分數除法的題目 Ma, Li-ping (1999)

小學數學科教材教法

梁淑坤

臺灣國立中山大學教育研究所暨師資培育中心 2013年1月23日

香港弘立書院小學教師研習

A. 數與計算的教材及教法 1. 應用題佈題及解題-2

香港弘立書院ISF/2013.01.22-01.23 2

分數除法的題目 Ma, Li-ping (1999)

1. 計算： ÷

2. 想像你在教分數除法，試著找到與真實 情境或故事問題去為 ÷ 呈現一個數

4 1 3

2 1

4 1 3

2

1

23位美國教師分數除法的 呈現方式 ^1/2

• 即使有43% 的美國老師能成功的計算

÷ ，只有一位老師能為 ÷ 編個故事。

4 1 3

2 1

4 1 3

2 1

香港弘立書院ISF/2013.01.22-01.23

4

• 在這23位老師中，有6位無法舉出適當的例子，16 位在舉例時產生迷失概念，如下：

* 除以 和除以2的困惑

* 困擾除以 和乘以 的困惑

* 三個概念的困惑: 除以 ; 除以2; 乘以

23位美國教師分數除法的 呈現方式 ^2/2

2 1 2

1 2

1

1 1

72位的中國教師對於分數除法的 教學方式

• 總數72位的中國教師之中，有65位可以寫 出總數80題運用分數除法的應用問題。

• 共三種除法的模式：測量模式、分割模式 以及乘積和商的模式。

香港弘立書院ISF/2013.01.22-01.23

6

72位的中國教師對於分數除法的

教學方式

72位的中國教師對於分數除法的 教學方式

和上面式子相對應的問題可能是：

1. 一個 呎長的物品可以分成幾個 呎？

4 1 3

2 1

香港弘立書院ISF/2013.01.22-01.23

8

72位的中國教師對於分數除法的 教學方式

和上面式子相對應的問題可能是：

2.如果一個物品的一半長是 呎，請問這 一個物品的全長有多少？ ⁴

1 3

72位的中國教師對於分數除法的 教學方式

和上面式子相對應的問題可能是：

3. 如果一個長方形的面積是 平方呎，它 的一邊是 呎，請問另一邊是多少？

4 1 3

2 1

香港弘立書院ISF/2013.01.22-01.23

10

教師呈現之分數除法文字題

• 測量模式的除法：

「找到裡面有幾個 」或「找到 是 的幾倍」 ⁴

1 3

2 1 4

1 3

教師呈現之分數除法文字題

• 教師們所提出的題目中，有16題的應用題 所呈現的是這兩種概念。

• 有8題是代表「找到 裡面有幾個 」的

概念。 ⁴

1 3

2 1

香港弘立書院ISF/2013.01.22-01.23

12

教師呈現之分數除法文字題

應用問題：

1. 有一輛火車在兩個車站之間行駛，從A站 到B站是上坡，從B站到A站是下坡。從B 站到A站要花 小時，這只是從A站到B 站的 倍時間，請問從A站到B站要花多少 時間？

4 1 3

2

1

教師呈現之分數除法文字題

應用問題：

2. 媽媽買了一盒糖果，她把糖果的 重量 公斤給奶奶，請問這一盒糖果原本全部 重多少公斤？

4 1 3

2 1

香港弘立書院ISF/2013.01.22-01.23

14

教師呈現之分數除法文字題

應用問題：

3. 花 元去買 塊蛋糕，請問整塊蛋糕賣 多少元？

4 1 3

2

1

教師呈現之分數除法文字題

應用問題：

4.吾人知道長方形的面積是長和寬的乘積。

假如長方形木板的面積是 平方公尺，寬 是 公尺，它的長是多少？ ⁴

1 3

2 1

香港弘立書院ISF/2013.01.22-01.23

16

分數乘法的意義

• 透過分數除法出題可發現老師提到許多概 念：全數乘法的意義、把除法視為乘法逆 運算的概念、全數除法的模型、乘以分數 的意義、分數的概念、單位的概念等等。

• 下頁圖簡要說明彼此關係：

分數乘法的意義

除以分數的意義

除以全數的意義 乘法的意義 單位概念

逆運算的概念

全數乘法的意義

分數概念

加法的意義

香港弘立書院ISF/2013.01.22-01.23 18

A. 數與計算的教材及教法

2. 兩位數的加、減法

小一：談文字題的易難度

• 佈題的技巧

（一）低年級加減法文字題的易難度，有幾個具體因素：

 語意

 數字大小

 進退位及情境

香港弘立書院ISF/2013.01.22-01.23 20

小一：談文字題的易難度

1. 語意共四種

• 改變型 CHANGE：數目之多少有轉變，是因為物 件的多少，在時間一或二有添加（減少）的動作，

使結果量有轉變。

• 合拼型 GROUP

• 比較型 COMPARE

起始量 改變量 結果量

1   

2   

3   

小一：談文字題的易難度

• 改變型 CHANGE

• 合拼型 GROUP

• 比較型 COMPARE

• 等同型 EQUALIZE

• 數字教學研究顯示，前二種較容易，後二者較難，

而同一數型中，未知數是結果量是最容易。

香港弘立書院ISF/2013.01.22-01.23 22

小一：談文字題的易難度

2. 數字大小，進退位

• 若以100以內之數字，學童對加減可用數數字

（Counting）或計算方式來解。由於直式算法到十 位值（十進制），對小學一年級孩子來說，有困難。

因此，加減文字題之數字不宜太大，就算仍是2位數 的加減法文字題，進位題可用數數方式求解。

小一：談文字題的易難度

2. 數字大小，進退位

• 例：19顆糖和2顆糖。

學童數19、20、21，接著得到「21」為答案，

若教師要求

則學生未必易懂。

香港弘立書院ISF/2013.01.22-01.23 24

小一：談文字題的易難度

3. 情境

熟悉的情境如公車站、文具店都是容易入手的，

可是，陌生的題目，就算用相同的語意、相同的

數字，對學生來說，其難度就變高。

小一：談文字題的易難度

• 佈題的技巧

（二）如何使教科書的文字題更易懂？

教師口頭佈題技巧如下：

(1)分段佈題

1-1 若題目過長，教師宜分段佈題（P.9第2題）。

例如：「買三杯東西共用多少元」可改為先買A，

再買B，合共多少，最後買C，才問三杯東西的價錢。

香港弘立書院ISF/2013.01.22-01.23 26

小一：談文字題的易難度

(1)分段佈題

1-2 若題目太直接「木瓜比蘋果多多少個」

可以先問木瓜多少個，再問蘋果多少個，然後增加一小題

「到底木瓜多還是蘋果多？」，最後，才問此題，這分段 方式佈題對孩子來說會比較容易。

小一：談文字題的易難度

(2) 使用教具用具體物表示題目中的物件

• 具體物可派上用場，教師可用圖卡，而學童可在座位中 使用珠粒把題目的情況具體表示。半具體階段則是用圈 圈（）代替。至於抽象的用阿拉伯數字，於具體或半 具體階段通過後，才請學生寫下題目意思於算式中。

（由於教具分配問題，此部分不宜用數字太大的題目。）

香港弘立書院ISF/2013.01.22-01.23 28

小一：談文字題的易難度

(3) 對課本題目改變難度

• 操弄語意、數字大小或更換孩子喜愛之情境及人物。

• 小一題目如下：（參考康軒版本課本）

小一：談文字題的易難度

• 一年級：加和減的應用（第13單元）

1. 加法應用題（情境：零食店）

1-1 二位數加二位數（沒進位，合拼型，GROUP）

1-2 二步驟題（有進位，合拼型，GROUP）

2. 減法應用題（情境：旅遊車）

2-1 二位數減個位數（沒退位，比多，COMPARE）

2-2 二位數減二位數（沒退位，比少，COMPARE）

2-3 二位數減二位數（沒退位，等同，EQUALIZE）

香港弘立書院ISF/2013.01.22-01.23 30

小一：談文字題的易難度

• 一年級：加和減的應用（第13單元）

3. 加減應用題（合共GROUP、改變CHANGE、倍加GROUP）

3-1 二位數加二位數（沒進位，合共GROUP）

3-2 二位數減二位數（沒退位，改變CHANGE）

3-3 二位數加二位數（有進位，合共GROUP）

3-4 二位數減二位數（沒退位，比少，COMPARE）

3-5 二位數減二位數（沒退位，比少，COMPARE）

小數字先呈現，大數字後呈現

3-6 二位數加二位數（沒進位，比多，COMPARE）

3-7 二位數加二位數加二位數（有進位，合共GROUP；連加）

小一：談文字題的易難度

• 分析：教師於佈題前宜檢查以上課本之安排是 否合適，再因應下列因素去佈題：

 語意

 數字

 情境

香港弘立書院ISF/2013.01.22-01.23 32

小一：談文字題的易難度

• 佈題的技巧

（三）比較型題目之教材處理：

教師若以A比B為主旨，可以使用合宜之數字大小以及熟 悉的情境，務求讓學生接觸到各種比較型的題目。

比較型題目結構中包含三個量：

參照量、比較量、差異量

小一：談文字題的易難度

• 例一：水餃比多題

爸爸吃水餃15粒，媽媽吃水餃10粒，爸爸比媽媽多吃 幾粒？

參照量：爸爸的15粒 比較量：媽媽的10粒

差異量：未知（答：5粒水餃）

對學生來說，通常比多題較易，以下的比少型（例二）

則較困難。

香港弘立書院ISF/2013.01.22-01.23 34

小一：談文字題的易難度

• 例二：水餃比少題 做表看看：

說說看：媽媽吃水餃10粒，爸爸吃水餃15粒，媽媽比 爸爸少吃幾粒？

例二的計算，仍是15-10=5，可是，此「比少」題較 參照量 比較量 差異量

10 15 5

小一：談文字題的易難度

• 題目表徵型式測驗題型分佈情形

註：(1)～(21)表示複本甲、乙、丙的題號 ³⁶ 表徵形式

語意結構

複本甲 複本乙 複本丙

圖畫 短語 文字 圖畫 短語 文字 圖畫 短語 文字 結果量未知(+) (3) (2) (2) (3) (2) (3)

結果量未知(‐) (7) (5) (5) (7) (7) (5) 改變量未知(+) (14) (11) (11) (14) (14) (11)

改變量未知(‐) (12) (15) (12) (15) (15) (12)

總數未知 (1) (4) (1) (4) (4) (1)

差異量未知(+) (10) (8) (8) (10) (10) (8)

差異量未知(‐) (6) (9) (6) (9) (9) (6) 參照量未知(+) (18) (20) (20) (18) (20) (18)

參照量未知(‐) (19) (21) (21) (19) (21) (19) 多餘資訊題(3

題) (3) (17) (16) (16) (13) (17) (17) (16) (13)

合計 7 7 7 7 7 7 7 7 7

總計 21 21 21

香港弘立書院ISF/2013.01.22-01.23

小一：談文字題的易難度

• 活動：教師佈題

請老師把加減法撲克牌洗牌，平均分配後，抽一張 1. 用算式寫下題目意思，例如：13-8=5

2. 語意是：改變／合拼／比較／等同（請圈出）

3. 情境：熟悉／陌生（請圈出）

4. 用你認為你的學生易懂的語意或情境，

再出一題數字相約的題目，寫下來。

小一：談文字題的易難度

~~~~~~謝謝~~~~~Thank you~~~~~

~~~~~~~~~~休息片刻~~~~~~~~~~

香港弘立書院ISF/2013.01.22-01.23 38

小五：分數除法（二）

1. 教師佈題

「一條緞帶」6ｍ長， m長可做蝴蝶結一個，問一共 可做幾個蝴蝶結？」

S1：6、5 、5、4 … （遂次遞減法）；

（停止數下去）答：12個。

S2： 、 、 … （往上數法）；

2 1

2 1

2 1

2 2

2 3

2 2 1 2

1

小五：分數除法（二）

1. 教師佈題

「一條緞帶」6ｍ長， m長可做蝴蝶結一個，問一共 可做幾個蝴蝶結？」

S3：6÷ = 6× =12，答：12個。（除法）

S4： ×12=6，所以是12個。（乘法）

S5：畫圓。

40

2 1

2 1

1 2

2 1

香港弘立書院ISF/2013.01.22-01.23

小五：分數除法（二）

2. 重新佈題Ⅰ【分數÷分數】

另一條緞帶6 m長，做一個蝴蝶結用 m長的緞帶，

問可做幾個？

由於此分數不好加減，學生可能出現之方法如下：

S1：

3 2

6

5

小五：分數除法（二）

2. 重新佈題Ⅰ【分數÷分數】

另一條緞帶6 m長，做一個蝴蝶結用 m長的緞帶，

問可做幾個？

S2：

42

3 2

6 5

香港弘立書院ISF/2013.01.22-01.23

小五：分數除法（二）

2. 重新佈題Ⅰ【分數÷分數】

另一條緞帶6 m長，做一個蝴蝶結用 m長的緞帶，

問可做幾個？

S3：

3 2

6

5

小五：分數除法（二）

2. 重新佈題Ⅰ【分數÷分數】

另一條緞帶6 m長，做一個蝴蝶結用 m長的緞帶，

問可做幾個？

S4：

44

3 2

6 5

香港弘立書院ISF/2013.01.22-01.23

小五：分數除法（二）

2. 重新佈題Ⅰ【分數÷分數】

最後，學過算則的學生寫：

6 ÷

= ×

= 8

3 2

6 5

5 6 3

20

Thank You.

leung@mail.nsysu.edu.tw

香港弘立書院ISF/2013.01.22-01.23

46