参数估计参数估计

参数估计

提纲

 矩估计 (The Method of Moments)

 极大似然估计（ The Method of Maximum Likelihood ）

 估计量的评选标准

 区间估计

2

内容

 基本概念与枢轴变量法

 正态总体情形

 双正态总体情形

 单侧置信区间

 非正态总体均值的区间估计

3

区间估计

4

区间估计：根据样本给出未知参数 θ 的一个范围 ，并保证这个范围 以较大概率包含参数真值，即：

θθ ˆˆ

( ( , , ,

) ( , , ,

)) 1

P X X L X  

X X L X  

θθ ˆˆ

( , )

置信区间与置信度

5

1

1 1 2

, , ,

ˆˆˆ ( , , ) (  1,2),  ,

n

i i n

X

X X

X X i



   

定义：设总体含未知参数；对于样本 找出统计量:

使得：

L

L

1 2

{ ˆˆ } 1 , (0 1) P           

1 2

称区间，为的置信区间，为该 [   ˆˆ ]  1  

区间的置信度。

6

通常，采用 95% 的置信度，有时也取 99% 或 90%

1 2

[  ˆˆ  ] 1 

 



区间，是一个随机区间；给出 

该区间含真值的可靠程度。表示该区 间不包含真值的可能性。

5% 1 95%.

100 100

95 5

 





  

例如：若，即置信度为重

复抽样次，得到个区间，其中包含真

值的有个左右，不包含真值的有个左右。

几点说明

7

2.

1.

 越小 , 1-  越大 , 估计的可靠度越高 , 但

3. 

L

这时 , L 往往增大 , 因而估计精度降低 .

枢轴变量法

8

1.

而不包含其他未知参数，且的分布已知

，不依赖于任何未知参数。被称为枢轴 变量。

2.

，使得

3.

正态总体，均值的 μ 区间估计

9

(1).

2 1

1 2

, , ~ ( , )

1 [ ]

X X

X N

   



设设设设设设设设设设 

设设设设设设设设设设设设设设设设

2 2

0

0

, ~ (0,1) /

U X N

n

  



  

设已知方差则。

1 2

1 2

1 :

{ P U } 1 .



 

  



   

对于给定的置信度，查正态分布表，找出临界

值，，使得

正态总体，均值的 μ 区间估计

10

即：

对称区间最短

1 2

[ , ], {- P U } 1-

 

    

   

由此可找出无穷多组，；通常我们取对 称区间使：

/ 2 / 2

0

{- - } 1-

/

P u X u



n

 

   

u



/ 2 / 2

( u

) 1  / 2, u

  

查正态分布表求出

正态总体，均值的 μ 区间估计

11

得到 μ 的置信度为 1-α 置信区间为：

区间长度

L= ^——

短

/ 2 / 2

0

( - )

- /

u X u



n



   

0 0

/ 2 / 2

- X u X u

n n

 

 

       解出：

0 0

/ 2 / 2

[ - X u , X u ]

n n

 

 

  

0

2 u _/ 2

 n

 

正态总体，均值的 μ 区间估计

12

-2 -1 1 2

0.1 0.2 0.3 0.4

若  = 0.05

1 -α ¹ -α

取对称区间： 取非对称区间：

-2 -1 1 2

0.1 0.2 0.3 0.4

23

1

1 84 2 13

3 97

. ( . ) .

u

 u _

  



2

1

2

1 96 . ( . ) 1 96 3 92 . u

 u 

 u

   

23

u

1 3

u

2

u

1 2

u

例

13

已知幼儿身高服从正态分布，现从 5 岁的幼儿 中随机地抽查了 9 人，其高度分别为：

115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;

0

7 95%



 已知标准差，置信度为；

的置信区间。

试求总体均值

由样本值算得：

解：已知

 7 , n  9 ,

 0 . 05 .

. 115 )

110 120

115 9 (

1    

 

x

0.025 1.96

u

查正态分布表得临界值，由此得置信区间：

 



^{110 1 . 43 . 96 , 119 7 / . 57 9}

^{, 115 1 . 96 7 / 9}

115











正态总体，均值的 μ 区间估计

14

(2).

2

由于未知方差，可用样本方差：

~ ( 1)

/ 1

n

T X t n

S n



  

选取样本的函数： 

，使得：

与 分布表，得临界值

，查

对于给定的 1 

t

1 2

{ } 1

P

  T

  ，

[ 

, ], {| | P T 

} 1  

仍然取对称区间使：，

2 2 2

1

1

( )

n i

i

S X X

n



   ^{代替 / ~ ( 1)}

T X t n

S n



  

或：

正态总体，均值的 μ 区间估计

15

对称区间最短

/ 2( 1).

t t

n

直接查分布表得：

/ 2 / 2

{- ( 1) - ( 1)} 1

/ 1

n

P t n X t n

S n

 

 

     

即 

{ } 1

/ 1

n

P X

S n

 ^   

    

即， 

/ 2 ( 1)

t

n



正态总体，均值的 μ 区间估计

16

得到 μ 的置信区间为：

1    . 它以的概率包含参数

/ 2

( 1)

( 1)

1 1

- ⁿ

ⁿ

n n

S S

X t

X t

 ^  ^

 

    

解出：

/ 2 / 2

- ( 1) - ( 1)

/ 1

n

t n X t n

S n

 

     



/ 2

( 1)

( 1)

[ - 1 , ]

1

n n

n n

n

S S

X t X t





 n

   



正态总体，方差 σ ² 的区间估计

17

2 1, , _n ~ ( , )

X X X N  

设为总体的一个样本。L

2

2 2

2 ~ 1

 



nS

n

2 2

~ ( , ),

X N

总体求未知参数的区间估计。

2

1 2

1 

对给定的，查分布表，得临界值与，使得：

2

1 2

{ } 1

P        ， 

正态总体，方差 σ ² 的区间估计

18

2

2 2

1 2

2

1 2 2

{ } { } / 2 {

} 1

P P

P nS



    

  



   

   

由于分布不对称性，采用使概率对称的区间：

， 则，

2

1 1 / 2

2

2 / 2

( 1)

( 1).

n n





 

 

 

 

由图：=，

2

2 2

1 / 2

( 1) nS

( 1)

n n

 

 



    

正态总体，方差 σ ² 的区间估计

19

得到 σ² 的置信区间为

：

2 2

2

2 2

/ 2

( 1)

( 1)

n n

nS nS

n n

 

  ^  ^ 

 推得：

1   

以的概率包含.

. 1  _{的概率包含}  以 

2 2

2 2

/ 2 1 / 2

[ , ]

( 1) ( 1)

n n

nS nS

n n

 

  



2 2

2 2

/ 2 1 / 2

: [ , ]

( 1) ( 1)

n n

nS nS

n n

 

   



还可得的置信区间

例

20

设某机床加工的零件长度

今抽查 16 个零件，测得长度（ mm ）如下：

12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.06,

以置信度为 95% ，试求总体方差 的置信区间。

， ) ,

(

~ N  

X



由样本值算得：

解：已知 n  16 ,

 0 . 05 . S

 0.00229.

2 2

0.975

(15) 6.26

(15 27.5

   

查表，， ）

由此得置信区间：

 

16 0.00229 16 0.00229

, 0.0013, 0.0058 27.5 6.26

 

  

 

 

双正态总体情形

21

为总体

X~N ( 

 



 

设 X,Y 独立，置信度为 1 

 .

分别表示 X, Y 的样本均值与修正 样本方差 .

求

μ ₁ - μ ₂ ， σ ₁ ² / σ ₂ ²

1 2 1

( , X X , ,  X

)

1 2 2

( , , , Y Y  Y

)

2 2 2

1

; ,

, S Y S

X

双正态总体情形

22

相互独立 ,

1. 已知 , 求 的置信区间

2 2

1 2

1 2

1 2

~ ( , ), ~ ( , )

X N Y N

n n

 

  X , Y

1 2

2 2

1 2

1 2

( ) ( ) 0 1

~ ( , )

X Y N

n n

 

 

  



2 2

1

,

  

 

2 2

1 2

1 2

1 2

~ ( , )

X Y N

n n

 

 

   

双正态总体情形

23

解出 的置信区间为：



 

2 2

2 2 2 2

1 2 1 2

1 2 1 2

( X Y ) u , ( X Y ) u

n n n n

 

   

 

       

 

 

1 2

2 2 2 2

1 2

1 2

/ /

1

( ) ( )

{ X Y }

P u u

n n

 

  

 

  

    

 由：

1 2

2 2 2 2

1 2

1 2

/ /

( X Y ) ( )

u u

n n

 

 

 

  

  

 得：

双正态总体情形

24

取样本函数

2. 方差比 的置信区间

得，方差比 的置信区间：

2 1

2 2





1 1

1 2

2 2

2 2

1 1

/ ~ ( , )

/

F S F n n

S



   

2 2

2





2 2

1 1

1 2 2 2 1 2

1 2 2 2 2

1 1 / 1 1 1

{ ( , ) ( , )}

由 S /

P F n n F n n



S

 





       

2 2

1 1

2 2

2 2 1 2 2 1 2 1 2

1 1

1 1 1 1

/ /

( , ) , ( , )

S S

S F

n n S F

n n

 

     

 

例

25

某厂两条流水线包装产品，重量都服从正态分 布，其均值为





与

(1) 若已知方差 , 求均值差 的置信度为 0.95 的置信区间 ; (2) 求方差比置信度为 0.95 的置信区间 .

1

,

, ,

X X  X Y Y

, , ,

 Y

1 2

2 2

1 1

10 6 . , 9 5 . ,

2 4 . ,

4 7 .

x  y  s

 s



2 2

1

3 ,

4 ,

   

2

1 

 

例

26

解

查表得 ， n₁=13, n₂=17 代入公式 的置信区间为

(1) 取样本的函数 1 2

2 2

1 2

1 2

( ) ( ) 0 1

~ ( , )

X Y N

n n

 

 

  



0 025_.

1 96 .

u 

2

1 

 

2 2

1 2

2

1 2

0 238 2 438

( X Y ) u

( . , . )

n n



 

 

      

 

 

例

27

(2) 取样本函数 查表得

代入公式得方差比 的置信区间为

16 . 3

1 )

12 ,

16 ( ) 1

16 ,

12 (

89 . 2 )

16 ,

12 (

025 . 0 975

. 0

025 . 0





 F F

F

2 2

2





1 1

2 2

2 2

1 1

2 2

1 0 025 1 2 1 0 975 1 2

1 1

1 1 1 1

0 1767 1 6136

. .

( , ) , ( , )

( . , . )

n n

n n

S S

S F n n S F n n

 

 

 

 

     

 



2 2

1 1

2 2

2 2

12 16

/ ~ ( , )

/

F S F

S



 

单侧置信区间

28

某些问题只关心置信区间的上限或下限，

如次品率问题只关心上限 , 产品寿命问题只 关心下限。

对 0<α<1 ，样本 X₁

, X

, ... , X

1 1 2 1

ˆˆ( , , , ), X X L X

P (  ) 1  



_使，

ˆ

( ,  +  ) _{是的置信度的}  1   ˆ 1



单侧置信区间

29

对 0<α<1 ，样本 X₁

, X

, ... , X

2 1 2 2

ˆˆ( , , , ), X X X

P (  ) 1  

 L _使，   

ˆ

( -  ,  ) _{是的置信度的}  1  

ˆ 2



正态总体的单侧置信区间

30

置信度为 单侧置信下限 .

解： 设 是来自总体 X 的样本

，考虑

得到 解得单侧置信区间 由

2 2

~ ( ,   ),  _{未知，求的}  X N

( S t (n 1), ) X  n 

  

1, 2, _n

X X

X

t( 1), /

T X n

S n



   

1  

P( T  t (

n  1)) 1    <t ( 1), /

X n

S n



 

正态总体的单侧置信区间

31

求 的置信上

解： 设 是来自总体 X 的样本限。

考虑，

得到 解得单侧置信区间

由

~ N( ,  

) _，

X

的 ^1-

1, 2, _n

X X

X

2

2 2

2ⁿ

( 1),

nS n

 

   

2 2

P(





n



^nS

^

^{( n 1),}

 ^

^

2 2

1

(0, ).

( 1) nS



n





例

32

 一批元件寿命服从正态分布，抽取 5 只测 得寿命值： 1050,1100,1120,1250,1280. 求寿 命均值 的置信度 0.95 的单侧置信下限。

解： 的单侧置信下限为

，由样本知 及

或记为





^{X S t (n 1)}

n

  

5, 1160,

9950,

n  x  s 

1  0.95， t (n 1) t_   _0.05(4) 2.1318 把上述数值代入置信下限表达式得1065.

(1065,  ).

非正态总体均值的区间估计

33

（大样本法）

总体分布非正态时，通常很难求出统计量的

具体分布。若样本量较大，可利用极限定理

求出枢轴变量的近似分布，再求出未知参数

的区间估计。

非正态总体均值的区间估计

34

设为来自均值，方差的总体的一组样本，求 均值的置信度为的置信区间。

当充分大时，利用中心极限定理，有 ( 近似 )

若未知，则可用修正样本标准差代替。

所求均值的置信度为的置信区间为

例

 求分布 B(1,p) 中参数 p 的置信区间。样本容量 为 n ，置信度



35

解：令总体，样本为，样本方差为，修正样本 方差为。代入上页的公式，得所求置信区间为

这题是否可以不用修正样本标准差替 代总体标准差呢？

已知方差，估计均值 未知方差，估计均值 未知均值，估计方差

单正态总体

双正态总体

已知方差，估计均值差

未知方差但相等，估计均值差 未知均值，估计方差比

0 0

/ 2 / 2

[ - X u , X u ]

n n

 

 

  

/ 2( 1) / 2( 1)

[ -

, ]

1

n n

n n

n

S S

X t X t

   

n



 

2 2



2 2

/ 2 1 / 2

[ , ]

( 1) ( 1)

n n

nS nS

n n

 

   _ 

2 2

2 2 2 2

1 2 1 2

1 2 1 2

( X Y ) u , ( X Y ) u

n n n n

 

   

 

       

 

 

2 2

1 1

2 2

2 2 1 2 2 1 2 1 2

1 1

1 1 1 1

/ /

( , ) , ( , )

S S

S F

n n S F

n n

 

     

 