自我評量
生活中的幾何圖形 生活中的幾何圖形
點、線、角 點、線、角
三角形 三角形
四邊形 四邊形
圓與扇形 圓與扇形
上面是一些在生活中常見的圖形。國小 時，我們已經認識了一些圖形，如三角形、
四邊形、圓，也知道一些比較特殊的圖形，
如直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形、
正方形、長方形、平行四邊形、梯形等，這
些都是「平面的幾何圖形」。
「幾何」一詞在我國古代原為「多少」之意，
而 Geometry 的原意為「測量大地之學」。 明朝 時（西元 1607 年）利瑪竇、徐光啟翻譯古希臘時 期歐幾里德（ Euclid of Alexandria ，西元前 325- 西元前 265 ）的經典名著《原本》（ Elements ）
，因為書籍內容大多為討論圖形相關內容，所以將 書名加上「幾何」二字，成為「幾何原本」。由於
「幾何」一詞能同時兼顧 Geo 的音與義，從此
「幾何」一詞就成為探討圖形性質這門學科的名稱
。
頂點和邊是幾何圖形最基本的元素。「點」
是幾何中最基本的圖形，我們用「點」來表示位 置，而不考慮它的大小。
習慣上我們用英文字母 A 、 B 、 C 、 P 、 Q 、……等來代表點，如圖 2-1 。
圖 2-1
平面上相異兩個點，可以用直尺畫出一直線 通過這兩個點，事實上，通過相異兩點的直線僅 有一條。也就是說，平面上相異兩點恰可決定一 直線。
我們可以用英文字母如 L 、 M 、……來代 表直線；有時平面上有多條直線，為了容易區分
，也會用 L
1、 L
2、……來代表直線。
如果已經知道 A 、 B 是直線上的兩個點，
可以將該直線記為 或 直線 AB （ 也可以記 為
或 直線 BA ），如圖 2-2 。在平面幾何 中，直線是沒有寬窄，而且可以無限延長的。
AB BA
線段 AB （ ） AB
圖 2-2
如果 A 、 B 是直線 L 上的相異兩
點，直線 L 在 A 、 B 兩點間的部分，記為 或 線段 AB （也可以記為 或 線段 BA
），如圖 2-2 ，其中 A 、 B 兩點是 的 端點。
我們也可以用 表示線段 AB 的長度。
例如，若 的長度為 4 公分，則可記為 ＝ 4 公分。 比 長，我們可記 為 ＞ 。反之， 比 短
，則記為 ＜ 。 AB BA
AB
AB AB
AB CD AB CD
AB CD AB CD
AB
圖 2-3
直線 AB( ) AB 射線 AB( ) AB 射線 BA( ) BA 以固定的一點 A 為端點，通過 B 點並 無限延長的線，稱為 射線 AB ，可記為 。 但 與 代表不同的射線，如圖 2-3 。
AB AB BA
當我們畫 時，是以線段連接 A
、 B 兩點而成；而 的畫法，則是將 的兩端再延長一些。同學們可仔細觀察圖 2-2 及圖 2-3 中 、
、及 的畫法，看看有何不同。
AB
AB AB
AB
AB BA
如右圖，已知平面上 A 、 B 、 C 、 D 、 E 五點
，
請畫出 、 、 、 。
AB BC DE BD
有共同端點的兩射線可形
成一個角 。如圖 2-4 ， 與 所形成的角，通常以頂點 A 來記錄，可以記為∠ A ，也 可以記為∠ BAC 或∠ CAB 。
我們也用∠ A 來表示該角 的度數。例如，若∠ A 的度數 為 53° ，則可記為∠ A ＝ 53°
。
AC AB
圖 2-4
如果一個角的度數大於 0° 且小於 90°
，稱為銳角 ；大於 90° ，小於 180° 稱為 鈍角
；等於 90° 稱為 直角。
一個平角 為 180° ，一個 周角 為 360° 。
∠A 、∠ B 是兩個已知角，
若∠ A 的度數比∠ B 大，記為∠ A ＞∠ B ； 若∠ A 的度數比∠ B 小，記為∠ A ＜∠ B ； 若∠ A 與∠ B 的度數相等，記為∠ A ＝∠ B
。
若∠ A ＋∠ B ＝ 180° ，則我們稱∠ A 和∠ B 互為補角 ，或稱∠ A 和∠ B 互補。
若∠ A ＋∠ B ＝ 90° ，則我們稱∠ A 和∠ B
互為 餘角 ，或稱∠ A 和∠ B 互餘。
圖 2-5 圖 2-6
如圖 2-5 ， A 、 C 、 B 三點在一 直線上（三點共線），∠ ACD 和∠ BCD 形成 一個平角，所以∠ ACD 和∠ BCD 互補。而如 圖 2-6 ，
垂直
，所以∠ ABD 和∠ CBD 互餘。
AB
BC
1
補角和餘角
已知∠ A ＝ 125° ，且∠ B 與∠ A 互補，求∠
B 。
解 解 ∠B 與∠ A 互補，即∠ A ＋∠ B ＝ 180° 。
∠B ＝ 180° －∠ A ＝ 180° － 125° ＝ 55°
1. 若∠ A 與∠ B 互補，∠ B 與∠ C 互餘，且
∠ A ＝ 127° ，求∠ C 。
∠B ＝ 180° －∠ A ＝ 180° － 127° ＝ 53°
∠C ＝ 90° －∠ B ＝ 90° － 53° ＝ 37°
2. 若∠ A 與∠ B 互補，∠ B 與∠ C 互補，且
∠ A ＝ 100° ，求∠ C 。
∠B ＝ 180° －∠ A ＝ 180° － 100° ＝ 80°
∠C ＝ 180° －∠ B ＝ 180° － 80° ＝ 100°
如圖 2-7 ，直線 L 與直線 M 相交於一點，
形成四個角，此時我們可以在角的內部靠近頂 點的地方，寫上數字來命名。例如，圖 2-7 中有
∠ 1 、∠ 2 、∠ 3 、∠ 4 四個角。
圖 2-7
兩直線相交時產生的四個角，其中不 相鄰的兩個角，稱為一組對頂角；相鄰的兩個角 稱為鄰角 。在圖 2-7 中，∠ 1 和∠ 3 為一組對 頂角，∠ 2 和∠ 4 則是另一組對頂角。
因為
所以∠ 1 ＋∠ 2 ＝∠ 2 ＋∠ 3 ∠1 ＝∠ 3
同理，∠ 2 ＝∠ 4 。
∠1 ＋∠ 2 ＝ 18 0°
∠2 ＋∠ 3 ＝ 18
0°
也就是說，
兩直線相交，對頂角相等，鄰角互補。
2
對頂角的應 用
∠2 ＝∠ 4 ＝ 180° －∠ 1 ＝ 180° － 47° ＝ 13 3°
∠3 ＝∠ 1 ＝ 47°
如右圖， 、 交於一點，且∠ 1 ＝ 47° ，求∠ 2 、∠ 3 、∠ 4 的度數。
AB CD
解 解
配合習作基礎題 1
用線段連接不在同一直線上的三個點 A 、 B 、 C ，可以作出一個三角形，記為△ ABC ， 如圖 2-8 。其中 A 、 B 、 C 三點稱為△ ABC 的 頂點， 、 、 稱為△ ABC 的邊，
∠ A 、∠ B 、∠ C 稱為△ ABC 的 內角。
AB BC CA
圖 2-8
除了一般三角形外，我們還曾經學過一些 特殊三角形。例如，直角三角形、鈍角三角形
、銳角三角形、等腰三角形與正三角形。以下
我們將說明這些三角形。
直角三角形：有一內角為直角的三角形。如圖 2-9 ，△ ABC 中，∠ B ＝ 90° ， 直角的對邊 稱為 斜邊 ，
、
稱為股。
鈍角三角形：有一內角為鈍角的三角形。如圖 2-10 ，∠ A ＞ 90° ，所以△ ABC 為鈍角三角形。
銳角三角形：三個內角都是銳角的三角形，如 圖 2-8 。
AC AC
BC
直角三角形 鈍角三角形
圖 2-9 圖 2-10
等腰三角形 ：有兩邊等長的三角形。如圖 2-11
，△ ABC 中，若 ＝ ，則
、 稱 為腰， 稱為底邊，
∠B 、∠ C 稱為 底角 ，∠ A 稱為 頂
角。
AB AC AC
AB BC
等腰三角形
圖 2-11
正三角形：三邊長均相等的三角形，也稱為等邊 三角形。如圖 2-12 ，△ ABC 中，若
＝ ＝ ，則△ ABC 為正三角形。正三角
形的三內角相等，∠ A ＝∠ B ＝∠
C ＝ 60° 。正三角形是等腰三角形的 一種，但等腰三角形不一定是正三 角形。
AB AC BC
正三角形
圖 2-12
若已知三角形有一個角是銳角，是否可確定 此三角形為銳角三角形？
必須三個角都是銳角，才可確定一個三角形
是否為銳角三角形。
正如太陽的光芒使繁星失色，學者提出代數 問題而使滿座高朋遜色；若他能給予解答，
則更使同儕相形見絀。
—— 婆羅門笈多 (Brahmagupta ， 59
8-670)
一個四邊形有四個頂點、四個邊和四個角。
如圖 2-13 ，連接頂點 A 、 C 得 ，連接頂點 B
、 D 得 ，在四邊形 ABCD 中可以連接出兩條 對角線 、 。
AC BD
AC BD
圖 2-13
配合習作基礎題 2
日常生活中我們也常見到一些特殊的四邊 形。例如平行四邊形、長方形、菱形、正方形
、梯形及箏形等。
平行四邊形：有兩組對邊平行的四邊形。如圖 2-14 ，平行四邊形 ABCD 中，
平行
，
平行 。有關平行四邊形的性質，我們 將在第 4 章詳細討論。
AD BC AB CD
長方形： 四個角都是直角的四邊形，也稱為矩 形 。如圖 2-15 ，長方形 ABCD 對
邊等長，即 ＝
，
＝ 。
AB CD AD BC
平行四邊形 圖 2-14
長方形
圖 2-15
菱形 ：四邊等長的四邊形，如圖 2-16 。
正方形：四邊等長且四個角都是直角的四邊形，
如圖 2-17 。正方形是長方形的一種，
也是菱形的一種。但菱形及長方形都不
一定是正方形。
菱形 圖 2-16
正方形
圖 2-17
梯形：只有一組對邊平行的四邊形。平行的兩邊 分別稱為上底及下底，不平行的兩邊稱為 腰 。如圖 2-18 ，四邊形 ABCD 中，
平行
， 、 稱為上 底及下底， 、
稱為腰。當一個梯形的兩腰相等 時，我們
稱它為等腰梯形。
AD
BC AD BC AB CD
箏形：有兩組鄰邊分別等長的四邊形，也稱為鳶 形。如圖 2-19 ，四邊形 ABCD 中，
＝
，
＝
，我們就稱 ABCD 為箏形。
AD BC CD AB
梯形 圖 2-18
箏形
圖 2-19
1. 由上頁的說明，請問長方形可以算是平行 四邊形的一種嗎？
2. 由上面的說明，請問正方形可以算是平行 四邊形的一種嗎？
是
是
除了四邊形之外，還有五邊形、六邊形等多 邊形。如果一個多邊形的各邊長均相等且每一內 角也相等，這樣的多邊形稱為正多邊形。例如，
正五邊形、正六邊形、正七邊形等，如圖 2-20
。
正五邊形 正六邊形 正七邊形
圖 2-20
如果一個多邊形的對角線 都在圖形內部，這樣的多邊形 稱為 凸多邊形 ；如果一個多邊 形有任意一條對角線（或對角 線的一部分）在圖形外面，這 樣的多邊形稱為 凹多邊形 ，如
圖 2-21 。 圖 2-21
在本教材中，如果沒有特別說明時，我們討
論的多邊形都是指凸多邊形。
在大多數的科學，新的世代要推倒舊世代所 修築的東西；一個人所樹立的，要由另一個 人加以摧毀。只有數學，每一代都在舊建築 上增添一層樓。
—— 漢克（ Hermann Hankel ， 1839-1
873 ）
在日常生活中，我們常見到許多圓形的物品。
例如，硬幣、時鐘等。
國小時，我們已經學會用圓規畫圓。你看過
木工師傅如何不用圓規畫圓嗎？我們可以將一條
繩子的一端固定在一點上，另一端綁上鉛筆，將
繩子拉緊後繞固定點 ( 圓心 ) 旋轉一圈，就可以
畫出一個圓。
在平面上和一個定點等距離 的所有點所形成的圖形就是圓，
這個定點稱為圓心，圓心到圓上 任一點的距離稱為半徑。如果圓 心為點 O ，我們就稱此圓為圓 O
。 圖 2-22
連接圓上任意兩點所成的線段稱為弦。
如 圖
2-23 ， 即為圓 O 的弦。如果一弦通 過圓心，此弦就是直徑 。任意一條直徑將圓分 成相等的兩部分，稱為半圓。
AB
圖 2-23 圖 2-24
一弦將圓周分成兩部分，兩部分都稱為弧。
小於半圓的弧稱為劣弧，大於半圓的弧稱為優弧
。圖 2-24 中，弦 將圓周分為兩個弧，
這兩個弧有相同的端點，都可記為
AB。但為了 加以區別，通常我們將其中的劣弧以 AB 表示，
而優弧則在其上多取一點 C ，以
ACB 表示。在本教材中，如果沒有特別指明時， AB 都是指劣 弧。
AB
︵ ︵
︵
︵
弦 與 AB 有相同的端點，我 ︵ 們說弦 所對的弧為 AB ，而 AB 所對的弦 為 。
︵ ︵
AB
AB AB
試說明半徑是不是圓的一弦？直徑是不是圓 的一弦？
半徑有一端點不在圓周上（在圓心），所以
半徑不是弦。直徑是一圓中最長的弦。
圓上一弦與其所對的弧所圍成的圖形稱為弓 形 ，如圖 2-25 。
圓的兩半徑及一弧所圍成的圖形稱為扇形。
如圖 2-26 。
扇形中兩半徑的夾角稱為圓心角 。如圖 2-26 中，∠ AOB 、∠ COD 都是圓心角。若圓心角 為 θ （讀作 theta ）度，則 0 ＜ θ ＜ 360 。
圖 2-25 圖 2-26
在國小時，我們曾經學過圓的面積是「半 徑 × 半徑 × 3.14 」，事實上 3.14 是 圓周率 的近似值。在國中階段，我們不再用 3.14 代表 圓周率，習慣上用希臘字母「 π 」（讀作 pai
）來表示。也就是說，如果一圓的半徑為 r ，
則此圓的面積為 r‧r π ‧ ＝ πr
2，此圓的周長
為 2‧r π ‧ ＝ 2πr 。
那麼扇形的面積該如何計算呢？我們知道 一個周角是 360° ，如果將一周角分成 360 等 分，則圓心角 1° 的扇形面積為 πr
2‧ ，此 扇形所對的弧長為 2πr ‧ 。
如果一個扇形的圓心角是 θ 度，則此扇形 的面積就是 πr
2‧ ，其所對的弧長為 2πr ‧ 。
360 1
360
360
1
圖 2-27
360
3
扇形面積和周
如右圖，扇形 AOB 中， 長
＝ 6 公分，∠ AOB ＝ 60° ， 求此扇形的周長及面積。
OA
扇形周長＝弧長＋兩半徑長
＝ 2 π 6 ‧ ‧ ‧ ＋ 2 × 6 ＝ 2π ＋ 12 （公分）
扇形面積＝ π 6 ‧
2‧
＝ 6π （平方公分）
360 60
360 60 解 解
配合習作基礎題 3
求右圖扇形的周長及面積。
周長＝ 2 π 10 ‧ ‧ ‧ ＋ 10 × 2
＝ π ＋ 20 （公 分）
面積＝ π 10 ‧
2‧
＝ π （平方公 分）
3
20 120 360 120 360
100 3
4
扇形的應用
如右圖，正方形 ABCD 的邊長 為 10 公分，且 ABC 為一扇形
，求紅色區域的面積與周長。
配合習作基礎題 4
正方形 ABCD 的面積＝ 10 × 10 ＝ 100 ( 平方公 分 )
扇形 ABC 的面積＝ π 10 ‧
2‧
＝ 25π( 平方公 分 )
紅色區域的面積＝ 100 － 25π （平方公分）
紅色區域的周長＝ ＋ ＋ AC
＝ 10 ＋ 10 ＋ 2 π 10 ‧ ‧ ‧
＝ 20 ＋ 5π （公分）
360 90
AD DC
360 90 解 解
︵
如右圖，正方形 ABCD 的邊 長為 8 公分，四個角落各有 一半徑為 4 公分的扇形，求 綠色區域的面積及周長。
8 公分
綠色區域面積＝正方形面積－四個扇形面積 ＝ 8
2－（ π 4 ‧
2
‧ ） × 4
＝ 64 － 16π
（平方公分）
綠色區域周長＝（ 2 π 4 ‧ ‧ ‧ ） × 4
＝ 8π （公 分）
1 4
1 4
1. 互補：若∠ A ＋∠ B ＝ 180° ，則稱∠ A 和
∠ B 互補。
互餘：若∠ A ＋∠ B ＝ 90° ，則稱∠ A 和
∠ B 互餘。
2. 直角三角形：有一內角為直角的三角形。
鈍角三角形：有一內角為鈍角的三角形。
銳角三角形：三個內角都是銳角的三角形。
等腰三角形：有兩邊等長的三角形。
正三角形：三邊長均相等的三角形。
3. 平行四邊形：有兩組對邊平行的四邊形。
長方形：四個角都是直角的四邊形。
菱形：四邊等長的四邊形。
正方形：四邊等長且四個角都是直角的四 邊
形。
梯形：只有一組對邊平行的四邊形。
箏形：有兩組鄰邊分別等長的四邊形。
4. 扇形面積與周長：圓心角 θ 度，半徑為 r 的 扇
形面積為 πr
2‧
，周長為 2πr ‧ ＋ 2r
。
360
360
2-1 自我評量
1. ∠A 的補角和 B ∠ 的餘角度數相同，已知 A ∠
＝ 108° ，求 B 。 ∠
180° －∠ A ＝ 90° －∠
B
180° － 108° ＝ 90° －
∠ B
72° ＝ 90° －∠ B
∠B ＝ 18°
2. 如右圖， A 、 B 、 C 三點在 同一
直線上， D 、 B 、 E 三點 也在同
一 直 線 上 ， 且 ADC 和 ∠
∠ ECD
