中 華 大 學

中 華 大 學 碩 士 論 文

題目：齒輪修整與誤差對於螺旋齒輪動態影響之研究

An Investigation of Effect of Errors and Modifications on Helical Gear Pair Dynamics

系 所 別：機械與航太工程研究所碩士班 學號姓名：M09408026 蘇 信 維 指導教授：黃 國 饒 博 士

中華民國 九十六 年 八 月

中文摘要

本文提出螺旋齒輪對自動網格產生方法並分析螺旋齒輪對的動態響應。將採 用近於連體幾何有限元素模式來探討螺旋齒輪對動態特性、製造誤差與齒輪修整 之關係。漸開線螺旋齒輪系統具有高轉速運轉平順、低振動噪音、高精密傳動、

高傳遞功率-體積比與加工易達高精密等優良特性，但其動態特性會受到加工與 組裝誤差、嚙合背隙、嚙合齒對數改變等因素的影響而劣化。在設計時上述之劣 化因素可運用各種齒形與隆齒修整手段予以改善之。

本研究不以傳統等效彈簧質量的離散模式，將採用連體幾何模式來探討螺旋 齒輪對動態特性。首先將應用齒條形刀具之輪廓方程式館，以齊次座標轉換與齒 輪嚙合方程式，推導出可應用於多種齒輪形式之齒形方程式，包括漸開線、齒底 圓角等輪廓方程式，然後不經CAD軟體，撰寫C程式，直接以參數化的快速產生 廣泛形式齒輪網格元素，解決以連體模式之齒輪系統分析時，高品質網格模式建 立不易的問題。然後以LS-DYNA求解齒輪對動態，計算出動態嚙合齒根應力、

接觸力與應力、以及傳動誤差。並以正齒輪動態齒根應力與文獻的實驗結果做比 較，間接驗證數值結果的正確性。最後則探討裝配誤差、隆齒修整以及齒頂導角 對於齒輪對動態特性之影響，建立齒輪動態、誤差、修整齒頂導角與過切間之關 係，希望作為設計螺旋齒輪系統之參考。

關鍵字：齒輪，齒輪修整，網格，隆齒，傳動誤差

ABSTRACT

This thesis presents an approach to automatically generating high quality meshing elements of gears and also analyzes dynamic responses of helical gear pairs. Using the finite element method, dynamic characteristics under the consideration of manufacturing errors and gear modifications are investigated. As commonly understanding, helical gearings have excellent features of high precision, high speed, high power to weight ratio, and low vibration and noise. Nevertheless, numerous factors, such as machining and assembly errors, backlash, and change of number of meshing tooth pairs, may deteriorate the dynamic performance.

Fortunately, through suitable design technique, the negative effect can be improved such as profile or crowing modifications of gears in the design phase.

In this study, instead of conventional discrete models with equivalent masses and springs, continuum geometry models are adopted in investigating the dynamic responses of the helical gear pairs. An approach proposed to automatically generating high quality meshing elements is applicable to wide varieties of gears. Firstly, profile equations of a transverse section of a rack cutter are derived. Then, using the homogenous transformation matrix and equation of meshing for gears, equations of involutes, fillets, and other curves in the gear teeth are deduced. Next, not CAD models but using a C code, meshing elements of the analyzed gears are generated after calculating nodal coordinates directly from the derived tooth profile equations. Creation of several

element examples of the gears displays effectiveness of the proposed approach. Moreover, using the software LS-DYNA dynamic responses which include dynamic fillet stresses, contact forces and contact stresses, and transmission errors of a standard spur pair and helical gear pairs are calculated. The dynamic fillet stress of a spur gear pair using the proposed method is compared with the experimental result in order to verify the numerical correctness. Finally, for the purpose of facilitating the design of helical gear pairs, influences of several factors which are assembly errors, crowning modification, addendum chamfering, and undercutting, on the dynamic characteristics of helical gear pairs are discussed.

Keywords：gear, profile modification, mesh, crowning, transmission error.

誌謝

兩年的時光匆匆流逝，研究生的生活也即將在此畫上句點。學生

能完成這本論文，特別要感謝 黃國饒博士，在這兩年對於學生在各

方面的細心指導，不只在課業方面，對於學生的待人處世更有莫大的

幫助。在此衷心感謝老師兩年來對學生的照顧。

此外，也要感謝中華大學機械系徐永源教授、華夏科技大學機械

系林文輝教授以及陸聯精密股份有限公司郭志維博士對於學生論文

上的指正，使本論文能更加完善。在學生這兩年的研究生生涯中，還

要感謝同學文川、俞帆、明達以及學長茂榮、俊宏、秉巖和竣傑對學

生的幫助，在學生遇到瓶頸時，總是適時伸出援手；也要感謝學弟建

羽和志傑在研究過程給予的協助，使學生能順利完成論文。

最後，感謝親愛的家人在這兩年內給予的支持與鼓勵，家人的支

持是我最大的動力，在此，將這份喜悅與榮耀獻給所有關心我的家人

與親友們分享。

目錄

中文摘要 ...

英文摘要 ...

誌謝 ...

目錄 ...

圖表目錄 ...

符號表 ...

第一章 序論

...

1.1 研究背景

...

1.2 研究動機與目的

...

1.3 文獻回顧

...

1.4 內容大綱

...

第二章 齒輪幾何模式 ...

2.1 齒輪修整

...

2.1.1 隆齒修整 …….

...

2.1.2 隆齒之分類 ….

...

2.2 齒輪誤差

...

2.3 齒輪輪廓方程式之創成

...

2.3.1 齒條形刀具截面方程式

...

2.3.2 創成齒輪之齒廓方程式

...

2.4 齒輪過切

... ...

2.5 齒頂導角

... ...

2.6 齒輪接觸分析

...

第三章 螺旋齒輪對網格模式建立 ...

3.1 產生齒輪網格過程

...

3.1.1 齒形參數

...

3.2 齒輪網格模式建立

...

第四章 螺旋齒輪動態分析 ...

4.1 分析項目

...

4.2 LS-DYNA 分析之條件設定

...

4.2.1 邊界與初始條件

...

4.2.2 阻尼

...

4.3 螺旋齒輪對之動態分析

...

4.4 組合誤差對動態影響

...

...

...

...

...

...

...

...

4.6 齒頂導角對動態影響

...

...

4.6.2 接觸力與接觸應力

...

...

4.7 過切對動態影響

...

...

4.7.2 接觸力與接觸應力

...

...

第五章 結論與未來展望 ...

...

5.2 未來展望

...

參考文獻

...

圖表目錄

1.圖目錄

圖 2 - 1 標 準 正 齒 輪 圖 … … … 8

圖 2 - 2 包 含 隆 齒 之 齒 輪 圖 … … … 8

圖 2 - 3 含 隆 齒 與 不 含 隆 齒 之 齒 形 比 對 … … … 9

圖 2 - 4 齒 輪 節 距 誤 差e 圖 示 … … … 1 0 _P 圖 2 - 5 齒 輪 偏 心 誤 差e_EC 圖 示 … … … 1 1 圖 2 - 6 齒 輪 組 合 誤 差e_A 圖 示 … … … 1 3 圖 2 - 7 齒 輪 彈 性 變 形 誤 差e_EL 圖 示 … … … 1 3 圖 2 - 8 齒 輪 背 隙 誤 差e_B 圖 示 … … … 1 4 圖 2 - 9 平 行 於 兩 齒 刀 截 面 間 之 座 標 系 S_n和S₁的 關 係 … … … 1 5 圖 2-10 齒條形刀具之橫向截面輪廓與 座標系 ……… 16 S₁ 圖 2-11 齒輪創成之 和S₁ S₂的座標轉換圖示 ……… 19

圖 2-12 正齒輪 CAD 實體模式圖 ……… 21

圖 2-13 螺旋齒輪 CAD 實體模式圖 ……… 22

圖 2-14 發生過切的齒輪齒形 ……… 23

圖 2-15 有齒頂導角的齒形 ……… 23

圖 3-1 齒輪網格建立：(a)六分割區塊，(b)格點分佈 ……… 27 圖 3 - 2 部 分 輪 齒 ( 非 完 整 ) 之 簡 化 齒 輪 網 格 模 式 … … … 2 7 圖 3 - 3 可 調 節 包 含 不 同 網 格 粗 細 的 齒 輪 網 格 模 式 … … … 2 8 圖 3 - 4 以 C 程 式 之 網 格 建 立 流 程 圖 … … … 2 9 圖 3 - 5 標 準 齒 輪 之 網 格 模 式 ： ( a ) 正 齒 輪 ， ( b ) 螺 旋 齒 輪 … … … … 3 0 圖 3 - 6 齒頂移位係數為 0.02 與齒頂修整(b_j= 0.2m_n，h_j= 0.3m_n)的

齒 輪 網 格 局 部 圖 ：( a ) 正 齒 輪 ， ( b ) 螺 旋 齒 輪 … … … 3 0

圖 3 -7 有隆齒(Cc = 0.005)齒輪的網格模式：(a)正齒輪，

(b)螺旋齒輪……… 31

圖 3 -8 未修整齒傘齒輪網格模式(節圓錐角為 30°)：(a)直齒傘齒輪， (b)蝸旋傘齒輪 ……… 31

圖 3-9 不同齒數之正齒輪網格模式：(a)28 齒，(b)20 齒 ………… 32

圖 3 -10 不同齒厚之正齒輪網格模式：(a)齒厚 30mm， (b)齒厚 20mm ……… 32

圖 3 -11 不同內圈半徑之正齒輪網格模式：(a)齒底圓*0.75， (b)齒底圓*0.5 ……… 32

圖 3 -12 兩邊不同壓力角之正齒輪網格模式：(a)左邊 30°， (b)右邊 20°……… 33

圖 3-13 發生過切之正齒輪網格模式 ……… 33

圖 3-14 不同網格大小之正齒輪網格模式：(a)疏，(b)密 ……… 33

圖 4-1 齒底圓角接近漸開線之第三個元素 ……… 34

圖 4 - 2 齒 輪 繞 y 軸 方 向 的 軸 不 平 行 度 的 組 合 誤 差 γ … … … 3 6 圖 4-3 正齒輪對的網格模式 ……… 39

圖 4- 4 以 LS-DYNA 進行齒輪動態分析之動態 von Mises 應力 分 佈 等 高 線 圖 … … … 3 9 圖 4- 5 以 LS-DYNA 動態分析的動態 von Mises 齒根應力 與 文 獻 實 驗 結 果[ 5 ] 的 動 態 齒 根 應 力 之 比 較 … … … 4 0 圖 4- 6 螺旋齒輪對的網格模式 ……… 40

圖 4- 7 螺旋齒輪對以 LS-DYNA 動態分析的接觸力與靜態力之比較………… 41

圖 4- 8 螺旋齒輪對以 LS-DYNA 動態分析的接觸應力圖 ……… 41

圖 4- 9 螺旋齒輪對以 LS-DYNA 動態分析的傳動誤差圖 ……… 42

圖 4 -10 沒有隆齒(Cc= 0.0)的不同組合誤差螺旋齒輪對之 齒根應力圖 ……… 43

圖 4 -11 沒有隆齒(Cc= 0)的不同組合誤差螺旋齒輪對之

動態接觸力圖 ……… 44 圖 4 -12 含不同組合誤差的螺旋齒輪對之最大接觸應力

曲 線 圖 … … … 4 5 圖 4 -13 沒有隆齒(Cc= 0)的不同組合誤差螺旋齒輪對與

傳動誤差關係圖 ……… 45 圖 4 -14 含隆齒修整(Cc= 0.0025)的不同組合誤差螺旋齒

輪對與傳動誤差關係圖 ……… 46 圖 4 -15 含隆齒修整(Cc= 0.005)的不同組合誤差螺旋齒輪

對與傳動誤差關係圖 ……… 46 圖 4 -16 沒有組合誤差(γ= 0°)的不同隆齒係數螺旋齒輪對

之 齒 根 應 力 圖 …...……… 48 圖 4 -17 含隆齒修整(Cc= 0.00125)的不同組合誤差螺旋齒

輪 對 之 齒 根 應 力 圖 … … … 4 8 圖 4 -18 含隆齒修整(Cc= 0.0025)的不同組合誤差螺旋齒

輪 對 之 齒 根 應 力 圖 … … … 4 9 圖 4 -19 含隆齒修整(Cc= 0.00375)的不同組合誤差螺旋齒

輪 對 之 齒 根 應 力 圖 … … … 4 9 圖 4 -20 含隆齒修整(Cc= 0.005)的不同組合誤差螺旋齒輪

對 之 齒 根 應 力 圖 … … … 5 0 圖 4 -21 不同隆齒修整之螺旋齒輪對的組合誤差與齒根

應 力 的 關 係 圖 … … … 5 0 圖 4-22 包含不同隆齒修整的螺旋齒輪對與動態接觸力關係圖 ……… 51 圖 4 -23 含不同隆齒修整的螺旋齒輪對之最大接觸應力

曲 線 圖 … … … 5 2 圖 4-24 在 = 0°時之不同隆齒係數與傳動誤差關係曲線圖 ………… 53 γ

圖 4 - 2 5 在 = 0 . 1 ° 時 之 不 同 隆 齒 係 數 與 傳 動 誤 差 關 係 曲 線 圖 … … 5 3 γ 圖 4 - 2 6 在 = 0 . 2 ° 時 之 不 同 隆 齒 係 數 與 傳 動 誤 差 關 係 曲 線 圖 … … 5 4 γ 圖 4 - 2 7 齒 頂 導 角 與 齒 根 應 力 關 係 圖 … … … 5 5 圖 4 - 2 8 齒 頂 導 角 與 最 大 齒 根 應 力 關 係 圖 … … … 5 5 圖 4 - 2 9 齒 頂 導 角 與 動 態 接 觸 力 關 係 圖 … … … 5 6 圖 4 - 3 0 齒 頂 導 角 與 最 大 接 觸 應 力 關 係 圖 … … … 5 6 圖 4 - 3 1 齒 頂 導 角 與 傳 動 誤 差 關 係 圖 … … … 5 7 圖 4 - 3 2 發 生 過 切 之 齒 輪 對 與 齒 根 應 力 關 係 圖 … … … 5 8 圖 4 - 3 3 發 生 過 切 之 齒 輪 對 與 動 態 接 觸 力 關 係 圖 … … … 5 9 圖 4 - 3 4 發 生 過 切 之 齒 輪 對 與 最 大 接 觸 應 力 關 係 圖 … … … 5 9 圖 4 - 3 5 發 生 過 切 之 齒 輪 對 與 傳 動 誤 差 關 係 圖 … … … 6 0

2.表目錄

表 4 - 1 螺 旋 齒 輪 對 分 析 之 邊 界 條 件 設 定 … … … 3 7

符號表

下列為本研究所使用之符號：

b ：工作節圓之齒刀齒間隙

bj：齒頂導角修整量 C ：隆齒係數 c

c ：齒底隙

c ：橫向背隙 t

D ：阻尼係數 s

E ：齒面隆齒 c

e ：組合誤差 A

e ：背隙誤差 B

eEC：偏心誤差

eEL：受外力造成之動態彈性變形誤差 e ：齒形誤差 F

e ：導程誤差 L

e ：各種製造與彈性變形誤差 M

e ：節距誤差 P

e ：總偏移量 ∑

F ：內部負載 n n

Fdamp：系統阻尼力 f ：齒底高係數 d

hj：齒頂導角修整量

A ：1 M 到₀ M 的距離 ₁ A ：2 M 到₂ M 的距離 ₃ Af ：線段 I 長度 A ：齒寬距離 z

M ：質量反矩陣 M ：直線0 I的起點

M ：線段 I 上任意一點位置 1

M ：直線2 I的終點

M ：線段 II 上任意一點位置 3

m ：質量

m ：法向模數 n

m ：橫向模數 t

Pn：外部負載

r：齒底外橢圓角中心到輪廓M 的距離 ₀

rp：工作節圓半徑

Sg：推導左手或右手螺旋齒輪的符號 S ：橫向截面座標系 1

S ：2 S₁進行齊次座標轉換 S ：法向截面座標系 n

v ：速度

1

xf：齒條形刀具橫向截面的齒頂外橢圓角部分之x 座標

2

xf：齒輪齒底圓角之x 座標

x1^I：齒條形刀具橫向截面的直線 I 部分之 x 座標 x2^I：齒輪漸開線 I 之 x 座標

x1^II：齒條形刀具橫向截面的直線 II 部分之 x 座標 x2^II：齒輪齒頂導角之x 座標

1

yf ：齒條形刀具橫向截面的齒頂外橢圓角部分之y 座標

2

yf ：齒輪齒底圓角之y 座標

y1^I：齒條形刀具橫向截面的直線 I 部分之 y 座標 y2^I：齒輪漸開線 I 之 y 座標

y1^II：齒條形刀具橫向截面的直線 II 部分之 y 座標 y2^II：齒輪齒頂導角之y 座標

Z：齒數

Zmin：最小齒數

1

zf：齒條形刀具橫向截面的齒頂外橢圓角部分之z 座標

2

zf：齒輪齒底圓角之z 座標

z1^I：齒條形刀具橫向截面的直線 I 部分之 z 座標 z2^I：齒輪漸開線 I 之 z 座標

z1^II：齒條形刀具橫向截面的直線 II 部分之 z 座標 z2^II：齒輪齒頂導角之z 座標

'

z ：軸距偏移軸中心 z ：理想軸中心 1

z ：有2 γ_x誤差之實際軸中心 z ：有3 γ 誤差之實際軸中心 _y α ：加速度 n

α1：橫向壓力角 α2：導角壓力角

αc：壓力角 αn：法向壓力角

β ：螺旋角

γ ：指γ ，也就是 y 軸方向的旋轉軸組合誤差 _y

γx：x 軸之角度方向誤差值 γ ：y 軸之角度方向誤差值 y

θ ：齒底圓角座標位置的角度 ρ ：齒刀法向截面之齒頂圓角半徑 ς ：移位係數

φ ：創成之旋轉角 ωmin：最小頻率 Δc：軸距誤差

xEC

Δ ：x 軸方向之偏心量 yEC

Δ ：y 軸方向之偏心量

第一章 序論

1.1 研究背景

齒輪系統具有傳動確實、高精密、高效率、體積小等優點，為機械傳動最重 要的組件。漸開線齒輪具有設計與加工組裝之易搭配性優良的特性，幾乎可稱為 齒輪曲線之代名詞。其中漸開線螺旋齒輪由於具備傳動平順之優良性能，適合在 精密化、高速度、低振動噪音等更嚴格的規格要求應用場合，因此在汽車、航太、

工具機等各種精密機械產業中被廣泛採用。

以往在機械的精度與速度的等級要求較低時，主要是要求齒輪之靜態性能，

因此滿足齒輪靜態強度要求即可符合齒輪設計之目標。隨著機械的精度、速度、

壽命與振動噪音的更高要求，今日除了對於齒輪靜態特性的要求，對於如動態傳 動誤差、應力振動噪音等動態性能特性之要求也更趨重要。關於傳統齒輪系統之 動態特性研究，大多以等效離散模式來簡化理論模式以減少運算時間，但是齒輪 系統之嚙合過程接觸點位置隨轉動而改變、嚙合齒對數目不連續變化、變形誤 差、齒對嚙合剛性、背隙、潤滑與磨耗等時變或非線性現象以等效離散模式來處 理均極為困難，且可能導致理論模式過度簡化，而無法準確分析齒輪動態特性，

其它如齒形修整、加工與組合誤差、受負荷彈性變形、或者潤滑與磨耗等多物理 量耦合現象，應用離散模式卻很難有效地描述之。為了更有效地模擬螺旋齒輪系 統之複雜幾何外形、各種時變非線性現象，本文將採用連續體幾何模式，並以參 數式網格建立方式，產生高品質3D 齒輪之網格元素，進行齒輪齒形修整與組合 誤差對於螺旋齒輪對系統的動態特性影響之分析。

本文將提出應用參數化方式自動網格產生方法，來產生高品質3D齒輪之網 格元素，以利於連體幾何模式之螺旋齒輪動態分析之進行。本文以齒條形刀具截 面輪廓，應用齊次座標轉換與齒輪嚙合方程式，創成出螺旋漸開線齒輪各部分之

曲線方程式。然後必需包括推導各種組合誤差，加上理論的齒輪曲線外形，包含 誤差之實際齒輪外形，不經過CAD幾何模式轉換，直接應用所推導的齒輪幾何 模式，計算出格點座標以產生高品質且易調整密度的齒輪之網格元素，再以動態 有限分析軟體LS-DYNA，探討螺旋齒輪對之動態特性，分析其動態之傳動誤差、

接觸力、接觸應力以及齒根應力，以建立完整的齒輪設計、誤差與修整之應用模 式，作為設計螺旋齒輪之依據。

1.2 研究動機與目的

螺旋齒輪具有運轉平順、低振動噪音、高精密傳動與高傳遞功率-體積比等 優良特性，為精密機械重要傳動零件。關於螺旋齒輪對動態之探討，以往大多應 用質量-阻尼-彈簧的等效離散幾何模式，此方法雖然可以簡化齒輪系統之幾何模 式減少運算時間，但是當處理齒輪接觸點位置不斷改變、嚙合齒對數目不連續變 化、變形誤差、齒對嚙合剛性、背隙、潤滑與磨耗等時變或非線性現象之處理，

將可能導致理論模型過度簡化而無法有效分析上述之各種問題，其它如齒形修 整、加工與組合誤差、受負荷彈性變形、或者潤滑與磨耗等多物理量耦合現象，

應用等效離散之理論模式很難有效地描述，因此對於螺旋齒輪對動態之深入探討 也將不易展開。

因此本文希望能建立應用連體幾何模式之螺旋齒輪對動態的分析技術，來更 精緻有效的描述齒輪複雜幾何外形以及時變非線性現象，探討含有製造誤差與齒 輪修整與螺旋齒輪對之動態特性，以建立設計高速與高精密螺旋齒輪對之依據。

以近似實際齒輪幾何外形的連續體模式，探討誤差與修整對於螺旋齒輪對動態之 影響。本文將從事組合誤差對於螺旋齒輪對動態之影響分析，探討在特定之組合 誤差下如齒形誤差、軸平行度誤差下之齒輪動態特性，分析組合誤差與螺旋齒輪 對動態之關係，並進行輪齒接觸分析以驗證之。接著將從事齒輪修整、齒頂導角

與過切對於螺旋齒輪對之動態分析，將齒輪施以隆齒修整，探討螺旋齒輪在含有 特定製造與組合誤差下，分析隆齒修整與齒輪對動態之關係。

1.3 文獻回顧

關於齒輪力學分析理論，一個多世紀前Lewis [1] 即以懸臂樑公式，推導出 靜態齒根應力計算方法，此方法加上關於表面疲勞應力之赫茲接觸理論為目前齒 輪設計與計算上最重要的兩個基本公式。隨著更高精度與速度機械性能發展，對 於齒輪系統有更高精密化、高速度、低振動噪音、高可靠度的傳動要求日趨嚴格，

螺旋齒輪的動態特性要求也更為重要。漸開線齒輪由於易高精密加工、作用線為 直線、設計易搭配性、以及齒輪共軛嚙合關係不會受到軸中心距離變化的影響等 設計與製造優良特性而廣受採用，幾乎可稱為齒輪曲線之標準。但是事實上完美 之漸開線共軛嚙合關係僅存於理想之方程式中，即使理想完美齒輪系統也受到眾 多設計製造與操作因素所影響，而各種誤差造成漸開線齒輪對偏離其理想之共軛 嚙合關係，加運轉過程中嚙合齒對數目不連續變化，導致齒輪系統動態特性的劣 化之主因 [2]。

傳統的質量-阻尼-彈簧的離散模式，一直為齒輪動態分析所使用方法。利用 這種簡化的等效離散模式，且已有大量研究成果發表，如Ozguven 和 Houser [3]

整理眾多齒輪動態研究相關之文獻；而關於影響齒輪系統特性之齒形修整，齒形 誤差 [4-6]、嚙合點位置改變、背隙等，分別以時變/非時變或線性/非線性之等效 阻尼-彈簧來描述之。而 Yoon 和 Rao [7]考慮齒輪受力變形後之外形，利用三階 曲線描述齒輪的輪廓，以降低齒輪的傳動誤差與動態負載。另外 Vedmar 和 Henriksson [8] 以有限元素法計算齒輪剛度與正齒輪對之動態因子，應用齒頂圓 角修整方法，消除齒輪嚙合奇異點產生之情形。在 2001 年，Kahraman 和 Blankenship [9] 分析並量測接觸率對齒輪動態之影響。最近 Nadolski 和 Pielorz [10] 以離散-連體模式，用非線性之接觸力來分析齒輪對之動態負荷。Kahraman

和 Singh [11]分析有關正齒輪對在有背隙情況下之非線性動態。吳茂榮[12]則是 對於包含潤滑特性之正齒輪動態分析進行探討。

但是應用上述等效離散幾何模式，雖然可以簡化齒輪系統之幾何模式減少運 算時間，但是當處理齒輪接觸點位置不斷改變、嚙合齒對數目不連續變化、變形 誤差、齒對嚙合剛性、背隙、潤滑與磨耗等時變或非線性現象之處理，將會極為 麻煩，或可能導致理論模型過度簡化而無法有效分析上述之各種問題，其它如齒 形修整、加工與組合誤差、受負荷彈性變形、或者潤滑與磨耗等多物理量耦合現 象，應用等效離散之理論模式很難有效地描述。或可言之，以等效離散理論模式 將太簡化齒輪系統，僅能模擬極為有限的齒輪種類以及極簡化的幾何與力學條 件。

近來隨著電腦軟硬體技術之進展，電腦輔助工程 (CAE) 分析技術之發展 已日趨成熟，且已廣泛應用於各種領域工程問題的分析。而關於齒輪力學分析之 幾何模式，已逐漸由簡化的等效離散模式進展至直接以 2D/3D 連續體幾何模式 來描述之。Huang 和 Liu [13, 14] 以級數法獲得齒輪對勁性分析，應用動態勁性 法並考慮移位修整與間隙，計算正齒輪對之動態齒頂位移與齒根應力。近來應用 如有限元素法 (FEM) 等各種連體方法與數值技術，直接進行齒輪系靜態與動態 問題的分析，已漸為趨勢。Tsai 和 Tsai [15] 以及 Litvin 等學者 [16] 分別以有限 元素法分析齒輪之靜態應力，而Chen 和 Tsay [17] 以有限元素法 ABAQUS 軟體 模擬分析螺旋齒輪組承受局部的靜態接觸負荷時之輪齒變化。然而目前此種連續 體幾何模式的分析方法，但整體上仍只應用於靜態力學分析為主。直到最近的研 究 [18, 19] 才開始直接應用連體模式之 FEM 方法，進行齒輪系統動態之探討。

梁竣傑[20] 應用連體模式進行行星齒輪系統之動態分析。馮上爚[21] 同樣應用 連體模式進行正齒輪對之動態分析。最近Brauer [22] 採用 Litvin [23] 的齒輪幾 何原理，可建立包括正齒輪、螺旋齒輪、直傘齒輪與蝸旋傘齒輪之網格模式，並 且考慮過切狀況齒輪創成，但其所用3D 齒條形刀具的創成方法，並沒有考慮齒 頂與齒底修整，或導程與隆齒修整因素，因此當必須考慮此方面因素時，其網格

模式建立將較受限制。

而螺旋齒輪具有運轉平順、低振動噪音、高精密傳動與高傳遞功率-體積比 等優良特性，為精密機械最重要傳動。本文希望能建立應用連體幾何模式之螺旋 齒輪對動態的分析技術，來更精緻有效的描述齒輪複雜幾何外形以及時變非線性 現象，探討含有製造誤差與齒輪修整與螺旋齒輪對動態特性，以建立設計高速與 高精密螺旋齒輪對之依據。

因此本文希望以近乎實際齒輪幾何外形的連續體模式，探討誤差與修整於螺 旋齒輪對動態之影響。本文將從事組合誤差對於螺旋齒輪對動態之影響分析，探 討在特定之加工與組合誤差下如齒形誤差、軸平行度誤差下之齒輪動態特性，探 討螺旋齒輪在含有特定製造與組合誤差下，分析加工與組合誤差與齒輪對動態之 關係，並進行輪齒接觸分析以驗證之。接著將從事齒輪修整於螺旋齒輪對動態分 析，將齒輪施以齒輪修整，探討螺旋齒輪在含有特定製造與組合誤差下，分析齒 輪修整與齒輪對動態之關係。

1.4 內容大綱

本文主要在建立應用連體幾何模式之螺旋齒輪對動態的分析技術，並探討 齒輪修整、組合誤差、齒頂導角與過切等之影響。內容第一章說明研究背景、研 究動機、研究目的及參考文獻。在第二章介紹各種齒輪輪廓方程式之推導，敘 述包括齒輪修整與誤差之意義，推導出可包含齒輪修整之漸開線齒形方程式，

再利用漸開線齒形方程式來說明齒輪接觸分析。論文第三章在說明本文所使用 的齒輪網格模式的建立過程，並介紹建模時和LS-DYNA設定時所使用的參數，

以及各參數的意義。第四章內容以FEMB產生3D網格模式，應用LS-DYNA之求 解器進行螺旋齒輪對動態分析，包括齒輪隆齒修整、過切、組合誤差與齒頂導 角等因素，將獲得螺旋齒輪對的齒根應力、接觸力、接觸應力和傳動誤差。第

五章包括本文整合已完成的工作項目所得到的結論，以及本文未來值得探討的 課題。

第二章 齒輪幾何模式

本章敘述何謂齒輪修整與誤差，並推導出漸開線齒形方程式，再利用漸開線 齒形方程式來說明齒輪接觸分析。

2.1 齒輪修整

齒輪修整在齒輪的設計相當重要的手段，如移位修整、輪廓修整、齒線修整 等。由於在工程實務方面，標準齒輪在很多情況下並不適用，必須依照實際操作 條件來進行適當的調整，如移位修整即在模數齒數不變的情況下進行調整中心 距。此方法可以使工程師在設計齒輪時，根據設計需要做出修改，使齒輪更符合 適應運轉之要求。隆齒(crowning)則是其中一種齒輪修整方法，它可以降低因加 工與組裝或是設計不良時所造成的誤差之影響，把組合誤差所造成的影響減少到 最低，也就是降低齒輪對於精密度的敏感度，使得齒輪在受到組合誤差的影響時 依然保持較高的效率。

2.1.1 隆齒修整

齒輪有隆齒修整時，齒輪對之嚙合關係為點接觸，理想之正/螺旋齒輪對其 嚙合關係為線接觸，為一條橫切過齒面的直線，而當齒輪對有組裝時，並非是安 裝成理想正確的角度，即是所謂的組合誤差。也就是組裝時，而是與正確安裝時 的軸心之間有一個夾角，此時具有隆齒的齒輪在嚙合時同樣是一點接觸且位置與 沒有組合誤差時相差不遠，因而使得組合誤差的影響降低，但是沒有隆齒的齒輪

在嚙合時卻會因為組合誤差所造成的角度差，而使得接觸位置從線接觸變成點接 觸，而且接觸點會大幅移動到邊緣，由於齒面邊緣的受力強度較差，該位置長期 受力將會使得齒輪本身的使用壽命縮短，對於齒輪強度影響較大，所以當設計齒 輪時有加入隆齒這個設計參數，就可以相當程度地減少組合誤差在運轉時的影 響，使得齒輪依然保持較高的效率。圖2-1 與圖 2-2 為不含隆齒與包含隆齒之圖 形，圖中顯示隆齒與不含隆齒的齒輪之差異。

不含隆齒之齒線

圖2-1 標準正齒輪圖

含隆齒之齒線

圖2-2 包含隆齒之齒輪圖

2.1.2 隆齒之分類

一般的隆齒是當齒輪創成時，由正常的齒面由中間向兩旁增加切削量，形成 一個中間突岀的弧度，是本文主要所提到的隆齒，如圖2-3;還有一種隆齒是由齒 面中間向上下增加切削量，稱為齒形隆齒(profile-crowning)，因為齒形本身就有 弧度，所以比較不明顯；另有一種隆齒是由齒面中間向上下左右增加切削量，比 一般的隆齒更加突出，稱為雙重隆齒(double-crowning)。

未隆齒之齒線 隆齒之齒線

圖2-3 含隆齒與不含隆齒之齒形比對

2.2 齒輪誤差

實際的齒輪幾何外形模式包括理想的齒輪外形方程式加上各種製造誤差與 所設計之齒輪修整量。實際製造完成的齒輪幾何外形 包括理論曲線外形 加 上其它總偏移量

1

Re R₁

e 包括製造與彈性變形誤差與設計修整量。本文將齒輪誤差分∑

eL

為三大項：(i) 加工誤差包含齒形誤差e_F、導程誤差 、節距誤差e 、偏心誤差_P

， (ii) 組合誤差 則分為軸中心距誤差、軸平行度誤差、軸偏心誤差等，以 及 (iii) 受外力造成之動態彈性變形誤差 。也就是說

eEC e_A

eEL

1 1

e

= + ∑

R R e (2-1)

其中e_∑可分為各種製造與彈性變形誤差e 以及設計齒輪修整_M m_∑，即

∑ = M + ∑

e e m (2-2)

M = F + L+ P+ EC+ A+ EL +

e e e e e e e e_B (2-3)

各誤差項說明如下：

(a) 齒形誤差 ：漸開線齒輪的齒形誤差表示為不考慮齒輪的修整值，實際的齒 形曲線與理想漸開線曲線之差異量。

eF

節距

圖2-4 齒輪節距誤差e 圖示 _P

(b) 導程誤差 ：為沿齒輪寬度方向，實際的齒線與理想齒線之差異量。 e_L (c) 節距誤差e ：定義為在理論節圓上，實際的周節齒線與理想周節之相臨兩齒_P

⎥

或全部齒之最大差異量，如圖2-4所示。

(d) 偏心誤差 ：在此定義為齒輪之軸孔位置偏移理論節圓中心之值，如圖2-5 所示，此誤差將造成呈正弦波變化之轉動誤差，可表示為

eEC

,2 2 2

EC = EC −

e M R R (2-4)

齊次座標轉換矩陣M_{EC, 2}寫成

, 2

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1

EC

EC EC

x y

⎡ Δ ⎤

⎢ Δ ⎥

=⎢

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

M (2-5)

其中Δx_EC, Δy_EC為 x 、 軸方向之偏心量。 y

圖2-5 齒輪偏心誤差e_EC圖示

(e) 齒輪組合誤差 ：包括軸中心距離誤差與軸不平行度誤差。如圖2-6所示，

齒輪對之組合誤差關係，圖中 為理想軸中心， 為軸距偏移軸中心， 為軸 eA

z z' Δc

距誤差， r 與_x r_y分別為x軸與y軸之角度方向誤差值，z₂, z₃為有r 、_x r_y誤差之實 際軸中心，其中軸距誤差並不會影響到齒面嚙合共軛關係，因此對於齒輪靜態傳 動誤差沒有影響，但不同軸距會改變背隙量，因此對於齒輪動態分析仍需加以討 論。而軸不平行度誤差則對於齒輪靜動態傳動誤差都有影響。齒輪組合誤差 可 表示為

eA

2 2 2

A = m −

e M R R (2-6)

其中M_m2為兩者齊次座標轉換矩陣。一般角度誤差值 r 、_x r_y數值很小，因此 可寫成

2

Mm

m2

1 0 0 0 cos 0 sin 0 1 0 0

0 cos sin 0 0 1 0 0 0 1 0 0

0 sin cos 0 sin 0 cos 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

x y

x x

x x x

r r

r r

r r r r

− Δx

⎡ ⎤⎡ ⎤⎡

⎢ − ⎥⎢ ⎥⎢

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢

=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢

⎣ ⎦⎣ ⎦⎣

M

⎤⎥

⎥⎥

⎥⎦

(2-7)

應用以上述過程可單獨個別誤差項、部分誤差項、或多項的獲得齒形幾何模式，

以作為齒輪網格模式之基礎。

(f) 彈性變形誤差 ：如圖2-7所示，彈性變形誤差則是考慮齒輪承受負載所產 生之靜動態變形誤差。當應用連體幾何模式來分析螺旋齒輪對動態時，若軟體具 備優良的接觸碰撞偵測的數值分析能力，在分析過程可自動將動態變形誤差予以 包含，若使用離散模式將很難描述之。

eEL

圖2-6 齒輪組合誤差e_A圖示

變形後實際齒廓外形

理論齒廓外形

圖2-7 齒輪彈性變形誤差e_EL圖示

(g) 背隙誤差 ：如圖2-8所示，嚙合齒輪對必須具有背隙，以吸收製造與彈性 變形之誤差，或溫昇、潤滑油膜等，為設計上必需予以給定。不適當背隙值所產

eB

生之非線性衝擊之動態響應，卻也是造成齒輪系統產生振動噪音很重要原因。設 計應用上，嚙合背隙可利用齒輪加工過程調整其進刀量來產生或直接以增加中心 距離來形成。

圖2-8 齒輪背隙誤差e_B圖示

本文中，(a)-(c)項誤差則直接於齒形幾何模式來考慮，(d)-(e)項之齒輪偏心 與組合誤差則直接應用網格前處器FEMB，將網格做平移或角度旋轉來形成；(g) 項之背隙若於齒輪加工產生則由前述幾何理論模式直接創成產生，若由於改變齒 輪中心距而產生背隙則將直接由FEMB之網格平移產生。

對漸開線齒輪而言，齒形位置造成的誤差如齒輪偏心誤差影響較小，而齒形 大小造成的誤差有齒形半徑大小的誤差和螺旋角加工誤差等，本文依上述誤差，

首先建立各種誤差的數學模型，並利用齒面接觸分析原理(tooth contact analysis，

簡稱TCA)分析各單一誤差造成的齒面接觸位置偏差與傳動誤差的影響，並依據 齒印的變化去分析誤差的來源。

2.3 齒輪輪廓方程式之創成

2.3.1 齒條形刀具截面方程式

漸開線齒輪之齒廓外形一般是由漸開線與齒底圓角所組成，可分別由齒條形 刀具之直線部分與頂部外圓角部分來創成產生。圖2-9表示座標系 平行 於齒條形刀具之法向(normal)截面以及平行於橫向(transverse)截面之 座 標系之關係。圖2-10表示齒條形刀具之任一個橫向截面的輪廓方程式與

之關係，其中的

( , , )

n n n n

S x y z

1( , , )1 1 1

S x y z

1( , , )1 1 1

S x y z

x 軸通過刀具齒間的中間位置，1 y 軸則對齊齒刀基準節線。因此₁ 齒刀橫向截面的輪廓位置齊次座標向量可寫成R1=[x1 y1 z1 1]^T，其中T為向量轉 置符號。並將齒刀橫向截面的直線I、II部分與齒頂外橢圓曲線部分之輪廓方程 式分別推導於下：

Sn座標係

S1座標係

圖2-9 平行於兩齒刀截面間之座標系 和S_n S₁的關係

z

(a) 齒刀之直線I部分之輪廓方程式

由圖2-10所示，齒條形刀具橫向截面的直線I部分之輪廓方程式，可表示於座 標系S x y z₁( , , )_{1 1 1} 為

1 1 1

1 1 1 1 g

1

cos

( sin tan ) S tan

r

r

z

x a

y a b

z

α

α α

= −

= ± − − + ⋅

=

I I

I

A A A

β A

r d n c n

a f m c E m

(2-8)

其中

ς

= ⋅ − + − ⋅ (2-9)

/ 2 ( ) tan 1

4

t

t c n

b=πm −c − E − ⋅ς m ⋅ α (2-10)

( / cos )2

c c z

E =C ⋅ A β (2-11)

圖2-10 齒條形刀具之橫向截面輪廓與S₁座標系

而(2-8)式中之 則是^{A1 M0}到^M1的距離(如圖2.10所示)，^M1為在線段I上任意一點位 置。 是齒寬距離，而^{Az fd}為齒底高係數， 為法向模數， 為橫向模數， 為 齒底隙，而

mn m_t c

αn_{為法向壓力角，}α₁為橫向壓力角，^ρ 是齒刀法向截面之齒頂圓角 半徑，b是工作節圓之齒刀齒間， 為橫向背隙， 是考慮齒面隆齒(crowning)，

C

ct

Ec

c即為調整隆齒量之隆齒係數，β 為螺旋角，ς 是移位係數，M 和₀ M 分別是直₂ 線I的起終點。

(b) 齒刀直線II部分之輪廓方程式部分為

1 1 2 2

1 1 1 2 2

g 1

cos cos

( sin tan sin )

S tan

f r

f r

z

z

x a

y a b

z

α α

α α α

β

= − +

= ± − − +

+ ⋅

=

II

II

II

A A

A A

A A

(2-12)

在(2-12)式中A_f 線段I、II交點之線段I 長度，A₂是圖2-10中M 到₂ M 的距離，₃ M₃ 為在線段II上任意一點。而導角壓力角α₂與齒頂導角修整量h_j與b_j則可表示為

1 2

tan ( tan ) cos

j j n

j

b h

h α α

β

− + ⋅

= (2-13)

(c) 齒刀齒頂外橢圓角部分之輪廓方程式

1 1

1 1 1

1

sin sin

( tan cos cos ) tan

f r f

r f

x a r

y a b r S

z

ρ α θ

g z

α ρ α θ β

= − + −

= ± − − − + + ⋅

=

A A

(2-14)

在(2-14)式中θ 是齒底圓角座標位置的角度。在圖2-10中， 是橢圓中心到輪廓r M₀ 的距離，可表成

2 2 2

(sin cos cos )

r=ρ θ+ β θ ^{−1/ 2} (2-15)

此外當第(2-8)、(2-12)、(2-14)式中的± 號為＋時表示齒刀左邊輪廓的方程式，為

－時則代表右邊輪廓的方程式；而符號 為＋號時，為推導右手螺旋齒輪的齒面 輪廓，而_S 為－號時，則是推導左手螺旋齒輪。

Sg

g

1

2.3.2 創成齒輪之齒廓方程式

以下將利用齊次座標轉換以及嚙合方程式，推導出漸開線齒輪的漸開線與齒 底圓角之輪廓方程式。應用圖2-11之 與 之兩座標系關係，進行 齊次座標轉換，即

1( , , )1 1 1

S x y z S x y z₂( , , )_{2 2 2}

(2-16)

2 = 21

R M R

其中齊次座標轉換矩陣

21

cos sin 0 (cos sin ) tan sin sin cos 0 (sin cos ) tan cos

0 0 1

0 0 0 1

p g z

p g z

z

r S

r S

φ φ φ φ φ β φ

φ φ φ φ φ β

− + − ⋅

⎡ ⎤

⎢ − + ⋅ ⎥

⎢ ⎥

=⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

M

A A A

φ (2-17)

其中r_p是工作節圓半徑(即瞬心圓centrode)以及齒輪嚙合方程式

, ,

, ,

G G G G

r I r r I r

G G

r x r x

X x Y y

n n

− −

= (2-18)

圖2-11 齒輪創成之 和 的座標轉換圖示 S₁ S₂

(2-18)式中之 為瞬時中心的座標，而 與 為齒刀橫向截面輪廓的單位法 線向量之x與y方向分量。應用座標轉換與嚙合方程式 (2-16,2-18)式，並代入齒條 形刀之輪廓方程式，即可以得到漸開線齒輪各部之輪廓方程式如下：

, ,)

r I r I r x, r y,

1

(X^G,Y^G n^G n^G

(a) 齒輪漸開線I之輪廓方程式

2 1 1 1 1 1

2 1 1 1 1

2

( cos )cos ( sin tan

tan )sin

[( cos )sin ( sin tan

tan )cos ]

r p r

p g z

r p r

p g z

z

x a r a

b r S

y a r a

b r S

z

α φ α α

φ β φ

α φ α

φ β φ

= − + − −

− − + ⋅

= ± − + + −

− − + ⋅

=

I

I

I

A A

A

A A

A A

α (2-19)

(2-19)式中角度φ 為創成漸開線I輪廓之旋轉角

1 1

1

cos tan tan

sin

f r r g z

p p

a a b S

r r

α α β

φ α

− + +

=A − ⋅A

1

1 p

p

(2-20)

(b) 齒輪齒頂導角之輪廓方程式

2 1 2 2

1 2 2 g

2 1 2 2

1 2 2 g

2

( cos cos )cos ( sin

tan sin S tan )sin

[( cos cos )sin ( sin tan sin S tan )cos ]

f r p f

r z

f r p f

r z

z

x a r

a b r

y a r

a b r

z

α α φ α

α α β φ φ

α α φ α

α α β φ

= − + + −

− + − + ⋅ −

= ± − + + +

− + − + ⋅ −

=

II

II

II

A A A

A A

A A A

A A

A

φ

(2-21)

其中 (2-21)式之φ 為創成齒輪齒頂導角輪廓之旋轉角

1 2 2 2 1

2

cos( ) cos tan tan

sin

f r r g z

p p

a a b S l

r r

α α α α β

φ α

− − + + − ⋅

= A A −

(2-22)

(c) 齒輪齒底圓角之輪廓方程式

2

2

2

( sin sin )cos ( tan

cos cos tan )sin

[( sin sin )sin ( tan

cos cos tan )cos ]

f

r n p r t

t p g z

f

r n p r t

t p g z

f z

x a r r a

r r S

y a r r a

r r S

z

ρ α θ φ α

ρ α θ φ β φ

ρ α θ φ α

ρ α θ φ β φ

= − + − + − − −

− + − + ⋅

= ± − + − + + − −

− + − + ⋅

=

A

A A

b

b (2-23)

在(2-23)式之φ 為創成齒底圓角輪廓之旋轉角，

( )( )

( )

1

sin sin cos cos sin

tan cos / cos cos /

r n

p

r n g z

a q k rq

r q k

a b S

ρ α θ θ

φ θ θ

α ρ α β β

− − +

= +

⎡ ⎤

−⎣ + + − ⋅A ⎦ r_p

2

(2-24)

其中 k 、 為簡化公式分別為 q

2 2

sin cos cos

k = θ+ β θ (2-25) 1 2

sin sin 2

q=2 β θ (2-26)

利用上述推導方程式寫入CAD軟體之後，即可建立符合規範之各式齒輪立 體圖，圖2-12與圖2-13是使用CAD軟體，所繪出之正齒輪立體圖與螺旋齒輪立體 圖。

圖2-12 正齒輪CAD實體模式圖

圖2-13 螺旋齒輪CAD實體模式圖

2.4 齒輪過切

過切(under cutting)即齒條刀具在齒形創成過程中，齒根部份會被明顯的切 掉，降低齒根強度。齒輪過切之發生，與其齒數、齒頂高、移位係數、刀具壓力 角有關其條件如下：

2

2 sin

a min

c

Z f

α

< × (2-27)

( )

2

tan 4 0

sin

a c

c

f Z α ς

α

− − ≤ (2-28)

在過切的情況下，用原本程式推導出的漸開線齒形和齒底圓角會相交而並非端點 相連，所以在程式中接著用數值分析之牛頓法求岀漸開線與齒底圓角之交點，該 點就是漸開線和齒底圓角的新交點，圖2-14 為過切齒輪齒形及其新交點 A 點。

一般情形壓力角為20°時，不產生過切下限齒數為 17 齒，即齒數 17 齒以上就不 會產生過切。

A

漸開線與齒底圓角之交點

圖2-14 發生過切的齒輪齒形

2.5 齒頂導角

應用齒頂導角方法來避免齒頂與齒腹產生干涉，也是降低齒輪振動噪音等動 態效應之重要手段，但是最適當齒頂導角的尺寸隨著運轉與負載條件而有不同，

視情況而定。本文在此將齒頂導角包含的齒輪建模的過程中，使用數值分析之牛 頓法計算出齒頂導角在漸開線上的起點，即可加上齒頂導角，圖2-15 齒頂導角 的齒形及其起點B。

齒頂導角 B

圖2-15 有齒頂導角的齒形