 由於每個人面前都是錢, 看起來似乎都已 贏了不少錢 (起身去換錢的過程當然少有人 留意到), 視覺上的享受也不小。 美國賭場吃
角子老虎的最小賭注是 0.25 元 (即一 quar- ter)。 曾有人算過 (見 Weaver (1982) 一 書 p.158), 每丟一單位的錢, 期望的回收是 5, 888/8, 000 = 0.736。 看起來並不太壞。 因 賭客會想, 賭場也有經營成本, 而且這是給人 如此刺激的娛樂。 所以一單位的錢還可拿回 0.736 已算不錯了。 假設一分鐘平均玩 12 次, 且每次只丟最少的 0.25 美元, 則一小時下來, 平均要輸 47.52 美元。 如果輸錢後想扳回, 提 高賭注, 每次 1 元, 則平均 1 小時要輸 190.08 美元。 可不要小看那一台機器, 的確是吃角子 老虎。
二十一點算是對賭客較不吃虧的賭戲。
它有兩條規則對賭客算是較有利:
(i) 平點算和局;
(ii) 莊家不到 17 點必須補牌, 達到 17 點後則 不能補牌, 不可參考牌桌上賭客的牌而做 決定。
如果牌桌上除莊家外有 4 位賭客, 點數 分別為 13, 14, 15, 16, 而莊家把底牌翻開 後共 16 點, 則他必須補牌。 但顯然他爆掉的 機會很大。 另外, 如果牌桌上其他 4位賭客的 牌, 點數分別為 17, 19, 20, 21, 而莊家把底 牌翻開後共 17 點, 則卻不能補牌。 由於一次 有多副牌混在一起, 要記牌並不容易, 賭場如 果發現有“記牌者”(card counter), 會將其 請出賭場 (像雨人那部電影中一樣)。 但沈著 應付, 二十一點是兼具娛樂價值, 又不致輸太 多錢的賭戲。
一般而言, 賭場裡可以說很難存在公正 的賭局。 去賭場下賭的人, 追求的是刺激, 或 大贏的喜悅。 各國政府發行彩券當然也不會 是公正的。 彩券上常寫有類似“一券在手希望
無窮”的話。 一般人花小錢, 沒中就算了, 損失 也不大, 但若中了, 很可能是筆極大的錢, 往 後生活可整個改變。
保險, 在某種意義下可看成賭局。 不難 理解也不會是公正的賭局。 但買保險者往往 有其他層面的考慮, 此賭局雖不公正, 他們是 不會介意的。
撇開這些, 底下我們給一關於公正賭局 的有趣例子。
例5. 錢包詭論 (Wallet Paradox) 考 慮下述賭局: A, B 二人皆將錢包放在桌上, 誰的錢包裡錢較少, 便獲得兩個錢包裡所有 的錢。 至於若錢一樣多, 則各自拿回自己的 錢。
A, B 二人都這樣想: 我如果輸是輸掉 原有的錢, 但贏的話, 則得到較原有的更多的 錢。 所以這是對我有利的賭局。
兩人均認為對自己有利, 竟有這種賭局?
這是此賭局被稱為詭論的原因。 事實上若輸 的話, 通常是錢包中有較多的錢。 對樂觀者 而言, 只看到贏是得到較多的錢, 對悲觀者而 言, 他會看到輸是輸較多的錢。 所以不能由這 種“心理上”的感覺來說有利或不利。
我們試以機率的方法來解此問題。 令 X 及 Y 分別表 A, B 二人錢包中所有的錢, 且 令 WA= WA(X, Y ) 及 WB = WB(X, Y ) 分別表 A 及 B 之淨所得。 則
WA(X, Y ) =
−X , 若X > Y, Y , 若X < Y, 0 , 若X = Y, 而 WB(X, Y ) = −WA(X, Y )。 當 E(WA)
= 0, 則此為一公正的賭局。
若不知 X, Y 之分佈, 就無法求 E(WA)。
所以對 X, Y 之分佈要做些假設。 最自然的 假設是 X, Y 為獨立、 有共同分佈, 且取值 在 [a, b] 或 [a, ∞), 其中 0 ≤ a < b < ∞。
在此假設下, (X, Y ) 及 (Y, X) 之分佈相同。
為了簡便, 假設 (X, Y ) 為連續型的隨機變 數, 其機率密度函數為 f 。 則
E(WA) =
Z
ba
Z
ba WA(x, y)f (x, y)dydx
=
Z
ba
Z
ba WA(y, x)f (y, x)dydx
=
Z
ba
Z
ba WB(x, y)f (x, y)dydx
= E(WB).
其中用到變數代換 (x, y) → (y, x)。 至於 第三個等號為何成立, 留給讀者自行思考。 若 區間是 [a, ∞) 結果也相同。 上述結果, 再 加上因 WB = −WA, 因此 E(WB) =
−E(WA), 即得 E(WA) = 0。 故得證此為 一公正的賭局。
舉個例子來看。設 X, Y 皆在區間[0, 1]
上均勻分佈 (uniformly distributed)。 則給 定 X = x, 若 Y ∈ (x, 1], 則 A 會贏 Y 元;
若 Y ∈ [0, x), 則 A 會輸 x 元。 因此 E(WA|X =x)=
Z
1x ydy −
Z
x0 xdy
=1 − 3x2
2 . (16) 故
E(WA) =
Z
10 E(WA|X = x)dx
=
Z
10
1 − 3x2
2 dx = 0.
有趣的是, 由 (16) 式, E(WA|X = 1) =
−1, 且 E(WA|X = 0) = 1/2。 也就是說,
若錢包裡有 1 元, 則要準備失去; 而若錢包裡 沒錢, 則可期望贏 1/2元 (錢包裡會有的錢之 期望值)。 但若錢包裡有 1/2 元 (期望值), 則 E(WA|X = 1/2) = 1/8, 即期望淨所得為 正。 至於為什麼為正, 相信不難想通。
附帶一提, 若僅是 E(X) = E(Y ), 則 此並不一定為公正的賭局。 反例見 Merry- field (1997)。
再看一個公正賭局的例子。
例6. 下述賭法曾困擾許多賭徒多年: 丟 一公正的銅板, 正面出現則賭徒贏, 否則莊家 贏。 賭徒採用的策略是每次賭注加倍, 直到贏 一次便停止。 假設第一次的賭注為 a 元, 由於 銅板每次均出現反面的機率為 0, 即至少出現 一次正面的機率為 1。 則賭徒最後必 (機率為 1) 帶著 a 元離開。 事實上, 若第一次正面是 在第 n 次丟擲銅板才出現, 則前 n − 1 次共 輸的錢數為 a + 2a + 4a + · · · + 2n−2a = (2n−1− 1)a, 而第 n 次的賭注為 2n−1a 元, 所以淨所得是 a 元。
當然我們看到上述討論中有一陷阱, 即 賭徒須有無限的時間及無限的資金才能採用 此策略。 例如, 設賭徒一開始有 2m− 1 元, 且 a = 1。 又設賭局不允許欠債。 易見此時 若賭徒首 m 次賭局皆輸, 便輸光了。 此情況 發生的機率為 2−m。 而若首 m 次中出現一 次正面 (此機率為 1 − 2−m), 便淨贏1元。 故 他淨所得之期望值為
1 · P (贏) − (2m− 1)P (輸)
= 1 · (1 − 2−m) − (2m− 1)2−m = 0.
故雖贏錢的機率為正, 且當 m 很大時此機率 不小 (1 − 2−m), 但淨所得之期望值卻為 0。
仍是一公正的賭局。
這類例子很多。 譬如說, 有人賭之前先 給自己訂個規矩: 如果淨所得達到 10,000 元 便停止不玩了。 採用此策略不是都贏著錢離 開? 不可能的任務竟然如此輕易完成?
隨機過程裡有一主題叫“平賭過程”, 其 英文名稱 martingale, 乃源自於例6中, 賭注 加倍直到贏一次便立即停止之源於法國的一 種賭博策略。 在平賭過程的討論中, 會證明在 資金或時間非無限的情況下, 而且不能未卜 先知 (即策略只能與至目前的結果有關), 則 沒有一賭博系統, 能將公正的賭局, 轉換成有 利的賭局。
我們再看另一著名的詭論。
例7. 聖彼得堡詭論 (The St. Peters -burg Paradox) 。 聖彼得堡詭論可說是機率 裡相當有名且最饒富趣味的一個謎題 (puz- zle) 及詭論。 這是 Daniel Bernoulli (1700- 1782) 所提出的, 他是 James Bernoulli (1654-1705, 大數法則之首位證明者) 的姪 兒。
一次聖彼得堡賭局 (St. Petersburg game), 是這樣的: 投擲一公正的銅板, 直至 出現一正面才停止, 若停止是在第 r 次發生, 可得 2r 元。 則因第 r 次停止的機率為 2−r, 故每次賭局所得之期望值為
P
∞r=12−r2r =∞。 所以不論每次之賭注多大, 只要是一有限 值, 對賭徒均有利。 只是若賭注愈大, 便要賭 愈多次才有可能得到正的淨所得。 因此每次 之賭注須為無限大, 才是一公正的賭局。 但是
否有人願意付無限多的錢來參與此賭局? 這 是此問題成為一詭論的原因。
以 A, B 分別表賭徒及莊家。 不論 A 付 B 多少錢, B 一定不願讓 A 玩。 但此 賭局是否真值無限多元呢? 由於此賭局是在 第 r 次停止的機率為 2−r, 而有沒有人願意 先付100 萬元以玩此賭局呢? 答案很可能是 否定的。 此因如此一來, 前 19 次投擲都不能 出現正面才可能贏錢 (524, 288 = 219 <
1, 000, 000 < 220 = 1, 048, 576)。 而此 機率為 2−19 .
= 1.907 · 10−6, 小於五十萬分 之一, 非常小。 但對 B 來說, 即使 A 付 100 萬元, 他還不願讓 A 玩呢?
這樣想好了, 設有人提議丟個公正的銅 板, 若出現正面則給你 200元。 則顯然付 100 元玩此賭局是合理的。 因 100元你出的起, 而 若你贏了, 也相信莊家付的起 200元。
至於對聖彼得堡賭局, 雖然 100 萬元比 起合理該付的錢非常地少, 但一方面, 對多數 人來說, 100 萬元並不是小數目; 另一方面, 所謂期望值是無限大, 但莊家是否有無限多 的錢來支付呢?
事實上莊家就是沒有無限多的錢, 而若 任何人有無限多的錢, 又何必來賭? 假設莊 家 B 只有 2m 的錢, 且若銅板在第 m 次以 後才出現正面, 則 B 皆付 A 2m 元。 在此比 較實際的假設下, A 之期望所得為
m
X
r=1
2−r2r+
∞
X
r=m+1
2−r2m
= m + (1 2 + 1
22 + · · ·)
= m + 1.
即此賭局值 m + 1 元, A 可付 m + 1 元 以玩此賭局。 例如, 若 B 有 65, 536 = 216 元, 則 A 付 B 17 元; 若 B 有 43 億元左右 (232 = 4, 294, 967, 296), 則 A 付 B 33 元 以玩此賭局。 如此一來 A 應願意玩了。
其次我們來看, 在聖彼得堡詭論中, 若 將第 r 次停止可得 2r 元改為可得 1.95r 元 會如何? 即倍數稍小於 2。 乍看之下可能以為 結果差不多, 還是要付無限多的錢且也還是 公正賭局。 會這樣想是誤以為前幾次投擲便 會出現正面, 所以 1.95r 與 2r 的差異不大。
1.95/2 是很接近 1(= 0.975), 但 0.975r 隨 著 r 之增大, 愈來愈小。 對此賭局, A 之期望 所得為
∞
X
r=1
2−r1.95r
=
∞
X
r=1
0.975r = 0.975
1 − 0.975 = 39.
換句話說, 此時 A 只願付 39 元以玩此賭局。
至於若將 1.95 改為 1.8, 則 A 只願付 9 元 了。 指數的威力是不容忽視的。
如何將公正賭局的定義稍作修改, 以使 聖彼得堡賭局, 能在一適當的賭注下, 而成為 公正的賭局, 可參考 Feller (1968) p.251- 253。
5. 風險評估
整個人類的歷史, 整個人的一生, 可說 是充滿著賭局。 在三國演義第九十五回, 司 馬懿引大軍攻向西城的孔明。 時孔明身邊並 無大將, 只有一班文官及兩千五百守軍。 於是 使出空城計, 所謂 “武侯彈琴退仲達”, 仲達
為司馬懿的字。 司馬懿退兵後, 孔明說 “此人 料吾平生謹慎, 必不弄險, 見如此模樣, 疑有 伏兵, 所以退去。 吾非行險, 蓋因不得已而用 之。” 孔明可說了贏了此賭局。
股票的買賣, 任何財務的投資, 一新政策 的推出, 都是在進行一賭局。 賭贏賭輸有時影 響深遠, 因此事先的風險評估 (risk assess- ment) 很重要。 風險評估的主要依據, 自然 是機率及統計的各種理論與方法。
有些人以為風險是可以被控制的。 例如, 在輪盤賭中, 如果我們掌握充分的資訊, 則結 合物理、 數學及計算機專家, 應可準確地預測 球會停在那一格。 問題是不用說輪盤的那些 機械結構不易完全了解, 各種數據 (包含起始 的旋轉力) 也難以精確地量測。 所以即使預測 的方程式為正確, 但若起始條件 (initial con- ditions) 有些偏差, 很可能得到偏差很大的 預測值。
因此我們僅能善用機率統計, 對各種風 險給出隨機模式, 並做出統計上最好的預測。
習題
1. 在例2中, 若比賽改為三戰兩勝制, 則 C 要先 與 A 或先與 B 下? 若改為下 n 局, n ≥ 3, C 連勝兩局則贏, 此時 C 該先與誰下?
2. 在例 3 中, (i) 分別對玩 6 回, 及 8 回, 求不同 最佳策略數; (ii) 在玩的回數固定下, 不同的 最佳策略數有何相同處?
3. 在例4中, (i) 若 A 採策略 (一), 分別求此時 B 及 C 贏之機率; (ii) 若 A 採策略 (二), 分別求此時 B 及 C 贏之機率。
4. 在例 4 中, 若改為 0 < p1 < p2 < p3 <1, 其中 p3 表 C 之命中率, 此時結果有何不同?
5. 設修改聖彼得堡賭局為最多只能投擲銅板 N 次, 且若第 1 次至第 N 次投擲皆得反面, 便 一無所得。 問賭注為何, 才為一公正賭局?
6. 試求在聖彼得堡賭局中, 若將第 r 次停止可 得 2r 元改為可得 ar 元, 其中 1 ≤ a < 2, 此時每次之賭注為何, 才是一公正賭局?
7. 下述三種選擇你的優先順序為何, 並說明其 原因: (i) 保證獲得一千元, ((ii) 有千分之一 的機會獲得一百萬元, (iii) 有十萬分之一的 機會獲得一億元。
參考文獻
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11. W. Weaver, Lady Luck: The Theory of Probability, Dover Publications, Inc., New York, 1982.
—本文作者任教於國立高雄大學應用數學 系—
