December 28, 2004

 


»º º

December 28, 2004

 


1

1

1

^ª




n j



=

n n − j



= n!

j!(n − j)!




n

^



j

<sup>






</sup>



(y + 1) ⁿ

^

(y + 1) ⁿ =  ⁿ

j=0

n j

 y ^j .




 


 















 









Ë

1.1 (

^

)

^

n, m

^{  }

n ≥ m ≥ 1

^

 m j=0

n j


m j



=

n + m m

 .






n + m

^



m

<sup>

</sup>



j

 _n

j

 _m

j

 =  _n

j

 _m

m−j






n

^


j

^

m




m − j

^{ ü
}

m

<sup>




</sup>







f (y) = (y + 1) ^m (y ⁻¹ + 1) ⁿ

 






(y + 1) ^m

^{ }

y ^j

^{ }

 _m

j





(y ⁻¹ + 1) ⁿ

^{ }

y ^−j

^{ }

 _n

j





f (y)

^{ }

 m j=0

n j


m j

 .

 

f (y)

^


f (y) = (y + 1) ^m (y ⁻¹ + 1) ⁿ = y ^m (y ⁻¹ + 1) ^n+m .



f (y)

^{ }

n + m m

 .

 

 m j=0

n j


m j



=

n + m m

 .

1.1 (

^{ª }

)

^

n, m

^{  }

n ≥ m ≥ 1

^

 m j=0

m j

 ₂

n + 2m − j 2m



=

n + m m

 ₂ .





f (x, y) = (x + 1) ^n+m (x + 1 + y) ^m (y ⁻¹ + 1) ^m

 

x ^2m

^



(x + 1) ^n+m (x + 1 + y) ^m

^{ }

x ^2m y ^j

^{ }

m j


n + 2m − j 2m

 ,

(y ⁻¹ + 1) ^m

^{ }

y ^−j

^{ }

 _m

j





f (x, y)

^{ }

x ^2m

^



 m j=0

m j


n + 2m − j 2m


m j



=  ^m

j=0

m j

 ₂

n + 2m − j 2m

 .



(x + 1 + y) ^m (y ⁻¹ + 1) ^m =

 m j=0

m j



x ^j (1 + y) ^m−j (y ⁻¹ + 1) ^m

=  ^m

j=0

m j



x ^j y ^m−j (y ⁻¹ + 1) ^2m−j ,



(x + 1 + y) ^m (y ⁻¹ + 1) ^m

^{ }

x ^j

^{ }

 _m

j

 _2m−j

m−j





(x + 1) ^n+m

^



x ^2m−j

^{ }

 _n+m

2m−j





f (x, y)

^{ }

x ^2m

^{ }

 m j=0

m j


2m − j m − j


n + m 2m − j



=

n + m m

  _m

j=0

n m − j


m j



=

n + m m

  m

j=0

n m − j


m m − j



=

n + m m

  _m

j=0

n j


m j



=

n + m m

 ₂

 


.



f (x, y)

^{ }

x ^2m

^










  








1.1

^


n

^

n

^{

 }



1.2

^

r, n

^

1 ≤ r ≤ n

^

r r

 +

r + 1 r

 +

r + 2 r



+ · · · +

n r



=

n + 1 r + 1

 .



1.3

^

n

^{
 
}

(a, b, c, d)

^

0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ n.



1.4

^

 _n

2

 2



= 3

n + 1 4



, n ≥ 3,













n

^{ }

n ≥ 2

^{ 
}





p

<sup>

</sup>

n

^{
 }



1 − 1729 p ⁿ

 


(p, n)