來釐清梅啟照的算學地位。

第五章 《學彊恕齋筆算十卷附測量淺說一卷》的內容分析

第五章、《學彊恕齋筆算十卷附測量淺說一卷》內容分析

在第四章中，筆者已先行將《學彊恕齋筆算附測量淺說一卷》與參考書籍的章 節比對，而本章的內容，則將進一步的針對本書的內容作深入的分析，目的是希望 透過這樣的分析，能使《學彊恕齋筆算附測量淺說一卷》的價值更加清楚的呈現，

來釐清梅啟照的算學地位。

筆者先將 《 學彊恕齋筆算十卷附測量淺說一卷》內容計十卷共二十九篇的各 卷篇名及摘要如下：

卷別 篇名 內容摘要

卷一 圖籌原本 包含河圖.洛書圖.數籌圖.平方立方籌圖.勾股圖 加減乘除常法 介紹筆算的加減乘除方法及定位

命分 歸除不盡的表示法

約分 以分母和分子輾轉相除的方法來討論約分

通分 討論不同分母的分數如何做加減乘除,並兼用圖說明 卷二 正比例 即異乘同除

轉比例 即同乘異除

合率比例 即同乘同除,把數個比例合在一起.

按分比例 即《九章算數》的衰分,包含遞析差分、加倍差分、減半 差分、五等差分.

按數比例 包含遞加遞減差分,超位加減差分,互和折半差分,首尾互 準差分.

和較比例 以和數推出較數為比.

盈朒 討論一盈一朒、兩盈或兩朒、一適足與一盈或一朒的解 法.

借衰互爭 即總衰比總數等於各衰比各物.

77

清代算學家梅啟照及其算學研究

卷三 方程 討論如何解多元一次聯立方程式的應用問題.

平方 以圖示及籌圖來解開平方的問題

帶縱平方 知道長方形的面積與長寬和或長寬較,來求長和寬.

立方 以圖示及籌圖來解開立方的問題

帶縱立方 知道長方體的體積依照三邊不等,兩邊等另一邊較長或 較短來,求長、寬、高.

卷四 勾股 討論勾股弦如何互求及三角形容方,容圓的問題.

方圓定率 介紹正方形與圓,正立方體與球,及一些立體圖形體積的 算法.

異色輕重定率表 利用輕重比例表,計算兩物同重時的體積比或是同體積 時的重量比.

割圓 介紹圓與球的面積和體積求法,及蛋體橢圓、尖圓錐、上 下不等圓、上下不等橢圓體積的求法.

各等體 介紹塹堵、芻堯、鱉臑、體積的求法.

卷五 平三角形 介紹八線、三角求邊、三邊求角、及三角測量的方法.

卷六 平三角形 介紹各種三角形容方容圓的解法及三角形的正弦定理，

並解釋三角形已知三邊作三垂線求六分邊的原理.

卷七 平三角形 解釋三角形兩邊一夾角,如何求餘邊和餘角及三較連乘 的原理,並介紹圓內冪，弧背和正弦如何互求.

卷八 平弧三角形 介紹球面弧三角並解釋正弧三角形的邊角如何互求.

卷九 斜弧三角形 利用垂弧法或總較法,來討論斜弧三角形的邊角如何互 求.

卷十 借根方 介紹借根方及其加減乘除運算.

附卷 測量淺說 作量高、測深、疊矩諸圖.

正如前文所言， 《學彊恕齋筆算十卷附測量淺說一卷》內容包含《學彊恕齋筆 算》十卷、《測量淺說》一卷及〈珠盤攷〉一篇，〈珠盤攷〉一篇只是介紹《數術記 遺》中關於珠算的內容，梅啟照認為可能在漢時已有珠盤算法，其實，《數術記遺》

很可能是甄鸞假借徐岳所作，因此不再詳述。筆者就本書的成書順序，分別將《測 量淺說》一卷和《學彊恕齋筆算》十卷作詳細的內容分析。

5.1、《測量淺說》一卷內容分析

梅啟照會撰寫《測量淺說》的原因，在〈《測量淺說》序〉中已有清楚的交代，

他認為劉衡只著重勾股尺無法讓習者知其所以然： 「雖以便測量，雖亦易曉，然重測 之所以能知究，未抉摘予！」

因此我們有必要先對「重測」進行了解。

最早提到「重測」的是《海島算經》。 《海島算經》原本附刻在《九章算術》第十卷 中，原名「重差」 ，係第三世紀劉徽自撰自注，由於劉徽自注及圖已佚，這些測量的 方法是如何發明的不得而知。

因為第一題是關於測量海島高和遠的問題，所以就把 它叫做《海島算經》 。

劉徽是運用「重差術」來進行各種地面上的測量，有些問題 只要觀測兩次就夠了，但有些問題需要觀測三次或四次，這要看問題的性質而定。

這即是劉徽所說的： 「度高者重表、測深者累矩、孤離者三望、離而又旁求者四望。」

5

在現傳本《海島算經》的九個問題中，需要兩次觀測的有三題，需要三次觀測 的有四題，需要四次觀測的有兩題；

不過劉衡的《六九軒算書》只有提到兩次觀測，

並沒有三次觀測或四次觀測的題目，所以，梅啟照才說：「仿其意作量高、測深、

1

梅啟照， 〈 《測量淺說》序〉 ，收入《學彊恕齋筆算十卷附測量淺說一卷》 。

2

郭書春匯校， 《九章算術》 ，頁 59。

3

李儼、杜石然， 《中國古代數學簡史》 ，頁 89-90。

4

李儼、杜石然， 《中國古代數學簡史》 ，頁 59。

5

劉徽， 〈《 九章算術 》 原序 〉 。

6

李儼、杜石然， 《中國古代數學簡史》 ，頁 93 。

79

清代算學家梅啟照及其算學研究

疊矩重表諸圖」 ；

在《測量淺說》中共有五問：量高一題（第 1 問） 、測深一題（第 2 問）、疊矩一題（第 3 問）、重表二題（第 4.5 問），並没有三次觀測或四次觀測的 題目。

另外，梅啟照嘗云： 「楚北李雲門侍郎，

註《九章算術》 ，時以為能傳絕學，近 年來海內士大夫通《九章》者漸夥。」

這裡的《九章算術》 ，是指李潢以孔繼涵刻 戴震所校的微波榭本《算經十書》為底本，詳加疏釋、補圖、校刊而成的《九章算 術細草圖說》 。它附刻有《海島算經細草圖說》 （1820） ，且劉衡曾受學於李潢。據此，

則劉衡會自製勾股尺完成收入在《六九軒算書》中的《勾股測量新法》 ，自然受到李 潢很大的的影響。

如同上述，劉衡的《勾股測量新法》只著重在勾股尺的使用及其測量的結果，

並未詳加說明原因，以致造成梅啟照所說的： 「所以能知究，未抉摘！」那麼，梅啟 照如何將其淺說呢？梅啟照「仿其意，作量高、測深、疊矩重表諸圖，每圖系以淺 說，將積數一一標示這裡所謂的「積數」 ，是指梅啟照將重差問題的數量關係，轉化 成面積，再經過「出入相補」的原理，而得到欲測物體的高及遠。其實，這個解法 是梅啟照參照自紀大奎的《筆算便覽》 ，因為兩者的解法一致，且都有提到「表間積」

這個名詞，這在其他算書是沒有看到的。至於將「積數一一標示圖內」 ，就是梅啟照 所採用的技巧，他將與「表間積」相等面積的矩形，用粗斜線框住或將其塗滿或用 圈圈的記號標示，以使讀者更能掌握住解題的關鍵。至於效果呢？梅啟照嘗云： 「草 成以示猶子文堉，讀輒通曉！」

現從《測量淺說》及《筆算便覽》中各舉一問如下，以玆對照：

7

梅啟照， 〈 《測量淺說》序〉 ，收入《學彊恕齋筆算十卷附測量淺說一卷》 。

8

李潢，字雲門，鍾祥人，乾隆三十六年（1771 年）進士，總目協官，官至工部左侍郎，在四庫全 書館中以翰院林院編修充任。

9

梅啟照， 〈 《測量淺說》序〉 ，收入《學彊恕齋筆算十卷附測量淺說一卷》 。

10

郭書春， 〈 《 九章算術細草圖說 》 提要 〉 ，收入收入郭書春主編， 《中國科學技術典籍通彙》數學卷 第四分冊，頁 4-945。

11

梅啟照， 〈 《測量淺說》序〉 ，收入《學彊恕齋筆算十卷附測量淺說一卷》 。

12

同上。

80

《測量淺說》

《筆算便覽》

題目：前表高四尺，人目表兩尺，後表高四尺，

人目表兩尺，前表退三尺齊尖，後表退四 尺齊尖，比前差一尺（多一尺也） 。 解法：以前後兩表相間三尺乘表（減）目表二尺

得六尺，名為「表間積」為實，然後以差 一尺為法，除之得高六尺。又以高六尺乘 兩表相間，以表減目表剩二尺為法，除之 得遠九尺是前表距木知遠。

O D

H K L F

M P

A B C

E

I N

J G

以現代代數符號表示：

條件： FN 為前表， KO 為目表， GO 為後表，

LP 為目表，矩形 FJKG 為表間積。

解法：1矩形 AIKC 中， Θ ∆ AEF = ∆ ABF，

∆ FJK= ∆ FGK， ∆ AIK= ∆ ACK

∴ 矩形 EIJF =矩形 BFGC 同理 在矩形 AILD 中 矩形 EIKG =矩形 CGHD

2 Θ 矩形 FJKG=矩形 EIKG－矩形 EIJF =矩形 CGHD－矩形 BFGC =（ GH － FG ）× DH

（即圖中的斜線面積相等）

∴ 以表間積矩形 FJKG=（4-2）×3 為實，

以差一尺（ GH － FG = 4-3）為法，

題目：假如隔水望木竿，立兩表各長一丈，前後 相距一十五尺，用一齊目表四尺，從前表 退行至五尺，目表窺望前表與木竿斜平，

又從後表退行至八尺，窺望後表與木竿斜 平。

解法：用兩表相距一十五尺，為兩容方橫面長短 差數， （妙）以側面六尺乘之得九十尺，

為大勾容方長差積數，名「表間積」為實，

前表退五尺為小餘勾，後表退八尺得大餘 勾，以大小餘勾小長差三尺為法，以法除 實九十尺得三十尺為餘股，加表高十尺得 木高四十尺。又以大餘勾八尺乘餘股三十 尺，得大容方二百四十尺為實，以側面六 尺除之得大橫面四十尺為後表距木之 數，減去表間一十五尺得小橫面二十五尺 為前表隔水距木之數。

U A

S W

H T

P R

N

G M

B C

O

J V

F

L D E

I Q

以現代代數符號表示：

條件： HT 為前表， JV 為後表， PU 、 RW 為 目表，矩形 HOQJ 為表間積。

解法：1矩形 AGHB 中， Θ ∆ AGH = ∆ ABH，

∆ HOP= ∆ HIP， ∆ ANP= ∆ ACP

∴ 矩形 GNOH =矩形 BHIC 同理 在矩形 ANRF 中 矩形 GNQJ =矩形 DJMF

81

清代算學家梅啟照及其算學研究

除得高 DH = BF = 6 3 4

3 ) 2 4

( =

−

×

−

3Θ 矩形 EIJF =矩形 BFGC 即 EF × FJ = BF × FG

∴ 以高 BF ×兩表相間 FG =6×3 為實 以表減目表 FJ = FN － KO ==4－2

為法，除得 EF = MN = 9 2 4

3 6 =

−

×

為前表距木知遠。

2另作 HI = JL

Θ 矩形 HOQJ=矩形 GNQJ－矩形 GNOH =矩形 DJMF－矩形 DJLE =矩形 ELMF

=（ JM － IH ）× FM

∴ 以表間積矩形 HOQJ=（10－4）×15 為實，

以差三尺（ JM － IH =8－5）為法，

除得餘股 FM = 30

5 8

15 ) 4 10

( =

−

×

−

再加表高 GS =10 尺，得木高=30＋10=40 3 Θ 矩形 GNQH =矩形 DJMF

即 GJ × JQ = JM × FM

∴ 以大餘勾 JM ×餘股 FM = 8×30 為實 以側面 JQ = JV － RW =10－4 為法，

除得後表距木 GJ = 40 4 10

30 8 =

−

×

再減去 HJ ，得到 GH =40－15=25 為前表距木知遠。

5.2、卷一至卷三「方程」內容分析

本書在卷一至卷三「方程」這個部分，在章節的編排上，幾乎都參照《數理精 蘊》 ，這也剛好是《數理精蘊》的首部與線部的全部內容。首部主要是介紹度量衡、

命位、加減乘除，線部介紹比例、方程、盈不足。

至於在內容上，也大抵承襲《數理精蘊》 （詳見本文 4.10 節） ，比較有差異的地

13

梅啟照， 《測量淺說》一卷，收入《學彊恕齋筆算十卷附測量淺說一卷》 ，頁 4。

14

紀大奎， 《筆算便覽》卷四，頁 7。

82

方，是在卷一〈加減乘除常法〉一節中，梅啟照並未採用《數理精蘊》中《同文算 指》 （1613 年）所引進的筆算方法，而是採用了紀大奎《筆算便覽》中筆算的方法；

另外《數理精蘊》線部的內容恰好與《九章算術》的「衰分」 、「盈不足」、「方程」

相近，也由於梅啟照曾重刻《算經十書》 （1866 年） ，於《九章算術》頗有心得，因 此梅啟照在「按分比例」及「方程」兩節中，各從《九章算術》的「衰分」 、「盈不 足」各舉一例，以作為古今算術的對照與比較。茲分兩部分論述如下：

（一） 「加減乘除」

紀大奎在《筆算便覽》嘗云： 「併法、減法、乘法、除法、開平方法、勾股法、

開立方法皆以筆算為主，而籌算輔之。」

紀大奎的加法、減法是仿自梅文鼎的筆 算，那麼梅啟照為何會捨去《數理精蘊》的筆算方法而採用《筆算便覽》的筆算方 法呢？

梅啟照在〈《測量淺說》序〉中嘗云：「今春重梓算經十書，取吾鄉紀慎齋大令

《筆算便覽》附於後，以其簡明最便初學。」

按紀大奎是江西臨川人，而梅啟照 是江西南昌人，所以，梅啟照謂紀慎齋是同鄉，至於《數理精蘊》相對於因卷帙浩 繁、窮儒難購而未能廣布流通，因此，梅啟照先接觸到《筆算便覽》的機會是遠高 於《數理精蘊》的。再則，從梅啟照在除法中嘗云： 「加減乘筆算足矣，除必兼籌，

則一目了然不煩思索。」

及文本中多處可發現以籌算輔之的計算，尤其是在開平 方、開立方所使用的「籌圖式」 （詳見本文 5.3 節）來看，梅啟照顯然能靈活運用《筆 算便覽》的筆算、籌算。因此，筆者認為極有可能是梅啟照在以《數理精蘊》為編 寫的主軸時，早已看過《筆算便覽》，而且認為「以其簡明最便初學」，自然毋須再 介紹《數理精蘊》的筆算方法了。

另外，關於進位法，梅啟照引述了《數術記遺》與《五經算術》甄鸞所提

15

紀大奎， 《筆算便覽》卷一，頁 1。

16

梅啟照， 〈 《測量淺說》序〉 ，收入《學彊恕齋筆算十卷附測量淺說一卷》 。

17

梅啟照， 《學彊恕齋筆算十卷附測量淺說一卷》卷一，頁 10。

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清代算學家梅啟照及其算學研究

到的： 「黃帝為法，數有十等，其用有三等，謂上中下也。下數：十萬曰億、十億曰 兆；中數：萬萬曰億，萬萬億曰兆；上數：萬萬曰億、億億曰兆。」

而梅啟照在 本書中嘗云： 「十萬，億也。」

據此，則梅啟照應是採用下數，這也與《數理精蘊》

不同。至於其原因，筆者認為很有可能是梅啟照覺得十進位是比較「直捷簡便耳」。

（二） 「按分比例」

梅啟照在論述「按分比例」時，提到： 「《九章》衰分數曰：各置列衰，附併為 法，以所分乘未併者，各自為實，實如法而一。」且對此梅啟照也提出他的解釋：

「按列衰者，相與率也；各置者，各置之也；副者兼也，別兼算也，有所合也；併 之者，由分而合，即以為總率」。

那麼，他如何將「衰分」和「按分比例」作一 對照呢？

問：如米五百八十八石令甲乙丙三色人二八分之問各得幾何？

《數理精蘊》 《學彊恕齋筆算十卷附測量淺說一卷》

法：以二分為甲衰，八分為乙衰，三十二為丙衰，

相併得四十二分為一率，總米五百八十八石為 二率，以甲二分為三率，推得四率二十八石。

法：以二為甲衰，八為乙衰，三十二為丙衰，各 置列衰 副併為法

相併得四十二分為總衰，以之為法為第一 率，今有米總米五百八十八石為二率，甲衰 二分為三率，求得四率二十八石。即甲應得 知米數。

一 率 四 十 二 分

二 率 五 百 八 十 八 石

三 率 二 分

四 率 二 十 八 石

一 率 四 十 二 分 總 衰 即 各 置 列 衰 附 併 為 法

二 率 五 百 八 十 八 石

今

有 米

即

所 分

三 率 二 分 甲 衰 分 二 即 未 併 者

四 率 二 十 八 石 即 甲 得 米 數 所 謂 實 如 法 而 一

梅啟照在文字敘述及四率之下的每一率，分別去對應「總衰、所分、未併、實 如法而一」 ，讓初學者能一目瞭然、不煩思索。由此看來，梅啟照對於「衰分」學有 心得，從另一個角度來看，梅啟照也想藉由「衰分」和「按分比例」嘗試將古今成 法作一個「會通」 ，讓習者能藉由《數理精蘊》的四率，去充分理解《九章算術》的

「衰分」，由此，我們可以看出梅啟照的用心。

不過，梅啟照也同時在「按分比例」這節中，針對《九章算術》中的「衰分」

舉一問提出他的批評：

問：大夫、不更、簪褭、上造、公士凡五人，共獲得五鹿，以爵次分之？

答曰：大夫得一鹿三分鹿之二，不更得一鹿三分鹿之一，簪褭得一鹿，上造得三分 鹿之二，公士得三分鹿之一。

對此答案，梅啟照認為應曰： 「大夫得一鹿又三分鹿之二，不更得一鹿又三分鹿之一，

因為古人語多尚簡潔，若是去「又」字，遂費解釋。」並且，梅啟照還認為： 「三分 鹿之二不用約分，逕曰十五分鹿之十。豈不一目了然乎！」

也就是說，對於代表 各置列衰、附併為法的總衰， 「十五」才能具體呈現總衰之意。可見，梅啟照想傳達 一個算學思想，對於能具體清楚呈現數量的文字或數字，絕不可簡約省去。

另外，梅啟照也在「按分比例」這節中，從《九章算術》的「盈不足」中舉一 問，來作一個古今成法的比較： 「偶讀盈不足章善田惡田一題，術用借衰義仍隱雜，

改以方程和數釋之，較顯十倍！」

梅啟照用方程列式，再用四率解之，這比起「盈

18

字叔尊，式公元六世紀南北朝時代北周人，信佛教，通天文曆法。

19

梅啟照， 《學彊恕齋筆算十卷附測量淺說一卷》卷四，頁 18。

20

梅啟照， 《學彊恕齋筆算十卷附測量淺說一卷》卷二，頁 9。

21

同上，卷二，頁 9。

22

同上，卷二，頁 18。

23

同上，卷二，頁 18。

24

同上，卷二，頁 20。梅啟照的這些「會通」 、 「批評」 、 「比較」都很值得深為中學教師的我們參考。

如果我們在教學上儘可能利用文字或數字清楚的表示，在解法上多綜合比較各解法的優劣，相信

85

清代算學家梅啟照及其算學研究

不足術」自然淺顯易懂。

5.3、卷三「平方」至卷四內容分析

梅啟照在本書卷一至卷三「方程」的內容上，幾乎都承襲《數理精蘊》 ，但自卷 三「平方」此節開始及「方圓定率」一節，在章節安排上打破了《數理精蘊》面部 與體部的區隔，取其性質相近者，成同一單元混合論述。（詳見本文 4.10 節）

（一）卷三「平方」 、「帶縱平方」、「立方」 、「平方」

在經過內容比對後，發現在「平方」 、「帶縱平方」 、「立方」、 「帶縱立方」這部 分的內容，主要是參考自紀大奎《筆算便覽》 、陳杰《算法大成》和梅文鼎《梅氏叢 書輯要》中的《籌算》 ，梅啟照是如何的「擇其要者、備列其法，以示初機。」這部 分的內容是最好的見證。茲整理如下：

章節 引用之處

平方 圖形及平方表引用《算法大成》 ，解法引用《筆算便覽》 。 帶縱平方 圖形及解法引用《算法大成》。

立方 圖形引用《籌算》 ，立方表引用《算法大成》 ，解法引用《筆算便覽》。

帶縱立方 圖形及解法引用《籌算》 ，並以《筆算便覽》中的「籌圖式」輔之。

首先，梅啟照認同： 「陳靜菴先生以自乘之平方、再乘之立方為適用，三乘方四 乘方以上或謂之玲瓏方法雖巧妙無所取用，

一概刪去。」

梅啟照也曾以「《六九 軒算書》有開十六乘方圖式，曩時以質之徐君青中丞，乃云： 『無切實之用』。」不 過，雖然梅啟照認同陳杰的實用觀點，但並不代表他同意對於陳杰因為太過勉強而

學生能因此而有更多的收穫！

25

陳杰曰： 「開方即除也，蓋自 《 周髀算經 》 始亦極其麤略，迨至晉宋乃漸知加密耳……圓人見古 法以極其精深而美倍欲駕而上之，遂為三乘方、四乘方、以致於多乘方，謂之「玲瓏」 。方其法有 正有負，必辨別明晰已定加減，甚不易！」見陳杰《算法大成》卷一，頁 41-42。

26

梅啟照， 《學彊恕齋筆算十卷附測量淺說一卷》卷三，頁 41。可見「實用」這個觀點，會使一些 算家對於像秦九韶可解一般任意高次方程的「增乘開方法」保持一定的距離。

86

不討論帶縱立方： 「平方有開帶縱平方法以為繁雜，立方亦有帶縱法，陳杰先生以為 勉強，竟刪其法！」

梅啟照認為在計算正方形時相對有長方形，那麼，在計算正 立方實應有長方體，所以，他才說：「究之，缺一不可！」

那麼，梅啟照有何方法去面對由「初商」去猜測「次商」時所遇到的困難呢？

梅啟照除了在「帶縱平方」的圖形及解法上引用《算法大成》外，其餘章節皆採用 了紀大奎《筆算便覽》中的方法「籌圖式」輔之，此法也就是在猜測「次商」的過 程中，如「開平方」時將「初商倍之檢籌置平方籌之左」 ，在「開立方」時將「平廉、

立方籌、長廉依序檢籌並列」，如此，較易求得「次商」。

現各在「開平方」及「開立方」舉一例說明之：

27

同上，卷三，頁 30。

28

同上，卷三，頁 41。

87

清代算學家梅啟照及其算學研究

開平方

開立方

例：今有平地，積二百二十五塊，問開方每方根 若干？答曰：一十五塊。

二 一 一

四 四 四

六 九 九

八

一 六

一 六

一 二

五

二 五 一

二

三 六

三 六 一

四

四 九

四 九 一

六

六 四

六 四 一

八

八 一

八 一

以現代代數符號表示：

「籌圖式」即（a＋b）2=a2＋（2ab＋b2）中 的（2ab＋b2） ，倍初商即是 2a，平方籌即是 b2 以「初商一倍之得二」 ，撿籌商得五。

例：如積一千七百二十八寸，問立方根若干？

答曰：一十二寸。

三 一

一

一

六 八

二

四

九 二 七

三

九 一

二 六 四

四

二 一

五 一

二 五

五

五 一

八 二

一 六

六

八 二

一 三

四 三

七

一 二

四 五

一 二

八

四 二

七 七

二 九

九

七

以現代代數符號表示：

「籌圖式」即（a＋b）3=a3＋（3a2b＋b3＋3ab2）

中的（3a2b＋b3＋3ab2） ，並依序排列平廉、立方 籌、長廉，平廉即是 3a2b，立方籌即是 b3，長廉 即是 3ab2，將「初商一以三倍之得三」 ，撿籌商 得二。

88

一 二

二 五

百

十 △

˙

˙ 商 一 五

初

商 一 一

次

商 五 一 二 五

平 方 籌 ˙

平 方 籌 ˙

一二五

倍初

二

五 一

一 一

七 二 八

千

百 十 寸

˙

˙ 商 一

二

初 商

一 一

次

商 二 七 二 八

長 廉 右 三

平 廉 左 三 次 商 ˙ 二 ˙

一 二

0 六 0 八 加 一 二 0

併

七

二

八

四

二

第五章 《學彊恕齋筆算十卷附測量淺說一卷》的內容分析

梅啟照似乎對此法很欣賞，嘗云： 「臨川紀慎齋先生，筆算傚宣程梅氏之法，開 立方兼用籌圖式，最為明曉！」

至於，在開帶縱平方，梅啟照除了在內容上參照 陳杰《算法大成》外，並對每一法皆自造口訣，以茲記憶。在開帶縱立方，則皆承 襲梅文鼎的《籌算》 。

（二） 「勾股」

我們曾經探討過文本的勾股，是因為梅啟照在多本參考書籍的比對之下，認同 陳訏所言的： 「足以括其變化，有志之士亦在熟之而已！」因而承襲了《勾股引蒙》

的內容（詳見本文 4.7 節） 。

其實，在明末清初的算書中，很多體例的編寫，受到徐光啟《勾股義》的影響 是頗大的。像陳訏的《勾股引蒙》即是，與《勾股義》一樣，將西法中的「義」和 中法中的「法」結合起來，則不僅能同《周髀算經》《九章算術》中的「勾股測望」

言「法」，也能同《幾何原本》的公理體系和演繹推理一樣言「義」。如此，則「勾 股自相求」以致「容圓、容方、各和和較相求者」備矣！

不過《勾股引蒙》並未像《勾股義》一樣附有勾股圖形及證明，如此說來，這 不就與梅啟照一貫的立場「知其然且知其所以然」有所衝突嗎？筆者認為，梅啟照 應該對《數理精蘊》 、《梅氏叢書輯要》、《算法大成》及《筆算便覽》中的勾股圖形 早就了然於胸，會讓他捨棄這些參考書籍的理由，應該還是基於這樣的觀點： 「足以 括其變化，有志之士亦在熟之而已。」梅啟照主要是希望初學者先記憶熟之，再求 其變化。

（三）卷四「割圓」

從梅啟照撰寫文本的參考資料來看，大致上都不離御制《律曆淵源》和梅文鼎 之說，但在「割圓」這節中，梅啟照突破了這個模式，對於成書年代最接近當時且 以風行海內外的徐有壬《務民義齋算學》加以介紹與評論，這在文本中顯的十分具

29

梅啟照， 《學彊恕齋筆算十卷附測量淺說一卷》卷三，頁 24。

30

梅啟照， 《學彊恕齋筆算十卷附測量淺說一卷》卷三，頁 32。

31

梅啟照， 《學彊恕齋筆算十卷附測量淺說一卷》卷三，頁 30。

89

清代算學家梅啟照及其算學研究

有「活力」。

梅啟照亦云： 「於春明讀其《務民義齋算學》 ，析理精深學有心得，第一卷載《測 圖密率》即精妙絕倫。」此「精妙絕倫」自然是梅啟照取「中西諸法閎覽而精思之」

後所給予的評價，至於如何的「精妙絕倫」？我們應該先對梅啟照原本的圓周率算 學知識進行了解：

（1）圓周求逕、圓逕求周，古率逕一為三，僅得六觚之數，以之入算甚疎。

（2）臨川紀氏以為逕一圍三之下各有二十一分而益其一之法，後人失之。

（3） 「徽率」為劉徽所訂逕五十周一百五十七，「密率」則劉宋祖沖之（429-500）

所定逕七周二十二，唐李淳風以此又密於「徽率」，故曰「密率」也。

（4）祖沖之以圓逕一億為一丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒七忽，

朒數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒六忽，正數在盈朒兩限之間，故用逕一 者周三一四一五九二六五，亦庶幾矣！

對於第（3） 、第（4）點，梅啟照是節錄自孔刻版的《算經十書》 （詳見本文 4.3 節） 。事實上，祖沖之所創立的「密率」是

113 355 ，

7

22 是「約率」而不是「密率」 ，圓

周率 7

22 雖然比「徽率」

50

157 誤差較小没錯，但 7

22 究竟是祖沖之的「約率」而不是

「密率」，所以不能說密於「徽率」就叫「密率」，不只梅啟照不察，

世人受李淳 風等注釋所誤導的很多。

但是，等到梅啟照讀到《務民義齋算學》的《測圓密率》時，對於「相并為 圓周」可以任意求小數位數的這種「簡約之風」 ，驚嘆不已，無怪乎他會稱其「精妙 絕倫」！不過，對此「簡約之風」 ，梅啟照同時也意識到「惟著作家立言，各以所得

32

郭書春指出：把周二十二逕七稱作密率與李淳風所撰 《 隋書律曆志 》 所云： 「密率圓逕一百一十 三圓周三百五十五，约率圓周二十二圓逕七」相矛盾，我們認為 《 周髀算經 》 九章算術中的「依 密率」不可能是由劉徽所作，但也不一定是李淳風所撰，很可能是祖沖之之後南北朝某數學家的 注疏在 《 九章算術 》 注中保存下來。參見郭書春匯校， 《 九章算術 》， 頁 166。

33

錢寶琮， 《中國數學史》 ，收入杜石然主編， 《李儼、錢寶琮科學史全集》第五卷，頁 110。

精深筆之於書，必不屑為淺語」因此，梅啟照「特揭其立法之原，使知數有自然之 理」 ，將《測圓密率》卷一第一術 「圓逕求周」 ，

「述其義，閒係以圖，使瞭如指 掌焉！」

梅啟照除了「述其義」 ，還進一步的去闡述「順是以下皆如是」，他將徐有壬的 第六數推至第七數、第八數、第九數、第十數；另外，值得注意的一點，梅啟照也 體會到圓周率的「無窮」：「若依法步算於秀水朱先生之外，仍可增若干數」

並且 採用了徐有壬「遞求至單位下」的觀點。也就是說， 「如以丈為單位求至尺則可矣，

以尺為單位求至寸則可止矣。」所以，梅啟照才會說： 「故用逕一者，周三一四一五 九二六五亦庶幾矣！」在往後各等體有關圓球的計算部分，梅啟照皆以 3.14159265 入算。至於卷四其餘單元「方圓定率」、「異色輕重定率表」、「各等體」大抵引用自

《數理精蘊》 ，不再贅述。

5.4、卷五至卷七「平三角」內容分析

梅啟照在〈《學彊恕齋筆算》自序〉中嘗言：「明代台官多失其職，利瑪竇入中 國，使用八線、平三角、弧三角諸術，雖別立名目，究與古之勾股、弧矢不異」也 就是說，像八線、平三角之數，其實就是中國古代的勾股、弧矢，當然這只是「西 學中源」另一項謬證，不過對於八線、平三角的時代背景，我們有必要先去釐清。

平面三角的輸入，實始於明崇禎辛末(1631 年)，是年，徐光啟和耶穌會所修《測 量全義》 ，其卷一「測直線三角形」即論平面三角術，當時三角術在歐洲沒有善本。

清初薛鳳祚(字儀甫，淄川人)，從穆尼閤授對數和三角術，是時稱平面三角形為正 線三角形，以對數立算。當時三角術傳入中國，知道的人甚少，梅文鼎完成《平三 角舉要》五卷(1672 年)外，其餘多引舊說。像年希堯(字允恭，廣寧人)的《測算刀圭》

34

令圓直徑為 d，周長為 L，則 L=3d+

! 3 4

1 3 ²

⋅

⋅

⋅ d +

! 5 4

3 1 3

2 2 2

⋅

⋅

⋅

⋅ d +

! 7 4

5 3 1 3

3

2 2 2

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅ d ……

35

見朱鴻，字云路，號筠簏，或小深，秀水人，生卒年代不詳，先得張豸貫的杜氏九數，於嘉慶戊 辰 1808 年以示汪萊，又於己卯以示董佑誠（1791-1823） ，朱鴻按杜德美方法計算 π 值推至小數點 以後 39 位，但自小數點後第 25 位開始是錯誤的。

91

清代算學家梅啟照及其算學研究

中《三角法摘要》(1718 年)、陳訏(字言揚，海寧人)的《勾股引蒙》 ，就是引自梅說，

沒有發明。而《數理精蘊》下編卷十七「三角形邊線、角度相求」 ，即解正斜三角形、

卷十八「測量勾股、測量、三角測量」的部份，也引自梅文鼎《平三角舉要》。

自從有了梅文鼎《平三角舉要》和《數理精蘊》後，知道三角知識的人也漸漸 增加了，像屈曾發(字省圖，虞山人)《數學精祥》卷十一「三角形邊線、角度相求」

法，和安清翹(號翼經，垣曲人，1759-1830)《矩線原本》卷二(1818 年)〈測量篇〉上，

都本以上所列二書之舊說，

而本書的卷五至卷七「平三角」 ，在編排體例上，也是 參酌《平三角舉要》的章節，在內容上也是以《平三角舉要》為主體，再以《數理 精蘊》和《算法大成》輔之。

至於其原因為何？我們先從下面整理出來的表格，來看一下章節比對：

《學彊恕齋筆算十卷附 測量淺說一卷》

《平三角舉要》 《數理精蘊》 《算法大成》

八線 卷十九「測量名義」

三角求邊 三角求角

卷廿「算例」 卷十八「測量」

卷五

三角測量 卷十八「測量」 卷五「平三角上」

卷廿一「三角求積」

「三角容圓」

直銳鈍角容圓容方

「三角容方」 卷四「三角形」

切圓界定圓心 卷廿一「外切」

對邊與正弦比例 卷廿二「三角形用正弦為 比例之理」

卷六

和較比例為互視法 卷廿二「和較相求之理」

36

李儼， 〈 三角術和三幾函數表的東來 〉 ，收入杜石然主編， 《 李儼、錢寶琮科學史全集 》 第七卷，

頁 197-199。

三邊和較 卷廿二「用切線分外角之 理」

三較連乘之理 卷廿二「三較連乘之理」

卷七

三正弦與三邊比例

《數理精蘊》和《算法大成》都著重在三角形邊角互求與三角測量，而《平三 角舉要》主要是多出卷廿二「三角形用正弦為比例之理、和較相求之理、用切線分 外角之理、三較連乘之理」 ，這些原理都有詳細的解說，都符合梅啟照「知其理且知 其所以然」的一貫立場，這也應該是為何卷六後半部、卷七幾乎全承襲《平三角舉 要》的原因了。

本書的卷五大致上分成三個部份：第一部份「八線」 ：介紹平三角及八線的認識，

另附《數理精蘊》10°、20°、30°、40°、50°、60°、70°、80°的「八線表」 ；第二部份「算 例」共有：直角三角形兩題，兩邊一對角一題，兩邊一夾角三題，三邊求角兩題；

第三部份「三角測量」共有：直角三角形兩題，兩邊一夾角一題，重測三題，三角 測難題一題。至於第三部份的「三角測量」 ，在《平三角舉要》是在卷廿二，梅啟照 將其與卷十九、卷廿算例並列卷五，這就如同梅啟照打破《數理精蘊》的編排限制，

取其性質相近者，並之討論的風格如出一轍。在解法上，大致多承襲了《平三角舉 要》、《數理精蘊》和《算法大成》 。

於此，特別舉兩例說明梅啟照如何融合各算書。以三角測量第四題為例：

（一）如一山不知高、遠於平地，用重測法，前儀器窺管切五十度，後儀器窺管切 四十度，前後距一千丈，問山高幾何？

37

梅啟照， 《學彊恕齋筆算十卷附測量淺說一卷》卷五，頁 39。此題出自 《 數理精蘊 》 卷十八，頁 28。

93

清代算學家梅啟照及其算學研究

《數理精蘊》的解法有兩種，梅啟照都有引用，但引用到第二種解法時，梅啟照卻 云： 「梅勿菴徵君，逕用兩儀器餘切相減，得餘切較為一率，是用八線表之餘切較數 為表間重差，省一算，便先得山高，更捷。」

其原因為何呢？應該不太可能是梅 啟照將第一種解法抄錄下來後，而將第二種解法忽略，然後再看到梅文鼎的《平三 角舉要》卷廿三的「測量」時相同的解法，再補添上去。筆者認為，其實在「三角 測量」這部份，梅啟照在向《數理精蘊》取材時，他已將《平三角舉要》融會貫通 熟讀完畢了，所以在寫第二種解法時，因為在之前《平三角舉要》的卷廿三「測量」

時即已見過此法，對此解法特別印象深刻，也才會如此強調「梅勿菴徵君，逕用兩 儀器餘切相減，得餘切較為一率，是用八線表之餘切較數為表間重差，省一算，便 先得山高，更捷。」

（二）如前所述，本書在內容上也是以《平三角舉要》為主體，再以《數理精蘊》

和《算法大成》輔之，三者都有關於三角容方面積的求法，但是三角容方的作圖只 有《平三角舉要》才有，且提供了三種作圖方法並附作圖的證明，至於面積的求法 及證明，只有在第一種作圖方法有提到。但是梅啟照並未選擇第一種的作圖方法與 求法，其原因為何？茲先將這三種作圖方法並陳如下：

38

梅啟照， 《學彊恕齋筆算十卷附測量淺說一卷》卷五，頁 41。

94

第一種

第二種

第三種

B F

M R A

G L

Q E

P D

O C

N J K I H

以現代代數符號表示：

作法：1過 D 作 DP ⊥ NR 於 P 過 D 作 AF // MR ，並 取 BA = NM = DP

2作 NB ⊥ AF 於 B 作 RF ⊥ AF 於 F，並 連接 AR 交 NB 於 H 3過 H 作 GL // MR // AF

並交 OC 於 I，交 QE 於 K，則 IOQK 為三角內容方。

證明：1 Θ 四邊形 JPQK=EKLF 四邊形 IOPJ=BHIC ∴ 四邊形 BHIC＋EKLF=

四邊形 IOPJ＋JPQK

∴ 四邊形 BHLF=COQE 2 Θ 四邊形 GMNH=BHLF

∴ 四邊形 GMNH=COQE

∴ MN × NH = OQ × QE Θ MN = DP = QE

∴ NH = OQ = KQ

∴ IOQK 為三角內容方。

A

H J L

C B

D G

I F

K E

以現代代數符號表示：

作法：1過 A 作 AJ ⊥ HL 於 J 過 A 作 AC // HL ，並 取 BC = AJ

2作 LB ⊥ AC 於 B 並連 接 HC 交 LB 於 G 3取 JE = LG ，並過 E 作

DF // HL ，且交 AL 於 F， 過 F 作 FK ⊥ HL 於 K， 則四邊形 DIKF 為三 角內容方。

證明：1 Θ BGC ∆ ∼ ∆ LGH

∴ AE ： EJ = BG ： GL

= BC ： HL

= AJ ： HL

2 Θ ADF ∆ ∼ ∆ AHL

∴ AE ： DF = AJ ： HL

3 ∴ AE ： EJ = AE ： DF

∴ EJ = DF = IK = DI

= FK

∴ DIKF 為三角內容方。

B A

G K

C L

H I J D E F

以現代代數符號表示：

作法：1以 GK 為一邊，作一 正方形 AGKB

2作 CI ⊥ GK 於 H，並連 接 AI 交 CG 於 D，

連接 BI 交 CK 於 F 3作 DH ⊥ GK 於 H，

作 FJ ⊥ GK 於 J，則四 邊形 DHJF 為三角內容方。

證明：1 Θ IDF ∆ ∼ ∆ IAB

∴ DF ： AB = IE ： IL

= DH ： AG

2 Θ AGKB 為一正方形 ∴ AB = AG

∴ DF = DH = FJ

= HJ

∴ DHJF 為三角內容 方。

95

清代算學家梅啟照及其算學研究

由上面三種作三角內容方作圖及證明來看，很顯然第三種方法較其他兩種來得 簡潔清楚，所以就淺顯易懂而言，第三種作圖方法自然是梅啟照的首選，但是相對 的，面積的求法就不能再用第一種作圖的方法證明之，梅啟照此時再引用《數理精 蘊》和《算法大成》的三角內容方面積的求法及證明輔之。

如同（一）所述，梅啟照早已將這三本參考書籍融會貫通熟讀完畢，所以在此 題，就以《平三角舉要》為主體，以《數理精蘊》和《算法大成》輔之，此題可以 說是最好的例證。

在上一節中，我們提到梅啟照在論述割圓時，曾引入徐有壬《務民義齋算學》

中《割圓密率》的「圓徑求周」一術，梅啟照詳細的「術其義，閒系以圖」 ，以使讀 者能「瞭若指掌」。面對此節「平三角」的八線，梅啟照又如何將《務民義齋算學》

「更述其淺顯者，以為初學入門之助」呢？梅啟照將《測圓密率》卷二第一術「弧 背求正弦」 ，

及卷二第三術「正弦求弧背」 ，

做細草演示，並因為此二術「布算繁 重、取數曲折」，所以特為「弧背求正弦」一術臆造捷法，使其「直捷簡便耳」 。至 於如何臆造捷法呢？我們可以從梅啟照對於八線體會出來的「比例定率」中，找到 答案。

也就是說，梅啟照先介紹一個觀念，當角度固定時，半徑幾倍，則八線（正弦、

餘弦、正切、餘切、正割、餘割、正矢、餘矢）皆為幾倍。其次，按下列的步驟先 求出「比例定率」：

39

梅文鼎， 《平三角舉要》卷二十一，頁 11-12。

40

梅文鼎， 《平三角舉要》卷二十一，頁 12-13。

41

梅文鼎， 《平三角舉要》卷二十一，頁 14。

42

= − ³ ₂ + ⁵ ₄ − ⁷ ₆ + Λ Λ

! 7

! 5

! sin 3

r a r a r a a r α

（ r =半徑， a = 弧背， sin α =正弦） 。

43

( ) ( ) ( ) _{Λ Λ}

6 2 7 2 2 4

2 5 2 2

2 3

! 7

sin 5

3 1

! 5

sin 3

1

! 3

sin sin 1

r r r

r r

r r

a = α + ^⋅ ⋅ α + ⋅ ⋅ α + ^{⋅ ⋅ ⋅} α

（ r =半徑， a = 弧背， sin α =正弦） 。

（1）取半徑 1，則圓周 6.2831853。

（2）則 1° 的弧背為 6 . 2831853 0 . 0174532925 360

1 × =

（3）則 20° 的弧背為 20×0.0174532925=0.34906585 （4）查八線可知 20°正弦=0.3420201

（5）則比例定率= 0 . 97981541 34906585

. 0

3420201 .

0 =

於是在角度 20° 時，不管半徑多少，只要知道弧背，將其乘以比例定率則可得正弦。

梅啟照並將「弧背求正弦」原術列出，取半徑１布算，以 20°弧背等於 0.34906585 (π=3.14159265)代入演算，最後併兩正兩負時，得正弦 0.34239642，以顯示其「雖極 其精細，然布算繁重，取數曲折」 。梅啟照曾說明求得之值： 「亦與八線表稍有不符」

（八線表是 0.34202014） 。其實，這是梅啟照對於第二數及第四數的計算都發生錯誤 所致，正確計算結果應該是 0.3420201，與八線表是相符的！

由此可見，梅啟照在細草中費心的去計算，尤有可能計算錯誤，更何況是一般 的初學者呢？不過，兩相比較之下，可見梅啟照的臆造「弧背求正弦術」的確比較 直捷簡便耳！

那麼，梅啟照為何安排這兩術？為何只對「弧背求正弦」臆造捷法？其實從梅 啟照只選擇這兩術來看，很明顯的要從正弦去求弧背，只要知道正弦，利用「比例 定率」相除，即可得弧背，至於其他「八線」，就如同梅啟照所言：「求得正弦，便 以之減半逕而餘矢，是求一線得二線也。」

這對於初學者來說，只要訂出各角度的「比例定率」 ，初學者就無須困擾於「布 算繁重，取數曲折」了。可惜， 《測圓密率》共五十六術，梅啟照只對其中的三術作 細草並臆造一捷法，無緣看到梅啟照如何解讀其他諸術，實是一憾！

5.5、卷八至卷九「弧三角」內容分析

44

梅啟照， 《學彊恕齋筆算十卷附測量淺說一卷》卷七，頁

。

97

清代算學家梅啟照及其算學研究

梅啟照在〈《學彊恕齋筆算》自序〉中嘗云：「夫泰西之學，得中國渾天之遺，

及宋，推步多舛法十八變不能合天；元郭守敬，輏軒四出乃更釐定之，攷其法用弧 矢術，以三乘方取數，尚已。明代臺官復失其職，明代利瑪竇入中國，使用八線表、

平三角、弧三角諸數，雖別立名目，究予古之句股弧矢不異！」這充分顯現了梅啟 照西學中源的思想，因此在介紹「弧三角」內容分析之前，我們有必要先回溯球面 三角在中國發展的歷史脈絡。

古希臘印度和阿拉伯國家的天文學家們，從很早的時候便應用了球面三角法來 進行天文方面的計算；隋唐之際，印度的天文學並沒有引起中國天文學家或是數學 家的重視，在中國數學史上，宋代科學家沈括算是第一次給出了一個弦、矢和弧之 間的關係式，不過他並沒有給出推導的過程。

沈括將這個算法叫做「會圓術」 ，之後到了王詢（1236-1282）郭守敬（1231-1316）

等人所編的《授時曆》中，在推算「赤道積度」 「赤道內外度」時便運用了沈括的「會 圓術」 。在他們的推導過程之中，發現了一些關係式，相當於在數學上開闢了通往球 面三角法的捷徑；

不過，因為「會圓術」的誤差及 π =3 的誤差都很大，所以推算 出來的結果是不夠準確的，這也就是梅啟照所說的： 「攷其法，用弧矢術以三乘方取 數，尚已。」

到了明崇禎二年，因為以大統術、回回術推算不合，徐光啟以新法推算為合，

於是徐光啟便開始和耶穌士開始共修曆法，在崇禎二年至七年十二月的六年間，先 後編譯天文數學著作一百三十七卷，其中有關於球面三角知識主要的有鄧玉函(J.

Terrenz，1593-1638 年)《大測》二卷及羅雅谷(J. Rho，1593-1638)的《測量全義》十 卷。

在球面三角術輸入中國後，中算家的研究以梅文鼎為最熱心，後此作者如年 希堯《三角法摘要》一卷、 （1718 年）江永《正弧三角疏義》 《正弧三角會通》 、 《曆

45

李儼、杜石然等， 《中國古代數學簡史》 ，頁

。

46

同上，頁 4。

47

同上，頁

。

98

象考成》上編（1723 年刻） 、明安圖（1736-1774 年） 《割圓密率捷法》及戴震《勾股 割圓記》三卷（1755 年） ，都照梅氏之說，其中以《曆象考成》所論最深具條理。

而梅啟照在此單元的內容上，幾乎都承襲《曆象考成》 ，若謂其承梅氏之說亦無不可。

在第二期研究球面三角術的，有梅瑴成（1681-1763 年） 、汪萊（1768-1843 年）、

焦循（1763-1820 年） 、安清翹（1759-1830 年） 、張作楠（1772-？） 、董佑誠（1791-1823 年）、項明達（1789-1850）、陳杰、李善蘭（1811-1882 年）、顧觀光（1799-1862 年）

陳澧（1810-1882）、徐有壬（1800-1860 年）、梅啟照、吳嘉善諸人。

梅啟照在弧三角的取材上，就是以論述最深具條理的《曆象考成》為主軸，再 以梅文鼎《弧三角舉要》和陳杰《算法大成》輔之，卷八包含弧三角基本知識及正 弧三角形，卷九為斜弧三角形。茲將其對照如下：

《學彊恕齋筆算 十卷附測量淺說 一卷》

《曆象考成》 《學彊恕齋筆算 十卷附測量淺說 一卷》

《曆象考成》

卷八「正弧三角」 卷二「弧三角上」

弧三角總論 弧三角綱領 弧三角凡例 正弧三角論 正弧三角八線 勾股比例圖說 正弧三角用次形圖說 正弧三角邊角相求法 正弧三角設例七則

卷九「斜弧三角」 卷三「弧三角下」

斜弧三角形論 斜弧三角形邊 角比例法

斜弧三角形作垂弧 法

斜弧三角形用 總較法次形法 斜弧三角形較例八 則

48

李兆華， 《中國數學史》 ，頁１34

49

李儼， 〈三角術和三幾函數表的東來〉 ，收入杜石然主編《李儼、錢寶琮科學史全集》第七卷，頁

２２９

。

99

清代算學家梅啟照及其算學研究

基本上， 《曆象考成》對於弧三角觀念的介紹較簡略，不若陳杰《算法大成》及 梅文鼎《弧三角舉要》來的仔細，所以，梅啟照在這個部分，主要是以陳杰《算法 大成》及梅文鼎《弧三角舉要》輔之，尤其在圖形上大量引用，以使讀者能有具體 的概念。不過，在弧三角的分類上《曆象考成》只列出九種，並曰： 「大概盡於此數 端矣」 ，關於「三角俱銳」並未提到，而梅啟照在參考時不察，因此誤認為只有九種。

本書卷八〈正弧三角形〉的內容幾乎完全承襲《曆象考成》卷二〈弧三角上〉

的內容，現將卷八的七個問題和所利用到的八個公式整理如下：

問題 求法 球面三角公式

問一1有直角、有黃赤交角、有黃道，求距緯？

2有直角、有黃赤交角、有黃道，求赤道？

3有直角、有黃赤交角、有黃道，求黃道交極圈？

問二1有直角、有黃赤交角、有赤道，求距緯？

2有直角、有黃赤交角、有赤道，求黃道？

3有直角、有黃赤交角、有赤道，求黃道交極圈？

問三1有直角、有黃赤交角、有距緯，求黃道？

2有直角、有黃赤交角、有距緯，求赤道？

3有直角、有黃赤交角、有距緯，求黃道交極圈？

問四1有直角、有黃道、有赤道，求黃赤交角？

2有直角、有黃道、有赤道，求距緯？

3有直角、有黃道、有赤道，求黃道交極圈？

問五1有直角、有黃道、有距緯，求黃赤交角？

2有直角、有黃道、有距緯，求赤道？

3有直角、有黃道、有距緯，求黃道交極圈？

問六1有直角、有赤道、有距緯，求黃赤交角？

2有直角、有赤道、有距緯，求黃道？

3有直角、有赤道、有距緯，求黃道交極圈？

問七1有直角、有黃赤交角、有黃道交極圈，求黃道？

2有直角、有黃赤交角、有黃道交極圈，求赤道？

3有直角、有黃赤交角、有黃道交極圈，求距緯？

←公式一

←公式七

←先次形再公式六

←公式八

←公式七

←先次形再公式五

←公式一

←公式八

←先次形再公式四

←公式七

←先次形再公式三

←公式二

←公式一

←先次形再公式三

←公式二

←公式八

←先次形再公式三

←公式二

←先次形再公式六

←先次形再公式五

←先次形再公式四

公式一

c a sin sin

sin = α ⋅

公式二

c b sin sin sin = β ⋅ 公式三

b a c cos cos

cos = ⋅

公式四

β α cos sin

cos = a ⋅

公式五

α β cos sin

cos = b ⋅

公式六

β α cot cot cos c = ⋅ 公式七

c b cot tan

cos α = ⋅

公式八

α cot tan sin b = a ⋅

100

A

B

C α

A β

a

b

c

不過，梅啟照也並非只有節錄而已，在第五問及第六問的求黃道交極圈的求法 中，梅啟照就利用現成已知的解法，不需用到《曆象考成》赤道與經度互換的觀念，

以初學者的角度來看，梅啟照的解法的確較佳。

本書卷九「斜弧三角形」也大抵是承襲自《曆象考成》卷三〈弧三角下〉的內 容，不過， 《曆象考成》的較例八則並未被梅啟照所選取，究其原因可能是牽涉較多 曆算上的名詞，相較之下，陳杰《算法大成》的例題都是三邊求角之類的問題，因 此，梅啟照就從《算法大成》卷八、卷九與卷十中挑選六種不同已知條件各一題輔 之，由此，我們可以再一次的見到梅啟照的用心。

5.6、卷十「借根方」內容分析

如前所述，陳杰對於「天元、四元」已作明確的解釋：「法越難而理越晦」 。

相信梅啟照對於「天元、四元」的難以理解，也必定有深刻的體會，所以才會深表 贊同陳杰的觀點：

陳靜菴助教著《算法大成》 ，言簡法賅，於天元、四元，不道隻字，實梅徵君叢 書以後第一善本。

但梅啟照不像陳杰一樣，連「借根方」都隻字未提，因為他還是受到梅瑴成所 說的「天元一即借根方」的影響，

他也認為「借根方…即元學士李冶所立天元一 也。」

如此一來「借根方」有「西學中源」的依據，又容易為習算者所理解，梅 啟照自然大可放心的論述「借根方」，而不必有所顧慮了。

50

陳杰， 《算法大成》 ，凡例頁 21。

51

梅啟照， 〈 《測量淺說》序〉 ，收入《學彊恕齋筆算十卷附測量淺說一卷》 。

52

梅瑴城在敘述自己蒙康熙授以借根方後，竊疑天元一之術頗與相似，復取《授時曆》草觀之，乃 渙然冰釋，殆名異而實同，非徒曰似之已也，參見梅瑴成《赤水遺珍》 ，頁 9。

53

梅啟照， 《學彊恕齋筆算十卷附測量淺說一卷》卷十，頁 1。

101

清代算學家梅啟照及其算學研究

「借根方」能對清朝算學家造成影響，要歸功於御制《數理精蘊》下編卷卅一 至卅六卷詳細的介紹，史家韓琦總結《數理精蘊》的影響說： 「因冠以御制的名義，

故對清代數學產生了深遠的影響，乾嘉時期數學研究高潮的興起、十九世紀清代數 學家成就的取得，都與《數理精蘊》密切相關，它在中國數學史上佔有十分重要的 地位。」

在《數理精蘊》下編卷卅一至卅六卷中，皆是論述「借根方」 ，卷卅一說明何謂 借根方、定位法、符號、及加減乘除四法，第卅二卷敘述如何開諸乘方，第卅三卷 則介紹如何求帶縱平方、立方、三乘方、四乘方之根，至於第卅四卷至第卅六卷則 是問題集，分別是線類、面類、體類的問題，皆用借根方解題。

不過梅啟照的「借根方」只承襲《數理精蘊》卷卅一，只論述何謂「借根方」、

「定位法」 、 「符號」 、及「加減乘除」四法，對於卷卅二至卷卅六，則付之闕如，這 種編排方式與劉衡的《六九軒算書》幾乎是一樣的，且在本書「借根方」的除法中，

梅啟照引用了《數理精蘊》所沒有提及，而在《六九軒算書》中提及的敘述： 「皆先 置實」及「以法約之，可商幾何除，即定幾何為得數。」

另外， 《六九軒算書》的 內容即是「欲以艱深歸諸顯易，使人人皆得其門而入」 ，也與梅啟照編寫文本的內容 是一致的。據此，則我們可以說，梅啟照的「借根方」在編排上，受到《六九軒算 書》的影響是很大的。

如前所述，梅啟照「借根方」的內容大抵皆承襲《數理精蘊》卷卅一，無所發 明，於加減乘除的算例，即使數字略有更改，也都是節錄自《數理精蘊》 。因此，可 看作是梅啟照為推廣借根方而作的，現將其與《數理精蘊》的問題作一比對：

54

林倉億， 《中國清代 1723-1820 年間的借根方與天元術》 （台北：國立台灣師範大學數學研究所碩 士論文，2002 年） ，頁 9；韓琦〈 《數理精蘊》提要〉 ，見郭書春主編《中國科學技術典籍通彙》數 學卷第三分冊，頁 1。

55

林倉億， 《中國清代 1723-1820 年間的借根方與天元術》，頁 13-14。

56

羅士琳， 《借根方淺說》 ，收入劉衡《六九軒算書》 ，頁 19。

102

本書 《數理精蘊》

加法 4 問皆同 2 問數字有異 共 7 問

減法 2 問皆同 4 問數字有異 共 9 問

乘法 1 問皆同 4 問數字有異 共 7 問

除法 2 問皆同 2 問數字有異 共 8 問

不過在「借根方」減法的內容上，梅啟照在節錄《數理精蘊》的內容時，誤漏 了一段敘述，不論是梅啟照的疏失，或是刊印時遺漏，這對內容是否完整是必要的，

否則讀者會「瞇目」 、「不解」，茲將其整理如下：

《數理精蘊》 ：凡多與多減，…則減餘仍為少；「若多與多減，減數大於原數，則反 減，而減餘即變為少」；蓋減數之多……

本書：凡多與多減，…則減餘仍為少；蓋減數之所多……

可見，若無「若多與多減，減數大於原數，則反減，而減餘即變為少」這一段，則 接下去的「蓋減數之所多……」 ，會被誤認為是前一句「則減餘仍為少」之解釋，如 此則與原意相去千里。另外，值得注意的一點是「多乘方的幾何」如何對應的觀念，

茲先將其整理如下：

《數理精蘊》 ：因根者方之邊數，即所謂線；以根自乘得平方，以根自乘再自乘為立 方，以根累以乘即得累次多乘方。故以線類為問者，則借根數以比之；

而面類為問者，則借平方、長方以比之；以體類為問者，則借立方、

累次多乘方以比之。

57

《數理精蘊》卷卅一，頁 13。

58

梅啟照， 《學彊恕齋筆算十卷附測量淺說一卷》卷十，頁 8。

59

《數理精蘊》卷卅一，頁 2。

103

清代算學家梅啟照及其算學研究

本書：根者，方之邊，即線也。以根乘根得平方，以根自乘再自乘得立方，

以根乘三次得三乘方，由是四乘、五乘、六乘，以致百乘、千乘，

皆可以形言之。根為線，平方為面，立方為體，三乘方為線，四乘 方為面，五乘方為體，六乘方復為線，七乘方復為面，八成方復為 體，推之無數乘方，皆線、面、體循環不窮也。

不論從《數理精蘊》或本書的角度來看，兩者都認同「根」、 「平方」、「立方」

對應著幾何中的「線」 、 「面」 、 「體」 ，可是對於「三乘方」以至「累次多乘方」的幾 何意義， 《數理精蘊》認為都是「體」－「以體類為問者，則借立方、累次多乘方以 比之」 ，可是梅啟照卻認為是「線」 、 「面」 、 「體」重複循環出現－「三乘方為線，四 乘方為面，五乘方為體，推之無數乘方，皆線、面、體循環不窮也」 。至於其理由為 何，兩者都未多加著墨，所以也無從得知了。

60

梅啟照， 《學彊恕齋筆算十卷附測量淺說一卷》卷十，頁 1 。

104