勾股定理證明-Bog021
【作輔助圖】
1. 以直角三角形ABC 的斜邊 AB 為直徑作圓。
2. 過 A 作直線平行於 BC ，交圓於 D ，連 BD 。
A B
C
D
【求證過程】
先以輔助線作出圓及其內接長方形 ACBD，根據托勒密定理(Ptolemy’s Theorem)，
圓內接任意四邊形的兩組對邊乘積和等於對角形的乘積。就可以輕易地證出畢氏定理 關係式。
1. 因為AB 是圓的直徑，所以ADB90 . 2. 因為AD 與 BC 平行，所以
CBA BAD
(內錯角相等).
3. 因為
90 , CAD CAB BAD CAB ABC
所以四邊形 ACBD 為長方形，並且CD AB. 4. 根據托勒密定理,
, AC BD AD BC AB CD 但因為四邊形為長方形, 所以有
, ACACBC BC AB AB 也就是畢氏定理關係式
2 2 2
. AC BC AB
【註與心得】
1. 來源：此證明收錄在網站(Cut the Knot)中 Pythagorean Theorem Proof #21。
2. 心得：根據現在的中學課程綱要，數學科當中沒有學習托勒密定理。所以如果以 這個證明的教學來說，主要應該是要先能教學生托勒密定理，再來引述這 個定理輕鬆地證明畢氏定理。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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4. 補充：在數學能力指標當中，有這麼幾項：
S-4-17：能理解圓的幾何性質。
以及
S-4-13 ：能理解特殊四邊形(如正方形、矩形、平行四邊形、菱形、梯形) 與正多邊形的幾何性質。
而托勒密定理正是圓內接四邊形的幾何性質，這裡適合利用這個機會向學 生補充，也可以透過勾股定理對這個定理的敘述加強記憶。
