數學傳播 35 卷 3 期, pp. 46-49
梨園數字
平斯
傳統戲的一齣“五花洞” , 在戲台上有五對一模一樣的武大郎與潘金蓮, 當然其中只有一 對是真的, 其他都是妖怪變來戲弄本尊的分身, 全部戲就是一場真假認同錯亂的胡鬧。 將幾何圖 形描繪在畫面上時, 觀念上好比演一齣戲 : 畫面提供一個舞台 , 圖形則是粉墨登場的演員, 以 參數式當作劇本來扮演角色。 演員的台詞與走位, 全依照劇本的需要, 這樣呈現的叫 拉格朗日 (Lagrange) 式。 下例劇本中, 有個參數座標 (u, v) 是描寫虧格五的對稱平面域。 以五階雙紐線 參數式 [註一] (x + iy)5− 1 = ueiv, 畫出平面圖。 再加上適當高度 z = ε − |1 − u| 畫出立 體圖。 實際演出的演員是畫面座標 (p, q) 與上述空間的座標 (x, y, z) 之間, 由軸測投影關係式 p= y − αx, q = z − βx 相聯繫。
另外還有一種熱鬧的武打戲 : 旌旗蔽空, 帥字旗揮舞滿舞台的每個角落, 鑼鈸喧天, 鼓點子逼 人屏息, 等到聲色稍歇, 定眼一瞧兩張花臉, 才知原來是張飛戰岳飛, 難怪滿天飛。 繪圖的武打 方式叫歐拉 (Euler) 式 , 這時畫面上的每一畫素都積極參與演出, 若非領銜, 起碼也是客串 主角, 受到同樣的關注, 要等到最後劇終謝幕, 才知道究竟誰擔綱主角, 誰跑龍套。 這齣荒謬劇
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裡, 曲面由隱函數定義, 先指定畫面上的座標 (p, q), 之後固定 x, 由軸測投影關係式分別解得 y = p + x, z = q + x, 代入曲面的定義式裡, 可得座標 x 的一個方程式。 若 x 無實數解時 (p, q) 是背景點, 若有實數解時, 取最大值當可見點, 其餘是隱匿點。 因此最簡單的球面須要求 解二次方程式 x2+ y2+ z2 = 1
如法炮製, 四次曲面可得環面
(x2 + y2+ z2+ a2)2 = b2(x2+ y2) 與羅曼面
x2y2+ y2z2+ z2x2 = xyz
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解四次式的方法由法拉利 (Ferrari, L) 導出, 求解過程裡得用叫做卡爾達諾法的三次式解法, 這其中卻有樁很具爭議性的傳奇故事 [註二]。
古希臘的時候, 托勒密王 (Ptolemy 367-285 B.C.) 曾經是亞歷山大麾下驍將, 苦心經 營埃及, 為了加入希臘雅典元素, 甚至不惜重金, 延攬歐基理得(Euclid) , 他問 “除了研讀幾 何原本之外是否有學習幾何的捷徑呢?” 面對金主歐基理得大義凜然的回答說 : “沒有通往 幾何的皇家大道”。 一個徒弟方纔學會第一條幾何命題, 歐基理得就喊說: “來人啊, 拿三個銅 板打賞他”。 近代的行為學派可能認為這是加強正面, 鼓勵積極的典範。 其實歐基理得是意在反 諷, 這徒弟覬覦著學幾何能帶來甚麼實質的報償。 自此以來數學家做的事業無非親身力行, 貧賤 不移, 威武不屈, 每個人的成就點滴在心頭, 所謂 “文章千古事, 得失寸心知”。 文藝復興時代 的塔爾塔利亞 (Tartaglia, N 1499-1557) 因與人賭賽解題, 漏夜思索而得三次式的解法, 卻 被卡爾達諾 (Cardano, G 1501-1576) 違背誓言, 發表成以他為名的公式。 讓他做了後代抄襲 剽竊, 盜名欺世之輩的祖師爺, 因此歷史上要記上這一筆, 而且做老師的必定總要在課堂提這件 公案。 目的不在臧否古人, 而是以為來者戒。
多項式方程式是變數的乘冪作和, 乘冪的逆運算是開方, 因此解這種方程式自然用開方, 甚 至若干回不同冪次的開方, 通常叫作根式。 五次及更高次的方程式, 一般不再能用根式求解。 並 非數學家努力不夠或是智力不及 , 而是理論上完全不可能 , 這是加羅瓦 (Galois, E 1811- 1832) 理論的一項應用。
然而無根式解並非沒有公式解, 普遍一個多項式方程式, 若是沒有重根, 則可用模函數求 解。 梅村坦(Hiroshi Umemura) 列出了一個完整的公式 [註三]。 其實這樣的模函數相當複雜而 看不出實用的價值, 比方在夜市裡吃碗麵, 明明老闆吆喝每碗七十元, 但標價卻是五千開平方。
兩者差別不大, 連吃十碗才差七個銅板。 這如果不是生意人的商業噱頭就肯定是學術菁英的理 論傲慢。 以實用面來看, 即使有一個模函數公式, 往往要另外再開發這模函數的演算法, 否則這 只是用一個更困難問題來取代原來的問題。 因此真正想解決難題, 必須要另闢蹊徑。
數值計算不乏各式各樣求解的演算法, 然而用線性代數的古老方法亦可輕易求解。 若五次 式寫做 x5 = a0+ a1x+ a2x2+ a3x3+ a4x4 則
x
1 x x2 x3 x4
=
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 a0 a1 a2 a3 a4
1 x x2 x3 x4
此處的矩陣叫伴隨矩陣, 其特徵多項式正好是原式。 因此問題就變成矩陣的特徵值問題, 其解 法不是用公式而是迭代的演算法。 而且不論幾次式 , 全部的根一次到位, 最重要的是很快就能
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達到一定精確程度, 以滿足繪圖解析度的需要。 於是再度利用雙紐線的概念 : 與 S = {Pi = (ξi, ηi, ζi) | 1 ≤ i ≤ N} 諸點距離平方的總乘積當定義式
Y
i
[(x − ξi)2+ (y − ηi)2+ (z − ζi)2] = a,
當 S 是正四面體的四個頂點構成的集合時, 可畫出八次曲面。 這是在堤壩旁常看到的消波塊。
而當 S 包含正十二面體的二十個頂點時, 畫出四十次曲面, 這是叫蒺藜火的古代兵器。
[註一] Nahari, Z Conformal Mapping, 第 272 頁。
[註二] Van der Waerden, B L A History of Algebra, 第 54 頁。
[註三] Mumford, D Tata Lectures on Theta II, 第 3.261 頁。
—本文作者任教東吳大學數學系—
中央研究院 一一 民國100年院區開放活動
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