循環小數的迴響

循環小數的迴響

葉均承 · ^蘇麗敏

一、 前言

在高一數學的課程中, 介紹到循環的無限小數為一有理數, 以及如何將循環小數變成分數 之際, 正巧拜讀到康教授在 “數學傳播” 25卷 3 期 (民 90 年 9 月) 中 「循環小數」 一文, 我想此 文必能引起學生的興趣, 故將其介紹給學生閱讀; 果真引起學生極大的共鳴! 尤其我的學生葉 均承將作者提出的幾個性質給出詳細證明, 且發現文中的幾個筆誤, 經師生討論後, 將其整理如 下。

二、 本文

(一) 「循環小數」 一文中最令人著迷的性質, 莫過於循環節是偶數位時, 我們可以將其平分 成前後兩段, 而前段的第 k 個數與後段的第 k 個數和恆為 9。

例: 1

7 = 0.142 857 (6 位循環節)

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...

1

73 = 0.0136 9863 (8 位循環節)

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. ...

而對於此性質的說明在 「循環小數」 一文中的定理 5 的敘述令我們頗為困惑, 其定理 5 敘述:

若 p ≥ 7 是個質數, n 與 m 是任意正整數且 p 不整除 m, “則”

_pn ^m

的循環節有偶數 位。 將此循環節分成前後兩段, 則此兩段之對應項的和皆為 9。

為何定理 5 提及

_pn ^m

型的循環節有偶數位, 但由文中 p.57 的表格知 p =31, 37, 41, 43, 53,. . . 的諸多例子中, 循環節皆只有奇數位 (表格中 p = 37 時, 循環節應有 3 位, 表格誤寫成為 2 位,

₃₇ ¹

= 0.027), 從這些例子, 我們認為定理 5 中的 “則” 應為 “且”。 而以上的觀察, 更促使 我們去思考一個真分數欲成為偶數位循環節時, 其分母是否有限制? 而由文中定理 1:

51

52

數學傳播

²⁷

卷

²

期 民

⁹²

年

⁶

月

如果 1 ≤ b < a, a 沒有 2 或 5 的質數, 並且 a 與 b 互質, 那麼

_a ^b

的循環節位數恰 好等於: min{e ∈

^N

: 10

^e

≡ 1 (mod a)}

所以假若

^b

a

循環節恰有 2k 位, 則 a | 10

^2k

− 1, 即 a | (10

^k

+ 1)(10

^k

− 1)。 因為循環節恰有 2k 位, 所以 a

∤

10

^k

− 1, 這樣可以得到 a | 10

^k

+ 1。 因此建立在 a | 10

^k

+ 1 的條件下, 我們 證出當循環節有 2k 位時, 其前段第 k 位與後段第 k 位的和恆為 9。 其證明如下:

性質1. (a, b) = 1, a > b, a | 10

^k

+1, 則

_a ^b

= 0.c

1

c

₂

· · · c

k

d

₁

d

₂

· · · d

k

, 其中 c

i

+d

i

= 9 i= 1, 2, · · · k

證明: 令 10

^k

+ 1 = am, 經過通分後, 我們得到 b

a = bm

am = bm

10

^k

+ 1 = bm(10

^k

− 1) (10

^k

+ 1)(10

^k

− 1)

=(bm − 1) × 10

^k

+ (10

^k

− bm)

10

^2k

− 1 (1)

又 b

a =c

₁

c

₂

· · · c

k

d

₁

d

₂

· · · d

k

10

^2k

− 1 = (c

1

c

₂

· · · c

k

) × 10

^k

+ d

1

d

₂

· · · d

k

10

^2k

− 1 (2)

由於 (1) = (2), 所以我們知道







bm− 1 = c

1

c

₂

· · · c

k

(3) 10

^k

− bm = d

1

d

₂

· · · d

k

(4)

由 (1) + (2) 可得到 10

^k

− 1 = (c

1

c

₂

· · · c

k

) + (d

1

d

₂

· · · d

k

) 即

c

₁

c

₂

· · · c

k

+ d

1

d

₂

· · · d

k

9 9 · · · 9

由於兩個 0∼9 的整數相加其和一定小於 19, 故 c

i

+ c

i

= 9, i = 1, 2, . . . , k。

(二) 而對於 「循環小數」 一文例題 7 中所提 “如果

₉₁ ⁿ

= 0.abcdef , 那麼有沒有一個正整 數, 使得

^m ₉₁

= 0.f edcba 呢? 像這樣倒過來的循環小數, 確實吸引人, 只是為何分母為 91 呢?

我們先來看下面性質:

性質 2. 令 x = 0.abcdef , y = 0.f edcba, 則 “a + d = b + e = c + f = 9, 若且惟若 x+ y = 1 +

^9×(a−c) ₉₁

”。

證明: 當 a + d = b + c = c + f = 9 時, 我們知道 x+ y = abcdef + f edcba

999999

= 1

999999[(a + f ) × 10

⁵

+ (b + e) × 10

⁴

+ (c + d) × 10

³

+ (d + c) × 10

²

+(e + b) × 10 + (a + f )]

小數的迴響

⁵³

= 1

999999[(a+9−c)×10

⁵

+(b+9−b)×10

⁴

+(c+9−a)×10

³

+(9−a+c)×10

²

+(9 − b + b) × 10 + (a + 9 − c)]

= 1 + (a − c) × 10

⁵

− 10

³

− 10

²

+ 1 999999

= 1 + (a − c) × 9 91

當 x + y = 1 +

^9×(a−c) ₉₁

時, 由於 |9 − a − d|, |9 − b − e|, |9 − c − f | 都小於 9。 由上面的計 算過程 (逆向) 容易得到 a + d = b + e = c + f = 9。 當我們知道 x =

¹³ ₉₁

= 0.142857 時, 其中 a = 1, c = 2, 利用性質 2 得到 x + y = 1 +

⁹⁽¹⁻²⁾ ₉₁

=

⁸² ₉₁

, 則我們知道 0.758241 =

⁶⁹ ₉₁

, 這樣就有成對 (0.abcdef 和 0.f edcba, 其中 a + d = b + e = c + f = 9) 的循環小數出來, 就像 「循環小數」 一文中給出許多成對的例子。

13

91 = 0.142857 0.758241 = 1 + 9(1 − 2) 91 − 13

91 = 69 91 7

91 = 0.076923 0.329670 = 1 + 9(0 − 6) 91 − 7

91 = 30 91 1

91 = 0.010989 0.989010 = 1 + 9(0 − 0) 91 − 1

91 = 90 91 5

91 = 0.054945 0.549450 = 1 + 9(0 − 4) 91 − 5

91 = 50

91 (原文遺漏) 2

91 = 0.021978 0.879120 = 1 + 9(0 − 1) 91 − 2

91 = 80 91 4

91 = 0.043956 0.659340 = 1 + 9(6 − 9) 91 − 4

91 = 60 91 14

91 = 0.648351 0.153846 = 1 + 9(6 − 8) 91 − 14

91 = 59 91 24

91 = 0.263736 0.637362 = 1 + 9(2 − 3) 91 − 24

91 = 58 91

在 「循環小數」 文中提到公分母必須是 91, 但是綜觀性質 2 的證明過程中, 並未用到分母為 91 的條件, 所以我們試著找一些例子, 例如 0.123876 =

₁₀₀₁ ¹²⁴

與 0.678321 =

₁₀₀₁ ⁶⁷⁹

的公分母 是 1001, 0.811188 =

¹¹⁶ ₁₄₃

與 0.881118 =

¹²⁶ ₁₄₃

的公分母是 143, 以及 0.006993 =

₁₄₃ ¹

與 0.399600 =

₁₀₀₁ ⁴⁰⁰

的公分母是 1001。 這些例子又引起了我們另一個問題: “令 x = 0.abcdef 及 y = 0.f edcba 其中 a + d = b + e = c + f = 9, 且 x 的循環節恰好是 6, 請問 x 與 y 的 可能的最小公分母之值是多少?”

從性質 1 前面的敘述可以知道 x 與 y 的公分母一定是 1001 的因數, 但不可能是 11 (x 與 y 的分母不可能是 11, 否則它們的循環節位數是 2 而不是 6) 所以比 91 小的公分母只可

54

數學傳播

²⁷

卷

²

期 民

⁹²

年

⁶

月

能是 7, 13 和 77。

令 x =

^q _p

= 0.abcedf , y =

^r _p

= 0.f edcba 由性質 2 得到

^q _p

+

^r _p

= 1 +

^9(a−c) ₉₁

兩邊各乘以 91p 得到

91(q + r) = 91p + 9p(a − c) (∗) 我們考慮下列 2 種情況:

(i) 如果 p ∈ {7, 77}, 則 (p, 13) = 1, 由公式 (∗) 推導出 a − c 是 13 的倍數, 由於 a, c 是 0, 1, 2, . . . , 9 中的數, 所以 a = c, 即 x + y = 1 因此 x, y 是同分母。 很容易就可以檢 查出真分數

^q

7

的循環小數表示中 a 6= c, 所以 p 6= 7。 如果 p = 77, 已知 x = 0.abaded 其 中 a + d = b + e = 9。 由 x =

^abaded ₉₉₉₉₉₉

=

₇₇ ^u

可以推出

^aba+1

1001

=

₇₇ ^u

, 即 13u = aba + 1, 因為 aba+ 1 ≡ a × 101 + b × 10 + 1 ≡ 1 + 10(a + b) (mod 13) 由於 a, b 是 0, 1, 2,. . ., 9 中 的數, 所以 a + b = 9, 因此 d = b, a = e 這樣 x = 0.ababab 是循環節位數為 2 的分數 (不 合)。

(ii) 如果 p = 13, 則 (p, 7) = 1。 由公式 (∗) 推導出 7 | a − c。 但是我們檢查出分母為 13 的正真分數中沒有一個真分數的循環小數的表示裡出現 a − c 是 7 的倍數, 所以 p 6= 13, 因此我們證明 91 是 x 與 y 公分母的可能之值中最小的數。

三、 結語

最後, 我們想最該感謝的是 「循環小數」 一文的作者, 讓我們欣賞到循環小數的奧祕, 引發 我們繼續探究的興趣, 更期待能有更多的數學前輩, 提供適合高中生閱讀的好文章。 我們也非常 感謝評審細心的審查及提供許多的寶貴意見。

—本文作者葉均承同學就讀北一女中, 蘇麗敏老師任教北一女中—