Introduction to Scientiﬁc Computing 科學計算導論 Homework 1

(1)

Introduction to Scientiﬁc Computing 科學計算導論

Homework 1

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1. 考慮一初始值問題 (Initial Value Problem)

d ²

dt ² x = −ω 0 ² x,

0 < t < T, (1)

x(0) = x ₀ ,

x ⁰

(0) = v

₀ ,

Note: ω

₀

及 T 為常數. 請選擇恰當的數值 該初始值問題的正解 (exact solution) 如下

x _exac

(t) =

v ₀

ω ₀

sin ω

₀ t + x ₀

cos ω

₀ t.

請寫出一個 Matlab 的程式以內建的 ode45 得到 (1) 的數值解 (numerical solution):

(a) 將數值解 (x

h

)與正解 (x

exac

) 對時間作圖 (畫在同一張圖同時以不同種線表示) (b) 使用 legend 功能, 標示正解與數值解

(c) 量測數值解 (x

h

) 的誤差 |x

h

(T )

− x exac

(T )

|

(d) Question: 有辦法調整 ode45的參數使誤差變小嗎?

結果:

(a) 數值解 (x

h

) 與正解 (x

exac

)對時間作圖:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

time

Displacement

Num. Sol Exact Sol

Figure 1: 數值解(x

h

) 與正解 (x

exac

)對時間作圖在此說明這些圖的意義同時說明使用的初始值.

(2)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

time

Displacement

Num. Sol Exact Sol

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

time

Displacement

Num. Sol Exact Sol

Figure 2: 兩張圖併排

(b) 誤差 (取三個或更多不同的初始值量測誤差):

x ₀ v ₀

誤差 XA VA EA XA VA EA XA VA EA (c) 討論:

討論一下這個小題你有什麼看法. 比方說誤差很大還是很小, 數值解和正解差很多嗎? 等等

(3)

2. 考慮一非線性初始值問題 (Initial Value Problem)

d ²

dt ² x = −ω 0 ²

sin x, 0 < t < T, (2)

x(0) = x ₀ ,

x ⁰

(0) = v

₀ .

Note: ω

0

及 T 為常數. 請選擇與題一相同的常數 請將第一題的程式修改對本非線性初始值問題求解.

(a) 將第一題與本題的數值解畫在同一張圖上. 改變初始條件 (選取三個不同的初始條件), 觀察兩個問題的差異.

(b) Question: 本題的解具有週期性嗎? 如何看出結果:

(a) 彈簧伸長量 (x

spring

) 與單擺夾角 (x

pendulum

)對時間作圖:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

time

Displacement

Num. Sol Exact Sol

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

time

Displacement

Num. Sol Exact Sol

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

time

Displacement

Num. Sol Exact Sol

Figure 3: 三張圖併排在此說明這些圖的意義同時說明使用的初始值.

(b) 討論:

討論一下這個小題你有什麼看法. 比方說這兩個方程解的差異; 當初始條件 y0很小時, 兩個解相差多少, 還有 y0很大時兩個解相差多少

(4)

3. Phase Portraits

(a) 修改第一題的程式, 將x

⁰

(t)對x(t)作圖 (選取五個不同的初始條件且在同一張圖上畫出).

(b) 修改第二題的程式, 將x

⁰

(t)對x(t)作圖 (選取五個不同的初始條件且在同一張圖上畫出).

(c) 比較兩題的 Phase Portraits 結果:

(a) Mass-Spring system:

−0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

−0.15

−0.1

−0.05 0 0.05 0.1 0.15

y₁ y2

Figure 4: Phase Portrait - spring (b) Pendulum:

−0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

−0.15

−0.1

−0.05 0 0.05 0.1 0.15

y₁ y2

Figure 5: Phase Portrait - pendulum (c) 討論:

討論兩個 phase portraits 的不同

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