第五章 参变量积分

第五章 参变量积分

所谓含参量的积分是指如下两大类积分：

1. ^{F x}

( )

⁼

∫

_α^{β f x y dy}

( ) ^,

若对于^{∀ ∈x}

[ ]

^{a b}

^,

上述积分均是有意义的，即

[

^{α β}

^, ]

可以到无穷，积分是收敛的

（若为广义积分的话）。也就是说，作为y的函数，^{f x y}

( ) ^,

^在

[

^{α β}

^, ]

^{上可积或广}

义可积，则^{F x}

( )

^在

[ ]

^{a b}

^,

^{上就是关于x}的函数，从积分本身的性质来讨论这类积 分与以往介绍的积分没有什么两样，但这里我们所关心的是：作为x^{的函数，F x}

( )

与^{f x y}

( ) ^,

^{的性质有哪些关系？F x}

( )

何时是可积的？连续的？可导的？等等这一 系列的函数性质正是这一章我们要讨论的问题。

2. ^{G x}

( )

⁼

∫

_α^β_{( )}^{( )}_x^{x f x y dy}

( )

^,

这种形式的积分与上面说的积分之不同之处在于^{G x}

( )

^{的性质不但依赖于f x y}

( ) ^,

之性质，而且与^α

( )

^{x ，β}

( )

^{x 之性质相关。}

另外，上面所介绍的含参量积分一般说来是非初等函数。因而在这里我们又可以接触到 非初等函数的具体形式。

§1　 含参量的定积分

我们先从最简单的情形开始讨论。先看含参量的定积分，即^{f x y}

( ) ^,

^{作为y的函数无瑕}

点，

[

^{α β}

^, ]

^{是有限区间的情形（或}_^α

( ) ( )

^{x ,β x }_^{均为有限区间）。}

为便于书写，记^{D =}

[ ] [

^{a b}

^,

^{× α β}

^, ]

^。

1 连续性

定理 1：

^{f x y}

( ) ^,

^∈C

( )

^{D ，则I x y}

( ) ^,

⁼

∫

_α^{yf x t dt}

( ) ^,

^∈C

( )

^{D 。}

证明： 由连续定义，

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

0

0

0 0 0

0

, , , ,

, , ,

y y

y y

y

I x y I x y f x t dt f x t dt

f x t f x t dt f x t dt

α α

α

− = −

≤  −  +

∫ ∫

∫ ∫

上式中，第一项可利用函数之连续性，第二项利用函数的可积性说明为小量：

由^{f x y}

( ) ^,

^∈C

( )

^{D ，D 是有界闭集，所以 f x y}

( ) ^,

^{在D 上一致连续。}

( ) (

^{, 0, 0}

)

²

( )

f x y −f x y <ε β α− ^， 令： min ₁,

2M δ = δ ε 

 ^{，M =( )}

^max

_{x y, ∈D} ^{f x y}

( ) ^,

^，

则当 x−x₀ <δ ^， y−y0 <δ ^时，有：

( ) ( ^,

⁰

^,

⁰

) ² ( )

^{0 0}

^{2 2}

I x y I x y y M y y M

M

ε α ε ε ε

− < β α − + − < + =

−

所以^{I x y}

( ) ^,

^∈C

( )

^{D 。}

证毕 定理 1 可以有如下形式之推论：

推论：

^{f x y}

( ) ^,

^∈C

( )

^{D ，则F x}

( )

⁼

∫

_α^{β f x y dy}

( ) ^,

^{∈C a b}

[ ] ^{, ，即：}

( ) ( ) ( )

0 0

lim , 0, lim ,

x x ^β f x y dy ^β f x y dy ^βx x f x y dy

α α α

→

∫

=

∫

=

∫

→

^。

推论可以简称为：极限号与积分号可以交换次序。

定理 2：

^{f x y}

( ) ^,

^∈C

( )

^{D ，ϕ}

( ) ( )

^x

^,

^{ψ x ∈C a b}

[ ] ^{, ，}

且

^x∈

[ ]

^{a b}

^{, 时，}

^{α ϕ≤}

( ) ( )

^x

^,

^{ψ x ≤β}

^，

则：

^{G x}

( )

⁼

∫

_ϕ^ψ_{( )}^{( )}_x^{x f x y dy}

( )

^{, ∈C a b}

[ ]

^,

^。

证明： 由于^{G x}

( )

⁼

∫

_α^{ψ( )x f x y dy}

( ) ^,

⁻

∫

_α^{ϕ( )x f x y dy}

( ) ^,

^{=I x}

( ^,

^ψ

( )

^x

)

^{−I x}

( ^,

^ϕ

^{( )}

^x

)

由复合函数之连续性知：^{G x}

( )

^{∈C a b}

[ ] ^,

^。

2 可导性

定理 3：设

^{f x y}

( ) ( ) ^{, ,}

^{fx x y}

^,

^∈C

( )

^{D ，则F x}

( )

⁼

∫

_α^{β f x y dy}

( ) ^,

^{∈C( )1}

[ ]

^{a b}

^{, ，}

且

^{F x′}

( )

⁼

∫

_α^{β fx}

( )

^{x y dy}

^, ，即求导与积分可以交换次序。

证明： 由导数定义：

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

, ,

, 0 1

x

F x x F x f x x y f x y

x x dy

f x x y dy

β α

β

α θ θ

+ ∆ − = + ∆ −

∆ ∆

= + ∆ < <

∫

中值定理

∫

由于^fx

( )

^{x y}

^,

^∈C

( )

^{D ，由上一段推论知：}

( ) ( )

0

lim

_x

,

_x

,

x ^β f x x y dy ^β f x y dy

α θ α

∆ →

∫

+ ∆ =

∫

所以^{F x′}

( )

⁼

∫

_α^{β fx}

( )

^{x y dy}

^,

^。

同样由于由于^fx

( )

^{x y}

^,

^∈C

( )

^{D ，由上一段推论知：F x′}

( )

^{∈C a b}

[ ] ^,

^，

所以^{F x}

( )

^{∈C( )1}

[ ]

^{a b}

^,

^。

证毕

定理 4：

^{f x y}

( ) ( ) ^{, ,}

^{fx x y}

^,

^∈C

( )

^{D ，ϕ}

( ) ( )

^x

^,

^{ψ x}

^在 [ ]

^{a b 上可导，}

^,

且

^x∈

[ ]

^{a b}

^{, 时，}

^{α ϕ≤}

( ) ( )

^x

^,

^{ψ x ≤β}

^，

则

^{G x}

( )

⁼

∫

_ϕ^ψ_{( )}^{( )}_x^{x f x y dy}

( )

^,

^{在 [ ]}

a b 上可导，并且：

^,

( )

_{( )}^{( )}_x^{x x}

( )

^,

(

^,

( ) ) ( ) (

^,

( ) ) ( )

G x ^ψ f x y dy f x x x f x x x

ϕ ψ ψ ϕ ϕ

′ =

∫

+ ⋅ ′ − ⋅ ′

^。

证明： 令^{F u v x}

( ^{, ,} )

⁼

∫

_v^{u f x y dy}

( ) ^,

^{，则G x}

^{( )}

^=F

⁽

^ψ

^{( ) ( )}

^x

^,

^{ϕ x}

^,

^x

⁾

^。

利用复合函数之求导法则，有：

( )

_{( )}

( )

( ^, ( ) ) ^{( )} ( ^{, ( )} ) ^{( )}

_{( )}^{( )}

^{( ) ,}

u x

v x

x x x

F du F dv F G x u dx v dx x

f x x x f x x x f x y dy

ψϕ

ψ

ψ ψ ϕ ϕ ϕ

==

∂ ∂ ∂

′ = ⋅ + +

∂ ∂ ∂

′ ′

= ⋅ − ⋅ +

∫

证毕 例 1：

( )

^x2

^sin ( )

x

F x xy dy

=

∫

y ^{，求F x′}

^{( )}

^。

解： 由定理 4，

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2

2

2

2

3 2

3 2 3 2

cos sin sin

2 1

2sin sin cos

2sin sin 3sin 2sin sin

x x

x x

x

x

y xy x x x x

F x dy x

y x x

x x

xy dy

x

x x x x

xy

x x x

⋅ ⋅

′ = + ⋅ − ⋅

= + −

− −

= + =

∫

∫

例 2：求积分^I

( )

^{θ =}

∫

₀^π

^{ln 1} (

^+θ

^cos

^{x dx}

)

^{，θ <}

¹

^。

解： 在θ ≤ − <

1

δ

1

^{内，由定理 3 知I}

( )

^{θ 可导，因此：}

( ) ( )

( ) ( ^{( )} )

( )

2 tan2

2 2

0 0

2 2

0

cos 2 1

1 cos 1 1 1

2 1 1

1 1 1

x t

x t

I dx dt

x t t

t t dt

θ π

θ θ θ

θ θ θ

= +∞

+∞

′ = = −

+ + + + −

 

=  + − + + − 

∫ ∫

∫

所以：^I′

( )

^{θ =θ}

²

^π

²

⁻

¹

⁻

¹

^{θ2 π}

²

^{= −}

¹

^−θ2

(

^πθ

¹

^{−θ2 +}

¹ )

^，因而：

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

0 0 2 2

2 2

0

0 0

1 1 1

ln 1 1 ln 1 1 l n 2

I I ^θI d ^θ d

θ

θ θ θ πθ θ

θ θ

π θ π θ π

′ −

= + = +

− + −

= + − = + − −

∫ ∫

例 3：设^{u x}

( )

⁼

∫

₀^π

^cos (

^nθ−x

^sin

^{θ θ}

)

^{d ，求证：u x}

^{( )}

^{满足方程x u2 ′′+xu′+}

(

^{x2−n u2}

)

^=0。

证明： 由定理 3，

( )

₀

^sin ( ^sin )( ^sin )

₀

^sin ( ^sin ) ^sin

u x′ = −

∫

^π nθ−x θ − θ θd =

∫

^π nθ −x θ θ θd

( )

₀

^cos ( ^sin ) ^sin

²

u′′ x = −

∫

^π nθ −x θ θ θd

因而：^{x u2 ′′+xu′+}

(

^{x2−n u2}

)

( ) ( )

{ }

( ) ^{( ) ( )}

{ }

( ) ( ) ( ) ( )

{ }

( ) ( )

2 2 2 2

0

2 2 2

0

0

0

sin cos sin sin sin sin

cos cos sin sin sin sin

cos sin sin sin sin cos

cos sin sin 0

x x n n x x n x d

x n n x x n x d

n x d n x n x d n x

n x n x

π π π

π

θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ

 

= − + −  − + −

= − − + −

= − + − − − +

= − + − =

∫

∫

∫

故命题得证。

3 可积性

定理 5：

^{f x y}

( ) ^,

^∈C

( )

^{D ，∀ ∈z}

[ ]

^{a b}

^{, 有：}

_a^{z β} f x y dy dx

( ) ^,

^β _a^z f x y dx dy

( ) ^,

α α

  =  

   

   

∫ ∫ ∫ ∫ ^。

证明： 令：^{F z}

( )

_a^{z β} f x y dy dx

( ) ^,

α

 

= 

∫ ∫

  ^{，G z}

^{( )}

^{β az} f x y dx dy

^{( ) ,}

α

 

=

∫ ∫

  ^。

一方面，由于^{f x y}

( ) ^,

^∈C

( )

^{D ，所以}

∫

_α^{β f x y dy}

( ) ^,

^{∈C a b}

[ ] ^,

因而变上限积分^{F z}

( )

^{可导，且F z′}

( )

⁼

∫

_α^{β f z y dy}

( ) ^,

^；

另一方面，^{∀ ∈y}

[

^{α β}

^, ]

^{，变上限积分}

∫

_a^{z f x y dx}

( ) ^,

^{∈C( )1}

[ ]

^{a b}

^,

^，所以：

( )

_{a a}^z

( ) ( )

^,

G z f x dx dy f z y dy

z

β β

α

∂ 

′ =

∫

∂

∫

 =

∫

^。

所以：^{F z′}

( )

^{=G z′}

( )

^{，因此有F z}

( )

^{=G z}

( )

^+C。

又：z=a^{时，F a}

( )

^{=G a}

( )

^{，所以：C=}

⁰

^，

即： _a^{z β} f x y dy dx

( ) ^,

^β _a^z f x y dx dy

( ) ^,

α α

  =  

   

   

∫ ∫ ∫ ∫

^。

证毕

推论：

^{f x y}

( ) ^,

^∈C

( )

^{D ，则：} _a^{b β} f x y dy dx

( ) ^,

^β _a^b f x y dx dy

( ) ^,

α α

  =  

   

   

∫ ∫ ∫ ∫ ^。

例 4：设

0

<a<b，求积分^{I =}

∫

^01xb

_ln

⁻_x^{xa dx。}

解： 由于 ^xb

_ln

⁻_x^{xa =}

∫

^{abxydy，所以：}

1 1 1

0 0 0

1 1

0

ln

ln 1

1 1 1

b a

b b

y y

a a

b y b

a a

x x

I dx x dy dx x dx dy

x

x dy b

y dy y a

+

−    

= =   =  

= = = +

+ + +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

例 5： 设^{f x}

( )

^{∈C( )n}

(

^{−∞ +∞}

^, )

^，

(

^n≥

¹ )

^，令

( ) ( ) ( ) ( )

f x f a

x a

g x x a

f a x a

−

 ≠

= −

 ′ =



求证：^{g x}

( )

^{∈C( )n−1}

(

^{−∞ +∞}

^, )

^。

证明： ^{f x}

( ) ( )

^{f a} ₀^1d f a t x a dt

( ( ) )

₀¹f

(

a t x a

^{( )} ) ⁽

x a dt

⁾

dt ′

− =

∫

+ − =

∫

+ − −

所以：

( ) ( )

0¹

( ( ) )

f x f a

f a t x a dt x a

− = ′ + −

−

∫

^，x≠a

又因为：^f′

( )

^{a =}

∫

₀^1f′

(

^{a+t a a dt}

(

⁻

) )

^{，所以：g x}

^{( )}

⁼

∫

^01f′

⁽

^{a+t x a dt}

⁽

⁻

^{) )}

^。

由于^f′

( )

^{x ∈C( )n−1}

(

^{−∞ +∞}

^, )

^{，所以g x}

( )

^{∈C( )n−1}

(

^{−∞ +∞}

^, )

^。

例 6：计算积分^{I r}

( )

⁼

_∫

₀^π

^{ln 1 2 cos} (

^{− r θ+r2}

)

^{dθ ，r <}

¹

^。

解： 在 r ≤ − <

1

δ

1

^{内I r}

( )

^{可导，因此：}

( )

0 2

2 2cos 1 2 cos

I r r d

r r

π θ θ

θ

′ = −

− +

∫

^。

( ) ⁰

₀

( ^2cos ) ⁰

I′ =

∫

^π − θ θd = ^{，而当r ≠}

⁰

^时，

( )

0 ² 2

0

1 1 1 1

1 2arctan tan 0

1 2 cos 1 2

r r

I r d

r r r r r

π θ θ θ π

θ

 −    − 

′ =

∫

 − − +  =  −  +  =

所以：^{I r′}

( )

^≡

⁰

^{，I r}

( ) ( )

^≡I

⁰

⁼

⁰

^。

§2　 一致收敛与极限函数之性质 1 一致收敛的概念

在 讲 授 函 数 项 级 数 之 时 ， 曾 经 介 绍 过 函 数 序 列 的 一 致 收 敛 的 概 念 ， 我 们 说 ：

( ) ( )

fn x ⇒^X f x ^是指：

ε

0

∀ > ^，∃N^，当n> N^时，∀ ∈Xx ^，有： fn

( ) ( )

x − f x <ε^。

由于有了一致收敛性，极限函数 ^{f x}

( )

^{的性质就可以由函数}fn

( )

x 的性质推得，如一致 收敛之函数序列保持连续性、可导性、可积性等等。

这里我们要讨论另一种形式的一致收敛性，它不再是指函数列的收敛性，而是一般函数 极限的一致收敛问题，即将函数列的一致收敛的过程推广至一般的极限过程之一致收敛性。

对于含参量的广义积分，一般其收敛收是指积分：

∫

₀^{+∞ f x y dy}

( ) ^,

^{的收敛性，上述积分}

之收敛性等价于函数^{F x A}

( ) ^,

⁼

∫

_a^{Af x y dy}

( ) ^,

^{当 A→+∞}时的极限性质，我们在这里试图 引入函数^{F x A}

( ) ^,

的一致收敛性来讨论极限函数

∫

₀^{+∞ f x y dy}

( ) ^,

^之性质。

定义 1：设^ϕ

( )

^{x 在X 上定义，若∀ >ε}

⁰

^{，∃ >δ}

⁰

^{，当 y∈Y ，}

⁰

^{< −y y0 <δ 时，}

∀ ∈X ，有x ^{f x y}

( ) ( )

^{, −ϕ x <ε}

则称 ^{f x y 对于}

( ) ^,

^{X 在}y→y0（ y∈Y ）时一致收敛到^ϕ

( )

^{x ，}

记作：

( ) ( )

0

,

y y

f x y ϕ x

⇒→^X 。

类似地，可定义y→+∞^{时的一致收敛性：}

若∀ >ε

0

^，∃ >M

0

^，当y∈Y^，y>M ^时，∀ ∈Xx ^{，有 f x y}

( ) ( )

^{, −ϕ x <ε ，称}

( ) ^,

f x y 对于X^在y→+∞^（y∈Y^{）时一致收敛到ϕ}

( )

^{x ，记作 f x y}

( ) ^,

_y→+∞^{⇒X ϕ}

( )

^{x 。}

例 1：求证 ^{( )}

,

2 2

0 y

x y x

−∞+∞

+ ⇒→ 。

证明： 由于： ^{2 2}

2 2

x y x y y y

x y x

+ − = ≤

+ + ^，所以：

ε

0

∀ > ^，∃ = >δ ε

0

^，当 y <δ^{时，∀ ∈ −∞ +∞x}

( ^, )

^{， x2+ y2− x <ε ，}

所以： ^{( )}

,

2 2

0 y

x y x

−∞+∞

+ ⇒→ ^。

例 2：求证∀ >c

0

^，y→+∞^时，

1 1

xy+ ^在

[

^c

^,

^+∞

)

^{上一致收敛性；但在}

( ^0,

^+∞

)

^上不一致

收敛。

证明： 当

0

< ≤ <+∞c x ^时，

1 1 1 0

< xy

1

≤ cy

1

< cy

+ + ^{，（y>0），所以}

[ ^, )

1 0

1

c

xy y

+∞

→+∞⇒

+ ^；

而对于^X=

( ^0,

^+∞

)

^，显然

^{1 0}

1

y

xy

→+∞→

+ ，但它不是一致收敛的，这是因为：

0

1 0

ε 2

∃ = > ^，对于∀ >M

0

^，y>M ^{时， x0}

¹ ( ^0, )

∃ = ∈y +∞ ^，使得：

0

1 1

1 0 2

xy − = =ε

+ ，这是一致收敛定义的逆否命题。

下面我们来讨论一致收敛之充要条件：

定理 1：

y→y₀

（ y

→+∞

）时，

^{f x y 在}

( ) ^,

^{x∈X 上一致收敛。⇔}

ε

0

∀ >

，

∃ >δ

0 ，（

∃ >M

0 ），当 ,

y y′ ′′∈Y ，且 ⁰

0

0

y y y′ − y δ

< <

′′ −

（

^{y M}

y M

′ >

′′ >

） 时， x

∀ ∈X ，有： ^{f x y}

(

^{, ′}

) (

^{− f x y, ′′}

)

^<ε

证明： 由一致收敛的定义，必要性是显然的；

充分性：针对y→ y₀^证明。

由条件知^∃ϕ

( )

^{x ，使得：}

( ) ( )

0

lim ,

y y f x y ϕ x

→ = ；

在条件中，令y′′ → y₀^{，则我们得到：}∀ >ε

0

^，∃ >δ

0

^，当y′∈Y ^，且

0

< y′−y0 <δ^时，∀ ∈Xx ^{，有： f x y}

(

^{, ′ −}

) ( )

^{ϕ x ≤ε ，}

这就是一致收敛的定义，所以：

( ) ( )

0

,

y y

f x y ϕ x

⇒→^{X 。}

证毕

定理 2： y

→+∞

（

y→y₀

）时，

^{f x y 在}

( ) ^,

^{x∈X 上一致收敛到ϕ}

( )

^x

^。

^⇔

yn

∀ ∈Y ，y_n →+∞

（

y_n →y₀

），均有：

f x y

( ^,

n

)

n ϕ

( )

x

⇒→∞^X

证明： 由一致收敛的定义，必要性也是显然的；

充分性：针对y→+∞^证明。

采用反证法，假设^{f x y}

( ) ^,

^{在x∈X上不一致收敛，则：}

0

0

ε

∃ > ^，∀n^，∃ ∈Yyn ^，y_n >n^，∃ ∈x_n X^，使得：f x y

(

_n, _n

) ( )

−ϕ x_n ≥ε0

这样构造出的y_n∈Y ^，yn →+∞^{，但f x y}

(

ⁿ

^,

ⁿ

)

^{不一致收敛于ϕ}

( )

^{x ，}

与条件矛盾。所以反证法假设不成立。

证毕

2 极限函数之性质

定理 3：（极限交换次序定理）

若 ( ) ( )

0

lim ,

x x

F x y ϕ y

→ =

， y

∀ ∈Y ，且

( ) ( )

0

,

y y

F x y ψ x

⇒→^X

，

则： ( ) ( )

0 0 0 0

limlim , lim lim ,

x x y y y y x x

F x y F x y

→ → = → →

（

x y 可以为无穷） ₀

,

₀

证明： ∀ ∈Yy_n ^，y_n → y₀，由定理 2 知^{F x y}

( ^,

ⁿ

)

_n^⇒_→∞^{X ψ}

( )

^x

又由于

( ) ( )

0

lim ,

_{n n}

x x F x y ϕ y

→ = ，由序列（函数序列）极限性质，我们得到：

( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0

lim lim lim ,

_n

lim lim ,

_n

lim

_n

x xψ x x x n F x y n x x F x y n ϕ y

→ = → →+∞ = →+∞ → = →+∞

其中第二个等式用到了函数列的一致收敛性质。

又由数列极限与函数极限之关系，

已知∀ ∈Yy_n ^，

( ) ( )

0

lim

_n

lim

n ϕ y x xψ x

→∞ = → ^，所以

( ) ( )

0 0

lim lim

y yϕ y x xψ x

→ = → ，

即：

( ) ( )

0 0 0 0

limlim , lim lim ,

x x y y F x y y y x x F x y

→ → = → → 。

证毕

定理 4：（连续性与可积性定理）

设

^{∀ ∈Yy}

^\ { }

^y0

^，

^{F x y 对于}

( ) ^,

^{x∈X 是连续的，且}

( ) ( )

0

,

y y

F x y ϕ x

⇒→^X

则

^ϕ

( )

^{x ∈C}

( )

^{X ，且∀}

[ ]

^{a b}

^,

^{⊂X ，}

( ) ( )

0

lim ^b , ^b

a a

y y F x y dx ϕ x dx

→

∫

=

∫ ^。

证明： 连续性：

,

0

∀x x ∈X^{，∀ ∈Yy}

^\ { }

^{y0 ，有：}

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0 0

0 0 0

, , , ,

, , , ,

x x x F x y F x y F x y F x y x

x F x y F x y F x y F x y x

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

− = − + − + −

≤ − + − + −

由于

( ) ( )

0

,

y y

F x y ϕ x

⇒→^X ，我们有：

ε

0

∀ > ^，∃ >δ

0

^， y−y0 <δ^时，∀ ∈Xx ^{，有 F x y}

( ) ( )

^{, −ϕ x <ε 3，}

所以，∃ ∈y′ O⁻

(

y0

,

δ

)

^{，F x y}

(

^{, ′ −}

) ( )

^{ϕ x <ε 3，} F x y

(

0, ′ −

) ( )

ϕ x0 <ε 3 对于上述y′^{，由于F x y}

( ) ^,

^{对于x∈X是连续的，所以}

δ′

0

∃ > ^， x−x0 <δ′^时， F x y

(

, ′

)

−F x y

(

0, ′

)

<ε 3^，因此：

( ) ( )

^{x x0 3 3 3}

ϕ −ϕ <ε +ε +ε =ε^，即ϕ

( )

^{x ∈C}

( )

^{X 。}

可积性：

由于函数^ϕ

( )

^x 是连续的，所以也是 Riemann 可积的。并且：

( ) ^, ( ) ( ) ( ) ^,

b b b

a F x y dx− aϕ x dx ≤ a F x y −ϕ x dx

∫ ∫ ∫

由于

( ) ( )

0

,

y y

F x y ϕ x

⇒→^X ，我们有：

ε

0

∀ > ^，∃ >δ

0

^，y−y0 <δ^时，∀ ∈Xx ^{，有 F x y}

( ) ( )

^{, −ϕ x <ε}

(

^b−a

)

^，

所以： _a^{bF x y dx}

( )

^, _a^b

( )

^{x dx} _a^bdx

b a

ϕ ε ε

− < =

∫ ∫

−

∫

^，

即：

( ) ( )

0

lim ^b , ^b

a a

y y

F x y dx ϕ x dx

→

∫

=

∫

证毕

定理 5：（可导性）

设

^{F x y ，}

( ) ^,

^{F x y 在x}

( ) ^,

^{X Y （×} X 为有界集）上定义，且满足：

1) ( ) ( )

0

lim ,

y y

F x y ϕ x

→ =

， 2) ( ) ( )

0

x

,

y y

F x y x

⇒ Φ→^X

， 则：

^ϕ

( )

^x

^在

^{X 上可微，且ϕ′}

( )

^{x = Φ}

( )

^x

^。

证明： 先证：

( ) ( )

0

lim ,

y y

F x y ϕ x

→ = 是一致收敛的。

∀ ∈Xx ^，∀y y′ ′′

,

∈Y^，取定x0∈X^，则有：

( ) ( )

( ) ( ) (

⁰

) (

⁰

) (

⁰

) (

⁰

)

, ,

, , , , , ,

F x y F x y

F x y F x y F x y F x y F x y F x y

′ − ′′

′ ′′ ′ ′′ ′ ′′

≤ − − + + −

由收敛性，∀ >ε

0

^，∃ >δ1

0

^， y′−y0 <δ1^， y′′−y0 <δ1^时，

(

0,

) (

0,

)

2 F x y′ −F x y′′ <ε

又因为：^{F x y}

( ^,

^′

)

^{−F x y}

( ^,

^′′

)

^对x可导，由 Lagrange 中值定理：^{∃ ∈θ}

( ) ^0,1

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ( ) )

0 0

0 0 0 0 0

, , , ,

, ,

x x

F x y F x y F x y F x y

F x θ x x y F x θ x x y x x

′ − ′′ − ′ + ′′

′ ′′

= + − − + − ⋅ −

由于

( ) ( )

0

x

,

y y

F x y x

⇒ Φ→^{X ，所以}∃ >δ₂

0

^， y′−y₀ <δ₂^， y′′−y0 <δ2^时

( )

(

^{0 0 ,}

) (

⁰

(

⁰

)

^,

)

²

x x

F x +θ x−x y′ −F x +θ x− x y′′ ≤ε M 其中M为有界集X^{的直径。令：}δ =

min {

δ δ1

,

2

}

^，

则当 y′−y₀ <δ^， y′′−y0 <δ^{时，有： F x y}

(

^{, ′}

)

^{−F x y}

(

^{, ′′}

)

^{<ε ，}

即：

( ) ( )

0

,

y y

F x y ϕ x

⇒→^X 。

其次，令：

( ) ( ) ( ) ( )

0

0 0

0 0

, ,

,

x ,

F x y F x y

x x x x

G x y

F x y x x

−

 ≠

 −

=  =

显然：

( ) ( )

0

lim ,

_x 0

,

x x

G x y F x y

→ = ^，

( ) ( ) ( )

( )

0

0

0 0

0 0 0

lim ,

,

y y

x

x x

x x x x

G x y

F x y x x

ϕ ϕ

→

−

 ≠

 −

=  =

所以：

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0

0 0 0

0 0

0

0 0

lim , lim lim , lim lim , lim

y y x y y x x

x x y y x x

x F x y G x y

x x

G x y x

x x

ϕ ϕ

ϕ

→ → →

→ → →

Φ = =

− ′

= = =

−

证毕

§3　 含参量的广义积分

有了上一节关于一致收敛性的讨论，我们可以开始研究含参量之广义积分的性质了。含 参量的广义积分有两类：一类是无穷积分，^{F x}

( )

⁼

∫

_a^{+∞ f x y dy}

( ) ^,

^{，另一类是瑕积分，}

( )

_a^b

( ) ^,

G x =

∫

f x y dy^。

一般地广义积分的两类情形是可以通过变量替换互换的，因而这里我们着重考虑无穷积 分的情形。

1 含参量无穷积分的一致收敛性

令：^{F x A}

( ) ^,

⁼

∫

_a^{Af x y dy}

( ) ^,

，这是一个二元函数，当A→+∞^{时该函数关于}x^的一

致收敛性也就是广义积分的一致收敛性，因此：

定义： 若函数^{F x A}

( ) ^,

⁼

∫

_a^{Af x y dy}

( ) ^,

^{当 A→+∞时，对 x∈X 一致收敛，则称积}

分

∫

_a^{+∞ f x y dy}

( ) ^,

^{对 x∈X 一致收敛。}

例 1：讨论积分

0

xe xydy

+∞ −

∫

^{的一致收敛性。}

解： 显然，x>

0

时上述积分总是收敛的，但是否一致收敛呢？

按定义，^{F x A}

( ) ^,

⁼

∫

₀^{Axe−xydy= −}

¹

^e−xA

若x≥ >c

0

^{，则： F x A}

( )

^{, − =1 e−xA≤e−cA→0，}

(

^A→+∞

)

所以

0

xe xydy

+∞ −

∫

^在

^[

^c

^,

^+∞

⁾

^{上一致收敛；}

若x>

0

^{，则：对于}ε0 =e^−1，∀ >A

0

^， 0

x 1

∃ = A^，使得 F x A

(

0,

)

− >1 e^−1， 因而不是一致收敛的。　

2 一致收敛判别法 1) 一致收敛原理 ( ) ^,

a^+∞ f x y dy

∫

^对x∈X一致收敛的充分必要条件为：∀ >ε

0

^，∃ >A a^，当A A′ ′′ >, A 时，∀ ∈Xx ^，

∫

_A^A_′^{′′f x y dy}

( ) ^,

^{<ε 。}

一致收敛原理的证明可由上一节得定理 1 直接得到。

2) Weierstrass 判别法（M 判别法）

类似于无穷积分的比较判别法，我们有如下的 Weierstrass 判别法：

若∀ ∈Xx ^，y≥a^{时，有 f x y}

( )

^{, ≤M y}

( )

^，并且

∫

_a^{+∞M y dy}

( )

^收敛，则

∫

^{a+∞ f x y dy}

^{( ) ,}

对于x∈X^{一致收敛。}

3) Abel 判别法

命题 1： 1) ∫

_a^{+∞ f x y dy}

( ) ^{, 对于 x}

^{∈X 一致收敛；}

2)

g x y 对于国定的

( ) ^,

x∈X ，是^y

的单调函数，且

g x y 一致有界，

( ) ^,

即：

∃ >M

0 ， x

∀ ∈X ， y a≥

时，有

^{g x y}

( )

^{, ≤M}

^；

则： ∫

_a^+∞ f x y g x y dy

( ) ( ) ^{, , 对于 x∈}

^{X 一致收敛。}

证明： 由条件 1)，我们有：

ε

0

∀ > ^，∃ >A a^，当A A′ ′′ >, A^时，∀ ∈Xx ^，

∫

_A^A_′^{′′ f x y dy}

( ) ^,

^<ε

²

^{M ，}

由条件 2)，应用积分第二中值定理，我们有：

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

, , , , , ,

, ,

2 2

A A

A A

A A

f x y g x y dy g x A f x y dy g x A f x y dy M f x y dy M f x y dy

M M

M M

ξ

ξ ξ

ξ

ε ε ε

′′ ′′

′ ′

′′

′

′ ′′

= +

≤ +

< ⋅ + ⋅ =

∫ ∫ ∫

∫ ∫

所以，

∫

^+∞ f x y g x y dy

( ) ( ) ^{, ,}

^{对于x∈X一致收敛。}

4) Dirichlet 判别法

命题 2：若 1)

∃ >M

0 ， x

∀ ∈X ， A a≥

时，有 ∫

_a^{A f x y dy}

( ) ^,

^≤M

^；

2)

g x y 对于国定的

( ) ^,

x∈X ，是^y

的单调函数，且

^{g x y}

( ) ^,

_y→+∞^⇒X

^{0 ；}

则： ∫

_a^+∞ f x y g x y dy

( ) ( ) ^{, , 对于 x}

^{∈X 一致收敛。}

证明： 由条件 2)，∀ >ε

0

^，∃ >A a^{，当A A}′ ′′ >^{, A时，}∀ ∈Xx ^，

有 ^{g x A}

(

^{, ′ <}

)

^{ε 4M ， g x A}

(

^{, ′′ <}

)

^{ε 4M；}

同样应用积分第二中值定理，利用条件 1)，我们有：

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

, , , , , ,

2 , 2 ,

A A

A f x y g x y dy g x A A f x y dy g x A f x y dy M g x A M g x A

ξ

ξ

ε

′′ ′′

′ = ′ ′ + ′′

′ ′′

≤ + <

∫ ∫ ∫

因而

∫

_a^+∞ f x y g x y dy

( ) ( ) ^{, ,}

^{对于x∈X一致收敛。}

证毕

3 含参量广义积分之性质

定理 1：（积分界内取极限定理）设：

1)

∀ ∈x X

\ { }

x0

，

^{f x y 是}

( ) ^,

^{y∈ +∞}

[

^a

^, ) ^{上连续函数；}

2) ∫

_a^{+∞ f x y dy}

( ) ^{, 对于 x}

^{∈X 一致收敛；}

3)

x 是₀ X 之聚点，且 b a∀ >

有 ( )

^{[ ]}

( )

0

,

,

,

a b

x x x

f x y g y

→⇒∈

X

；

则： ( ) ( )

0

lim ,

a a

x x ^+∞ f x y dy ^+∞g y dy

→

∫

=

∫ ^{（有限值）。}

证明： 考虑函数^{F x b}

( ) ^,

⁼

∫

_a^{b f x y dy}

( ) ^,

，这是一个含参量之定积分 由含参量之定积分的连续性，^{F x b}

( )

^{, x→→x0}

∫

_a^{bg y dy}

( )

^；

又，由于条件 2)，^{F x b}

( ) ^,

_b→+∞^x⇒∈X

∫

_a^{+∞ f x y dy}

( ) ^,

^；

由一致收敛函数之性质，有：

( ) ( )

0 0

lim lim , lim lim ,

x x b F x b b x x F x b

→ →+∞ = →+∞ → ，

因而

( ) ( )

0

lim ,

a a

x x ^+∞ f x y dy ^+∞g y dy

→

∫

=

∫

^。

证毕