數學傳播 31卷3期, pp. 85-86
對 “ 方程式之根的 n 次方之和的解法 ” 一文的迴響
薛昭雄
頃閱 「數學傳播」 第 121 期 (民國 96 年 3 月) 中有一文“方程式之根的 n 次方之和的解 法”作者為張力友先生。 他在文中發表了他的教學心得證明了下述結果: 若 f (x) 為一 n 次方 程式且 αi (i = 1, 2, . . . , n) 為其根。 令 sk= α1k+ αk2 + · · · + αkn, 則
f′(x) f(x) =
∞
X
k=1
sk
xk+1 (1)
我想就此結果表示三點意見如下:
(A) (1) 式為早已熟知的結果, 可參見任何方程式論之專著。 譬如文獻 [1] 第 172 頁即有相同之 結論。
(B) (1) 式也可推廣至下式:
f′(x) f(x) = −
∞
X
k=1
s−k
xk−1 (當然 αi 均不為0) 這也是早已熟悉的結果。(見文獻 [1] 第 172頁)。
(C) 下述之牛頓公式 (有關對稱多項式)(請見參考文獻 [2]) 也可利用來求 sk (k ≥ 1) 之值。
若 f (x) = xn+ a1xn−1+ · · · + an−1x+ an, 則 s1+ a1 = 0
s2+ a1s1+ 2a2 = 0
s3+ a1s2+ a1s1+ 3a3 = 0 ...
sn+ a1sn−1+ a2sn−2+ · · · + nan = 0
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86 數學傳播 31卷3期 民96年9月 由上式方程式組可求出 sn 如下:
(−1)msm=
a1 1 0 · · · 0 2a2 a1 1 · · · 0 a2 a1 0 ... ... ... ... ...
1 mamam−1am−2· · ·a1
, m = 1, 2, . . . , n.
利用上述行列式即可求出 sm 由係數 a1, a2, . . . , am 表示出的值。
當 m > n 時, 可用下式求出 sm 之值
sm+ a1sm−1+ · · · + an−1sm−n+1+ ansm−n = 0
參考文獻
1. W. S. Burnside and A. W. Panton, The Theory of Equations, Vol II, Dover Publications, Inc., New York, 1960.
2. H. W. Turnbull, Theory of Equations, Oliver and Boyd, Edinburgh and London, 1947.
—本文作者任教於美國內華達大學—
