在分母的級數收斂性質

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“C43N38” — 2019/9/6 — 15:41 — page 56 — #1

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2 ⁿ 在分母的級數收斂性質

張進安

等差數列 {aⁿ} 以首項 a¹ 和公差 d 為生成元素, 定義在 N 的一次函數。 如果有人告 訴你說, P^∞

n=1

an

2ⁿ = a2 恰好就是 a1 + d, 對所有等差數列恆成立, 不知道你會不會有所懷疑的 問: 「真的嗎? 」 本文將探討對各種數列 {aⁿ}, 逐項除以 2ⁿ 所形成的級數 P^∞

n=1

an

2ⁿ 的收斂值和 {aⁿ} 的函數性質的關係。

一、 {aⁿ} 為常數數列, 即 aⁿ= c, 顯然 P^∞

n=1

an

2ⁿ = P^∞

n=1

c

2ⁿ = c P^∞

n=1

1 2ⁿ = c。

二、 aⁿ = n 為基本的一次數列, 令 S = P^∞

n=1

n 2ⁿ 則 S= 1

2¹ + 2 2² + 3

2³ + · · · + n

2ⁿ + · · · , 則 2S = 1 + 2

2¹ + 3

2² + · · · + n

2ⁿ⁻¹ + n+ 1

2ⁿ + · · · , 則 S = 2S − S = 1 + 1

2¹ + 1 2² + 1

2³ + · · · + 1

2ⁿ + · · · , 則 S = 1 +

∞

X

n=1

1 2ⁿ = 2.

我們得到一個很有用的P^∞

n=1

n

2ⁿ= 2。 現在可以來證明 {aⁿ} 為等差數列 (即 n 的一次函數) 時的收斂情形。

證明: 設 aⁿ = a1+ (n − 1)d, 對每一項 an

2ⁿ = a1+ nd − d 2ⁿ , 所以

∞

X

n=1

an

2ⁿ =

∞

X

n=1

a1

2ⁿ +

∞

X

n=1

nd 2ⁿ −

∞

X

n=1

d 2ⁿ

= a¹

∞

X

n=1

1 2ⁿ + d

∞

X

n=1

n 2ⁿ − d

∞

X

n=1

1 2ⁿ

= a¹+ 2d − d = a¹+ d = a².

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“C43N38” — 2019/9/6 — 15:41 — page 57 — #2

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這時候, 你也可以將 an = n 看成首項和公差都是 1 的等差數列, 所以 P^∞

n=1

n

2ⁿ = 1 + 1 = 2。

三、 {aⁿ} 為 n 的二次函數的數列, 則 {aⁿ} 是二階等差數列, 我們必須先求出 P∞ n=1

n² 2ⁿ。 令 S =

∞

X

n=1

n² 2ⁿ = 1²

2¹ + 2² 2² + 3²

2³ + 4²

2⁴ + · · · + n²

2ⁿ + · · · , 則 2S = 1 + 2²

2¹ +3² 2² +4²

2³ + · · · + n²

2ⁿ⁻¹ + · · · , 則 S = 2S −S = 1+2²−1²

2¹ +3²−2²

2² +4²−3²

2³ +· · ·+n²−(n−1)²

2ⁿ⁻¹ +(n+1)²−n² 2ⁿ +· · · , 所以 S = 1 + 3

2¹ + 5 2² + 7

2³ + · · · + 2n + 1

2ⁿ + · · · , 所以 S = 1 +

∞

X

n=1

2n + 1

2ⁿ = 1 + 2

∞

X

n=1

n 2ⁿ +

∞

X

n=1

1

2ⁿ = 1 + 2 · 2 + 1 = 6, 所以

∞

X

n=1

n² 2ⁿ = 6.

當 an = f (n) = a + bn + cn² 時,

∞

X

n=1

an

2ⁿ =

∞

X

n=1

a 2ⁿ +

∞

X

n=1

bn 2ⁿ +

∞

X

n=1

cn² 2ⁿ

= a

∞

X

n=1

1 2ⁿ + b

∞

X

n=1

n 2ⁿ + c

∞

X

n=1

n² 2ⁿ

= a + 2b + 6c.

四、 用相同的方法化簡一般項

(n + 1)³− n³

2ⁿ = 3n²+ 3n + 1

2ⁿ , 我們可以求出

∞

X

n=1

n³ 2ⁿ = 1 +

∞

X

n=1

3n²+ 3n + 1

2ⁿ = 1 +

∞

X

n=1

3n² 2ⁿ +

∞

X

n=1

3n 2ⁿ +

∞

X

n=1

1 2ⁿ

= 1 + 3 · 6 + 3 · 2 + 1 = 26,

這樣就能解決分子是三階等差數列的問題了。 顯然若 an= a + bn + cn²+ dn³, 則 P∞

n=1

an

2ⁿ = a + 2b + 6c + 26d。

依此類推對任意正整數 k, 我們都能求出 P^∞

n=1

n^k

2ⁿ, 也就能解決 k 階等差數列的問題了。

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“C43N38” — 2019/9/6 — 15:41 — page 58 — #3

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五、 {aⁿ} 是等比數列時, 令 aⁿ= a¹rⁿ⁻¹ 則

∞

X

n=1

an

2ⁿ =

∞

X

n=1

a1rⁿ⁻¹ 2ⁿ = a1

2 ·

∞

X

n=1

rⁿ⁻¹ 2ⁿ⁻¹ = a1

2 ·

∞

X

n=1

r 2

n−1

,

收斂條件為    r 2  

<1, 所以 |r| < 2, 收斂值為 a1

2 − r。 六、 {aⁿ}是遞迴數列, 首先看最簡單的費波那契數列, 則

P∞ n=1

Fn

2ⁿ= 2, 也是一個令人驚豔的結果。

證明如下:

令 S =

∞

X

n=1

Fn

2ⁿ = 1 2¹ + 1

2² + 2 2³ + 3

2⁴ + 5

2⁵ + · · · + Fn

2ⁿ + · · · , 則 2S = 1 + 1

2¹ + 2 2² + 3

2³ + 5

2⁴ + · · · + Fn

2ⁿ⁻¹ +Fn+1

2ⁿ + · · · , 則 S = 2S −S = 1+1−1

2¹ +2−1

2² +3−2

2³ +5−3

2⁴ +· · ·+Fn−Fn−1

2ⁿ⁻¹ +Fn+1−Fⁿ 2ⁿ +· · · , 則 S = 1 + 1

2

1 2¹ + 1

2² + 2

2³ + · · · + F_n−1 2ⁿ⁻¹ + Fn

2ⁿ + · · · , 所以 S = 1 + 1

2S, 所以 S = 2.

我們要用這個重要的 P^∞

n=1

Fn

2ⁿ = 2, 推廣到廣義的費波那契-盧卡斯數列 (Fibonacci-Lucas Se- quence)。

首先定義 Ln(a, b) 為 L1 = a, L2 = b, Ln+2 = Lⁿ+ Ln+1, (a, b ∈ R), 則我們有更令人讚 賞的結果 P^∞

n=1

Ln(a, b)

2ⁿ = a + b。

證明如下: 因為

Ln(a, b) : a, b, a + b, a + 2b, 2a + 3b, 3a + 5b, . . . , 顯然 Ln+2 = a · Fⁿ+ b · Fⁿ⁺¹ 或 Ln = a · Fn−2+ b · Fn−1 (n ≥ 3)

所以

∞

X

n=1

Ln

2ⁿ = a 2¹ + b

2² +a+ b

2³ + a+ 2b

2⁴ + · · · + a · Fn−2+ b · Fn−1

2ⁿ + · · ·

=a 2 + 1

4

a 2¹ + a

2² + 2a 2³ +3a

2⁴ + · · · + a · Fn−2

2ⁿ + · · · + b

2² + b 2³ + 2b

2⁴ +3b

2⁵ + · · · + b · Fn−1

2ⁿ + · · ·

=a 2 + a

4

∞

X

n=1

Fn

2ⁿ + b 2

∞

X

n=1

Fn

2ⁿ = a 2 +a

4 · 2 + b

2 · 2 = a + b.

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“C43N38” — 2019/9/6 — 15:41 — page 59 — #4

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至此, 我們再回頭檢視 P^∞

n=1

Fn

2ⁿ = P^∞

n=1

Ln(1, 1)

2ⁿ = 1 + 1 = 2, 就只是一個特例了。 值得注意的 是, 當 a 6= b 時 Lⁿ(a, b) 和 Lⁿ(b, a) 除了第三項外是完全不同的數列, 但是 P^∞

n=1

Ln(a, b) 2ⁿ 和 P∞

n=1

Ln(b, a)

2ⁿ 都收斂到 a + b, 正好就是第三項。

七、 更高次的遞迴數列

如果定義 Ln(a, b, c) 為 L¹ = a, L² = b, L³ = c, Lⁿ⁺³ = Lⁿ+ Lⁿ⁺¹ + Lⁿ⁺² 則 P∞

n=1

Ln(a, b, c)

2ⁿ = a + b + c。 證明過程和 P^∞

n=1

Ln(a, b)

2ⁿ = a + b 的證明類似, 或者還想再推更 高次的遞迴就留給有興趣的人當練習了。

八、 結語 級數 P^∞

n=1

bn 收斂的必要條件是 lim

n→∞

bn = 0。 所以對一般的等差數列或高階等差數列或遞 迴數列 {aⁿ}, 都是 n 的函數, 若逐項只除以 n, lim

n→∞

an

n 通常還不會趨近於 0。 即使 {aⁿ} = {1}, lim

n→∞

1

n = 0, 但 P^∞

n=1

1

n 還是發散的。 而逐項除以 2ⁿ, 在非指數型的數列, lim

n→∞

an

2ⁿ = 0 通常都是成立的。 而且 P^∞

n=1

an

2ⁿ 也確實有很多有趣的結果。 如果還有人要問, 為何是 2ⁿ 而不是 3ⁿ, 10ⁿ, 或是不特定的 kⁿ。 你只要對 |k| > 1, 先求出 P^∞

n=1

n

kⁿ = k

(k − 1)² 就會發現, 如果不 是 k = 2 就多了分母的變化, 收斂的公式就不再如此簡潔漂亮了!

—本文作者為高雄市中正高中退休教師—