中級 Ring 的性質

李華介

國立台灣師範大學數學系

Chapter 6

中級 Ring 的性質

這一章中我們將介紹一些更進一步的 ring 的理論, 包括 ideals, quotient ring 以及 三個 isomorphism theorems.

6.1. Ideals 和 Quotient Rings

我們在學習 group 時知道一個 group 的 subgroup 中有一種特別的 subgroup 在處理 group 的問題時特別好用, 就是 normal subgroup. 同樣的在一個 ring 中的 subring 裡, 也有一種很特別的 subring, 我們稱之為 ideal.

我們回憶一下, normal subgroup 之所以比一般的 subgroup 好用在於可以利用 它得到一個新的 group 稱之為 quotient group. 也就是說對所有 G 的 subgroup H, 我們可以將 G 用 H 來分類, 然後將同類的元素看成一個新的元素. 不過這些新的元 素間一般我們無法定義一個運算讓它成為一個 group, 除非 H 是 G 的一個 normal subgroup. 現在, 若 R 是一個 ring 且 S 是 R 的 subring, 由於 R 在加法之下是 一個 abelian group, 而 S 在加法之下是 R 的一個 subgroup, 利用 abelian group 的 subgroup 都是 normal subgroup, 我們當然有 R/S 這一個加法之下的 quotient group. 我們當然還希望 R/S 中也有乘法, 這樣就可能得到一個新的 ring 了. 要怎 樣在 R/S 中定一個和 R 的乘法相關的乘法呢? 我們可以學 2.4 節的方法來處理.

首先必須了解 R/S 中的元素長什麼樣子. 任取 R/S 中的一個元素都可以用 a 來表示, 其中 a ∈ R 而 a 是將 R 中所有和 a 同類的元素看成是一個元素. 怎樣的 元素會和 a 同類呢? 別忘了這裡我們是用加法所以依定義 a 和 a⁰ 同類若且唯若 a − a⁰ ∈ S. 現在若 a, b ∈ R/S, 因 S 在加法之下是 R 的 normal subgroup, 由前面 知我們自然可定

a + b = a + b.

我們當然希望定的乘法是

a · b = a · b.

101

不過這樣定的乘法可能會有問題. 問題發生於 a 在 R/S 中表示法並不唯一, 也就 是說存在 a⁰ ∈ R 且 a⁰ 6= a 滿足 a = a⁰ (只要 a − a⁰ ∈ S 就可). 因此我們要問的是:

如果 a = a⁰ 且 b = b⁰ 會不會發生 a · b 6= a⁰· b⁰ 的現象? 萬一發生了我們定的乘法 就有問題.

S 要有怎樣的性質 R/S 上定的乘法才不會有問題呢? 也就是任取 r, r⁰∈ R 以 及 s, s⁰ ∈ S 我們有 r = r + s 且 r⁰ = r⁰+ s⁰ 因此 r · r⁰= (r + s) · (r⁰+ s⁰) 表示 r · r⁰ 和 (r + s) · (r⁰+ s⁰) 在 S 的分類之下是相同的. 換句話說: 我們要求

(r + s) · (r⁰+ s⁰) − r · r⁰ = r · s⁰+ s · r⁰+ s · s⁰ ∈ S. (6.1) 由於 S 是一個 subring, 當然得 s · s⁰ ∈ S, 因此式子 (6.1) 等同於要求對任意的 r, r⁰ ∈ R 及 s, s⁰ ∈ S 皆需符合

r · s⁰+ s · r ∈ S (6.2)

分別代 s = 0 及 s⁰ = 0 的情況於式子 (6.2), 我們知這等同於要求對任意的 r ∈ R 及 s ∈ S 皆需符合

r · s ∈ S 且 s · r ∈ S.

因此我們自然有以下之定義:

Definition 6.1.1. 若 I 是 R 的一個 subring 且符合對任意的 r ∈ R 及 a ∈ I 皆有 r · a ∈ I 且 a · r ∈ I,

則稱 I 為 R 的一個 ideal.

雖然一個 ring 的 ideal 必須是一個 ring, 就如同 subring 的情況我們不必檢查 ring 的所有條件, 利用 Lemma 5.4.2 我們有以下判斷 ideal 的方法.

Lemma 6.1.2. 令 R 是一個 ring, I ⊆ R. 若 I 符合以下兩點, 則 I 是 R 的 ideal:

(1) 對於所有的 a, b ∈ I 皆有 a − b ∈ I.

(2) 對任意的 a ∈ I, r ∈ R 皆有 r · a ∈ I 且 a · r ∈ I.

Proof. 若 a, b ∈ I, 則當然 b ∈ R, 故條件 (2) 告訴我們對所有的 a, b ∈ I 皆有 a · b ∈ I. 結合條件 (1), 利用 Lemma 5.4.2 知 I 是 R 的一個 subring. 因此再由條

件 (2) 得 I 是 R 的 ideal. ¤

現在回到我們考慮 ideal 的真正目的. 若 I 是 R 這個 ring 的 ideal, 我們想利用 R 的 ring 的性質來創造另一個 ring. 首先我們利用 R 在加法之下是 abelian group 且 I 是其 normal subgroup, 用 I 將 R 分類, 然後將同類的元素所成的集合看成一 個新的元素. 如此一來這一個分類後的集合 R/I 可定出一個加法, 而且是 abelian group. 然後再用 I 是 ideal 的性質, 給 R/I 乘法的結構. 也就是說若 a 是與 a 同 類的元素所成的集合, b 是與 b 同類的元素所成的集合, 則我們定

a + b = a + b 且 a · b = a · b.

6.2. Subring 和 Ideal 的基本性質 103

以下我們將說明 R/I 在此 + 和 · 之下是一個 ring.

首先利用我們知道的 group 理論, R/I 在 + 之下是一個 abelian group, 也就是 說 R/I 符合 (R1) 到 (R5) 這 5 項 ring 的條件. 我們只要檢查 (R6), (R7) 和 (R8) 即可.

(R6): 若 a, b ∈ R/I, 則由於 a · b ∈ R 故 a · b ∈ R/I. 也就是說 a · b ∈ R/I.

(R7): 我們要證明 (a · b) · c = a · (b · c). 然而 (a · b) · c = a · b · c = (a · b) · c, 且

a · (b · c) = a · b · c = a · (b · c) 再加上 (a · b) · c = a · (b · c) 所以等式成立.

(R8): 同前面的證明, 由於 a · (b + c) = a · b + a · c 當然可得 a · (b + c) = a · b + a · c.

同理知

(b + c) · a = b · a + c · a.

我們稱 R/I 是 R 的一個 quotient ring.

6.2. Subring 和 Ideal 的基本性質

前一節中我們可以看出 normal subgroup 和 group 間的關係相當於 ideal 和 ring 的 關係. 所以一些在 group 中有關 normal subgroup 的性質, 在 ring 中也有相對應有 關 ideal 的性質. 不過要注意的是從前在 group 我們都是用 · 當運算, 但在 ring 中 的 group 運算是用 + 來表示, 所已相對應的性質要將 · 改成 +.

我們在 Lemma 2.6.3 中提過: 當 H, H⁰ 是 G 的 subgroup, H · H⁰ 這一個集合 未必是 G 的 subgroup, 除非 H 和 H⁰ 中有一個是 G 的 normal subgroup. 在 ring 中也有類似的結果: 一般來說若 S, T 是 R 的 subring, 那麼

S + T = {s + t | s ∈ S, t ∈ T }

未必是 R 的 subring. 原因是 S +T 中任選兩元素 s+t 和 s⁰+t⁰, 其乘積 (s+t)·(s⁰+t⁰) 並不一定可以寫成一個 S 的元素加上一個 T 的元素這種形式, 也就是說當 S 和 T 只是 R 的 subring 時, S + T 不一定是乘法封閉的. 不過當 S, T 其中之一是 R 的 ideal 時, S + T 就乘法封閉了!

Lemma 6.2.1. 令 R 是一個 ring, S, T 是 R 的 subring.

(1) 若 S 是 R 的 ideal, 則 S + T 是 R 的 subring.

(2) 若 S 和 T 都是 R 的 ideal, 則 S + T 是 R 的 ideal.

Proof. (1) 利用加法的 group 性質, 我們知若 a = s + t, b = s⁰ + t⁰ ∈ S + T 其中 s, s⁰ ∈ S 且 t.t⁰ ∈ T , 則

a − b = (s + t) − (s⁰+ t⁰) = (s − s⁰) + (t − t⁰) ∈ S + T.

另外

a · b = (s + t) · (s⁰+ t⁰) = s · s⁰+ s · t⁰+ t · s⁰+ t · t⁰.

由於 S 和 T 是 R 的 subring, 故 s · s⁰ ∈ S 且 t · t⁰ ∈ T . 又因 S 是 R 的 ideal 且 t, t⁰ ∈ R, 故 s · t⁰ ∈ S 且 t · s⁰ ∈ S. 因此知 s · s⁰ + s · t⁰ + t · s⁰ ∈ S 所以 (s + t) · (s⁰+ t⁰) ∈ S + T . 故由 Lemma 5.4.2 知 S + T 是 R 的 subring.

(2) 若 S 和 T 是 R 的 ideal, 則對任意的 r ∈ R, s ∈ S 及 t ∈ T 我們皆有 r · s, s · r ∈ S 且 r · t, t · r ∈ T . 因此

r · (s + t) = r · s + r · t ∈ S + T 且

(s + t) · r = s · r + t · r ∈ S + T.

故由 Lemma 6.1.2 知 S + T 是 R 的 ideal. ¤

我們在討論 group 時曾談過兩個 subgroup 的交集依然是 subgroup, 而兩個 normal subgroup 的交集也是 normal subgroup. 在 ring 的情況我們也有類似情形.

Lemma 6.2.2. 令 R 是一個 ring, S, T 是 R 的 subring.

(1) S ∩ T 是 R 的 subring.

(2) 若 S 和 T 都是 R 的 ideal, 則 S ∩ T 是 R 的 ideal.

Proof. (1) 利用加法的 group 性質我們知若 a, b ∈ S ∩ T 則 a − b ∈ S ∩ T . 另又 因 a ∈ S 且 b ∈ S 故利用 S 的乘法封閉性知 a · b ∈ S, 同理得 a · b ∈ T . 故知 a · b ∈ S ∩ T . 因此由 Lemma 5.4.2 知 S ∩ T 是 R 的 subring.

(2) 當 S 和 T 皆為 R 的 ideal 時, 對任意的 r ∈ R, a ∈ S ∩ T , 由於 a ∈ S, 我們 有 r · a ∈ S. 又因 a ∈ T , 所以 r · a ∈ T . 因此得 r · a ∈ S ∩ T . 同理得 a · r ∈ S ∩ T .

故由 Lemma 6.1.2 知 S ∩ T 是 R 的 ideal. ¤

注意若 S 和 T 若僅有一個為 R 的 ideal, 則 S ∩ T 當然還是 R 的 subring. 不 過就不見得是 R 的 ideal 了! 另外在 group 時我們知道兩個 subgroup 的聯集不一 定是 subgroup, 同理如果 S 和 T 是 R 的 subring, S ∪ T 也不一定是 R 的 subring.

既然 ring 中有乘法, 如果 S, T 是 R 的 subring 那麼考慮 {s · t | s ∈ S, t ∈ T } 這 樣的集合會不會也是 R 的 subring 呢? 事實上若 s, s⁰ ∈ S, t, t⁰ ∈ T , 則 (s · t) · (s⁰· t⁰) 不見得可以寫成 s⁰⁰· t⁰⁰, 其中 s⁰⁰ ∈ S, t⁰⁰∈ T 這樣的形式 (除非 R 是 commutative).

不過即使 R 是 commutative, s · t + s⁰· t⁰ 也不見得可以寫成 s⁰⁰· t⁰⁰, 其中 s⁰⁰ ∈ S,

6.2. Subring 和 Ideal 的基本性質 105

t⁰⁰∈ T . 所以如果考慮 {s · t | s ∈ S, t ∈ T } 這樣的集合是無法達到加法封閉的要求.

我們應考慮以下之集合 {

Xn i=1

s_i· t_i| s_i ∈ S, t_i∈ T, for some n ∈ N}.

一般我們會將以上的集合記作 S · T . 簡單來說, 每一個 S · T 的元素都可寫成有限 多項的 S 中元素乘上 T 中元素的和.

Lemma 6.2.3. 令 R 是一個 ring, S 和 T 都是 R 的 ideal, 則 S · T 是 R 的 ideal.

Proof. 若 a = s₁· t₁+ · · · + s_n· t_n和 b = s⁰₁· t⁰₁+ · · · + s⁰_m· t⁰_m 是 S · T 中任意的兩 元素, 則

a − b = s₁· t₁+ · · · + s_n· t_n+ (−s⁰₁) · t⁰₁+ · · · + (−s⁰_m) · t⁰_m 仍可寫成有限多項的 S 中元素乘上 T 中元素的和. 故 a − b ∈ S · T .

另外對任意的 r ∈ R,

r · a = r ·¡Xⁿ

i=1

s_i· t_i¢

= Xn

i=1

(r · s_i) · t_i.

由於 s_i ∈ S 且 S 是 R 的 ideal, 所以 r · s_i∈ S. 因此 r · a 仍可寫成有限多項的 S 中元素乘上 T 中元素的和. 故 r · a ∈ S · T . 同理知 a · r ∈ S · T . 故由 Lemma 6.1.2

知 S · T 是 R 的 ideal. ¤

我們已看到許多有關 ideal 和 subring 的差異, 一般來說 subring 因其條件較少 所以較難控制. 例如一個 subring 可能含有原本 ring 中的 unit (Z 是 Q 的 subring, 且 1 ∈ Z), 但對 ideal 來說這就絕不可能發生了!

Lemma 6.2.4. 設 R 是一個 ring with 1, 且 I 為 R 的一個 ideal. 若在 I 中存在 u ∈ I 是 R 的一個 unit, 則 I = R. 尤其當 R 是一個 division ring 時, R 的 ideal 就只有 {0} 和 R 本身.

Proof. 因 I 是 R 的 ideal, 我們自然有 I ⊆ R. 現任取 r ∈ R, 因 u 是 R 的一個 unit, 由 Lemma 5.3.7 知存在 r⁰ ∈ R 滿足 r⁰· u = r. 然而 u ∈ I, 由 ideal 的性質知 r⁰· u = r ∈ I. 因此知 R ⊆ I, 故得 R = I.

現在若 R 是一個 division ring, 依定義, 任意 R 中的非 0 元素都是 unit. 故 若 I 是 R 中一個不為 {0} 的 ideal, 即 I 中存在非 0 的元素, 故由前面的結果知

R = I. ¤

通常依慣例, 我們會稱 R 和 {0} 是 R 的 trivial ideals, 除此以外的 ideal 就稱為 nontrivial proper ideal. Lemma 6.2.4 告訴我們一個 division ring 中沒有 nontrivial proper ideal (不過當然有可能有 proper subring).

最後我們回顧一下在 Remark 2.4.2 中我們曾提到 subgroup 和 normal subgroup 相互之間要注意的事項, 同樣的對於 subring 和 ideal 我們也要注意以下事項:

假設 R 是一個 ring 且 T ⊆ S ⊆ R.

(1) 如果已知 S 是 R 的 subring 且 T 是 S 的 subring, 那麼 T 是 R 的 subring.

(2) 如果已知 S 是 R 的 subring 且 T 是 R 的 ideal , 那麼 T 也會是 S 的 ideal.

(3) 如果已知 S 是 R 的 subring 而 T 是 S 的 ideal, 那麼 T 不一定是 R 的 ideal.

(4) 如果已知 S 在 R 的 ideal 且 T 在 S 的 ideal, 那麼 T 不一定是 R 的 ideal.

6.3. Ring Homomorphism 和 Correspondence 定理

我們曾經利用 group homomorphism 來描繪兩個 group 之間的關係. 同樣的 ring 之 間也有所謂的 ring homomorphism, 而 correspondence 定理就告訴我們如何由 ring homomorphism 來描繪兩個 ring 間 ideal 的關係.

Definition 6.3.1. 當 R, R⁰ 是 rings 而 φ : R → R⁰ 是從 R 映射到 R⁰ 的函數. 如 果 φ 滿足對於所有 a, b ∈ R 皆有

φ(a + b) = φ(a) + φ(b) 且 φ(a · b) = φ(a) · φ(b), 則稱此函數 φ 是一個 ring homomorphism.

要注意的是: 因為 a, b ∈ R, 所以這裡 a + b, a · b 是在 R 中的加法和乘法; 而 φ(a), φ(b) ∈ R⁰, 所以 φ(a) + φ(b), φ(a) · φ(b) 是在 R⁰ 中的加法和乘法. 簡單地說: 一 個從 R 到 R⁰ 的 ring homomorphism, 是加法的 group homomorphism 再加上保持 乘法的運算. 所以一般來說有關於 group homomorphism 的性質都可以直接套用在 ring homomorphism 上. 比方說由 Lemma 2.5.2 知 φ(0) = 0 (其中 φ 裡面的 0 是 R 的 0, 另一個 0 是 R⁰ 的 0) 且 φ(−a) = −φ(a). 因此以後要計算 φ(a − b) 時由於

φ(a − b) = φ(a + (−b)) = φ(a) + φ(−b) = φ(a) + (−φ(b)), 我們會直接寫成

φ(a − b) = φ(a) − φ(b).

在 group homomorphism 中我們介紹了兩個重要的集合 image 和 kernel, 在 ring homomorphism 這兩個集合仍然很重要. 我們再回顧一下它們的定義.

Definition 6.3.2. 若 φ : R → R⁰ 是一個 group homomorphism, 則 im(φ) = {φ(a) ∈ R⁰| a ∈ R}

稱為 φ 的 image.

ker(φ) = {a ∈ R | φ(a) = 0}, 稱為 φ 的 kernel.

注意這裡 kernel 中的 0 是 R⁰ 加法的 identity. 在 group homomorphism 中 image 和 kernel 分別是對應域的 subgroup 和定義域的 normal subgroup. 大家應不 難猜出在 ring homomorphism 它們的性質吧!

6.3. Ring Homomorphism 107

Lemma 6.3.3. 若 φ : R → R⁰ 是一個 ring homomorphism, 則 im(φ) 是 R⁰ 的 subring, 而 ker(φ) 是 R 的 ideal.

Proof. 我們利用 Lemma 2.5.4 直接知 im(φ) 和 ker(φ) 分別是 R⁰ 和 R 加法之下 的 subgroup. 所以我們只要驗證乘法.

若 φ(a), φ(b) ∈ im(φ), 其中 a, b ∈ R, 則 φ(a) · φ(b) = φ(a · b). 又因 a · b ∈ R, 故 φ(a) · φ(b) ∈ im(φ). 因此由 Lemma 5.4.2 知 im(φ) 是 R⁰ 的 subring.

至於 ker(φ) 是 R 的 ideal, 我們只要證: 對任意的 r ∈ R 和 a ∈ ker(φ) 皆有 r · a ∈ ker(φ) 及 a · r ∈ ker(φ). 然而 φ(r · a) = φ(r) · φ(a) = φ(r) · 0, 利用 Lemma 5.2.1 知 φ(r · a) = 0 故 r · a ∈ ker(φ). 同理得 a · r ∈ ker(φ). 因此由 Lemma 6.1.2

知 ker(φ) 是 R 的 ideal. ¤

在 Lemma 2.5.6 中我們知道可以用 kernel 來判斷一個 group homomorphism 是 否為一對一, 既然 ring homomorphism 在加法之下是 group homomorphism 所下面 的 Lemma 當然成立.

Lemma 6.3.4. 已知 φ : R → R⁰ 是一個 ring homomorphism, 則 φ 是一個 monomor- phism (即一對一) 若且為若 ker(φ) = {0}.

瞭解了 ring homomorphism, 接下來我們來談 ring homomorphism 的 correspon- dence 定理. 回顧一下 group homomorphism 中的 correspondence 定理描述了兩個 group 的 subgroup 和 normal subgroup 利用 group homomorphism 所得到的對應 關係. 對 ring homomorphism 我們也有類似狀況.

Theorem 6.3.5 (Correspondence Theorem). 若 φ : R → R⁰ 是一個 onto 的 ring homomorphism. 若 S⁰ 是 R⁰ 的 subring 且令

S = {a ∈ R | φ(a) ∈ R⁰}, 則 S 是 R 的一個 subring 且 S ⊇ ker(φ). 另外若令

φ(S) = {φ(a) | a ∈ S}, 則 φ(S) = S⁰.

如果又假設 S⁰ 是 R⁰ 的 ideal. 則前面所定的 S 也會是 R 的 ideal.

Proof. 首先先證 S 是 R 的 subring. 若 a, b ∈ S, 我們要證明 a − b ∈ S 且 a · b ∈ S.

由定義知 a, b ∈ S 表示 φ(a) ∈ S⁰ 且 φ(b) ∈ S⁰, 故 φ(a)−φ(b) ∈ S⁰且 φ(a)·φ(b) ∈ S⁰. 又因 φ 是 ring homomorphism, 故 φ(a − b) = φ(a) − φ(b) 且 φ(a · b) = φ(a) · φ(b).

因此 φ(a − b) ∈ S⁰ 且 φ(a · b) ∈ S⁰, 也就是說 a − b ∈ S 且 a · b ∈ S. 故知 S 是 R 的 subring. (注意這個部分的證明只用到 φ 是 ring homomorphism, 並不需要 onto.)

若 a ∈ ker(φ), 則 φ(a) = 0. 因 0 ∈ S⁰ 故 a ∈ S. 所以 ker(φ) ⊆ S. (這部分的證 明也不需 onto.)

現在證 φ(S) = S⁰. 首先證明 φ(S) ⊆ S⁰ 這部份是容易的. 主要是因 φ(S) 的元 素都是 φ(a) 這種形式, 其中 a ∈ S. 由定義 a ∈ S, 表示 φ(a) ∈ S⁰. 故 φ(S) 的元 素都落在 S⁰ 中. 很多同學都會認為 S⁰ 的元素也會在 φ(S) 中; 一般這是不一定對 的. 因為在一般的情況 b ∈ S⁰ 不代表有元素 a ∈ R 使得 φ(a) = b. 這裡我們就要 用到 onto 的性質了. 因為 φ 是 onto 故對任意 b ∈ S⁰ ⊆ R⁰ 都可找到 a ∈ R 使得 φ(a) = b. 既然 φ(a) = b ∈ S⁰, 這一個 a 也就在 S 中了. 所以 b = φ(a) ∈ φ(S), 也 就是說 S⁰ ⊆ φ(S). 由此得證 S⁰= φ(S).

最後我們要證明若 S⁰ 是 R⁰ 的 ideal, 則 S 也是 R 的 ideal. 對任意的 r ∈ R, a ∈ S 皆有 φ(r · a) = φ(r) · φ(a). 由於 φ(r) ∈ R⁰ 且 φ(a) ∈ S⁰ 及 S⁰ 是 R⁰ 的 ideal, 我們有 φ(r) · φ(a) ∈ S⁰. 故 r · a ∈ S, 同理得 a · r ∈ S. 所以 S 是 R 的 ideal. ¤ 再次強調這個定理中除了 φ(S) = S⁰ 需用到 φ 是 onto 外, 其他性質並不需 onto 的假設.

Remark 6.3.6. Correspondence Theorem 告訴我們說若 φ : R → R⁰ 是一個 onto 的 ring homomorphism, 則在 R⁰ 中任選一個 subring S⁰ 都可在 R 中找到一個 subring S 使得 φ(S) = S⁰, 而且 ker(φ) ⊆ S. 其實在 R 中符合 φ(S) = S⁰ 及 ker(φ) ⊆ S 的 subring 是唯一的. 假設 R 中有另一個 subring T 符合 φ(T ) = S⁰ 且 ker(φ) ⊆ T . 則對於所有 a ∈ T , 因 φ(a) ∈ φ(T ) = S⁰, 故由假設 φ(S) = S⁰ 知在 S 中必存在一 元素 b 使得 φ(b) = φ(a). 換句話說 φ(a) − φ(b) = 0. 由此得 φ(a − b) = 0. 也就是 說 a − b ∈ ker(φ). 別忘了 ker(φ) ⊆ S 且 b ∈ S 故 a ∈ S, 也就是說 T ⊆ S. 用同樣 的方法可得 S ⊆ T . 所以 T = S. 換句話說: 對於 R⁰ 中任一 subring S⁰, 在 R 中皆

‘存在’ “唯一” 的 subring S 滿足 φ(S) = S⁰ 且 ker(φ) ⊆ S.

Correspondence Theorem 最常用的情況是當 I 是 R 的一個 ideal, 而 φ 是 R 到 R/I 的 ring homomorphism 其中對任意的 a ∈ R, 定義 φ(a) = a.

Corollary 6.3.7. 假設 R 是一個 ring 且 I 是 R 的一個 ideal. 則對任意 R/I 中 的 subring S⁰ 都可在 R 中找到 subring S 符合 I ⊆ S 且 S/I = S⁰.

當 S⁰ 是 R/I 的 ideal 時, 則 S 也會是 R 的 ideal.

Proof. φ 是 ring homomorphism 是因為

φ(a − b) = a − b = a − b = φ(a) − φ(b) 且

φ(a · b) = a · b = a · b = φ(a) · φ(b).

再證明 φ 是 onto 的, 事實上對所有 y ∈ R/I 都是 y = a, 其中 a ∈ R 這種形式.

故選 a ∈ R 帶入 φ 得 φ(a) = a = y. 得證 φ 是 onto.

ker(φ) 是甚麼呢? 若 a ∈ ker(φ) 則 φ(a) = 0, 但由 φ 的定義 φ(a) = a. 故由 a = 0, 得 a ∈ I. 反之若 a ∈ I, 則 φ(a) = a = 0, 故 a ∈ ker(φ). 由此得 ker(φ) = I.

6.4. 三個 Ring Isomorphism 定理 109

現在 Correspondence Theorem 中的條件都找到了, 所以利用 Theorem 6.3.5 知 任取 R/I 中的一個 subring (或 idealS⁰), 在 R 中都可以找到一個 subring (或 ideal)

S 符合 I = ker(φ) ⊆ S 且 φ(S) = S/I = S⁰. ¤

有許多書也稱 Corollary 6.3.7 為 Correspondence Theorem. 它告訴我們 R/I 中的 subring (或 ideal) 都是長 S/I 這種形式, 其中 S 是 R 的 subring (或 ideal) 且 I ⊆ S.

6.4. 三個 Ring Isomorphism 定理

和 group 一樣, ring 也有三個 isomorphism 定理. 由於我們有現成的 group isomor- phism 定理可用, 這三個 isomorphism 定理幾乎可以直接推得, 我們只要驗證乘法 部分即可.

Definition 6.4.1. 如果兩個 rings R 和 R⁰ 間你可以找到一個 ring homomorphism 是 isomorphism (即 1-1 且 onto), 則我們稱 R 和 R⁰ 這兩個 ring 是 isomorphic, 記 為: R ' R⁰.

Theorem 6.4.2 (First Isomorphism Theorem). 若 φ : R → R⁰ 是一個 ring homo- morphism, 則

R/ ker(φ) ' im(φ).

Proof. 首先注意由 Lemma 6.3.3 知 im(φ) 是一個 ring 且 ker(φ) 是 R 的 ideal, 所 以 R/ ker(φ) 也是一個 ring. 利用和第一個 group isomorphism 定理相同的方法, 我 們在 R/ ker(φ) 這一個 quotient ring 和 im(φ) 這個 ring 之間找到一個函數. 再說 明這個函數是 ring homomorphism, 最後再驗證它是 1-1 且 onto.

我們可以利用 φ 製造以下的函數:

ψ : R/ ker(φ) → im(φ); a 7→ φ(a), ∀ a ∈ R/ ker(φ).

我們首先說明 ψ 是一個‘好函數’ (well defined function): 如果 a, b ∈ R 使得 a 和 b 在 R/ ker(φ) 中是相同的. 我們必須說明 φ(a) = φ(b). 雖然 a 6= b, 不過由 a = b 知 a 和 b 在以 ker(φ) 這個 ideal 的分類下是同類的. 別忘了 a 和 b 同類表示 a − b ∈ ker(φ). 也就是說 φ(a − b) = 0. 再利用 φ 是 ring homomorphism 的假設, 我們得 φ(a) − φ(b) = φ(a − b) = 0. 即 φ(a) = φ(b). 所以我們製造的 ψ 是一個 well defined function.

接下來證 ψ 是一個 ring homomorphism: 對任意的 a, b ∈ R/ ker(φ), 我們有 ψ(a + b) = ψ(a + b) = φ(a + b) 且 ψ(a · b) = ψ(a · b) = φ(a · b).

另一方面因為 φ 是 ring homomorphism, 所以

φ(a + b) = φ(a) + φ(b) = ψ(a) + ψ(b) 且 φ(a · b) = φ(a) · φ(b) = ψ(a) · ψ(b).

結合以上二式, 我們可得

ψ(a + b) = ψ(a) + ψ(b) 且 ψ(a · b) = ψ(a) · ψ(b).

我們最後要證明 ψ 是 1-1 且 onto. 這其實不必證了(當然你要多此一舉也沒關係), 因為我們在 Theorem 2.6.1 已證過 ψ 這個函數在加法看成是 group homomorphism 已經是 1-1 且 onto.

總結: 我們證得了 ψ 是一個從 G/ ker(φ) 到 im(φ) 的 isomorphism. 所以

G/ ker(φ) ' im(φ). ¤

當然了如果定理中的 φ 是 onto. 那麼我們知 im(φ) = R⁰. 因此我們有以下的引 理:

Corollary 6.4.3. 若 φ : R → R⁰ 是一個 onto 的 ring homomorphism, 則 R/ ker(φ) ' R⁰.

現在我們來看看 ring 的第二個 isomorphism 定理. 它應該是怎樣的形式呢? 我們 先回顧一下 group 的情況: 給定一 group G, 若 H 是 G 的 subgroup 且 N 是 G 的 normal subgroup. 則 H ∩ N 是 H 的 normal subgroup, 且 H/(H ∩ N ) ' (H · N )/N.

好現在我們把 group 換成 ring, subgroup 換成 subring, normal subgroup 換成 ideal, 最後別忘了將乘改為加.

Theorem 6.4.4 (Second Isomorphism Theorem). 若 R 是一個 ring, S 是 R 的 subring 且 I 是 R 的 ideal, 則 S ∩ I 是 S 的 ideal, 且

S/(S ∩ I) ' (S + I)/I.

Proof. 首先注意的是由 Lemma 6.2.1 知 S + I 是 R 的 subring, 且 I ⊆ S + I 因此 知 I 是 S + I 的 ideal (請參考 6.2 節的最後). 所以 (S + I)/I 確實是一個 ring.

如同在 group 的情況, 我們想用 first isomorphism 定理來證明此定理. 我們先 找一個從 S 到 (S + I)/I 的函數. 考慮 φ : S → (S + I)/I, 其中對所有的 s ∈ S 我 們有 φ(s) = s.

現在要證 φ 是一個 ring homomorphism. 事實上對任意的 s, s⁰ ∈ S, 我們有 φ(s + s⁰) = s + s⁰ = s + s⁰= φ(s) + φ(s⁰) 且 φ(s · s⁰) = s · s⁰ = s · s⁰ = φ(s) · φ(s⁰).

利用 Theorem 2.6.4 的證明, 我們得 φ : S → (S + I)/I 是 onto. 因此可以用 First Isomorphism Theorem (Corollary 6.4.3) 得到

S/ ker(φ) ' (S + I)/I.

甚麼是 ker(φ) 呢? 依定義 ker(φ) 是 S 中的元素 s 使得 φ(s) 是 (S + I)/I 的 identity, 0. 也就是說 φ(s) = s = 0. 別忘了 s = 0 表示 s − 0 = s ∈ I. 由此知 ker(φ) 的元素 既要在 S 中也要在 I 中; 換句話說 ker(φ) ⊆ S ∩ I. 反之若 a ∈ S ∩ I, 則因 a ∈ I

6.4. 三個 Ring Isomorphism 定理 111

得 φ(a) = a = 0. 故 S ∩ I ⊆ ker(φ). 由此知 ker(φ) = S ∩ I. 因此我們由 Lemma 6.3.3 知 S ∩ I 是 S 的 ideal 也由 First Isomorphism Theorem 知

S/(S ∩ I) ' (S + I)/I.

¤ 最後我們來看第三個 isomorphism 定理. 同樣的, 將 Theorem 2.6.5 中的 group 換成 ring 及 normal subgroup 換成 ideal, 我們有以下之第三 isomorphism 定理:

Theorem 6.4.5 (Third Isomorphism Theorem). 若 φ : R → R⁰ 是一個 onto 的 ring homomorphism. 假設 J⁰ 是 R⁰ 的一個 ideal. 令

J = {a ∈ R | φ(a) ∈ J⁰}.

則 J 是 R 的 ideal 且

R/J ' R⁰/J⁰.

Proof. 我們定 ψ : R → R⁰/J⁰, 滿足 ψ(a) = φ(a), ∀ a ∈ R.

由 φ 是 ring homomorphism 知

ψ(a + b) = φ(a + b) = φ(a) + φ(b) = φ(a) + φ(b) = ψ(a) + ψ(b) 且

ψ(a · b) = φ(a · b) = φ(a) · φ(b) = φ(a) · φ(b) = ψ(a) · ψ(b).

故 ψ 是一個從 R 到 R⁰/J⁰ 的 ring homomorphism.

如前, 我們可用 Theorem 2.6.5 的證明知 ψ : R → R⁰/J⁰ 是一個 onto 的 ring homomorphism, 我們再次用 First Isomorphism Theorem 知

R/ ker(ψ) ' R⁰/J⁰.

甚麼是 ker(ψ) 呢? 若 a ∈ ker(ψ) 即 ψ(a) = φ(a) = 0, 也就是說 φ(a) 和 0 在用 J⁰ 的分類下是同類的. 所以 φ(a) − 0 = φ(a) ∈ J⁰. 由 J 的定義知, 這表示 a ∈ J.

故 ker(ψ) ⊆ J. 另外若 a ∈ J, 則 φ(a) ∈ J⁰ 故在 R⁰/J⁰ 中 ψ(a) = φ(a) = 0. 因此 a ∈ ker(ψ), 得 J ⊆ ker(ψ). 也就是說 ker(ψ) = J 且由 Lemma 6.3.3 知 J 是 R 的 ideal (其實我們在 Theorem 6.3.5 已知 J 是 R 的 ideal). ¤ 最後我們利用 Correspondence Theorem 來看 Third Isomorphism Theorem 的 一個特殊狀況. 令 I 是 R 的 ideal, φ : R → R/I 是定義成 φ(a) = a 這個 onto 的 ring homomorphism. 任意 R/I 中的 ideal J⁰ 由前 Corollary 6.3.7 知是由 R 中的 某一 ideal J 利用 φ 得到: 也就是說 J⁰ = φ(J) = J/I. 故由 Theorem 6.4.5 我們有 以下的定理(有的書是稱這個為 Third Isomorphism Theorem.)

Theorem 6.4.6 (Third Isomorphism Theorem). 若 R 是一個 ring, I 是 R 的一個 ideal. 則 R/I 中的任一 ideal 都是 J/I 這種形式, 其中 I ⊆ J 且 J 是 R 的 ideal.

而且我們有

(R/I)/(J/I) ' R/J.

Proof. 任一 R/I 的 ideal 都是 J/I 這種形式已在 Corollary 6.3.7 證得. 而 (R/I)/(J/I) ' R/J

可由 Theorem 6.4.5 直接得到. 也就是代: R⁰ = R/I, J⁰= J/I 且考慮 φ : R → R/I, 符合 φ(a) = a. 此時可得 J = {a ∈ R | φ(a) ∈ J⁰}. 故由 R/J ' R⁰/J⁰ 得證. ¤ 6.5. 在 Commutative Ring with 1 中特殊的 Ideals

我們前面討論的情況都是在一般的 ring 中, 因此所得的結果在一般的 ring 都適用.

在這節中我們僅考慮 commutative ring with 1 的情況. 我們將探討在這種 ring 中的 principle ideal, prime ideal 和 maximal ideal.

6.5.1. Principle ideals. 在 group 中我們介紹過 cyclic subgroup, 它可以是說包 含某一個元素的最小的 subgroup. 在 ring 中我們也有所謂的 principle ideal, 它是 包含某一元素的最小的 ideal.

假設 R 是一個 commutative ring with 1. 要了解 R 中的 ideal 長甚麼樣子, 我 們首先會考慮包含某一元素之最小的 ideal 為何, 因為這是最簡單的 ideal. 若給定 a ∈ R, 則包含 a 的最小 ideal I 應該長甚麼樣子呢? 首先 I 至少要包含 a 所產生的 加法的 cyclic group, 即 {0, a, −a, 2a, −2a, . . . na, −na, . . . }. 注意前面提過這裡 2a 不是 2 · a 而是 (1 + 1) · a (別忘了 1 ∈ R 這個假設). 由於 1 + 1 ∈ R, 我們可以說存 在某一元素 α ∈ R 使得 2a = α · a. 同理對其他的正整數 n, 由於

na = (1 + · · · + 1)

| {z }

n

·a

所以 (謝謝 1 ∈ R 這個假設) 存在 β ∈ R 滿足 na = β · a. 另一方面由 Lemma 6.1.2, 知 I 中也必須包含對任意的 r ∈ R, r · a 和 a · r 這種元素. 然而 r · a = a · r (謝謝 R 是 commutative ring 這個假設), 因此 I 中至少要包含所有的 r · a 這種形式的元 素. 如果由所有的 r · a 這樣的元素所成的集合是 R 的一個 ideal, 那麼它自然就是 包含 a 的最小 ideal 了.

Lemma 6.5.1. 假設 R 是一個 commutative ring with 1, 且 a ∈ R. 令 A = {r · a | r ∈ R}, 則 A 是 R 的一個 ideal. 事實上, A 是 R 中包含 a 之最小的 ideal.

Proof. 從前面的討論我們已知: 若 I 是 R 中包含 a 之最小的 ideal, 則 A ⊆ I. 因 此若能證得 A 是 R 的 ideal, 則知 I = A.

我們利用 Lemma 6.1.2 來證明 A 是 R 的 ideal. 任取 A 中兩元素 r · a 和 r⁰· a, 其 中 r, r⁰ ∈ R. 由於 r · a − r⁰· a = (r − r⁰) · a 且 r − r⁰∈ R, 知 r · a − r⁰· a ∈ A. 另外任取

6.5. 特殊的 Ideals 113

R 中一元素 r 及 A 中一元素 r⁰· a, 其中 r⁰∈ R. 由於 (r⁰· a) · r = r · (r⁰· a) = (r · r⁰) · a 且 r · r⁰ ∈ R, 知 (r⁰· a) · r = r · (r⁰· a) ∈ A. 因此 A 是 R 的 ideal. ¤

通常我們會將 Lemma 6.5.1 中的 A 用 ¡ a¢

來表示. 注意我們是用大一點的括 號 ¡ ¢

以免和一般運算間的小括號 ( ) 混淆.

Definition 6.5.2. 假設 R 是一個 commutative ring with 1, 且 a ∈ R. 則

¡a¢

= {r · a | r ∈ R}

稱為 the principle ideal generated by a in R. 若 I 為 R 的一個 ideal 且在 R 中存 在一元素 a 滿足 I =¡

a¢

則稱 I 是 R 的一個 principle ideal.

Example 6.5.3. 在 Z 中, 任取 n ∈ Z, 則所有 n 的倍數所成的集合是一個 principle ideal, 即 ¡

n¢

= {z · n | z ∈ Z}.

將來我們會看到在 Z 中所有的 ideal 都是 principle ideal, 不過這對一般的 ring 並不一定對. 另外若 I 是一個 principle ideal, 並不表示產生 I 的元素是唯一的 (例 如前面的例子我們有 ¡

n¢

=¡

−n¢

), 事實上我們有以下的結果.

Lemma 6.5.4. 假設 R 是一個 commutative ring with 1. 如果 a, b ∈ R 且存在一 unit u ∈ R 滿足 a = u · b, 則 ¡

a¢

=¡ b¢

. Proof. 由於 a = u · b, 由定義知 a ∈ ¡

b¢

. 又由於 ¡ b¢

是一個 ideal 且 ¡ a¢

是包 含 a 最小的 ideal, 故得 ¡

a¢

⊆ ¡ b¢

. 反之, 因 u 是 R 的 unit, 故存在 v ∈ R 滿足 v · u = 1. 所以由 b = (v · u) · b = v · a 知 b ∈¡

a¢

. 再利用 ¡ b¢

是包含 b 最小的 ideal 得 ¡

b¢

⊆¡ a¢

. 故證得 ¡ a¢

=¡ b¢

. ¤

以下介紹一個 principle ideal 的簡單應用. 我們在 lemma 6.2.4 中知道: 當 R 是一個 division ring 時, R 中只有 {0} 和 R 這兩個 ideals. 當 R 是一個 field 時 (R 也就是一個 division ring), R 當然也就沒有 nontrivial proper ideal. 當 R 是 commutative ring with 1 時, 這是一個幫助我們判斷 R 是否為一個 field 的好方法.

Proposition 6.5.5. 若 R 是一個 commutative ring with 1, 則 R 是一個 field 若且 唯若 R 沒有 nontrivial proper ideal.

Proof. 我們已知當 R 是一個 field 時, R 沒有 nontrivial proper ideal. 反之, 如 果 R 沒有 nontrivial proper ideal, 我們想證明 R 是一個 field. 由於 R 已假設是 commutative ring with 1, 依定義我們只要證明 R 中非 0 的元素都是 unit. 任取 a ∈ R 且 a 6= 0. 我們考慮 ¡

a¢

這一個 principle ideal. 因為 a 6= 0 且 a ∈¡ a¢

¡ , 故知 a¢

6= {0}. 不過依假設 R 中除了 {0} 和 R 已外沒有其他的 ideal, 因此得 ¡ a¢

= R.

然而 1 ∈ R, 即 1 ∈ ¡ a¢

故由 ¡ a¢

的定義知存在 r ∈ R 使得 1 = r · a. 也就是說 a

是一個 unit. ¤

最後我們要強調, 在 Proposition 3.1.3 中我們知道一個 cyclic group 中的 subgroup 都是 cyclic group. 不過對 principle ideal, 這就不一定對了. 也就是說若 I, I⁰ 都是 R 的 ideal 且 I⁰ ⊆ I. 如果已知 I 是 principle ideal, 這並不保證 I⁰ 會是 principle ideal.

6.5.2. Prime ideals. 在 Z 中一個質數 p 有一個重要的性質, 即若 p | a · b 則 p | a 或 p | b. 注意, p | a 表示 a 是 p 的倍數, 因此用 principle ideal 的看法這表示 a ∈¡

p¢ . 所以我們可以把質數的這個性質表示成: 若 a · b ∈¡

p¢

, 則 a ∈¡ p¢

或 b ∈¡ p¢

. 因此 我們將質數的這一性質推廣成以下這一種很重要的 ideal 的定義.

Definition 6.5.6. 令 R 是一個 commutative ring with 1 且 P 是 R 的一個不等於 R 的 ideal. 如果 P 符合: 「對任意 R 中兩個元素 a 和 b 若 a · b ∈ P , 則 a ∈ P 或 b ∈ P 」, 那麼我們稱 P 是 R 的一個 prime ideal.

有時在證明問題不好直接證明屬於, 我們通常會例用若 a 6∈ P 且 b 6∈ P , 則 a · b 6∈ P 這種論述來證明 P 是一個 prime ideal. 例如我們知道兩個奇數相乘不可 能成為偶數, 因此馬上可以知道所有偶數所成的 ideal, 即 ¡

2¢

是 Z 的一個 prime ideal. 當然了從前面提過質數的性質我們知道任何質數產生的 principle ideal 皆是 整數的 prime ideal.

接下來我們來看一個判斷 R 中的 ideal P 是否為一個 prime ideal 的好方法.

Theorem 6.5.7. 若 R 是一個 commutative ring with 1 且 P 是 R 的一個 ideal, 則 P 是 R 的一個 prime ideal 若且唯若 R/P 這個 quotient ring 是一個 integral domain.

Proof. 首先回顧一下: 既然 R 是 commutative ring with 1, 對任意 R 的 ideal I, R/I 這個 quotient ring 也會是一個 commutative ring with 1 (其乘法的 identity 是 1). 因此要說 R/P 是一個 integral domain, 我們只要說明 R/P 中沒有 zero divisor 即可.

現假設 P 是一個 prime ideal. 對任意 R/P 的非 0 的元素都可以寫成 a, 其中 a ∈ R 但 a 6∈ P . 要說 a 不是 R/P 中的 zero divisor, 等於是說對任意 R/P 中非 0 的元素 b 皆不可使得 a · b = 0. 然而 b 6= 0, 表示 b 6∈ P . 既然 a, b 都不屬於 P , 由 P 是 prime ideal 的假設, 我們得 a · b 6∈ P . 也就是說

a · b = a · b 6= 0.

因此 R/P 是一個 integral domain.

反之, 若 R/P 是一個 integral domain, 即任取 a, b ∈ R/P 符合 a 6= 0 且 b 6= 0, 都會有 a · b 6= 0. 換句話說: 如果 a 6∈ P 且 b 6∈ P , 則 a · b 6∈ P . 故知 P 是一個

prime ideal. ¤

因為 R/¡ 0¢

' R 故利用 Lemma 6.5.7 我們有以下這個有趣的結果:

6.5. 特殊的 Ideals 115

Corollary 6.5.8. 若 R 是一個 commutative ring with 1, 則 R 是一個 integral domain 若且唯若 ¡

0¢

是 R 的 prime ideal.

6.5.3. Maximal ideals. 在 Z 中質數另一個重要的性質是除了 1 和本身外它不 會是其他整數的倍數. 以後我們會知道在整數中所有的 ideal 皆是 principle ideal.

所以用 ideal 的觀點來看這表示一個質數所形成的 principle ideal 不會包含於其他 的 nontrivial proper ideal. 因此我們有以下另一個推廣質數性質的特殊 ideal.

Definition 6.5.9. 若 R 是一個 ring 且 M 是 R 中的一個 nontrivial proper ideal, 如 果 M 不會包含於 R 中其他的 nontrivial proper ideal, 則我們稱 M 是一個 maximal ideal.

注意, 別被 “maximal” 這個字給騙了. 在數學上很多情況下, maximal 是表示 沒有東西比它大, 並不表示它比所有的東西大. (我們不這樣定主要是在很多情況下 我們要探討的東西並不是 well-ordered, 也就是有時兩樣東西是不能比較的.) 因此, 若 M 是 R 的一個 maximal ideal 且 I 是 R 的一個 nontrivial proper ideal, 這並不 表示 I ⊆ M , 而只是說如果 M ⊆ I, 則 I = M . 從這個看法大家應也可以看出有可 能在 R 中有不只一個 maximal ideal. 希望下一個例子可以釐清這個觀念.

Example 6.5.10. 考慮 Z 中 ¡ 6¢

這一個 ideal. 我們很容易看出來 ¡ 6¢

⊆¡ 2¢

且因 2 ∈ ¡

2¢

但 2 6∈ ¡ 6¢

, 我們知 ¡ 6¢

(¡ 2¢

. 再加上 ¡ 2¢

是 Z 的一個 nontrivial proper ideal, 故知 ¡

6¢

不是 Z 的 maximal ideal. 不過 ¡ 2¢

是 Z 的 maximal ideal. 因為如 果 ¡

2¢

不是 maximal ideal, 則依定義知存在一個 Z 中的 nontrivial proper ideal I 滿足 ¡

2¢

( I. 換句說存在一整數 a ∈ I 但 a 6∈¡ 2¢

(這表示 a 是一個奇數). 所以存 在一整數 n 使得 a = 2 · n + 1. 別忘了我們假設 I 是 ideal 且 2 ∈ I, 所以 2 · n ∈ I.

再加上 a ∈ I, 因此得 1 = a − 2 · n ∈ I. 由 Lemma 6.2.4 知 I = Z, 這和我們假 設 I 是 nontrivial proper ideal 相矛盾, 故得 ¡

2¢

是 Z 的 maximal ideal. 不過由於 3 6∈¡

2¢

, 我們知¡ 3¢

這個 ideal 並不包含於 ¡ 2¢

. 甚至對任意的 n ∈ N,¡ 3ⁿ¢

都不會 包含於 ¡

2¢

. 所以 maximal ideal 會比所有的 nontrivial proper ideal 都大這樣的說 法並不正確. 另一方面, 我們可以用前面類似的方法得到在 Z 中任意一個質數所 產生的 principle ideal 都是 maximal ideal, 所以 Z 中的 maximal ideal 並不只一個 (其實有無窮多個).

接下來我們想用類似 Theorem 6.5.7 的方法利用 quotient ring 來判別一個 ideal 是否為 maximal ideal.

Theorem 6.5.11. 若 R 是一個 commutative ring with 1 且 M 是 R 的一個 ideal, 則 M 是 R 的一個 maximal ideal 若且唯若 R/M 這個 quotient ring 是一個 field.

Proof. 首先觀察由假設可知 R/M 是一個 commutative ring with 1, 所以 R/M 是 一個 field 相當於只要說 R/M 中不等於 0 的元素都是 unit.

現假設 M 是 R 的 maximal ideal. 任取 R/M 中一元素 a 6= 0, 我們有 a ∈ R 且 a 6∈ M . 由 Lemma 6.2.1 知

M +¡ a¢

= {m + r · a | m ∈ M, r ∈ R}

是 R 的一個 ideal. 由於 M ⊆ M +¡ a¢

且 a 6∈ M , 我們知 M 6= M +¡ a¢

, 即 M +¡ a¢ 是一個比 M 大的 ideal. 但由 M 是 maximal ideal 的假設我們知 M +¡

a¢

不是 R 的 nontrivial proper ideal. 換句話說 M +¡

a¢

= R. 利用 1 ∈ R = M +¡ a¢

, 我們 知存在 m ∈ M , r ∈ R 滿足 1 = m + r · a. 別忘了我們是要討論 R/M 的元素, 所 以由上式以及在 R/M 中 m = 0 我們有

1 = m + r · a = r · a.

因此 a 是 R/M 的 unit, 故知 R/M 是一個 field.

反之若 R/M 是一個 field, 我們想證 M 是 R 的一個 maximal ideal. 再次強調 我們不是要證明任意 R 中的 nontrivial proper ideal 都滿足 I ⊆ M , 而是要證明不 可能 M ( I. 我們要用反證法: 假設 M 不是 maximal ideal, 即存在一個 nontrivial proper ideal I 滿足 M ( I. 由 M ⊆ I 但 M 6= I 知存在 a ∈ I 但 a 6∈ M , 也就是 說在 R/M 中 a 6= 0. 但 R/M 是一個 field, 故存在 r ∈ R 使得

r · a = r · a = 1.

這告訴我們 1 − r · a ∈ M , 也就是說 1 = m + r · a 其中 m ∈ M . 由於 a ∈ I 且 I 是 一個 ideal, 我們知 r · a ∈ I. 因此由 m ∈ M ⊆ I 得 1 = m + r · a ∈ I. Lemma 6.2.4 告訴我們 1 ∈ I 表示 I = R, 此和 I 是 nontrivial proper ideal 相矛盾, 故知 M 是

maximal ideal. ¤

Remark 6.5.12. 我們可以利用 Correspondence 定理很快的證明 Theorem 6.5.11.

回顧一下 Corollary 6.3.7 告訴我們 R/M 中的 ideal 都是由介於 R 和 M 間的 ideal 所形成. 因此若 M 是 maximal ideal, 表示介於 R 和 M 間所有的 ideal 只有 R 和 M . 換句話說 R/M 中只有 R/M 和 M/M = ¡

0¢

這兩個 ideal 而沒有 nontrivial proper ideal, 所以由 Proposition 6.5.5 知 R/M 是一個 field. 另一方面如果 R/M 是一個 field, 同樣的由 Proposition 6.5.5 我們知 R/M 沒有 nontrivial proper ideal.

因此由我們在 Remark 6.3.6 中提到的比較強(有唯一性)的 Correspondence 定理知 沒有其他的 ideal 介於 R 和 M 之間, 故得 M 是 maximal ideal.

我們知道在一個 field 中非 0 的元素都是 unit, 然而 Lemma 5.3.7 告訴我們一個 unit 絕不會是 zero divisor, 所以我們知道一個 field 事實上是一個 integral domain.

現若 R/M 是一個 field, 則 R/M 是一個 integral domain. 所以由 Theorem 6.5.7 和 Theorem 6.5.11 可得以下之結果:

Corollary 6.5.13. 若 R 是一個 commutative ring with 1, 則 R 中的 maximal ideal 都是 prime ideal.

6.5. 特殊的 Ideals 117

注意 Corollary 6.5.13 反過來並不一定對. 例如在 Z 中我們知 Z/¡ 0¢

' Z, 但 Z 是 integral domain 卻不是 field, 所以知 ¡

0¢

是 Z 的 prime ideal 但不是 maximal ideal.