3 收 收 收斂 斂 斂條 條 條件 件 件及 及 及收 收 收斂 斂 斂速 速 速度 度 度

三角形變換的性質探討

楊嘉鴻

國立新竹高級中學

Abstract

Ghang, Geng-cher’s article [3] described an interesting problem: Let P be an in- terior point of known triangle T₁ = 4A₁B₁C₁,←→

A₁P,←→

B₁P,←→

C₁P intersect B1C₁, C₁A₁, A₁B₁ at A₂, B₂, C₂, respectively, to obtain a new triangle T₂ = 4A₂B₂C₂. Repeat the process to obtain a sequence of triangles{Tn}, and discuss the convergent rate of sequence{Tn}. Gang’s idea motivated our study of the problem: Let point P and a triangle T₀ = 4A₀B₀C₀be on the plan, connect P with the three vertices of the tri- angle T0= 4A0B0C0to form three triangles and then construct the circumcenters of these three triangles to form a new triangle T₁ = 4A₁B₁C₁, and inductively obtain the sequence of triangles{Tn}. We define the “almost linearly convergent rate” of se- quences and explain that this rate’s behavior is similar to that of “linearly convergent rate”. We found the convergent region for the triangle sequence{T_n}, the necessary and sufficient condition for which{Tn}would converge, where it converged to, and that it had “almost linearly convergent rate”.

摘

摘摘要要要: 常庚哲著: 一套三角形的收斂速度, 第 61 ∼71頁, 曾經介紹一有趣的數學題 目:「設 P 是已知三角形 T1= 4A₁B₁C₁內部一點,←→

A₁P,←→

B₁P,←→

C₁P分別交 B1C₁, C₁A₁, A₁B₁於 A₂, B₂, C₂, 可得到一個新三角形 T2= 4A₂B₂C₂. 依次得三角形序列{Tn}, 討 論三角形序列{Tn}收斂到點 P 的速度.」這個概念引起我們研討下面問題: 設平面上 一點 P 和一三角形 T0= 4A0B0C0, 將點 P與三角形 T0= 4A0B0C0三頂點連線後形 成另外三個三角形, 再分別取三角形的外心, 構成一個新三角形 T1 = 4A1B1C1, 依次 得三角形序列{T_n}. 我們定義任意序列的「殆」 線性收斂速度, 它是與線性收斂速度 類似的一種收斂速度. 我們也建立:{T_n}的收斂區域，在 P 點的函數上{T_n}收斂的充 要條件,{Tn}收斂至何處,{Tn}收斂速度為殆線性收斂速度.

1 簡 簡 簡介 介 介

常庚哲 [3] 曾經介紹一的題目:「設 P 是已知三角形 T1= 4A₁B₁C₁內部一點,←→

A₁P,←→

B₁P,

←→C1P分別交 B1C1, C1A1, A1B1於 A2, B2, C2, 可得到一個新三角形 T2 = 4A2B2C2. 由此 變換依次得三角形序列{Tn}.」, 但他沒有討論 P 在 T1外部的情形.

我們的目標為: 若 P 為平面上任一點, 找出一種類似 [3] 的變換, 稱為 Tp變換, 證明所 得的三角形序列的收斂速度, 並且找到收斂區的充要條件.

我們利用外心的 Tp變換, 用{Tn : n=0, 1, 2· · · }^表變換所得的三角形序列. 為了要 討論平面上每一點的斂散性, 將平面分成三類區域. 定理證明需要分類討論, 第 4 節才可得 到收斂區 C. h 為三角函數, 我們證明{Tn}^收斂的充要條件為 h<_1.

第 2 節討論變換的幾何性質. 第 3 節探討{Tn}的收斂速度. 第 4 節討論 P 點決定 {Tn}^收斂的充要條件. 第 5 節為結論.

我們主要的結果有二: 在第 3 節我們定義「殆」線性收斂速度 (almost linearly convergent rate),它是與線性收斂速度類似的一種收斂速度; 在定理 3.7, 我們推得三角形 序列{Tn}^收斂到 P 點的收斂速度為殆線性收斂. 在定理 4.6 中, 我們討論 P 點在何處為 {Tn}^收斂的充要條件, 即找到區域 C.

我們使用的技巧有三角函數, 座標幾何, 序列的斂散, 反證法, 大學數值分析的線性收 斂速度 [1] 及微積分 [2] 的連續性與子序列收斂性.

由衷感謝丘成桐數學獎提供這樣一個機會和各位評審專業的批評指正. 評審臺大數 學系王金龍教授在本數學獎比賽時要求一天內探討定理 4.6-3, h=1 的斂散性. 我才能將 h<1 從是{Tn}^收斂的充份條件推廣到是其充要條件, 而使得本文的結果改進很多. 也感 謝洪誌陽老師長期以來的用心指導, 感謝交通大學洪慧念教授, 清華大學王懷權教授, 楊克 峻副教授的多處指正.

2 單 單 單次 次 次變 變 變換 換 換的 的 的幾 幾 幾何 何 何性 性 性質 質 質

我們令平面上一三角形4A0B0C0,一定點 P 和以下的變換:

定定定義義義 2.1.

1. 令函數 F : R²×R²×R² → R², F(A, B, C) = O, O為 4ABC 之外心. 令 TP : R²×R²×R²→R²×R²×R², TP(A, B, C) = (F(P, A, B)_{, F}(P, B, C)_{, F}(P, C, A))_, 稱其為 TP變換.

2. 令全文中 i, n 表任意非負整數, j=0, 1, 2.

3. 令原始的三角形為4A₀B₀C₀, A_i+1 = F(P, A_i, B_i), B_i+1 = F(P, B_i, C_i), C_i+1 = F(P, Ci, Ai),其中 F 為上述所定義的變換.

4. 令{Tn} = {4AnBnCn},其子序列{T(j, n)} = {T_j+3n}, j=0, 1, 2, 我們稱此為三步 子序列.

5. 由定義 2.1, 我們定義 TP(Ti) =Ti+1.

圖 1 : 將平面分成三類七個不含邊界的區域 我們不討論 P 在←−→

A_iB_i,←→

B_iC_i,←−→

C_iA_i上的狀況, 因為4PA_iB_i,4PB_iC_i,4PC_iA_i 中有不 為三角形者.

定定定義義義 2.2. 我們又將 T0的內部記為 int(T₀), 即 I=int(T₀). 定定定理理理 2.3.

sin(∠PAiBi) =sin(∠PAi+1Bi+1), sin(∠PBiAi) =sin(∠PAi+1Ci+1), sin(∠PB_iC_i) =sin(∠PB_i+1C_i+1), sin(∠PC_iB_i) =sin(∠PB_i+1A_i+1), sin(∠PC_iA_i) =sin(∠PC_i+1A_i+1), sin(∠PA_iC_i) =sin(∠PC_i+1B_i+1).

圖 2

證明. 我們討論 P 點在不同區塊 (見圖 1 的區域) 中的情形:

當 P∈I 時, 如圖 2, 圓 Ai+1為4PAiBi的外接圓,

sin(∠PAiBi) = ^BiP 2Ai+1P, 根據 sin 的定義, 可得

sin(∠PAi+1Bi+1) = ^BiP

2Ai+1P, sin(∠PAiBi) =sin(∠PAi+1Bi+1). 同理可證此式在 P∈II, P∈III 時成立並可證定理其他等式.

3 收 收 收斂 斂 斂條 條 條件 件 件及 及 及收 收 收斂 斂 斂速 速 速度 度 度

3.1 { T

} ^{的 的 的收 收 收斂 斂 斂速 速 速度 度 度}

引引引理理理 3.1. PA_i+1= _{2 sin(∠PB}^PAi

iA_i), PBi+1= _{2 sin(∠PC}^PBi

iB_i), PCi+1= _{2 sin(∠PA}^PCi

iC_i). 證明.

當 P∈_{I 時, 如圖 2,}

sin(∠PBiAi) =sin(∠PAi+1Ci+1) = ^PAi/2 PAi+1

,

PAi+1= ^PAi 2 sin(∠PB_iA_i)^. 同理可證當 P∈II, P∈III 時成立並證引理另二等式.

定定定義義義 3.2. 令 k=sin(∠PA0C0)sin(∠PB0A0)sin(∠PC0B0)及 h=1/8k. 又記為 k=k(P), h=h(P).若 P 為定點, 則 k, h 為常數.

引引引理理理 3.3. 若 P 不在←−→

AiBi,←→

BiCi,←−→

CiAi上, 包含 P∈I=int(T0),則 k, h>0.

證明. k = _sin(∠PA₀C₀)_sin(∠PB₀A₀)_sin(∠PC₀B₀), 而其中的角度皆為一, 二象限角, 故 k, h>0.

定定定義義義 3.4. 由 Burden and Faires [1],若{an}^滿足 lim

n→∞

a_n+1 a_n

=d∈ (0, 1),則稱{an}_線性 收斂到 0. 又稱 d 為{an}的收斂常數 (asymptotic error constant).

定定定義義義 3.5.

1. 若{bn}的三個子序列{b(j, n)} = {bj+3n}, j=0, 1, 2, 皆滿足線性收斂, 有下述相同 的 d, 且 lim_n→∞

b(j,n+1) b(j,n)

=dj=d∈ (0, 1), d0=d1=d2=d則稱{bn}_{之收斂速度為} 殆線性 (almost linearly) 收斂速度.

2. 若{PAn},{PBn},{PCn}均殆線性收斂到 0, 則稱三角形序列{Tn}及其頂點序列 {An},{Bn},{Cn}_{均殆收斂到 P 點.}

定定定義義義 3.6. 符號 lim

n→∞Tn =P 表示 lim

n→∞An = lim

n→∞Bn = lim

n→∞Cn = P, 即{Tn}^收斂到單點 P.

定定定理理理 3.7. i, n 表任意非負整數, j=0, 1, 2:

1. ^PA_PAⁱ⁺³

i

= ^PBi+3

PB_i = ^PCi+3

PC_i =h(P) >_0.

2. {PA_j+3n},{PB_j+3n},{PC_j+3n}的收斂 (發散) 速度等價於序列{(h(P))ⁿ}.

3. 再若 h(P) <1,則{PAn},{PBn},{PCn}的收斂速度均為殆線性收斂, 且 lim_n→∞An =

n→∞lim Bn = lim

n→∞Cn =P, 即 lim

n→∞Tn = P,亦即{Tn}^及{An},{Bn},{Cn}_均殆收斂 到 P 點.

圖 3 圖 4 圖 5

證明.

1. 如圖 3, 圖 4, 圖 5. 根據引理 3.1, 我們可以知道 PA_i+j+1= ^PAi+j

2 sin(∠PBi+jAi+j)^,

根據定理 2.3, sin(∠PB_i+2A_i+2) =sin(∠PC_i+1B_i+1), sin(∠PC_i+1B_i+1) =sin(∠PA_iC_i), sin(∠PBi+1A_i+1) =sin(∠PCiBi). 經代入後可得

PA_i+3= ¹

8 sin(∠PA_iC_i)sin(∠PB_iA_i)sin(∠PC_iB_i)^PAi.

又根據定理 2.3, 我們可以得到 8 sin(∠PAiCi)sin(∠PBiAi)sin(∠PCiBi) = · · · = 8 sin(∠PA₀C₀)sin(∠PB₀A₀)sin(∠PC₀B₀) =1h(P). 故 PA_i+3=h(P)PA_i.同理可 證 PB_i+3=h(P)PB_i, PC_i+3=h(P)PC_i, 得證.

2. 由定理 3.7-1

PAj=PAj+3/h(P) = · · · =PAj+3n

(h(P))ⁿ,

n→∞lim PA_j+3n

(h(P))ⁿ
=PA_j >0, 故{PA_j+3n}的收斂 (發散) 速度等價於{(h(P))ⁿ}. 同理{PBj+3n},{PCj+3n}的收斂 (發散) 速度亦等價於{(h(P))ⁿ}.

3. 已知 h(P) <1, j=0, 1, 2, 由定理 3.7-1 的證明,

n→∞lim PA_j+3(n+1) PAj+3n

=h(P) ∈ (0, 1). 故 lim

n→∞ PAn+3 PAn

=h(P),同理{PBn},{PCn}_與{PAn}_{均符合殆線性收斂速} 度的定義. 又由定理 3.7-2 的證明過程可得

n→∞lim PAj+3n=0, lim

n→∞Aj+3n=P= lim

n→∞An, 同理 lim_n→∞Bn = lim

n→∞Cn =P, 故 lim

n→∞Tn =P.

定定定義義義 3.8. 因為定理 3.7-1 的性質, 我們稱 h(_P)_{為三步縮放比.}

3.2 相 相 相似 似 似三 三 三角 角 角形 形 形子 子 子序 序 序 列 列 列

下面用到引理 3.10, 引理 3.11 及引理 3.12 和引理 3.13 來證明定理 3.14, 但須分類證明. 因 篇幅有限, 省略後三個引理的證明.

定定定義義義 3.9. 在以下第 3, 4 節中, 凡∠Xi+aPX_i+b者為有向角, X = A, B, C, a, b ∈ N∪ {0}, 其他角則非有向角.

引引引理理理 3.10. 以逆時針為正, P 在不同區塊時有向角∠A_iPA_i+1和∠PB_iA_i, 有向角∠B_iPB_i+1 和∠PCiBi, 有向角∠CiPCi+1和∠PAiCi的關係如下.

若 P∈I,則∠A_iPA_i+1= (_π/2) − ∠PB_iA_i,

∠BiPBi+1= (π/2) − ∠PCiBi,∠CiPCi+1= (π/2) − ∠PAiCi. 若 P∈IIA,則∠AiPAi+1= ∠PBiAi− (π/2),

∠BiPBi+1= (π/2) − ∠PCiBi,∠CiPCi+1= ∠PAiCi− (π/2). 若 P∈IIB,則∠AiPAi+1= ∠PBiAi− (π/2),

∠B_iPB_i+1= ∠PC_iB_i− (π/2),∠C_iPC_i+1= (π/2) − ∠PA_iC_i. 若 P∈II_C,則∠A_iPA_i+1= (π/2) − ∠PB_iA_i,

∠B_iPB_i+1= ∠PC_iB_i− (π/2),∠C_iPC_i+1= ∠PA_iC_i− (π/2). 若 P∈III_A,則∠A_iPA_i+1= (π/2) − ∠PB_iA_i,

∠B_iPB_i+1= ∠PC_iB_i− (π/2)_,∠C_iPC_i+1= (_π/2) − ∠PA_iC_i. 若 P∈IIIB,則∠AiPAi+1= (π/2) − ∠PBiAi,

∠BiPBi+1= (π/2) − ∠PCiBi,∠CiPCi+1= ∠PAiCi− (π/2). 若 P∈IIIC,則∠AiPAi+1= ∠PBiAi− (π/2),

∠BiPBi+1= (π/2) − ∠PCiBi,∠CiPCi+1= (π/2) − ∠PAiCi.

證明. LB為過 Bi且垂直於 AiB_i之直線, L 為 PAi之中垂線, M 為 PAi之中點, 圓 Ai+1為 4PAiBi之外接圓. 先考慮 P 在←−→

AiBi 的一側, 若 P 與 Ai在 LB異側時, 如圖 6, Q 為優弧 PA_i

_

∠PB_iA_i= ^PAi

_

2 = ^2π−PB

_

2 =π− ^PAi+1Ai

_

2 , 又因為 L 是 PAi的中垂線, 所以可以得到

π−^PAi+1Ai

_

2 =π− ∠PAi+1M, 即

∠PBiAi=π− ∠PAi+1M, ∠PAi+1M=π− ∠PBiAi. 又

∠AiPAi+1= −^π

2 − ∠PAi+1M ,

故得

∠AiPAi+1= −^hπ

2 − (π− ∠PBiAi)ⁱ= ^π

2 − ∠PBiAi. 同理可證 P∈I, P∈ L_B, P與 Ai在 LB同側時,∠A_iPA_i+1與∠PB_iA_i的關係.

圖 6

同理可證引理中 P 在不同區域時∠B_iPB_i+1和∠PC_iB_i,∠C_iPC_i+1 和∠PA_iC_i 的關 係.

引引引理理理 3.11. 令4AiBiCi之外接圓 Oi,則得表 1 至表 3.

若 P, Bi在←−→

C_iA_i同側時 若 P, Bi在←−→

C_iA_i異側時 若 P 在外接圓 Oi內 ∠PAi+1Ci+1= ∠PBiAi ∠PAi+1Ci+1=π− ∠PBiAi

若 P 在外接圓 Oi外 ∠PAi+1Ci+1=π− ∠PBiAi ∠PAi+1Ci+1= ∠PBiAi

表 1

若 P, Ci在←−→

AiBi同側時 若 P, Ci在←−→

AiBi異側時 若 P 在外接圓 Oi內 ∠PB_i+1A_i+1= ∠PC_iB_i ∠PB_i+1A_i+1=π− ∠PC_iB_i 若 P 在外接圓 Oi外 ∠PB_i+1A_i+1=π− ∠^PCiB_i ∠PB_i+1A_i+1= ∠PC_iB_i

表 2

若 P, Ai在←→

BiCi同側時 若 P, Ai在←→

BiCi異側時 若 P 在外接圓 Oi內 ∠PCi+1Bi+1= ∠PAiCi ∠PCi+1Bi+1=π− ∠PAiCi

若 P 在外接圓 Oi外 ∠PC_i+1B_i+1=π− ∠PA_iC_i ∠PC_i+1B_i+1= ∠PA_iC_i

表 3

引引引理理理 3.12.

若 P, Ai在←→

B_iC_i同側, 則∠PC_i+2B_i+2= ∠PB_iA_i. 若 P, Ai在←→

B_iC_i異側, 則∠PC_i+2B_i+2=π− ∠PB_iA_i. 若 P, Bi在←−→

CiAi同側, 則∠PAi+2Ci+2= ∠PCiBi. 若 P, Bi在←−→

C_iA_i異側, 則∠PA_i+2C_i+2=π− ∠PC_iB_i. 若 P, Ci在←−→

AiBi同側, 則∠PBi+2Ai+2= ∠PAiCi. 若 P, Ci在←−→

AiBi異側, 則∠PBi+2Ai+2=π− ∠PAiCi. 引引引理理理 3.13. 以下表 4 至表 6 為真.

P在圓 Oi內 P在圓 Oi外

P∈I ∠Ai+1PAi+2=π/2− ∠PBi+1Ai+1, ∠Ai+2PAi+3=π/2− ∠PBi+2Ai+2

P∈IIA ∠Ai+1PAi+2=π/2− ∠PBi+1Ai+1, ∠Ai+2PAi+3=π/2− ∠PBi+2Ai+2

P∈IIB ∠A_i+1PA_i+2= ∠PB_i+1A_i+1−π/2, ∠A_i+2PA_i+3= ∠PB_i+2A_i+2−π/2 P∈II_C ∠A_i+1PA_i+2=π/2− ∠PB_i+2A_i+2, ∠A_i+2PA_i+3= ∠PB_i+2A_i+2−π/2 P∈III_A ∠A_i+1PA_i+2= ∠PB_i+1A_i+1−π/2, ∠A_i+1PA_i+2=_π/2− ∠^PBi+1A_i+1,

∠A_i+2PA_i+3=π/2− ∠PB_i+2A_i+2 ∠A_i+2PA_i+3=π/2− ∠PB_i+2A_i+2 P∈IIIB

∠A_i+1PA_i+2=π/2− ∠PB_i+1A_i+1, ∠A_i+1PA_i+2= ∠PB_i+1A_i+1−π/2,

∠Ai+2PAi+3= ∠PBi+2Ai+2−π/2 ∠Ai+2PAi+3= ∠PBi+2Ai+2−π/2 P∈IIIC

∠A_i+1PA_i+2= ∠PB_i+1A_i+1−π/2, ∠A_i+1PA_i+2=π/2− ∠PB_i+1A_i+1,

∠Ai+1PAi+2= ∠PBi+1Ai+1−π/2 ∠Ai+2PAi+3= ∠PBi+2Ai+2−π/2

表 4

P在圓 Oi內 P在圓 Oi外

P∈I ∠Bi+1PBi+2=π/2− ∠PCi+1Bi+1, ∠Bi+2PBi+3=π/2− ∠PCi+2Bi+2

P∈II_A ∠B_i+1PB_i+2=π/2− ∠PC_i+1B_i+1, ∠B_i+2PB_i+3= ∠PC_i+2B_i+2−π/2 P∈II_B ∠B_i+1PB_i+2=π/2− ∠PC_i+1B_i+1, ∠B_i+2PB_i+3=π/2− ∠PC_i+2B_i+2 P∈IIC ∠^Bi+1PB_i+2= ∠PC_i+1B_i+1−π/2, ∠^Bi+2PB_i+3= ∠PC_i+2B_i+2−π/2 P∈III_A ∠Bi+1PBi+2= ∠PCi+1Bi+1−π/2, ∠Bi+1PBi+2=π/2− ∠PCi+1Bi+1,

∠B_i+2PB_i+3= ∠PC_i+2B_i+2−π/2 ∠B_i+2PB_i+3= ∠PC_i+2B_i+2−π/2 P∈IIIB

∠Bi+1PBi+2= ∠PCi+1Bi+1−π/2, ∠Bi+1PBi+2=π/2− ∠PCi+1Bi+1,

∠B_i+2PB_i+3=π/2− ∠PC_i+2B_i+2 ∠B_i+2PB_i+3=π/2− ∠PC_i+2B_i+2 P∈IIIC

∠B_i+1PB_i+2=_π/2− ∠^PCi+1B_i+1, ∠B_i+1PB_i+2= ∠PC_i+1B_i+1−π/2,

∠B_i+2PB_i+3= ∠PC_i+2B_i+2−π/2 ∠B_i+2PB_i+3= ∠PC_i+2B_i+2−π/2

表 5

P在圓 Oi內 P在圓 Oi外

P∈I ∠Ci+1PCi+2=π/2− ∠PAi+1Ci+1, ∠Ci+2PCi+3=π/2− ∠PAi+2Ci+2

P∈II_A ∠C_i+1PC_i+2= ∠PA_i+1C_i+1−π/2, ∠C_i+2PC_i+3= ∠PA_i+2C_i+2−π/2 P∈II_B ∠C_i+1PC_i+2=π/2− ∠PA_i+1C_i+1, ∠C_i+2PC_i+3= ∠PA_i+2C_i+2−π/2 P∈IIC ∠Ci+1PCi+2=π/2− ∠PAi+1Ci+1, ∠Ci+2PCi+3=π/2− ∠PAi+2Ci+2

P∈IIIA

∠Ci+1PCi+2=π/2− ∠PAi+1Ci+1, ∠Ci+1PCi+2= ∠PAi+1Ci+1−π/2,

∠C_i+2PC_i+3= ∠PA_i+2C_i+2−π/2 ∠C_i+2PC_i+3= ∠PA_i+2C_i+2−π/2 P∈III_B ∠Ci+1PCi+2= ∠PAi+1Ci+1−π/2, ∠Ci+1PCi+2=π/2− ∠PAi+1Ci+1,

∠C_i+2PC_i+3= ∠PA_i+2C_i+2−π/2 ∠C_i+2PC_i+3= ∠PA_i+2C_i+2−π/2 P∈III_C ∠C_i+1PC_i+2= ∠PA_i+1C_i+1−π/2, ∠C_i+1PC_i+2=_π/2− ∠^PAi+1C_i+1,

∠C_i+2PC_i+3=π/2− ∠PA_i+2C_i+2 ∠C_i+2PC_i+3=π/2− ∠PA_i+2C_i+2

表 6

定定定理理理 3.14. 若 i 是非負整數且以逆時針為正, 則

1. Ti →T_i+3對 P 的轉角皆相等, 即有向角 θi= ∠A_iPA_i+3= ∠B_iPB_i+3= ∠C_iPC_i+3∈

− (3/2)π,(3/2)π
. θ_i顯然代表變換前後三角形的旋轉角度.

2. 若 P∈I,則 θi= (3π/2) − (∠PBiAi+ ∠PCiBi+ ∠PAiCi). 若 P∈IIA,則 θi = −(π/2) − (−∠PBiAi+ ∠PCiBi− ∠PAiCi). 若 P∈IIB,則 θi= −(π/2) − (−∠PBiAi− ∠PCiBi+ ∠PAiCi). 若 P∈IIC,則 θi = −(π/2) − (∠PB_iA_i− ∠PC_iB_i− ∠PA_iC_i). 若 P∈III_A,則 θi = (π/2) − (∠PB_iA_i− ∠PC_iB_i+ ∠PA_iC_i). 若 P∈III_B,則 θi= (π/2) − (∠PB_iA_i+ ∠PC_iB_i− ∠PA_iC_i). 若 P∈III_C,則 θi = (π/2) − (−∠PB_iA_i+ ∠PC_iB_i+ ∠PA_iC_i). 3. θ0=θ1=θ2=θ_i.

證明.

1. 我們根據引理 3.10, 引理 3.11, 引理 3.12, 引理 3.13 的結果得到 當 P∈I 時,

∠AiPAi+3

= ∠AiPAi+1+ ∠Ai+1PAi+2+ ∠Ai+2PAi+3

=^π

2 − ∠PBiAi

 +^π

2 − ∠PBi+1Ai+1

 +^π

2 − ∠PBi+2Ai+2



=^π

2 − ∠PBiAi

 +^π

2 − ∠PCiBi

 +^π

2 − ∠PAiCi



= ³

2π−^∠PBiAi+ ∠PCiBi+ ∠PAiCi

 ,

同理我們可以寫出∠B_iPB_i+3,∠C_iPC_i+3的表示式, 而得

∠AiPAi+3= ∠BiPBi+3= ∠CiPCi+3=θi

= ³

2π− (∠^PBiA_i+ ∠PC_iB_i+ ∠PA_iC_i)_.

2. 同理可得當 P∈II, P ∈III且 P 在圓 Oi 外, P∈III且 P 在圓 Oi內所有不同區域時 θ_i的值. 因為∠PB_iA_i,∠PC_iB_i,∠PA_iC_i ∈ (0, π)_{, 所以 θi}∈ − (3/2)_π,(_3/2)_π
.

3. 從定理 3.7, (PA_i+3 PA_i) = (PB_i+3 PB_i) = h(P), 及 ∠A_i+3PB_i+3 = ∠A_iPB_i± (∠AiPAi+3− ∠BiPBi+3) = ∠AiPBi, 故

4PA_i+3B_i+3∼ 4PA_iB_i, 4PB_i+3A_i+3= 4PB_iA_i.

同理∠PCi+3Bi+3= ∠PCiBi,∠PAi+3Ci+3= ∠PAiCi, 由 2. 得 θi+3=θ_i. 再根據引 理 3.10,

θ_i+1= ∠Ai+1PAi+4= ∠AiPAi+3− ∠AiPAi+1+ ∠Ai+3PAi+4

= ∠AiPAi+3± (∠PBiAi− ∠PBi+3Ai+3) = ∠AiPAi+3=θ_i, 故 θi=θi−1= · · · =θ2=θ1=θ0.

定定定理理理 3.15. T_i+3∼T_i,且邊長比為 h(P). 證明. 根據定理 3.7 我們可以知道

PA_i+3

PA_i = ^PBi+3

PB_i = ^PCi+3

PC_i =h(P), 且

∠A_iPA_i+3= ∠B_iPB_i+3= ∠C_iPC_i+3, 又

∠Ai+3PBi+3= ∠AiPBi± (∠AiPAi+3− ∠BiPBi+3) = ∠AiPBi, 同理可得

∠Bi+3PCi+3= ∠BiPCi, ∠Ci+3PAi+3= ∠CiPAi. 由餘弦定理得

Ai+3Bi+3

AiBi

= ^Bi+3Ci+3 BiCi

= ^Ci+3Ai+3 CiAi

=h(P),

再根據三角形的 SSS 相似性, 得4Ai+3Bi+3Ci+3∼ 4AiBiCi, 即 Ti+3∼Ti.

3.3 面 面 面積 積 積序 序 序 列 列 列收 收 收斂 斂 斂速 速 速度 度 度

定定定義義義 3.16. 令 E(j, n)_{為 Tj+3n}的面積, j=0, 1, 2,且 E(n)_{為 T}n的面積.

定定定理理理 3.17.

1. {E(j, n)}之收斂速度等價於{(h(P))²ⁿ}.

2. 若 h(P) <1,則面積序列{E(n)}殆線性收斂到 0; 若 h(P) >1,則 lim_n→∞E(n) =_∞.

3. 若 h(P) =1, lim

n→∞E(j, n) =E(j, 0)_{. 又若 E}(0, 0) =E(1, 0) =E(2, 0),則 lim_n→∞E(n) = E(0)_{; 但若 E}(0, 0) =E(1, 0) =E(2, 0)_{不成立, 則}{Tn}發散.

證明.

1. 根據定理 3.15 的證明, 做 3 次變換後相似三角形邊長比為 h(P)_{, 故面積比為}(h(P))². E(j, n) = · · · = (h(P))²ⁿE(j, 0),

n→∞lim

E(j, n)^(h(P))^2n=E(j, 0) >0,

所以{E(j, n)}_{的收斂速度等價於}{(h(P))²ⁿ}. 2. 若 h(p) <1,則 lim

n→∞E(j, n) =0,

n→∞lim

 (h(P))^2n+1.(h(P))^2
n= (h(P))²∈ (0, 1),

故{E(n)}殆線性收斂至 0; 若 h(P) >1,則

n→lim∞E(j, n) =∞, lim

n→∞E(n) =∞.

3. 若 h(p) =1,則對任意 n, E(j, n) =E(j, 0), lim

n→∞E(j, n) =E(j, 0)_{. 又若已知 E}(j, 0) = E(_{0, 0})_{, j}=_{0, 1, 2,則對任意 n,}

E(n) =E(0), lim

n→∞E(n) =E(0).

若 已 知 E(0, 0) = E(1, 0) = E(2, 0) 不 成 立. 用 反 證 法, 假 設 lim

n→∞Tn 存 在, 則

n→lim∞E(n)存在; 令 lim

n→∞E(n) = M. 由 Finney and Thomas [2], M = lim

n→∞E(n) =

n→lim∞E(j, n) =E(j, 0) =E(_{0, 0}) =E(_{1, 0}) =E(_{2, 0})_{,與前提矛盾, 故}{Tn}發散.

以下我們討論三角形序列{Tn}^收斂_{的必要條件.}

4 收 收 收斂 斂 斂區 區 區域 域 域

4.1 P 在 在 在 I = _int ( T

) ^{時 時 時序 序 序} _{列 列 列發} ^{發 發散 散 散}

引引引理理理 4.1. k(P) =sin(∠PA0B0)sin(∠PB0C0)sin(∠PC0A0). 證明. 我們令 P 在←−→

AiBi,←→

BiCi,←−→

CiAi上的垂點分別為 HA, HB, HC,則證明容易, 因篇幅有 限, 省略證明.

定定定理理理 4.2.

1. 令 G 為正三角形 T= 4A0B0C0之內心. 若 P=G,則{Tn}的斂散性沒有結論.

2. 若 P∈I=int(T0)_{且 P}6= G,則{Tn}_{發散到平面.}

證明. 令 k1= √¹

8 q

[1−cos(∠B0A0C0)][1−cos(∠C0B0A0)][1−cos(∠A0C0B0)], k2= √¹

4

hcos(∠B0A0C0) +2 cos(∠C0B0A0) +cos(∠A0C0B0) 2

−1i , 由引理 4.1, 8[k(p)]²_{及其他計算得}

1≤ ^k1

k(P) ≤ ^k2

k(P) ≤ ¹

8k(P)^{, 即 h}(P) ≥1.

h(P) = _{1 的充要條件為 k}(P) = k₁ = k₂ = 1/8. 由計算可證明: 若且為若 P = G, 則 h(p) = 1. 若 h(P) > 1 且 j = 0, 1, 2, 則 lim_n→∞PA_j+3n = lim

n→∞ h(P)
ⁿPA_j = _∞,

n→lim∞PAn=∞, 同理 lim

n→∞PBn = lim

n→∞PCn =∞, 故{Tn}發散到平面.

4.2 收 收 收斂 斂 斂區 區 區域 域 域與 與 與發 發 發散 散 散區 區 區域 域 域

定定定義義義 4.3. 令 C = C(T₀) = P : 

{Tn}^收斂 , 即 C 為收斂區域; 令 D = D(T₀) = P :

{Tn}發散 , 即 D 為發散區域.

引引引理理理 4.4. 在座標下, 令定點 A0(x_A, y_A), B0(xB, yB), C0(x_C, y_C),且 h(P) =h(x, y)_{. 又令} f(x, y) =ⁿ64[x(y_A−y_B) −y(x_A−x_B) + (x_Ay_B−x_By_A)]²

× [x(yB−yC) −y(xB−xC) + (xByC−xCyB)]²

× [x(yC−yA) −y(xC−xA) + (xCyA−xAyC)]^2o

−ⁿ[(x−xA)²+ (y−yA)²][(x−xB)²+ (y−yB)²]

× [(x−xC)²+ (y−yC)²][(xA−xB)²+ (yA−yB)²]

× [(xB−xC)²+ (yB−yC)²][(xC−xA)²+ (yC−yA)²]^o,

則若且唯若 h(P) =h(x, y) =1,則 f(x, y) =0.

證明. 若已知 h(P) =1, 1

8 =k(P)

= q

[1−cos²(∠PA0C0)][1−cos²(∠PB0A0)][1−cos²(∠PC0B0)]

= s

h 1−^

−−*A0P·−−*

A0C0

A0P·A0C0

2ih 1−^

−*B0P·−−*

B0A0

B0P·B0A0

2ih 1−^

−−*C0P·−−*

C0B0

B0P·C0B0

2i

= s

h

1−^ (x−xA)(xC−xA) + (y−yA)(yC−yA) p(x−x_A)²+ (y−y_A)^2p(x_C−x_A)²+ (y_C−y_A)²

2i

× s

h1−^ (x−xC)(xB−xC) + (y−yC)(yB−yC) p(x−xC)²+ (y−yC)^2p(xB−xC)²+ (yB−yC)²

2i

× s

h

1−^ (x−x_B)(x_A−x_B) + (y−y_B)(y_A−y_B) p(x−xB)²+ (y−yB)^2p(xA−xB)²+ (yA−yB)²

2i ,

將上式左右平方再經化簡後得 f(x, y) =0,同理可證若 f(x, y) =0,則 h(P) =1.

圖 7 為我們取 A0(0, 1), B0(0, 0), C0(1, 0)^時畫_{出 f}(x, y) =0 (即 h(P) =h(x, y) =1) 的圖形.

圖 7

定定定義義義 4.5. 令曲線 S= {(x, y) : h(P) = h(x, y) = 1} = {(x, y): f(x, y) =0}, S切割平面 為 C 及 D, S∪C∪D=R²且 S, C, D 兩兩互斥, int(T0) ⊂ (D∪S), 如圖 7 所標示.

定定定理理理 4.6. 令 n 是非負整數, j=0, 1, 2.

1. 若 P 為正三角形 T0之內心, 即 P=G,則 P=G∈S.

2. 若且唯若 P∈ D,則 h(P) >1;若 P∈D,則三角形序列{Tn}發散至平面.

3. 若且唯若 P∈S,則 h(P) =1;若 P∈S,則{Tn}發散.

4. 若且唯若 P∈C,則 h(P) <1;若 P∈C,則{Tn}殆線性收斂至 P 點.

5. C = C, D = D∪S. 若且唯若 h(P) < 1, 則 P ∈ C, 亦即{Tn}_{收斂. 若且唯若} h(P) ≥1,則 P∈D, 即{Tn}發散.

證明.

1. 由定理 4.2 的證明, 若 P=G,則 h(P) =1. 由定義 4.5 知 G∈S. (由圖 7, S 為曲線, 故 G 可視為 S 一部分曲線的退化.)

2. 由定理 4.2, 若 P ∈I且 P6=G,則 h(P) >_{1. 因為 f}(x, y)為多項式連續函數 [2], S, C, D兩兩互斥, 且 I− {G} ⊂D, 故而若且唯若 P∈D,則由連續性得 h(P) >1.與 定理 4.2 的證明相同,{Tn}_{發散至平面. 因 I}− {G} 6= ∅, 故 D6= ∅.分類上不排除 C= ∅^{或 S}= ∅.

3. 從定義 4.5 得 P ∈ S與 h(P) = 1互為充要條件. 定理 3.15 說 Tj+3n ∼ T_j 且邊長 比為 h(P). 已知 h(P) = 1, 故 Tj+3n ∼= Tj. 下面用反證法. 假設{Tn}_{收斂. 可令}

n→lim∞Tn=K, lim

n→∞Tj+3n=K.

(a) 若 θ06=0 (三步旋轉角), 則從定理 3.14 得 θi=θ₀6=0且 θi∈ − (3/2)π,(3/2)π
, {T_3n}因旋轉而發散, 此與 lim_n→∞T_3n=K 矛盾, 故此時{Tn}發散.

(b) 另一可能必為 θ0 = 0, 由定理 3.14 得 0 = θ0 = θ₁ = θ2, T_j+3n = T_j,

n→lim∞Tj+3n = Tj. 從 lim

n→∞Tj+3n = K 得 T0 = T1 = K. T0 = T1是從 {Tn} 收斂的假設得到的, 所以 T0=T1也是假設. 下面由反證法證 T06=T1.

從 T0 = T₁ 得 到 6 種對應狀況: (A₁, B₁, C₁) = (A0, B0, C0), (A0, C0, B0), (B0, A0, C0),(B0, C0, A0),(C0, B0, A0)^或(C0, A0, B0)_{. 因為 A1}, B1, C1分別為 4PA₀B₀,4PB₀C₀,4PC₀A₀的外心, 故只有對應(A₁, B₁, C₁) = (C₀, A₀, B₀) 可能成立, 故此等式成立. 因此 C0A0 = C0B0 = C0P, A0B0 = A0C0 = A0P, B0C0 =B0A0= B0P, 即 A0B0= B0C0 =C0A0= PA0 =PB0 =PC0,亦即 P 為正三角形4A₀B₀C₀之外心且 PA0= A₀B₀, 但此與 PA0= (√

3/2)A₀B₀矛 盾, 故得證 T₀6= T1. 此又與 lim_n→∞Tj+3n=K=T0=T1矛盾, 故{Tn}^收斂的假 設不為真, 因此得證 3. (若 P∈S,則{Tn}發散).

4. 已知若且唯若 P∈ D,則 h(P) >1, 又 S, C, D兩兩互斥, 故而若且唯若 P ∈C,則 h(P) <1.再由定理 3.7 的證明得{Tn}殆線性收斂至 P 點.

5. 由定義 4.3 及 2., 3., 4., C=C .若且唯若 h(P) <1,則 P∈ C=C,亦即{Tn}_收斂.

同樣從 2., 3., 4. 得 D=D∪S . 故若且唯若 h(P) ≥1,則 P∈D.

5 結 結 結論 論 論

常庚哲 [3] 是本文的動機, 但因他未討論收斂區域, 故三角形序列{Tn}_{的收斂區域及收斂} 速度為我們研究目標.

本文主要結果有二, 為定理 3.7 的殆線性收斂速度 (rate) 及定理 4.6 的收斂區域 (region), 即若且唯若 P∈C,亦即 h(P) <1,則三角形序列{Tn}殆線性收斂至 P 點.

本文定義 3.4 為對線性收斂速度的定義, 其收斂常數為 d∈ (0, 1). 因為定理 3.7-1. 說 {PAn}_{等的三步縮放比為 h}=h(P) >_{0, 所以若 h}∈ (0, 1),定理 3.7-2 只能證明{PAn}_等 的三步子序列為線性收斂, 即收斂階 (order) 為{hⁿ}. 故在定義 3.5 我們定義殆線性收斂, 即序列的三步子序列為線性收斂, 而其收斂常數為 h∈ (0, 1).

定理 3.7-3. 說若 h <1,則三角形序列{Tn}_(含{An},{Bn},{Cn}_{) 收斂到平面上單} 點 P, 且其速度為殆線性收斂速度.

定理 4.6 說 h(P) =_{1 的充要條件是 P} ∈S. 由定義 4.5 知 C 不包含邊界及 I− {G}. 我們在定理 4.6 證明 C =C且{Tn}^收斂_{的充要條件是 h}(P) <1, 即 P∈ _{C. D 是另一區} 域且 D=D∪S.{Tn}發散的充要條件是 h(P) ≥1, 即 P∈D.

參 參 參考 考 考文 文 文獻 獻 獻

[1] Burden, R.L, and J.D. Faires, “Numerical Analysis, 8^thed”, Thomsom Brooks/Cole, p.75, 2005.

[2] Finney, Ross and G.B. Thomas, “Calculus, 2^nded”, Addison-Wesley, p.96-97, 561, 1994.

[3] 常庚哲,〈一套三角形的收斂速度〉, 《初等數學論叢》, 第七輯, 上海教育出版社, 61

∼67頁, 1980.