 高師大附中 學年度第二學期高三自然組第一次月考數學試題 103

高師大附中103 學年度第二學期高三自然組第一次月考數學試題

一、 多重選擇題：每題 5 分，共 20 分

(每題均有五個選項，其中至少有一個選項是正確的。答錯一個選項給 3 分，答錯兩 個選項給 1 分，答錯三個選項或錯三個以上的選項不給分)

1.下列各敘述何者正確？　(1) 若

^{ }an

與

^{ }bn

皆為收斂數列﹐則

^{ n}

n

a

b

必為收斂數列　 (2)若〈a

n

〉為無窮數列﹐並且對於每一自然數 n 都有 a

n+1

 a

n

 0﹐則

_n^lim_^{an  }

　 (3)若對一切自然數 n ﹐恆有 a

ⁿ

 b

n

 c

n

﹐並且〈a

ⁿ

〉及〈c

n

〉均是收斂數列﹐則〈b

n

〉 也是收斂數列　(4) 若

an 

與

b_n 

皆為發散﹐則數列

a b_n．_n 

可能收斂　(5)設

〈a

n

〉為一無窮數列﹐若

_n^{lim |}_ ^{an| 0}

﹐則

_n^lim_^{an 0}

。

2.下列敘述哪些是正確的？　(1)

若 ( )

lim 1

( )

x a

f x g x

  且 lim ( ) 0_{x a}g x

  ﹐則 lim ( ) 0_{x a} f x

 

(2) 若

^{lim( ( )}_{x a} ^{f x g x( ))}

存在﹐則

^{lim ( )}_{x a} ^{f x}

及

^{lim ( )}_{x a} ^{g x}

也存在，且

^lim_{x a}

f (x) +

^lim_{x a}

g (x)＝

limx a

(f (x) + g (x))　(3) 若

^{f x( )}

在

^{x a}

處不連續﹐則

^{lim ( )}_{x a} ^{f x}

不存在　(4) 若

^{f a( )}

有意義且

^{lim ( )}_{x a} ^{f x}

存在﹐則

^{f x( )}

在

^{x a}

處連續 (5)若

^lim_{x a}

| f (x) |存在﹐則

^lim_{x a}

f (x)也 存在。

3.設

ⁿ

為正整數﹐方程式

8ⁿx²2²ⁿ x 2ⁿ  x 1 0

的兩根為

n

與

n

﹐且

nn

﹒試問 下列哪些選項是正確的﹖(1)

n_1n

對所有

ⁿ

皆成立(2)

 n ⁰

對所有

ⁿ

皆成立 (3)

  ¹

lim ^{n n} 2

n  

  

(4)

^limn n n ⁰

  

(5)若

 

1 n

n k k

k

S  



 

^﹐則

^limn Sn ²₃

 

。

4.設 x  0﹐求 5 1 lim 2 3

n n n

x x





 之值可能為　(1)0　(2) 1

 　(3) 3 5

2 　(4) 4

5 　(5) 。

二、 填充題：

配分表 格

數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 分

數 6 12 18 24 30 36 42 46 50 54 58 62 66 68 70

1. 試求下列各式的極限值，若極限值不存在，請寫不存在：

(1)

^{3 3}

0

lim | |

x

x x

x





＝ (1) 　 (2)

^lim_x2

[[x]  x] = (2) ﹐

^{[ ]x}

為 高 斯 函 數 。 (3)

1

lim( 2 3 5 )

   

n n n n

＝ (3) 。 (4)

10 2

3 2 1

6 6 3 lim 5 3

n n

n n

n



 



  

 (4) 。 (5)

₃

1

lim 3 2 1

x

x x



  



(5) 。 2.設無窮等比級數 5 5

₂

5

₁

5 ... ...

4 4 4

^n

     之和為 S，前 n 項之和為

Sn

，若 1

n

1000

S S   ，則最小自然數 n＝ (6) 。

3.若

^{a b c, ,}

為實數，設

 

2

, 3 , 3

3, 3 3

ax b x f x bx c x x cx

x x

  

  

  

 

 



為一個連續函數﹐則

a b c 

＝　 (7) 。

4.如右圖，一半圓

A1

半徑

r1

為

1

﹐半圓

A2

半徑

r2

內切於

A1

之底邊﹐半 圓

A3

半徑

r3

內切於

A2

之底邊﹐其中底圓半徑平行﹐如此繼續得

A4

﹐

A5

﹐



﹐求

A1A2A3

無限 多個 半圓 之面 積和 ＝ (8)

。

5.設

x

﹐若級數

1

2 2 4

( )

1 8

n n

x x

x x





  

 



^{﹐求 x 的值為＝ (9) 。}

6.

  ¹ ₂

f x 4

 x x



的定義域為 (10) ，值域為 (11) 。 7.設乘坐某地的計程車

^x

（公里）﹐車資

^{f x} 

^{（元）可用函數}

   

80 , 0 2

85 5 2.5 5 , 2 f x x

x x

  

      若

若 ，（不考慮乘坐時間）來描述﹐其中符號

 

為高斯符號， (1)求乘坐 5 公里的車資為＝ (12) 。 (2)若某人付車資

200

元﹐則 他乘坐的里程數

x

之範圍為 (13) 。

8.已知

^{f x}  ^{8x213x2}

與

^{g x}  ^{x2kx k 2k}

兩圖形交於

^{a b,} 

﹑

^{c d,} 

兩點﹐若

0   a 1 c 2

﹐則

k

之範圍為＝ (14) 。

9.設 f (x)為三次多項式﹐若

2

lim ( ) 5 2

x

f x x



 

 且

3

lim ( ) 7 3

x

f x x





 ﹐則

^{lim ( )}_x1 ^{f x }

(15) 。 三、計算及証明題：共 10 分

1.請用數學歸納法證明﹕對於所有正整數 n﹐不等式 1 3 5 2 1 1

2 4 6 2 2 1

n

n n

     

  恆成

立。（5 分）

2 求

^{lim 1}₂ ¹_{2 2}¹

2 1 2 2 2 2

n^ n n n n

 

  

 

  

  

之值。（5 分）

2

高師大附中103 學年度第二學期高三自然組第一次月考數學試題

班級： 座號： 姓名：

一、多重選擇題：每題 5 分，共 20 分(每題均有五個選項，其中至少有一個選項是 正確的。答錯一個選項給 3 分，答錯兩個選項給 1 分，答錯三個選項或錯三個 以上的選項不給分)

1.

2.

3.

4.

二、填充題：

配分表 格

數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 分

數 6 12 18 24 30 36 42 46 50 54 58 62 66 68 70

(1) (2) (3) (4)

(5) (6) (7) (8)

(9) (10) (11) (12)

(13) (14) (15)

三、計算及証明題：共 10 分 1. 2.

3

高師大附中103 學年度第二學期高三自然組第一次月考數學試題

班級： 座號： 姓名：

一、多重選擇題：每題 5 分，共 20 分(每題均有五個選項，其中至少有一個選項是 正確的。答錯一個選項給 3 分，答錯兩個選項給 1 分，答錯三個選項或錯三個 以上的選項不給分)

1.

4 5

2.

1

3.

245

4.

234

二、填充題：

配分表 格

數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 分

數 6 12 18 24 30 36 42 46 50 54 58 62 66 68 70

(1) (2) (3) (4) 0 －1

3

2 －2 (5) (6) (7) (8) 3

4

7 34

9



(9) (10) (11) (12) 1

 2

^{x0 x 4,x R} 

1 2 , y y y R

   

 

 

120

(13) (14) (15)

11.2 x 11.6    2 k 1

或

3 k 4

6

三、計算及証明題：共 10 分 1. 2.

₂

4