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第五章 参变量积分

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Academic year: 2022

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(1)

第五章 参变量积分

所谓含参量的积分是指如下两大类积分:

1. F x

( )

=

αβ f x y dy

( ) ,

若对于∀ ∈x

[ ]

a b

,

上述积分均是有意义的,即

[

α β

, ]

可以到无穷,积分是收敛的

(若为广义积分的话)。也就是说,作为y的函数,f x y

( ) ,

[

α β

, ]

上可积或广

义可积,则F x

( )

[ ]

a b

,

上就是关于x的函数,从积分本身的性质来讨论这类积 分与以往介绍的积分没有什么两样,但这里我们所关心的是:作为x的函数,F x

( )

f x y

( ) ,

的性质有哪些关系?F x

( )

何时是可积的?连续的?可导的?等等这一 系列的函数性质正是这一章我们要讨论的问题。

2. G x

( )

=

αβ( )( )xx f x y dy

( )

,

这种形式的积分与上面说的积分之不同之处在于G x

( )

的性质不但依赖于f x y

( ) ,

之性质,而且与α

( )

x β

( )

x 之性质相关。

另外,上面所介绍的含参量积分一般说来是非初等函数。因而在这里我们又可以接触到 非初等函数的具体形式。

§1  含参量的定积分

我们先从最简单的情形开始讨论。先看含参量的定积分,即f x y

( ) ,

作为y的函数无瑕

点,

[

α β

, ]

是有限区间的情形(或α

( ) ( )

x ,β x 均为有限区间)

为便于书写,记D =

[ ] [

a b

,

× α β

, ]

1 连续性

定理 1:

f x y

( ) ,

C

( )

D ,则I x y

( ) ,

=

αyf x t dt

( ) ,

C

( )

D 。

证明: 由连续定义,

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

0

0

0 0 0

0

, , , ,

, , ,

y y

y y

y

I x y I x y f x t dt f x t dt

f x t f x t dt f x t dt

α α

α

− = −

≤  −  +

∫ ∫

∫ ∫

上式中,第一项可利用函数之连续性,第二项利用函数的可积性说明为小量:

f x y

( ) ,

C

( )

D D 是有界闭集,所以 f x y

( ) ,

D 上一致连续。

(2)

( ) (

, 0, 0

)

2

( )

f x yf x y <ε β α 令: min 1,

2M δ = δ ε 

 M =( )

max

x y, D f x y

( ) ,

则当 xx0 <δ yy0 <δ 时,有:

( ) ( ,

0

,

0

) 2 ( )

0 0

2 2

I x y I x y y M y y M

M

ε α ε ε ε

− < β α − + − < + =

所以I x y

( ) ,

C

( )

D

证毕 定理 1 可以有如下形式之推论:

推论:

f x y

( ) ,

C

( )

D ,则F x

( )

=

αβ f x y dy

( ) ,

C a b

[ ] , ,即:

( ) ( ) ( )

0 0

lim , 0, lim ,

x x β f x y dy β f x y dy βx x f x y dy

α α α

=

=

推论可以简称为:极限号与积分号可以交换次序。

定理 2:

f x y

( ) ,

C

( )

D ,ϕ

( ) ( )

x

,

ψ x C a b

[ ] ,

x

[ ]

a b

, 时,

α ϕ

( ) ( )

x

,

ψ x β

则:

G x

( )

=

ϕψ( )( )xx f x y dy

( )

, C a b

[ ]

,

证明: 由于G x

( )

=

αψ( )x f x y dy

( ) ,

αϕ( )x f x y dy

( ) ,

=I x

( ,

ψ

( )

x

)

I x

( ,

ϕ

( )

x

)

由复合函数之连续性知:G x

( )

C a b

[ ] ,

2 可导性

定理 3:设

f x y

( ) ( ) , ,

fx x y

,

C

( )

D ,则F x

( )

=

αβ f x y dy

( ) ,

C( )1

[ ]

a b

,

F x

( )

=

αβ fx

( )

x y dy

, ,即求导与积分可以交换次序。

证明: 由导数定义:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

, ,

, 0 1

x

F x x F x f x x y f x y

x x dy

f x x y dy

β α

β

α θ θ

+ ∆ − = + ∆ −

∆ ∆

= + ∆ < <

中值定理

由于fx

( )

x y

,

C

( )

D ,由上一段推论知:

( ) ( )

0

lim

x

,

x

,

x β f x x y dy β f x y dy

α θ α

∆ →

+ ∆ =

所以F x

( )

=

αβ fx

( )

x y dy

,

(3)

同样由于由于fx

( )

x y

,

C

( )

D ,由上一段推论知:F x

( )

C a b

[ ] ,

所以F x

( )

C( )1

[ ]

a b

,

证毕

定理 4:

f x y

( ) ( ) , ,

fx x y

,

C

( )

D ,ϕ

( ) ( )

x

,

ψ x

[ ]

a b 上可导,

,

x

[ ]

a b

, 时,

α ϕ

( ) ( )

x

,

ψ x β

G x

( )

=

ϕψ( )( )xx f x y dy

( )

,

[ ]

a b 上可导,并且:

,

( )

( )( )xx x

( )

,

(

,

( ) ) ( ) (

,

( ) ) ( )

G x ψ f x y dy f x x x f x x x

ϕ ψ ψ ϕ ϕ

′ =

+ ⋅ ′ − ⋅ ′

证明: 令F u v x

( , , )

=

vu f x y dy

( ) ,

,则G x

( )

=F

(

ψ

( ) ( )

x

,

ϕ x

,

x

)

利用复合函数之求导法则,有:

( )

( )

( )

( , ( ) ) ( ) ( , ( ) ) ( )

( )( )

( ) ,

u x

v x

x x x

F du F dv F G x u dx v dx x

f x x x f x x x f x y dy

ψϕ

ψ

ψ ψ ϕ ϕ ϕ

==

∂ ∂ ∂

′ = ⋅ + +

∂ ∂ ∂

′ ′

= ⋅ − ⋅ +

证毕 例 1:

( )

x2

sin ( )

x

F x xy dy

=

y ,求F x

( )

解: 由定理 4,

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2

2

2

2

3 2

3 2 3 2

cos sin sin

2 1

2sin sin cos

2sin sin 3sin 2sin sin

x x

x x

x

x

y xy x x x x

F x dy x

y x x

x x

xy dy

x

x x x x

xy

x x x

⋅ ⋅

′ = + ⋅ − ⋅

= + −

− −

= + =

例 2:求积分I

( )

θ =

0π

ln 1 (

+θ

cos

x dx

)

θ <

1

解: 在θ ≤ − <

1

δ

1

内,由定理 3 知I

( )

θ 可导,因此:

( ) ( )

( ) ( ( ) )

( )

2 tan2

2 2

0 0

2 2

0

cos 2 1

1 cos 1 1 1

2 1 1

1 1 1

x t

x t

I dx dt

x t t

t t dt

θ π

θ θ θ

θ θ θ

= +∞

+∞

′ = = −

+ + + + −

 

=  + − + + − 

∫ ∫

(4)

所以:I

( )

θ =θ

2

π

2

1

1

θ2 π

2

= −

1

θ2

(

πθ

1

θ2 +

1 )

,因而:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

0 0 2 2

2 2

0

0 0

1 1 1

ln 1 1 ln 1 1 l n 2

I I θI d θ d

θ

θ θ θ πθ θ

θ θ

π θ π θ π

′ −

= + = +

− + −

= + − = + − −

∫ ∫

例 3:设u x

( )

=

0π

cos (

nθx

sin

θ θ

)

d ,求证:u x

( )

满足方程x u2 ′′+xu+

(

x2n u2

)

=0

证明: 由定理 3,

( )

0

sin ( sin )( sin )

0

sin ( sin ) sin

u x′ = −

π x θθ θd =

π x θ θ θd

( )

0

cos ( sin ) sin

2

u′′ x = −

π x θ θ θd

因而:x u2 ′′+xu+

(

x2n u2

)

( ) ( )

{ }

( ) ( ) ( )

{ }

( ) ( ) ( ) ( )

{ }

( ) ( )

2 2 2 2

0

2 2 2

0

0

0

sin cos sin sin sin sin

cos cos sin sin sin sin

cos sin sin sin sin cos

cos sin sin 0

x x n n x x n x d

x n n x x n x d

n x d n x n x d n x

n x n x

π π π

π

θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ

 

= − + −  − + −

= − − + −

= − + − − − +

= − + − =

故命题得证。

3 可积性

定理 5:

f x y

( ) ,

C

( )

D ,∀ ∈z

[ ]

a b

, 有:

az β f x y dy dx

( ) ,

β az f x y dx dy

( ) ,

α α

  =  

   

   

∫ ∫ ∫ ∫

证明: 令:F z

( )

az β f x y dy dx

( ) ,

α

 

= 

∫ ∫

  G z

( )

β az f x y dx dy

( ) ,

α

 

=

∫ ∫

 

一方面,由于f x y

( ) ,

C

( )

D ,所以

αβ f x y dy

( ) ,

C a b

[ ] ,

因而变上限积分F z

( )

可导,且F z

( )

=

αβ f z y dy

( ) ,

另一方面,∀ ∈y

[

α β

, ]

,变上限积分

az f x y dx

( ) ,

C( )1

[ ]

a b

,

,所以:

( )

a az

( ) ( )

,

G z f x dx dy f z y dy

z

β β

α

∂ 

′ =

∂

 =

所以:F z

( )

=G z

( )

,因此有F z

( )

=G z

( )

+C

又:z=a时,F a

( )

=G a

( )

,所以:C=

0

(5)

即: az β f x y dy dx

( ) ,

β az f x y dx dy

( ) ,

α α

  =  

   

   

∫ ∫ ∫ ∫

证毕

推论:

f x y

( ) ,

C

( )

D ,则: ab β f x y dy dx

( ) ,

β ab f x y dx dy

( ) ,

α α

  =  

   

   

∫ ∫ ∫ ∫

例 4:设

0

<a<b,求积分I =

01xb

ln

xxa dx

解: 由于 xb

ln

xxa =

abxydy,所以:

1 1 1

0 0 0

1 1

0

ln

ln 1

1 1 1

b a

b b

y y

a a

b y b

a a

x x

I dx x dy dx x dx dy

x

x dy b

y dy y a

+

−    

= =   =  

= = = +

+ + +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

例 5: 设f x

( )

C( )n

(

−∞ +∞

, )

(

n

1 )

,令

( ) ( ) ( ) ( )

f x f a

x a

g x x a

f a x a

 ≠

= −

 ′ =

求证:g x

( )

C( )n1

(

−∞ +∞

, )

证明: f x

( ) ( )

f a 01d f a t x a dt

( ( ) )

01f

(

a t x a

( ) ) (

x a dt

)

dt

− =

+ − =

+ − −

所以:

( ) ( )

01

( ( ) )

f x f a

f a t x a dt x a

− = ′ + −

xa

又因为:f

( )

a =

01f

(

a+t a a dt

(

) )

,所以:g x

( )

=

01f

(

a+t x a dt

(

) )

由于f

( )

x C( )n1

(

−∞ +∞

, )

,所以g x

( )

C( )n1

(

−∞ +∞

, )

例 6:计算积分I r

( )

=

0π

ln 1 2 cos (

r θ+r2

)

dθ r <

1

解: 在 r ≤ − <

1

δ

1

I r

( )

可导,因此:

( )

0 2

2 2cos 1 2 cos

I r r d

r r

π θ θ

θ

′ = −

− +

( ) 0

0

( 2cos ) 0

I′ =

πθ θd = ,而当r

0

时,

( )

0 2 2

0

1 1 1 1

1 2arctan tan 0

1 2 cos 1 2

r r

I r d

r r r r r

π θ θ θ π

θ

 −    − 

′ =

 − − +  =  −  +  =

所以:I r

( )

0

I r

( ) ( )

I

0

=

0

(6)

§2  一致收敛与极限函数之性质 1 一致收敛的概念

在 讲 授 函 数 项 级 数 之 时 , 曾 经 介 绍 过 函 数 序 列 的 一 致 收 敛 的 概 念 , 我 们 说 :

( ) ( )

fn xX f x 是指:

ε

0

∀ > N,当n> N时,∀ ∈Xx ,有: fn

( ) ( )

xf x <ε

由于有了一致收敛性,极限函数 f x

( )

的性质就可以由函数fn

( )

x 的性质推得,如一致 收敛之函数序列保持连续性、可导性、可积性等等。

这里我们要讨论另一种形式的一致收敛性,它不再是指函数列的收敛性,而是一般函数 极限的一致收敛问题,即将函数列的一致收敛的过程推广至一般的极限过程之一致收敛性。

对于含参量的广义积分,一般其收敛收是指积分:

0+∞ f x y dy

( ) ,

的收敛性,上述积分

之收敛性等价于函数F x A

( ) ,

=

aAf x y dy

( ) ,

A→+∞时的极限性质,我们在这里试图 引入函数F x A

( ) ,

的一致收敛性来讨论极限函数

0+∞ f x y dy

( ) ,

之性质。

定义 1:设ϕ

( )

x X 上定义,若∀ >ε

0

∃ >δ

0

,当 yY ,

0

< −y y0 <δ 时,

∀ ∈X ,有x f x y

( ) ( )

, ϕ x <ε

则称 f x y 对于

( ) ,

X 在yy0( yY )时一致收敛到ϕ

( )

x

记作:

( ) ( )

0

,

y y

f x y ϕ x

X

类似地,可定义y→+∞时的一致收敛性:

若∀ >ε

0

∃ >M

0

,当yYy>M 时,∀ ∈Xx ,有 f x y

( ) ( )

, ϕ x <ε ,称

( ) ,

f x y 对于Xy→+∞y∈Y)时一致收敛到ϕ

( )

x ,记作 f x y

( ) ,

y→+∞X ϕ

( )

x

例 1:求证 ( )

,

2 2

0 y

x y x

−∞+∞

+ ⇒

证明: 由于: 2 2

2 2

x y x y y y

x y x

+ − = ≤

+ + ,所以:

ε

0

∀ > ∃ = >δ ε

0

,当 y <δ时,∀ ∈ −∞ +∞x

( , )

x2+ y2 x <ε

所以: ( )

,

2 2

0 y

x y x

−∞+∞

+ ⇒

例 2:求证∀ >c

0

y→+∞时,

1 1

xy+

[

c

,

+∞

)

上一致收敛性;但在

( 0,

+∞

)

上不一致

收敛。

(7)

证明: 当

0

< ≤ <+∞c x 时,

1 1 1 0

< xy

1

cy

1

< cy

+ + y>0),所以

[ , )

1 0

1

c

xy y

+∞

→+∞

+

而对于X=

( 0,

+∞

)

,显然

1 0

1

y

xy

→+∞

+ ,但它不是一致收敛的,这是因为:

0

1 0

ε 2

∃ = > ,对于∀ >M

0

y>M 时, x0

1 ( 0, )

∃ = ∈y +∞ ,使得:

0

1 1

1 0 2

xy − = =ε

+ ,这是一致收敛定义的逆否命题。

下面我们来讨论一致收敛之充要条件:

定理 1:

yy0

( y

→+∞

)时,

f x y 在

( ) ,

xX 上一致收敛。

ε

0

∀ >

∃ >δ

0 ,(

∃ >M

0 ),当 ,

y y′ ′′∈Y ,且 0

0

0

y y y′ − y δ

< <

′′ −

y M

y M

′ >

′′ >

时, x

∀ ∈X ,有: f x y

(

,

) (

f x y, ′′

)

<ε

证明: 由一致收敛的定义,必要性是显然的;

充分性:针对yy0证明。

由条件知ϕ

( )

x ,使得:

( ) ( )

0

lim ,

y y f x y ϕ x

= ;

在条件中,令y′′ → y0,则我们得到:∀ >ε

0

∃ >δ

0

,当y′∈Y ,且

0

< y′−y0 <δ时,∀ ∈Xx ,有: f x y

(

, ′ −

) ( )

ϕ x ε

这就是一致收敛的定义,所以:

( ) ( )

0

,

y y

f x y ϕ x

X

证毕

定理 2: y

→+∞

yy0

)时,

f x y 在

( ) ,

xX 上一致收敛到ϕ

( )

x

yn

∀ ∈Y ,yn →+∞

yny0

),均有:

f x y

( ,

n

)

n ϕ

( )

x

→∞X

证明: 由一致收敛的定义,必要性也是显然的;

充分性:针对y→+∞证明。

采用反证法,假设f x y

( ) ,

x∈X上不一致收敛,则:

0

0

ε

∃ > n∃ ∈Yyn yn >n∃ ∈xn X,使得:f x y

(

n, n

) ( )

ϕ xnε0

这样构造出的yn∈Y yn →+∞,但f x y

(

n

,

n

)

不一致收敛于ϕ

( )

x

与条件矛盾。所以反证法假设不成立。

证毕

(8)

2 极限函数之性质

定理 3:(极限交换次序定理)

若 ( ) ( )

0

lim ,

x x

F x y ϕ y

=

, y

∀ ∈Y ,且

( ) ( )

0

,

y y

F x y ψ x

X

则: ( ) ( )

0 0 0 0

limlim , lim lim ,

x x y y y y x x

F x y F x y

=

x y 可以为无穷) 0

,

0

证明: ∀ ∈Yyn yny0,由定理 2 知F x y

( ,

n

)

n→∞X ψ

( )

x

又由于

( ) ( )

0

lim ,

n n

x x F x y ϕ y

= ,由序列(函数序列)极限性质,我们得到:

( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0

lim lim lim ,

n

lim lim ,

n

lim

n

x xψ x x x n F x y n x x F x y n ϕ y

= →+∞ = →+∞ → = →+∞

其中第二个等式用到了函数列的一致收敛性质。

又由数列极限与函数极限之关系,

已知∀ ∈Yyn

( ) ( )

0

lim

n

lim

n ϕ y x xψ x

→∞ = ,所以

( ) ( )

0 0

lim lim

y yϕ y x xψ x

=

即:

( ) ( )

0 0 0 0

limlim , lim lim ,

x x y y F x y y y x x F x y

=

证毕

定理 4:(连续性与可积性定理)

∀ ∈Yy

\ { }

y0

F x y 对于

( ) ,

xX 是连续的,且

( ) ( )

0

,

y y

F x y ϕ x

X

ϕ

( )

x C

( )

X ,且

[ ]

a b

,

X ,

( ) ( )

0

lim b , b

a a

y y F x y dx ϕ x dx

=

证明: 连续性:

,

0

x x ∈X∀ ∈Yy

\ { }

y0 ,有:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0 0

0 0 0

, , , ,

, , , ,

x x x F x y F x y F x y F x y x

x F x y F x y F x y F x y x

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

− = − + − + −

≤ − + − + −

由于

( ) ( )

0

,

y y

F x y ϕ x

X ,我们有:

ε

0

∀ > ∃ >δ

0

yy0 <δ时,∀ ∈Xx ,有 F x y

( ) ( )

, ϕ x <ε 3, 

所以,∃ ∈yO

(

y0

,

δ

)

F x y

(

, ′ −

) ( )

ϕ x <ε 3 F x y

(

0, ′ −

) ( )

ϕ x0 <ε 3 对于上述y′,由于F x y

( ) ,

对于x∈X是连续的,所以

δ

0

∃ > xx0 <δ时, F x y

(

, ′

)

F x y

(

0, ′

)

<ε 3,因此: 

( ) ( )

x x0 3 3 3

ϕϕ <ε +ε +ε =ε,即ϕ

( )

x C

( )

X

可积性:

(9)

由于函数ϕ

( )

x 是连续的,所以也是 Riemann 可积的。并且:

( ) , ( ) ( ) ( ) ,

b b b

a F x y dxaϕ x dxa F x yϕ x dx

∫ ∫ ∫

由于

( ) ( )

0

,

y y

F x y ϕ x

X ,我们有:

ε

0

∀ > ∃ >δ

0

yy0 <δ时,∀ ∈Xx ,有 F x y

( ) ( )

, ϕ x <ε

(

ba

)

 

所以: abF x y dx

( )

, ab

( )

x dx abdx

b a

ϕ ε ε

− < =

∫ ∫

即:

( ) ( )

0

lim b , b

a a

y y

F x y dx ϕ x dx

=

证毕

定理 5:(可导性)

F x y ,

( ) ,

F x y 在x

( ) ,

X Y (× X 为有界集)上定义,且满足:

1) ( ) ( )

0

lim ,

y y

F x y ϕ x

=

, 2) ( ) ( )

0

x

,

y y

F x y x

⇒ ΦX

, 则:

ϕ

( )

x

X 上可微,且ϕ′

( )

x = Φ

( )

x

证明: 先证:

( ) ( )

0

lim ,

y y

F x y ϕ x

= 是一致收敛的。

∀ ∈Xx y y′ ′′

,

∈Y,取定x0X,则有:

( ) ( )

( ) ( ) (

0

) (

0

) (

0

) (

0

)

, ,

, , , , , ,

F x y F x y

F x y F x y F x y F x y F x y F x y

′ − ′′

′ ′′ ′ ′′ ′ ′′

≤ − − + + −

由收敛性,∀ >ε

0

∃ >δ1

0

y′−y0 <δ1 y′′−y0 <δ1时,

(

0,

) (

0,

)

2 F x y′ −F x y′′ <ε

又因为:F x y

( ,

)

F x y

( ,

′′

)

x可导,由 Lagrange 中值定理:∃ ∈θ

( ) 0,1

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ( ) )

0 0

0 0 0 0 0

, , , ,

, ,

x x

F x y F x y F x y F x y

F x θ x x y F x θ x x y x x

′ − ′′ − ′ + ′′

′ ′′

= + − − + − ⋅ −

由于

( ) ( )

0

x

,

y y

F x y x

⇒ ΦX ,所以∃ >δ2

0

y′−y0 <δ2 y′′−y0 <δ2

( )

(

0 0 ,

) (

0

(

0

)

,

)

2

x x

F x +θ xx y′ −F x +θ xx y′′ ≤ε M 其中M为有界集X的直径。令:δ =

min {

δ δ1

,

2

}

则当 y′−y0 <δ y′′−y0 <δ时,有: F x y

(

,

)

F x y

(

, ′′

)

<ε

即:

( ) ( )

0

,

y y

F x y ϕ x

X

(10)

其次,令:

( ) ( ) ( ) ( )

0

0 0

0 0

, ,

,

x ,

F x y F x y

x x x x

G x y

F x y x x

 ≠

 −

=  =

显然:

( ) ( )

0

lim ,

x 0

,

x x

G x y F x y

=

( ) ( ) ( )

( )

0

0

0 0

0 0 0

lim ,

,

y y

x

x x

x x x x

G x y

F x y x x

ϕ ϕ

 ≠

 −

=  =

所以:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0

0 0 0

0 0

0

0 0

lim , lim lim , lim lim , lim

y y x y y x x

x x y y x x

x F x y G x y

x x

G x y x

x x

ϕ ϕ

ϕ

Φ = =

− ′

= = =

证毕

§3  含参量的广义积分

有了上一节关于一致收敛性的讨论,我们可以开始研究含参量之广义积分的性质了。含 参量的广义积分有两类:一类是无穷积分,F x

( )

=

a+∞ f x y dy

( ) ,

,另一类是瑕积分,

( )

ab

( ) ,

G x =

f x y dy

一般地广义积分的两类情形是可以通过变量替换互换的,因而这里我们着重考虑无穷积 分的情形。

1 含参量无穷积分的一致收敛性

令:F x A

( ) ,

=

aAf x y dy

( ) ,

,这是一个二元函数,当A→+∞时该函数关于x的一

致收敛性也就是广义积分的一致收敛性,因此:

定义: 若函数F x A

( ) ,

=

aAf x y dy

( ) ,

当 A→+∞时,对 xX 一致收敛,则称积

a+∞ f x y dy

( ) ,

对 xX 一致收敛。

例 1:讨论积分

0

xe xydy

+∞

的一致收敛性。

解: 显然,x>

0

时上述积分总是收敛的,但是否一致收敛呢?

按定义,F x A

( ) ,

=

0Axexydy= −

1

exA

x≥ >c

0

,则: F x A

( )

, − =1 exAecA0

(

A→+∞

)

所以

0

xe xydy

+∞

[

c

,

+∞

)

上一致收敛;

(11)

x>

0

,则:对于ε0 =e1∀ >A

0

0

x 1

∃ = A,使得 F x A

(

0,

)

− >1 e1 因而不是一致收敛的。 

2 一致收敛判别法 1) 一致收敛原理 ( ) ,

a+∞ f x y dy

xX一致收敛的充分必要条件为:∀ >ε

0

∃ >A a,当A A′ ′′ >, A 时,∀ ∈Xx

AA′′f x y dy

( ) ,

<ε

一致收敛原理的证明可由上一节得定理 1 直接得到。

2) Weierstrass 判别法(M 判别法)

类似于无穷积分的比较判别法,我们有如下的 Weierstrass 判别法:

若∀ ∈Xx ya时,有 f x y

( )

, M y

( )

,并且

a+∞M y dy

( )

收敛,则

a+∞ f x y dy

( ) ,

对于xX一致收敛。

3) Abel 判别法

命题 1: 1) ∫

a+∞ f x y dy

( ) , 对于 x

X 一致收敛;

2)

g x y 对于国定的

( ) ,

xX ,是y

的单调函数,且

g x y 一致有界,

( ) ,

即:

∃ >M

0 , x

∀ ∈X , y a≥

时,有

g x y

( )

, M

则: ∫

a+∞ f x y g x y dy

( ) ( ) , , 对于 x∈

X 一致收敛。

证明: 由条件 1),我们有:

ε

0

∀ > ∃ >A a,当A A′ ′′ >, A时,∀ ∈Xx

AA′′ f x y dy

( ) ,

<ε

2

M

由条件 2),应用积分第二中值定理,我们有:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

, , , , , ,

, ,

2 2

A A

A A

A A

f x y g x y dy g x A f x y dy g x A f x y dy M f x y dy M f x y dy

M M

M M

ξ

ξ ξ

ξ

ε ε ε

′′ ′′

′′

′ ′′

= +

≤ +

< ⋅ + ⋅ =

∫ ∫ ∫

∫ ∫

所以,

+∞ f x y g x y dy

( ) ( ) , ,

对于x∈X一致收敛。

(12)

4) Dirichlet 判别法

命题 2:若 1)

∃ >M

0 , x

∀ ∈X , A a≥

时,有 ∫

aA f x y dy

( ) ,

M

2)

g x y 对于国定的

( ) ,

xX ,是y

的单调函数,且

g x y

( ) ,

y→+∞X

0

则: ∫

a+∞ f x y g x y dy

( ) ( ) , , 对于 x

X 一致收敛。

证明: 由条件 2),∀ >ε

0

∃ >A a,当A A′ ′′ >, A时,∀ ∈Xx

g x A

(

, ′ <

)

ε 4M g x A

(

, ′′ <

)

ε 4M

同样应用积分第二中值定理,利用条件 1),我们有:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

, , , , , ,

2 , 2 ,

A A

A f x y g x y dy g x A A f x y dy g x A f x y dy M g x A M g x A

ξ

ξ

ε

′′ ′′

= ′ + ′′

′ ′′

≤ + <

∫ ∫ ∫

因而

a+∞ f x y g x y dy

( ) ( ) , ,

对于x∈X一致收敛。

证毕

3 含参量广义积分之性质

定理 1:(积分界内取极限定理)设:

1)

∀ ∈x X

\ { }

x0

f x y 是

( ) ,

y∈ +∞

[

a

, ) 上连续函数;

2) ∫

a+∞ f x y dy

( ) , 对于 x

∈X 一致收敛;

3)

x 是0 X 之聚点,且 b a∀ >

有 ( )

[ ]

( )

0

,

,

,

a b

x x x

f x y g y

X

则: ( ) ( )

0

lim ,

a a

x x +∞ f x y dy +∞g y dy

=

(有限值)。

证明: 考虑函数F x b

( ) ,

=

ab f x y dy

( ) ,

,这是一个含参量之定积分 由含参量之定积分的连续性,F x b

( )

, xx0

abg y dy

( )

又,由于条件 2),F x b

( ) ,

b→+∞xX

a+∞ f x y dy

( ) ,

由一致收敛函数之性质,有:

( ) ( )

0 0

lim lim , lim lim ,

x x b F x b b x x F x b

→+∞ = →+∞ →

因而

( ) ( )

0

lim ,

a a

x x +∞ f x y dy +∞g y dy

=

证毕

參考文獻

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