關 於賦範線性空間中的三類泛函方程
姚雲飛
摘要: 本文在賦範線性空間中考察下列幾類泛函方程 f (x)g(y) = h(x + y) (I) f (x + y) = f (x)f (y) (II) f (x + y) = f (x) + f (y) + ag(x)g(y) (III) 的性質與 解以及彼此之間的關係。
關鍵詞: 泛函方程, 賦範線性空間, 凸泛函, 共軛空間, 連續泛函。
一 . 背景簡況
18 世紀初歐拉 (Euler)、 拉格朗日 (Lagrange) 等著名數學大師就已經利用函數 (泛函) 方程解決問題, 1773 年法國數學家蒙日 (Monge) 應用函數方程研究曲面理論時, 給出了函數 方程的較一般的敘述。 從 1821年起, 數學家柯西 (Cauchy) 對一系列的一維空間中函數方程作 了深入的研究, 並創造了一種求解函數方程的方法—柯西 (Cauchy) 法。
阿貝爾 (Abel)、 維爾斯特拉斯 (Weierstrass)、 羅巴切夫斯基 (Lobachevsky)、 哈代 (Hardy) 等數學家將函數方程廣泛應用於各種不同的領域, 取得了驚人的結果。 20 世紀初期, 波蘭學派對函數方程進行了某些開創性的研究工作, 20世紀 40年代後, 前蘇聯數學家蓋爾謝凡 諾夫發展了函數方程的理論, 並應用函數方程理論成功地解決了一系列有關力學、 滲透理論、 彈 性理論和地層動力理論的問題。
在函數 (泛函) 方程的研究領域中, 經過眾多的數學家付出了艱辛的勞動, 獲得了大量的結 果, 其之應用日益廣泛深遠, 但令人遺憾的是至今還沒有建立起完整系統的函數 (泛函) 方程的 理論, 甚至較一般的解法也知之甚少。
特別值得注意的是與函數方程密切相關的函數迭代有著深刻的理論背景和實用價值, 由於 近年來關於渾沌理論和微分動力系統的研究與發展十分迅速, 引起了數學界的高度重視。
眾所周知, 微分方程、 積分方程、 泛函微分方程 [6] 均屬於函數方程之列。 由此可見, 對一 般的函數 (泛函) 方程研究其意義深遠。 然近年來, 關於一般賦範線性空間中泛函方程的研究工
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作卻不多見。 本文將把在概率論中反復應用的 (例如在普阿松過程、 指數分布、 射擊彈落點分布 等) [8] 一維空間中的函數方程推廣到賦範線性空間中的泛函方程 (I) 與 (II), 同時把 R 中可 用來描述歐幾里得平面中的仿射變換的單參數解函數方程 [7] [3], 提煉抽象, 推廣到了本文方 程 (III)。 研究其三者性質及其關係, 並給出其應用。
二 . 方程 (I) 與 (II) 的關係
定理1: 若
(1) X 為 R 上的線性空間 (本文中 R 均表示實數域、 θ 為 X 中零元素) (2) h : X → R 是實值泛函
(3) f : X → R, g : X → R 是不恆為零的實值泛函。
則泛函方程 (I) 總可以化為 (II) 的形式。
證明: 用反證法證明 g(θ) 6= 0, 假設 g(θ) = 0, 則有 h(x) = h(x + θ) = f (x)g(θ) ≡ 0, 由於 f (x) 不恆為 0, 知至少有一個 x0 使 f (x0) 6= 0, 從而 g(x) = h(xf (x0+x)0) ≡ 0, 這與 g(x) 不恆為 0 的條件矛盾, 故 g(θ) 6= 0, 同理可證 f (θ) 6= 0, 由 f (θ)g(θ) = h(θ + θ) = h(θ) 知 h(θ) 6= 0。
從 (I) 式知
f (x)g(θ) = h(x) = f (θ)g(x)
兩邊同除以 f (θ)g(θ), 得知對任意 x ∈ X 有 f (x)/f (θ) = g(x)/g(θ) = h(x)/f (θ)g(θ) 恆成立, 於是令
p(x) =h(x)
h(θ) = f (x)
f (θ) = g(x) g(θ) 則有
p(x) =f (x)
f (θ), p(y) = g(y) g(θ) p(x + y) = h(x + y)
h(θ) = f (x)g(y)
h(θ) = f (x) f (θ) · g(y)
g(θ) 故 p(x + y) = p(x)p(y), 即 (I) 化為 (II) 的形式。
由定理 1可見, 在條件 (1)、(2) 之下欲考察 (I) 的性質與解, 只要考察 (II) 的性質與解的 情況即可。
三 . 方程 (II) 的性質
定理2: 設 X 為 R 上的線性空間 f : X → R 是不恆為零的泛函, 若對任意 x, y ∈ X 恆有
f (x + y) = f (x)f (y) (II) 則
(1) f (θ) = 1
(2) f (−x) = (f (x))−1, x ∈ X (3) f (x) > 0, x ∈ X
(4) f (
P
nj=1xj) =Q
nj=1f (xj), xj ∈ X, j = 1, 2, . . . , n(5) f (αx) = (f (x))α, α ∈ Q, x ∈ X (本文 Q 表示有理數域, QC 表示無理數集) (6) f (
P
nj=1αjxj) =Q
nj=1(f (xj))αj, αj ∈ Q, xj ∈ X, j = 1, 2, . . . , n(7) f (x) 為 X 上次凸泛函 [1]。
(8) f (n1
P
nj=1xj) ≤ n1P
nj=1f (xj) (xj ∈ X, j = 1, 2, . . . , n) (9) 若 xj ∈ X, αj ∈ Q ∩ [0, 1], 且P
nj=1αj = 1, 則f
X
nj=1
αjxj
≤X
nj=1
αjf (xj) (10) 若 xj ∈ X, qj ∈ Q ∩ [0, +∞), 且
P
nj=1qj > 0, 則f
P
nj=1qjxj
P
n j=1qj!
≤
P
nj=1qjf (xj)
P
n j=1qj證明: (1) 因為任取 x, y ∈ X, 恆有 f (x + y) = f (x)f (y) 特別取 y = θ, 則有 f (x + θ) = f (x)f (θ) 即 f (x) = f (x)f (θ), 由此知若 f (θ) = 0, 則 f (x) ≡ 0, 這與 f (x) 不恆為零相矛盾, 故 f (θ) 6= 0, 由 f (x + y) = f (x)f (y), (x, y ∈ X), 知 f (θ) = f (θ + θ) = f (θ)f (θ) 有 f (θ)(f (θ) − 1) = 0, 由 f (θ) 6= 0, 得 f (θ) − 1 = 0, 故 f (θ) = 1。
(2) 由任意 x, y ∈ X, f (x + y) = f (x)f (y) 知 f (θ) = f (x − x) = f (x + (−x)) = f (x)f (−x), 由 (1) 已證 f (θ) = 1 知 f (x)f (−x) = 1 (x ∈ X), 從而 f (x) 6= 0, (x ∈ X), 於是 f (−x) = (f (x))−1。
(3) 由 (2) 之證明過程知對任意 x ∈ X, f (x) 6= 0, 從而 f (x) = f (x2 + x2) = f (x2)f (x2) = (f (x2))2 > 0。
(4) 用數學歸納法證明對任意 xj ∈ X (j = 1, 2, . . . , n) 恆有 f (
P
nj=1xj) =Q
nj=1f (xj) 成立, 當 n = 1 時, 顯然成立, 當 n = 2 時, 由已知條件知: f (x1+ x2) = f (x1)f (x2)。假設當 n = k 時, 等式成立, 即 f (
P
kj=1xj) =Q
kj=1f (xj) 成立, 則當 n = k + 1 時, 據 n = 2 與歸納假設知, 有 f (P
k+1j=1xj) = f [(P
kj=1xj) + xk+1] = f (P
kj=1xj)f (xk+1) =Q
kj=1f (xj) · f (xk+1) =
Q
k+1j=1f (xj)。故由數學歸納法知對一切的自然 n, f (
P
nj=1xj) =Q
nj=1f (xj) 成立。(5) 由 (4) 知 f (nx) = f (
n
z }| {
x + x + · · · + x) = (f (x))n 即對任意 x ∈ X, n ∈ N, 恆有 f (nx) = (f (x))n, 於是由 (2) 知 f (−nx) = (f (nx))−1 = ((f (x))n)−1 = (f (x))−n (n ∈ N) 由 (1) 與 (3) 知 f (0x) = f (θ) = 1 = (f (x))0, 故當 α 為整數時恆有 f (ax) = (f (x))α, 由 f (x) = f
n
z }| {
(1 nx + 1
nx + · · · + 1
nx) = (f (n1x))n 知 f (n1x) = (f (x))n1
於是對任意的整數 m 與自然數 n 有 f (mnx) = (f (n1x))m = ((f (x))n1)m = (f (x))mn。 故 α ∈ Q 恆有 f (αx) = (f (x))α。
(6) 由 (4) 與 (5) 知 f (
P
nj=1αjxj) =Q
nj=1f (αjxj) =Q
nj=1(f (xj))αj。 (7) 因為對任意 x, y ∈ X, 由 (6) 知 f (x+y2 ) = (f (x)f (y))12 ≤ f (x)+f (y)2 , 故 f (x) 為 X 上次凸泛函。
(8) 首先用數學歸納法證明當 n = 2m 時有 f
x1+ x2+ · · · + xnn
≤ f (x1) + f (x2) + · · · + f (xn)
n ,
當 n = 1 時顯然成立。 (m = 0)
任取 x1, x2 ∈ X, 由 (7) 知 f (x1+x2 2) ≤ f (x1)+f (x2 2), 即當 n = 2 時成立。 設對於 n = 2m 時不等式
f (x1+ x2+ · · · + x2m
2m ) ≤ f (x1) + f (x2) + · · · + f (x2m)
2m 成立。
現要證的是 n = 2m+1 時也成立。 於是設:
x′ = x1+ x2+ · · · + x2m
2m , x′′ = x2m+1+ x2m+2+ · · · + x2m+1 2m
則
f
x1+ x2+ · · · + x2m+ x2m+1+ x2m+2+ · · · + x2m+12m+1
= f x′ + x′′
2
!
≤ f (x′) + f (x′′) 2
≤ f (x1) + f (x2) + · · · + f (x2m)
2m+1 +f (x2m+1) + f (x2m+2) + · · · + f (x2m+1) 2m+1
=f (x1) + f (x2) + · · · + f (x2m+1) 2m+1
故對於所有 n 取形式 2m 時
f (x1+ x2+ · · · + xn
n ) ≤ f (x1) + f (x2) + · · · + f (xn)
n 成立。
現設 n 不是 2m 的形式。 我們取足夠大的 m, 使 2m > n, (例如 2m = n + 1 則 2m− n = 1), 又設 A = x1+x2+···+xn n, 於是 x1+ x2+ · · · + xn= nA,
且 A = 2mA
2m = nA + 2mA − nA
2m = nA + (2m−n)A
2m = (x1+x2+ · · · +xn)+(2m−n)A 2m
=x1+ x2+ · · · + xn+
(2m−n) 個 A
z }| {
A + A + · · · + A
2m .
而由已經證明的事實知
f (A) = f x1+ x2+ · · · + xn+
(2m−n) 個 A
z }| {
A + A + · · · + A 2m
!
≤ f (x1) + f (x2) + · · · + f (xn) +
(2m−n) 個 f (A)
z }| {
f (A) + f (A) + · · · + f (A) 2m
=f (x1) + f (x2) + · · · + f (xn) + (2m− n)f (A)
2m .
於是 2mf (A) ≤ f (x1) + f (x2) + · · · + f (xn) + (2m− n)f (A), 從而 2mf (A) − (2m− n)f (A) ≤ f (x1) + f (x2) + · · · + f (xn), 可見 nf (A) ≤ f (x1) + f (x2) + · · · + f (xn),
故 f (A) ≤ f (x1)+f (x2n)+···+f (xn),
即 f (x1+x2+···+xn n) ≤ f (x1)+f (x2n)+···+f (xn)。
故當 n ≥ 1 時 (自然數) f (x1+x2+···+xn n) ≤ f (x1)+f (x2n)+···+f (xn) 成立。
(9) 在 (8) 中取 x = x1 = x2 = · · · = xp, xp+1= xp+2= · · · = xn = z, 知 f (pnx + (1 − np)z) ≤ pnf (x) + (1 − pn)f (z)。
記 0 ≤ α1 = pn < 1, 1 − np = α2, 則 α1+ α2 = 1。
故 f (α1x + α2z) ≤ α1f (x) + α2f (z) (∗) 用數學歸納法證明 (9) 成立。 當 n = 1 時, (9) 自然成立; 當 n = 2 時, 由 (∗) 知 (9) 成 立; 假設 n − 1 時, 結論成立, 則 n 時有
X
nj=1
αjxj =
n−1
X
j=1
αjxj+ αnxn= (1 − αn)
n−1
X
j−1
αj
(1 − αn)xj + αnxn∈ X,
而 f (
P
n−1j=1αjxj) ≤P
n−1j=1 αjf (xj) (據歸納假設), 於是由歸納假設, 有f
X
nj=1
αjxj
≤ (1 − αn)f
n−1
X
j=1
αj
1 − αn
xj
+ αnf (xn)≤ (1 − αn)
n−1
X
j=1
αj
1 − αn
f (xj) + αnf (xn) =
X
nj=1
αjf (xj), 故由數學歸納法知命題成立。
(10) 任取 xj ∈ X, qj ∈ Q ∩ [0, +∞), 且
P
nj=1qj > 0, 在 (9) 中取 αj =P
nqjj=1qj
即 知 (10) 成立。
附註: (8) 即為
q
nf (x1) · · · f (xn) ≤ f (x1)+···+f (xn n), 此乃是著名的 n 個正數的幾何平均 數不超過 n 個正數的算術平均數的定理, 於是可以說這個著名的不等式被泛函方程 (II) 所統 一。定理3: 設 X 為 R 上的賦範線性空間, f : X → R 是不恆為零的連續泛函。 若 (II) 成 立, 則
(1) 對任意 αj ∈ R, xj ∈ X, j = 1, 2, . . . , n, 有
f
X
nj=1
αjxj
=Y
nj=1
(f (xj))αj.
(2) f (x) 在 x0 處具有界線性的 Gateaux 微分 [5], 且對任意的 h ∈ X 及 x0 ∈ X, 存 在 B ∈ L(X → R) 使得 D[f (x0)h] = Bh = f (x0) ln f (h)。
(3) f (x) 是 X 上的凸泛函。
(4) 對任意 xj ∈ X, qj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , n,
P
nj=1qj > 0, 恆有P
nj=1qj
P
nj=1 qj
f (xj)
≤ exp
P
nj=1qjln f (xj)
P
nj=1qj
!
≤
P
nj=1qjf (xj)
P
nj=1qj
.
證明: (1) 當 αj ∈ Q, 由定理 2(6) 知定理 3(1) 立。
當 αj ∈ QC 時, 存在 λ(m)j ∈ Q, 且 λ(m)j → αj (m → ∞) (j = 1, 2, . . . , n) 於是
P
nj=1λ(m)j xj →P
nj=1αjxj (m → ∞), 由 f 在 X 連續知f
X
nj=1
αjxj
= f
limm→∞
X
nj=1
λ(m)j xj
= limm→∞f
X
nj=1
λ(m)j xj
= lim
m→∞
Y
nj=1
(f (xj))λ(m)j =
Y
nj=1
(f (xj))limm→∞λ(m)j =
Y
nj=1
(f (xj))αj.
故任取 αj ∈ R (j = 1, 2, . . . , n), 恆有 f (
P
nj=1αjxj) =Q
nj=1(f (xj))αj 成立。(2) 因為 x0 ∈ X, 對任意 h ∈ X, 極限 limt→0
f (x0+ th) − f (x0)
t = lim
t→0f (x0) (f (h))t− 1 t
!
= f (x0) ln f (h)
存在, 所以 D[f (x0)h] = f (x0) lnf (h)。 顯然存在 B ∈ L (X → R) 使得 Bh = f (x0) ln f (h)。
故 (2) 成立。
(3) 即證對任意 λ ∈ [0, 1], x1, x2 ∈ X 恆有 f (λx1 + (1 − λ)x2) ≤ λf (x1) + (1 − λ)f (x2), 當 λ ∈ Q ∩ [0, 1] 時, 由定理 2(9) 知其成立。 當 λ ∈ QC ∩ [0, 1] 時, 則存在 λn ∈ Q ∩ [0, 1] 使得 λn → λ (n → ∞), 於是 λnx1 + (1 − λn)x2 → λx1 + (1 − λ)x2
(n → ∞), 由 f 的連續性知:
f (λx1+ (1 − λ)x2) = f
n→∞lim(λnx1+ (1 − λn)f (x2)
= lim
n→∞f (λnx1+ (1 − λn)x2)
≤ lim
n→∞(λnf (x)+(1−λn)f (x2)) = lim
n→∞λnf (x1) + lim
n→∞(1−λn)f (x2)
= λf (x1) + (1 − λ)f (x2).
(4) 當 qj ≥ 0 且 qj ∈ Q, 由定理 2(10) 知 f (
P
n j=1qjxjP
nj=1qj ) ≤
P
nj=1P
qjf (xn j)j=1qj 當 qj > 0 且 qj ∈ QC, 則存在 qj(m) > 0 且 qj(m) ∈ Q, 使 q(m)j → qj (m → ∞) (j = 1, 2, . . . , n), 於是 由定理 2(10) 和 f 的連續性知
f
P
n j=1qjxjP
nj=1qj
!
= f
limm→∞
P
nj=1qj(m)xj
P
nj=1qj(m)
= limm→∞f
P
nj=1qj(m)xj
P
nj=1qj(m)
≤ lim
m→∞
P
nj=1qj(m)f (xj)
P
nj=1q(m)j =
P
nj=1qjf (xj)
P
nj=1qj
於是由本定理 3(1) 知 exp
P
nj=1qjln f (xj)
P
n j=1qj!
=
Y
nj=1
(f (xj))qj/
P
nj=1qj = fP
nj=1qjxj
P
n j=1qj!
≤
P
nj=1qjf (xj)
P
n j=1qj(i) 由上述 (i) 已證結果知
exp
P
nj=1qjlnf (x1
j)
P
n j=1qj
≤P
nj=1 qj
f (xj)
P
n j=1qj, 於是
P
nj=1qj
P
n j=1qj
f (xj)
≤ exp
P
nj=1ln f (xj)
P
n j=1qj!
(ii) 聯合 (i) 與 (ii) 知本定理 3(4) 成立。
附註: 此處給出了加權冪平均不等式的一個證明, 並且沒有用到導數等高深的數學工具, 特 別是這些十分有用的著名不等式都可化成泛函方程 (II) 之形式。
四 . 方程 (II) 的連續解
定理4: 若 f : Rn → R 是不恆為零的連續泛函, 則方程 (II) 的連續解為 f (x) =
Y
nj=1
αζjj,
(其中 aj = f (ej), ej = (
j
z }| {
0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0
| {z }
n
), j = 1, 2, . . . , n, {e1, e2, . . . , en} 為 Rn 的一組基底)。
證明: 由 ej = (
j
z }| {
0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0
| {z }
n
), j = 1, 2, . . . , n, {e1, e2, . . . , en} 為 Rn 的一 組基底, 知對任意 x = (ζ1, ζ2, . . . , ζn) ∈ Rn, 有 x =
P
nj=1ζjej, 又 f 連續, 於是由已知條件 與定理 3(1) 知f (x) = f
X
nj=1
ζjej
=Y
nj=1
(f (ej))ζj =
Y
nj=1
aζjj, (其中 aj = f (ej), j = 1, 2, . . . , n)。
附註: 若方程 (I) 中, f 和 g 的條件與定理 4 的 f 之條件相同, 則 (I) 之連續解為 f (x) = f (θ)
Y
nj=1
aζjj,
g(x) = g(θ)
Y
nj=1
bζjj, 其中 aj = f (ej), bj = g(ej), j = 1, 2, . . . , n。
定理5: 若 f : lp (p ≥ 1) → R 是不恆為零的連續泛函, 則方程 (II) 的連續解為 f (x) =
Y
∞j=1
ηξjj,
(其中 ηj = f (ej), ξj ∈ R, ej = (
j
z }| {
0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . .), 本定理中 lp (p ≥ 1) 要求為實賦範 線性空間)。
證明: 由 ej = (
j
z }| {
0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . .) 知 {e1, e2, . . . , ej, . . .} 為 lp 的一組基底, 從而
∀x ∈ lp 有 x = (ξ1, ξ2, . . . , ξj, . . .) =
P
∞j=1ξjej, 由已知條件與定理 3(1) 知 f (x) = f
X
∞j=1
ξjej
= f
limn→∞
X
nj=1
ξjej
= limn→∞f
X
nj=1
ξjej
= limn→∞
Y
nj=1
f (ej)ξj
=
Y
∞j=1
ηjξj (其中 ηj = f (ej), ξj ∈ R, j = 1, 2, 3, . . .)。
定理6: 設 X 為 R 上線性空間, 若 f : X → R 是不恆為零的泛函, 則泛函方程 (II) 總 可以化為泛函方程 Cauchy 形式, 即變為 F (x + y) = F (x) + F (y) 的形式 (x, y ∈ X 且 F : X → R)。
證明: 由已知條件與定理 2(3) 知 f (x) > 0, 於是取 F (x) = ln f (x), 則有 F (x + y) = ln f (x + y) = ln f (x)f (y) = ln f (x) + ln f (y) = F (x) + F (y)。
故定理 6 成立。
引理1:[1] 設 X 與 Y 都是 R 上的賦範線性空間, 映射 T : X → Y 是連續算子, 若對 任意 x, y ∈ X, 恆有 T (x + y) = T (x) + T (y) 則 T 是連續線性算子。
特別當 Y = R 時, 則 T 是連續的線性泛函。
推論1: 設 X 為 R 上賦範線性空間, 若 f : X → R 是不恆為零的連續泛函, 則泛函方 程 (II) 總可以化為線性泛函方程形式, 即變為
F (αx + βy) = αF (x) + βF (y), 其中 α、 β ∈ R, x, y ∈ X, F (x) = ln f (x)。
證明: 由定理6 與引理 1 知 F (x) = ln f (x) 為連續線性泛函數。
故 F (αx + βy) = αF (x) + βF (y) 成立。
由推論 1可得下面定理 7成立。
定理7: 若
(1) X 為 R 上的賦範線性空間。
(2) 映射 f : X → R 是不恆為零的連續泛函, 則泛函方程 (II) 全部的連續解均可表示為 f (x) = exp(ϕ(x))
其中 ϕ ∈ X∗, X∗ 為 X 的共軛空間。
證明: 由推論1 知當 ϕ(x) = ln f (x) 時 ϕ(x) 為 X 上的連續線性泛函。
故 ϕ ∈ X∗, 從而由 ϕ(x) = ln f (x), 知 f (x) = exp(ϕ(x))。
附註: 由定理7 與線性泛函表示定理 [4] 可分別寫出在 Lp[a, b] (p ≥ 1), C[a, b], 與實的 Hilbert 空間中的關於方程 (II) 的連續解的具體表達式。
五 . 方程 (III) 的性質
定理8: 設下列三條件成立:
(1) X 為 R 上的賦範線性空間;
(2) f : X → R, g : X → R 是連續泛函且 g(x) 是已知泛函;
(3) 任取 x, y ∈ X, 恆有
f (x + y) = f (x) + f (y) + ag(x)g(y) (III) 其中 a 為任意常數。
(i) 若 f1(x) 與 f2(x) 為泛函方程 (III) 的任意兩個連續解, 則 f1 − f2 ∈ X∗; (ii) 若 f0(x) 為 (III) 的一個連續特別解, 則其全部連續解均可表示為:
f (x) = f0(x) + ϕ(x) 其中 ϕ ∈ X∗。
證明: (i) 設 ϕ(x) = f1(x) − f2(x), 則有 ϕ(x + y) = f1(x + y) − f2(x + y) = (f1(x) − f2(x)) + (f1(y) − f2(y)) = ϕ(x) + ϕ(y), 由引理 1 知 ϕ ∈ X∗;
(ii) 由 (i) ⇒ f (x) = f0(x) + ϕ(x), ϕ ∈ X∗
附註: (1) 若用觀察法得出 (III) 的一個連續特別解, 則 (III) 全部連續解就可立即寫出。
(2) 當 X 分別為 Rn, lp (p ≥ 1), Lp[a, b] (p ≥ 1), C[a, b] 與實 Hilbert 空間時, 由線 性泛函表示定理 [1] [4] 知易寫出 ϕ(x) 的具體表達式。
參考文獻
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8. 復旦大學編, 概率論 (第一冊, 概率論基礎), 北京: 高等教育出版社, 1986 年 2 月。
—本文作者是安徽省阜陽師範學院數學系教授—
