第七章角动量定理第七章角动量定理

第七章 角动量定理

§7.1 单质点的角动量定理

1、角动量

L     r p r mv

单位:

kg m  ² / s

L ² MT ^{ 1}

角动量:从给定参考点指向质点的位矢 与 质点动量

mv

r

0

L

r mv

大小:

L ^ mrv sin  ^

方向：由

r

mv

讨论:

①角动量是相对于给定的参考点定义的，

且参考点在所选的参考系中必须是固定 点；参考点不同，角动量亦不同，如圆 锥摆。一般把参考点取在坐标原点。

L

r

O R

mv

O

②角动量是矢量，可用分量形式表示。

在直角坐标系中

   

( ) ( ) ( )

x y z x x y y z z

z y x x z y y x z

L r p xe ye ze p e p e p e yp zp e zp xp e xp yp e

       

     

x z y,

L

yp

zp

y x z

L

zp

xp L

xp

yp

作用力 ，其作用点的位矢为

，它对O点的力矩被定义为

给定参考点

M   r F

F r

O

M

r F

 方向：由右手定则确定

大小:

M  rF sin 

单位：N·m=J 量纲：ML

² T ^–2

力矩与参考系和参考点都有关，说一个角动量时，必须指明是对 哪个固定点而言的。

在直角坐标系中，其分量表示



 



M

r F xe

ye

ze

F e

F e

F e

 ^yF

^{zF e}



^{ zF}

^{xF e}

^

 ^xF

^{yF e}



     

x z y

M

yF

zF

F x

y x z

M

zF

xF

F y

z y x

M

xF

yF

F z

①若质点受N个力同时作用时

1 2 N

M     r F r F    r F

几点说明：

1 2

( _N )

r F F F

     r F i

  

②两质点之间一对作用力与反作用力 相对于同一参考点力矩之和必为零。

1 12 2 21

M

r f

r f

r  1

r  2

r  21

f 12

f 21

1

2

O

1 21 2 21

r f r f

    

2 1 21 21 21

(

r r

f r f

     

质点系重力对于某一参考点的力矩

i i i i c

i i

M

r

m g

m r

g mr

g

 

 

质点系的重力势能

p i i i i c

i i

E

m gz

m z

g

mgz

 

 

质点系的重力做功

i i i i i i c

i i i

W

m g dr

g m dr

g d

m r

mg dr

 

  

3、单质点的角动量定理

L r p

dL d dr dp

r p p r

dt dt dt dt

 

  （  ）   

其中

F

dt p p d

v dt p

r

d  





 









 0 ,

dL dp

r r F M

dt

dt

2

1 2 1

t

t

Mdt

L

L



质点角动量定理：质点对任一固定点的角动量的时间变化率等 于合外力对该点的力矩。（注意：角动量和力矩都是相对于惯 性系中的同一点定义的）

2

1

t

t

Mdt



0

当

M 

L   r mv  const

守恒条件:

①孤立质点，

F

②力

F

③当外力矩对定点的某一分量为零时，则角动量的该分量守恒：

4. 质点角动量守恒定律

x 0

M  L

yp

zp

const

y x z

L

zp

xp

const

y 0

M 

z y x

L

xp

yp

const

z 0

M 

例题1：卢瑟福等人发现用 粒子轰击金铂时有些入射偏 转角很大，甚至超过90

^°

已知 粒子的质量为m，以速度 接近电荷为Ze 的重原 子核. 瞄准距离为b，如图所示，求 ^{粒子接近重核的最近} 距离. 设原子核质量比  粒子大很多，可近似看作静止.

v

0

v 0 v

b b

(a)

v  0

r



 (b)

0 sin rmv

b r sin

0

0 sin bmv

rmv  

bmv 0

dmv 

解：设 z 轴垂直于粒子运动平面且 通过重核中心。

对z 轴的角动量

故

粒子最接近重核（距离为d）时角动量为 dmv 对z轴的角动量守恒

得

d

b

v

v ⁰

只有静电力作用，故能量守恒

2 0 2

2

2 1 2

2

1 mv

d

mv

kZe

2 2

2 0 2 2

0 2

)

( b

mv kZe mv

d

kZe

2 0 2

2 2 2 0

2 1 2

2 mv

d kZe d

b

mv

4 ₂ 0

2 0

2

2

d

b

mv d kZe

因d只能为正，故式负号无物理意义，舍去。

§7.2 质点系统的角动量定理

1、质点系的角动量定理

质点系对给定点的角动量等于各质点对该点的角动量的矢量和：

i i i i i i

i i i

L   L   r  p   r  m v

对质点系中的第 i 个质点,有

i

i

dL M dt

i i

dL d dt dt L

  

合内力矩为零

 

   

, ( ) , ( )

1 1

2 2 0

i ij i ij j ji i j ij

i j i i j i j i j i j

r f r f r f r r f

           

   

m j

m i

F i

O

f ij

f ji

r i

r j ^j

F

i i

i ij

i i j i

r F r f

     

 _i

i

M M

 



i i   ij

j i

r F f



 

    

即质点系对给定点(参考点)的角动量的时间变化率等于作用在体 系上所有外力对该点力矩矢量和。

体系角动量定理的积分形式

体系对给定点角动量的增量等于外力对该点的总冲量矩。

0

0

t t ex

L  L   M dt

几点说明：

①各量均对同一参考点；

②该定理是由牛顿定律导出，故它仅适用于惯性系。

③只有外力矩才对体系的角动量变化有贡献。内力矩对体系角动量 变化无贡献，但对角动量在体系内的分配是有作用的。

④处理转动的所有公式都是从这个公式导出。

ex

dL M

dt 

2、质点系的角动量守恒定律

0 0

ex

M dL L const

 

dt

即若外力对参考点的力矩的矢量和始终为零，则质点系对该点的角 动量保持不变。

关于总外力矩 M=0，有以下三种常见情况：

①对于孤立系统，体系不受外力作用；

②所有外力都通过定点；

③每个外力的力矩不为零，但总外力矩

M=0。

, , ,

0 0 0

ex x x

ex y y

ex z z

M L const

M L const

M L const

   

   

   



角动量守恒定律是一个独立的规律，并不包含在动量守恒定律或 能量守恒定律中。

角动量守恒定律是矢量式，它有三个分量，各分量可以分别守恒：

例题2：装置如图所示.滑轮两边悬挂的重物与盘的质量相同而 处于平衡，现有距盘底高为h质量为m' 的胶泥自由下落，求胶 泥粘在盘上时盘获得到初速度。滑轮和绳质量不计，不计轴承 摩擦及绳的伸长。

h m

m' R O

m

R O

r 1 r ²

m m

gh v m

 

 

2

2

0 2

) 1

( m m v Rmv R m v

R     

v v

v ₁  ₂ 

m m

v v m

 

 

2

0

绳不伸长，故

0

2

v  gh

将 代入，得

讨论：质点系动量是否守恒？

若动量守恒，则有：

2 ( ) , 2 0

m

gh

m

m v

mv

m v

v gh

v

解

§7.3 质心系中的角动量定理

dL

M M

dt

    

外 惯

1、质心系中的角动量定理

由于质心系是平动参考系，作用在各质点的惯性力与质量成正比，

方向与质心加速度相反，故对质心的力矩为

( )

i i c

i

M ^惯    r    m a

ex

M dL

dt

   因而可得

角动量定理和角动量守恒定律只在惯性系中成立。质心系若为非惯 性系，则加上惯性力的力矩，角动量定理仍适用。设 为质心系 中体系对质心的总角动量， 为外力对质心力矩之和， 为惯 性力对质心的力矩之和，则

L

M 

M 

 ^{m r i i }  ^{a c}

    ^{ 0}

质心系角动量微 分形式

0

0 t

t M dt ex    L  L 



注意：

①质心系角动量定理虽与质点或质点系的角动量定理具有完全相同 的形式；

②后者总被强调在惯性系中成立，而即使质心有加速度，质心系为 非惯性系(如在重力场中)，质心系角动量定理仍成立。

2、质心系中的角动量守恒定律

当外力相对质心的总力矩为零时，体系相对质心的角动量为恒量。

0 0

ex

M dL L

dt

       



当 时 常矢量

例：运动员在跳水过程中，若忽略空气阻力，所受到的唯一的外 力是重力，它在质心系中的总力矩恒为零，因此运动员绕质心的 角动量守恒。

, , ,

0 0 0

ex x x

ex y y

ex z z

M L

M L

M L

    

    

    

同样: ， 常量

， 常量

， 常量

3、体系角动量与质心角动量

——角动量的柯尼希定理

i i i

i

L   r m v 

i c i , i c i

r

r r

v

v v

将 代入上式可得









i

L

 r

r

m v

v

质心角动量 体系相对质心角动量

即：体系的角动量等于质心角动量与体系相对于质心角动量之和

。

c i c i i i c i i i i c

i i i i

r

m v

r

m v

r m v

m r

v

        





 



c c i i i

i

r  mv r  m v 



  

例题3:质量为 的两个质点的位矢和速度分

别为 和 ，试求:

⑴每个质点相对于两质点质心的动量；

⑵两质点相对于它们的质心的角动量.

2

1 m

m 、

1 1 2 2

r 、 v r 、 v

解：⑴ 对于由两个质点构成的质点系，引入相对速度u

12 1 2

u  v  v  v

考虑到质心系是零动量参考系，即

1 1 2 2 0

m v   m v  

可得

2 1

1 2

1 2 1 2

m m

v u v u

m m m m

    

 

1 2

v  v 

 

⑵ 利用质心表达式，每个质点相对于质心的位矢分别为

 

 

2 1 2 2 12

1 1

1 2 1 2

1 2 1 1 12

2 2

1 2 1 2

c

c

m r r m r r r r

m m m m

m r r m r

r r r

m m m m

     

 

      

 

1 2

1 1 1

1 2

2 2 2

p m v m m u u

m m

p m v u





    



    

故两个质点相对于它们的质心的角动量为

 

1 1 2 2

12 12

L c r p r p

r u r u

 

   

   

   

两质点的 约化质量 由此可得，每个质点相对于质心的动量分别为

力学的理论体系

非惯性系S' m a    F  

F

F

F   



 

惯性系S m a   F 

动量定理 动能定理 角动量定理

动量守恒定律 机械能守恒定律 角动量守恒定律

能量守恒定律

dt

F

r d F



r

F