1042微微微乙乙乙01-05班班班期期期末末末考考考解解解答答答和和和評評評分分分標標標準準準
1. (10%) 解微分方程
⎧⎪
⎪
⎨
⎪⎪
⎩
y′+ (tan t) y = t sin 2t, −π2 <t <π2, y(0) = 1.
Solution:
Let u = e∫ tan tdt. (3 pts)
Since∫ tan tdt = − ln cos t, we have u =
1 cos t. uy′+ (u tan t)y = tu sin 2t.
⇒ (uy)′=tu sin 2t
⇒ (cos t1 y)′=tcos t1 (2 sin x cos x)
⇒ (cos t1 y)′=2t sin t (3 pts)
⇒ cos t1 y =∫ 2t sin tdt = −2t cos t + 2 ∫ cos tdt = −2t cos t + 2 sin t + C . (2 pts) Since y(0)=1,
⇒C = 1
⇒y = −2t cos2t + 2 sin t cos t + cos t (2 pts)
2. (15%) 解微分方程 dydx=eysin x.
Solution:
∫ e−ydy =∫ sin xdx (7 points)
⇒ −e−y= −cos x + C Integrate∫ e−ydy : 3 points
Integrate∫ sin xdx : 3 points The constant C : 2 points
3. (10%) 某一化學反應為考慮物質 P 的分子與物質 Q 的分子之間的碰撞，產生一新的物質 X。即 P+Q→X。若 p, q, (p ≠ q) 分別為物質 P 與 Q 的初始濃度，x (t) 為物質 X 在 t 時間的濃度。則 p − x (t) 與 q − x (t) 分別為 P 與 Q 在 t 時間的濃 度。此化學反應遵守以下微分方程
dx
dt =α (p − x) (q − x) , 其中 α 為大於零的常數。若 x (0) = 0，求解 x (t).
Solution:
dx
(p − x)(q − x) =α dt
∫
dx
(p − x)(q − x) = ∫ α dt
∫ α dt = αt + C 1
(p − x)(q − x)= 1 q − p(
1 p − x−
1 q − x)
∫
dx
(p − x)(q − x) = ∫ 1 q − p(
1 p − x−
1
q − x)dx = 1
q − pln ∣q − x p − x∣ So,
1
q − pln ∣q − x
p − x∣ =αt + C Since x(0) = 0, we have
1 q − pln ∣q
p∣ =C Therefore, we have
1
q − pln ∣q − x
p − x∣ =αt + 1 q − pln ∣q
p∣
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Solve for x, we get
x(t) =q(1 − eα(q−p)t) 1 − qpeα(q−p)t
本題分成六個部分(1)至(6)評分：
(1) i. 誤判微分方程之形式，本題0分，並且無後續評分。
ii. 僅分離變數無後續計算，得1分 iii. 僅分離變數有後續計算，得3分 (2) i. 成功積分出∫ α dt = αt + C ，得1分
(3) i. 有嘗試將積分項(p−x)(q−x)1 拆解成部分分式，得1分 ii. 成功拆解得(p−x)(q−x)1 =q−p1 (p−x1 −q−x1 )，得2分
(4) i. 在上一部份失誤，但有進行正確的積分運算，唯與實際所求有所差距，得1分 ii. 成功積分得q−p1 ln ∣q−xp−x∣，得2分
(5) i. 有考慮初始條件並進行實質運算，得1分 (6) i. 成功得出x(t) =q(1−e1−q α(q−p)t)
peα(q−p)t ，得1分 其他狀況依類似評分標準斟酌給分。
4. (10%) 若 X 為一隨機變數，X 在 {1, 2} 取值且 E(X) = 53. (a) (5%) 求 P (X = 1) 及 P (X = 2).
(b) (5%) 求 Var(X).
Solution:
Put P (X = 1) = p and P (X = 2) = q, then
p + q = 1.
By assumption, 53=E(X) = 1 ⋅ p + 2 ⋅ q. Then, solve the following system
{ p + q = 1 p + 2q = 53 we get
{ P (X = 1) = p = 13 P (X = 2) = q = 23
本小題分成三個部分(1)至(3)評分：
(1) i. 列出連續型隨機變數之類的無關公式，本題0分，並且無後續評分 ii. 僅列出離散型隨機變數之期望值公式而無後續計算，得1分 iii. 僅列出離散型隨機變數之期望值公式而有後續計算，得2分 (2) i. 有列出P (X = 1) + P (X = 2) = 1並進行實質運算，得2分 (3) i. 正確得到期望值，得1分
其他狀況依類似評分標準斟酌給分。
Since V ar(X) = E(X2) − (E(X))2 and
E(X2) =12⋅P (X = 1) + 22⋅P (X = 2) = 12⋅ 1 3+22⋅
2 3 =3
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So,
V ar(X) = 3 − (5 3)2=
2 9
本小題分成三個部分(1)至(3)評分：
(1) i. 列出連續型隨機變數之類的無關公式，本題0分，並且無後續評分 ii. 僅列出離散型隨機變數之變異數公式而無後續計算，得1分 iii. 僅列出離散型隨機變數之變異數公式而有後續計算，得2分 (2) i. 成功執行上一部份並對E(X2)項進行實質運算但計算錯誤，得1分
ii. 成功執行上一部份並正確計算E(X2)項，得2分 (3) i. 正確得到變異數，得1分
其他狀況依類似評分標準斟酌給分。
5. (10%) 求 ∫−∞∞e−x2+2bx+cdx, b, c ∈ R. (可用 ∫−∞∞ e−x2dx =√ π.)
Solution:
∵ x2−2bx − c = (x − b)2− (b2+c) (7 pts)
∴ ∫−∞∞ exp(b2+c) exp(−(x − b)2)dx = exp(b2+c)√
π (3 pts)
6. (10%) 令 X, Y 為兩個隨機變數，fX(t) = e−t, t ≥ 0且 Y = 2X + 1. 求 fY(t).
Solution:
FY(y) =P (Y ≤ y) (3 points)
=P (2X + 1 ≤ y)
=P (X ≤ y − 1 2 )
= ∫
y−1 2
0
e−tdt (3 points)
=1 − e1−y2 , y ≥ 1
⇒fY(y) = FY′(y) = 1
2e1−y2 , y ≥ 1 (4 points)
7. (10%) 若機率密度函數 fX(t) = fY(t) =√1
πe−t2, t ∈ R 且隨機變數 X, Y 獨立。令 W = (X + Y )2，求 W 的機率密度函數 fW(t).
Solution:
Let Z = X + Y fZ(z) =∫
−∞∞ fX(t)fY(z − t)dt (2pts)
=√1
2πexp(−z22) ∫−∞∞
√2
√πexp(−2(t −z2)2)dt( 3pts for Improper Integral )
=√1
2πexp(−z22)(2pts) Let W = Z2
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For t ≥ 0, P (W ≤ t) = P (−√
t ≤ Z ≤√
t)(1 pts) fW(t) = fZ(
√t) 1
2√
t+fZ(−
√t) 1
2√ t= √1
2πtexp(−2t)(2pts for pdf)
8. (10%) 某公司之電話通數平均每小時 20 通，求在 3 分鐘內至少有一通電話之機率。(假設此隨機現象遵守 Poisson 過程)
Solution:
λ =20 60 =
1
3 (3 points) t = 3 (2 points) P (X = k) =(λt)k
k! e−λt (3 points) Then the probability that there is at least one call within 3 minutes is
1 − P (X = 0) = 1 −10
0!e−1=1 − e−1 (2 points)
9. (15%) 某城市中的電話通話時間長短不一，若隨機變數 X 為電話的通話長度，其機率密度函數為 fX(t) =2
5e−2t5, t > 0 其中 t 以分鐘為單位表示一個隨機電話的通話長度。
(a) (4%) 求電話通話長度在一分鐘以內的機率為何?
(b) (4%) 求電話通話長度大於一分鐘不滿兩分鐘的機率為何?
(c) (4%) 求電話通話長度超過三分鐘的機率為何?
(d) (3%) 求一通電話的平均通話長度是多少?
Solution:
fX(t) =2
5e−2t5, t > 0 (a) P (0 < X < 1) =∫
1 0
2
5e−2t5dt = 1 − e−25 (b) P (1 < X < 2) =∫
2 1
2
5e−2t5dt = e−25−e−45 (c) P (X > 3) =∫
∞ 3
2
5e−2t5dt = e−65
(d) fX(t) = λe−λt, t > 0為指數分配，其期望值為E(X) = 1λ= 52 注：
(a)至(c)列出積分式得兩分，算出答案得兩分；
(d)若列出E(X) =∫
∞ 0
2
5te−2t5dt可得一分，算出結果得兩分。
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