5-2-1三角函數-三角函數的性質及圖形

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(1)(99 課綱) 選修數學甲上冊第二章三角函數 2-1 三角函數的性質及圖形【目標】首先認識弧度單位，再以弧度定義正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割六個基本的三角函數，熟習倒數關係、商數關係及平方關係。能作各函數的圖形，並能將基本三角函數作平移、伸縮的變化。【討論】在數學第三冊中曾討論過三角。首先，當給定一銳角  時，可在以  作為一內角的直角三角形中，定義  的對邊長比斜邊長的比值為  的正弦，記為 sin  ；  的鄰邊長比斜邊長的比值為  的餘弦，記為 cos  。其次，推廣  為廣義角，使  的角度不受 0 到 90 之間的限制。在本章中，我們將視  為變量，討論  的變化對應到 sin  ， cos  及其他三角函數的關係，且將引進度量角的另一種單位─弧度。之後，將介紹三角函數的應用。最後，則利用 sin  及 cos  的一些性質，探討複數的幾何意義。【定義】 1. 一個角有兩個邊，最小的角是零角，它的兩個邊重疊(圖(a))；最大的角是平角，它的兩個邊成一直線 (圖(b))。要度量一個線段的長度時，需取定一單位；同樣地，要度量一個角的角度時，也要取定一單位。 2.. 在此之前，我們度量角度都是取平角的. 1 為單 180. 位，稱為 1 度。當角度為 k 度時，記為 k  ，例如：零角為 0 ，平角為 180 ，直角為 90 。現在，介紹度量角度另一種單位—弧度。以一個角的頂點 O 為圓心、任意長 r 為半徑畫圓弧，設角的兩邊所夾弧 s r. 長為 s ，如圖所示，則弧長 s 與半徑 r 等長的角定為 1 弧度，此時  1 。對於任意角，由於半徑 r 固定時，角的度量與弧長 s 成正比，故當弧長 s 比半徑 r s r. 的比值   時，此角的大小即為  弧度。零角所對的弧長為 0 ，故零角為 0 3.. 弧度。而以一個平角的角頂 O 為圓心、任意長 r 為半徑畫圓 1 2. 弧時，得到一個半圓，如圖，其弧長 s  (2 r )   r (  s r   。因此，平角為  弧度。於 r r 是得到  弧度  180 。弧度與度都是度量角的單位，. 表圓周率)，故 . 兩者可以互相換算： 1  180  57.2958  5717' 45'' 。 3.14159 1 3.14159 1    弧度  弧度  0.01745 弧度。 180 180. 1 弧度 . 1. .  180 . 1.

(2) 4.. 弧度、弧長、半徑的關係：一個  弧度的角，以角頂為圓心、任意長 r 為半徑畫圓弧，設角的兩邊所夾 s r. 弧長為 s ，則  ， r ， s 的關係為   ，或表為 s  r 。 5.. 已知半徑為 r 的圓，其面積為  r 2 。 1 2. 試證：半徑為 r 、圓心角為  弧度的扇形面積為 r 2 。證：半徑 r 給定時，扇形面積與圓心角成比例，  1 2 故圓心角為  弧度時，扇形面積為  r 2   r。 2 2 1 2. 6.. 試證：半徑為 r 、弧長為 s 的扇形面積為 rs 。. 7.. 弧度與度的換算：. 1 弧度  (. 180. . ) ；1 .  180. 弧度。為了方便，以弧度為單位時，通常省略弧度。. 3  ， ，， 2 的終 2 2  3 7 5  邊都在坐標軸上，如圖；其他如，，，  ，  ，亦即 60，135 ， 6 4 3 6 4 210 ，  45 ， 150 的終邊位置如圖所示。. 在坐標平面上，以 x 軸的正向為始邊，則廣義角 0 ，. 2.

(3) 8.. 坐標平面上的單位圓以原點為圓心， 1 為半徑。此圓與 x 軸正向交於點 (1,0) ，在圓上由點 (1,0) 出發沿著圓弧逆時鐘走 1 單位長，假設到達點 A ，如圖，. 則所走的弧長恰等於半徑，故由原點 O 指向點 A 的射線，即為廣義角 1 弧度的終邊。一般而言，設  是一個任意實數，今由點 (1,0) 出發，在圓上繞行，   0 就逆時鐘，   0 就順時鐘，當繞行的弧長為 |  | 時，令到達點為 P ，則射線 OP 即為廣義角  (弧度)的終邊，如圖。. 9.. 由此可知，廣義角的弧度數可以是任意實數，以弧度為單位時，一整圈是 2 ，所以兩個廣義角差 2 的整數倍時，就是同界角。同界角的判定：廣義角  與  同界的充要條件為：存在整數 n ，使     2n 。. 3.

(4) 【討論】 1. 定義三角函數：在介紹弧度之前，正弦( sin )、餘弦( cos )及正切( tan )中的角都是以度表示，現在則可以用弧度表示，例如：   1 sin  sin 30  ； sin( )  sin(90)  1 ； sin 0  sin 0  0 ； 6. sin1  sin(. 又如：  cos. 4. 2. 2. 180. . )  0.8415 (使用電算器)。.  cos 45 .  1  2 ； cos( )  cos(60)  ； tan  tan135  1 。 3 2 4 2. 由於 tan 是 sin  比 cos  的比值，故 tan 因為 cos.  2. . 2. 如同 tan 90 是沒有意義的，.  cos90  0 。. 在坐標平面上， O 為原點，給定一實數  ，設廣義角  (弧度)終邊上一點 P( x, y) ， OP  r  0 ，則 sin  . x y ， cos  。 r r. 當 x  0 ，即 cos  0 ，亦即   n . . 2. ( n 為整數)時，. y y r sin  又有 tan     。 x x cos r 若取 r  1 ，則 sin   y ， cos  x 。換言之，. 廣義角  的終邊與單位圓的交點為( cos  ， sin  )，如圖所示。實數  可以任意給定，若將  視為變數，則 sin  ， cos  ， tan 都是  的函數，依序稱為正弦函數、餘弦函數、正切函數。在此，再增加三個函數，它們是 cos ，( sin   0 ，即   n ) cot   sin  1  sec  ，( cos  0 ，即   n  ) cos 2 csc . 1 。( sin   0 ，即   n ) sin . 依序稱為餘切函數、正割函數、餘割函數，以上六個函數統稱為三角函數。由定義可知六個三角函數中兩兩有倒數關係，即 sin  與 csc 互為倒數， cos sin  ， cot   cos  與 sec 互為倒數， tan 與 cot  互為倒數；又 tan   cos sin  稱為商數關係。. 4.

(5) 【公式】 1. 倒數關係： sin  csc  1 ，其中   n ， n 為整數。  cos sec  1 ，其中   n  ， n 為整數。 2. tan  cot   1 ，其中   n 且   n . 2.. 3..  2. ， n 為整數。. 商數關係： sin   ，其中   n  ， n 為整數。 tan   cos 2 cos ，其中   n ， n 為整數。 cot   sin  對任意實數  ，由於點( cos  ， sin  )在單位圓 x2  y 2  1 上，故 cos2   sin 2   1 ，當 cos  0 時，上式兩端同乘得1  (. 1 ， cos 2 . sin  2 1 2 ) ( ) ，即 1  tan 2   sec2  。 cos cos. 又當 sin   0 時，在 cos2   sin 2   1 兩端同乘可得 ( 4.. 1 ， sin 2 . cos 2 1 2 ) 1  ( ) ，即 cot 2   1  csc2  。 sin  sin . 平方關係： cos2   sin 2   1 。 1  tan 2   sec2  。 cot 2   1  csc2  。. 5.

(6) 【公式】 1. 由定義可知：三角函數在同界角上取相同的值。因此，對任意整數 n ，恆有 sin(  2n )  sin  ， cos(  2n )  cos 。其餘 tan ， cot ， sec ， csc 中的任一個，在   2n 與  上也都取相同的值。由於這四個函數全部可用 sin 及 cos 表示，後續的一些性質將著重討論 sin 及 cos 。在第三冊中曾藉助對稱概念，引入幾個三角的簡化公式，現在以弧度表示，再複習一遍。由圖可知：. cos( )  cos ， sin( )   sin  ； cos(   )   cos ， sin(   )  sin  ； cos(   )   cos ， sin(   )   sin  。. 此外，  sin(. cos(. 2.  2.   )  sin.  2.   )  cos. cos  cos.  2. . cos  sin. 2.  2. sin   1  cos  0  sin   cos  。. sin   0  cos   1  sin   sin  。.   運用公式 sin(   )  cos 及 cos(   )  sin  可在 sin 與 cos 之間互換。 2. 2. 6.

(7) 【討論】 1. 三角函數的圖形：設  是實數，則 sin  及 cos  皆為  的函數。現在，我們要研究這些函數的圖形。通常在 xy 平面上作函數圖形時，都令 y 為 x 的函數，故正弦函數取 y  sin x ，餘弦函數取 y  cos x 。又限制實數 x ，使 cos x  0 ，就有正切函數 y  tan x 及正割函數 y  sec x ；而限制 x ，使 sin x  0 ，就有餘切函數 y  cot x 及餘割函數 y  csc x 。以下逐一討論這六個三角函數的圖形。 2. 正弦函數 y  sin x ：由正弦函數的意義知：廣義角 x 的終邊與單位圓交點的縱坐標是 sin x ，如圖所示，其中 x 是任意實數。因此，y 值隨著 x 的變化情形如下：  x 從 0 增加到時， y 由 0 遞增到 1 。. 2  x 從增加到  時， y 由 1 遞減到 0 。 2 3 x 從  增加到時， y 由 0 遞減到  1 。 2 3 x 從增加到 2 時， y 由  1 遞增到 0 。 2 3 5 5 3 5 7 2 4     當 x  0 ，，，，，，，， ，，，，，， 6 4 6 2 3 3 4 3 6 4 3 2 7 11 1 2 2 3 3 ，，2 時，代入 y  sin x 依序得 y  0 ，，，，1，，， 2 2 2 2 2 4 6 1 1 1 2 2 3 3 ，0 ， ， ， ， 1 ，  ， ，  ， 0 。由這些數值可在 2 2 2 2 2 2 2 11  1  2 坐標平面上描畫出 y  sin x 圖形上的點( 0,0 )，( ， )，( ， )，…，( ， 6 2 6 2 4 1  )，( 2 ,0 )如圖。 2. 當 0  x  2 且 x 是任意實數時， y  sin x 的圖形便成為連續的曲線，如圖。. 7.

(8) 當 x 從 2 增加到 4 時， y 的值重複 x 從 0 增加到 2 時的變化，同理 x 從 4 到 6 ， 6 到 8 ，…， y 的值一再重複變化；此外， x 從 2 到 0 ， 4 到 2 ， 6 到 4 ，…， y 的值一樣周而復始做相同變化。函數 y  sin x 的圖形就如同波一般， y 的最大值為 1 (波峰)，最小值為 1 (波谷)，它的振幅(最大值減最小值所得差的一半)是 1 ，如圖：. 3.. 這個連續的波形曲線是將圖中的曲線一再複製，由恆等式 sin( x  2 )  sin x 即可說明變數 x 每隔 2 單位，此函數就重複一段相同的圖形，我們稱正弦函數 y  sin x 的週期是 2 。一般而言，對於函數 f ，若存在正數 p ，使 f ( x  p)  f ( x) 恆成立，則稱 f 為週期函數，又所有這種正數 p 中若存在最小者稱為 f 的週期。例如由恆等式 sin( x  2 )  sin x 或 sin( x  4 )  sin x 都可說明 y  sin x 是週期函數，但 p  2 是使 sin( x  p)  sin x 恆成立最小的正數，故它的週期是 2 。說明下列各函數的圖形與 y  sin x 圖形的關係，並指出其週期。  (1) y  sin x  2 。(2) y  sin( x  ) 。 4. 解： (1) y  sin x  2 的圖形是將 y  sin x 的圖形向上平移 2 單位，其週期仍為 2 ，圖形如下：. (2)假設 ( x0 , y0 ) 是 y  sin x 圖形上一點，則 y0  sin x0 ，於是點 ( x0  y  sin( x .  4.  4. , y0 ) 就在. ) 的圖形上；.   反之，若 ( x0 , y0 ) 是 y  sin( x  ) 圖形上一點，則 y0  sin( x0  ) ，故點 4. 4. 8.

(9) ( x0 .  4. , y0 ) 在 y  sin x 的圖形上。因此， y  sin( x . 形向右平移. 4.. 5..  4. ) 的圖形可由 y  sin x 的圖.  單位而得，其週期仍為 2 ，圖形如下： 4. 一般而言， k  0 時， y  sin x  k 及 y  sin x  k 的圖形分別是將 y  sin x 的圖形上移 k 單位及下移 k 單位；而 y  sin( x  k ) 及 y  sin( x  k ) 的圖形分別是將 y  sin x 的圖形右移 k 單位及左移 k 單位。說明下列各函數的圖形與 y  sin x 圖形的關係，並指出其週期。 (1) y  2sin x 。(2) y  sin 2 x 。解： (1) y  2sin x 的圖形是將 y  sin x 的圖形上下伸縮 2 倍，振幅由 1 變成 2 ，其週期仍為 2 ，圖形如下：. x0 , y0 ) 就在 2 y  sin 2x 的圖形上；反之，若 ( x0 , y0 ) 是 y  sin 2 x 圖形上一點，則 y0  sin 2 x0 ，故點 (2 x0 , y0 ) 在 y  sin x 的圖形上。因此， y  sin 2 x 的圖形可由 y  sin x 的圖 1 1 形左右伸縮倍，週期 2    ，圖形如下： 2 2. (2)假設 ( x0 , y0 ) 是 y  sin x 圖形上一點，則 y0  sin x0 ，於是點 (. 6.. 一般而言， k  0 時， y  k sin x 的圖形是將 y  sin x 的圖形上下伸縮 k 倍， y  k sin x 的圖形則是再將 y  k sin x 的圖形對 x 軸鏡射；而 y  sin kx 的圖形是將 y  sin x 的圖形左右伸縮. 1 倍。 k. 9.

(10) 7.. 餘弦函數 y  cos x ：仿正弦函數的討論，並參照圖，可得 0  x  2 時， y  cos x 的圖形如圖：. 又 cos( x  2 )  cos x ，且此段曲線不能用較小段的曲線複製，故餘弦函數的週期為 2 ，其圖形可由圖中這段曲線一再複製而得，如圖：.   另一方面，由於 cos x  cos( x)  sin[  ( x)]  sin( x  ) ， 2. 2.  故 y  cos x 即 y  sin( x  ) ，所以餘弦函數 y  cos x 的圖形可由正弦函數 2  y  sin x 的圖形左移單位得到，如圖： 2. 8.. 正切函數 y  tan x ：此函數中之變數 x 必須使 cos x  0 ，即廣義角 x 弧度的終邊與單位圓的交點  橫坐標不能為 0 ，故 x  n  ，其中 n 是整數，參看圖： 2. 利用相似三角形的比例關係可得 tan x . sin x y   y。 cos x 1. 因此， y 值隨著 x 的變化情形如下： x 從 0 遞增時，動點 (1, y) 由點 (1,0) 往上爬升， y 隨之遞增， 10.

(11)  時， y 的值可無限制增大，如圖(a)。 2 x 從 0 遞減時，動點 (1, y) 由點 (1,0) 往下移動， y 值隨之減小，  當 x 趨近  時， y 的值可無限制減小，如圖(b)。 2   綜合而言， x 在  與之間變化時， y 的值隨 2 2 著 x 值的增大而遞增，且 y 可以歷經每一個實   數。函數 y  tan x 在   x  時的圖形，大致如 2 2 圖，其中曲線的兩端可以無限延伸。往右延伸  時，逐漸接近鉛直線 x  ，但不相交；往左延 2  伸時，逐漸接近鉛直線 x ，也不相交。由於 2 s i xn (  ) x s i nx s i n t a xn (  )    x ，且圖中的曲線不能用較小段的曲 t a n c o x s (  ) x c o x s c o s 線複製，故正切函數的週期為  ，其圖形可由該段曲線往左右兩端不斷複製而得，如圖所示。. 當 x 趨近. 9.. 11.

(12) 10. 餘切函數 y  cot x ： cot x 是 cos x 比 sin x 的比值，故變數 x 必須使 sin x  0 ，即 x  n ，其中 n 是  sin(  x)  cos x  2 整數。由於 y  cot x    tan(  x)   tan( x  ) ，  2 sin x 2 cos(. 故將 y  tan x 的圖形右移 y   tan(x .  2. 2.  x).   ，得 y  tan( x  ) 的圖形，再對 x 軸鏡射，便得 2 2. )即 y  cot x 的圖形，如圖，它的週期與 y  tan x 的週期同為  。. 11. 正割函數 y  sec x ： sec x 是 cos x 的倒數，故 cos x 不能為 0 ，變數 x 所  受的限制與 tan x 相同，即 x  n  ，其中 n 是 2. 整數。當 0  cos x  1 時， sec x  1；當 1  cos x  0 時， sec x  1 ，藉由 y  cos x 的圖形及倒數關係可推得函數 y  sec x 的圖形在 0  x  2 時的圖形  3 如圖，其中 x  及 x  時， cos x  0 ，而 sec x 2. 2. 沒有定義。又 y  sec x 與 y  cos x 的週期同為 2 ，故正割函數的圖形如圖。. 12.

(13) 12. 餘割函數 y  csc x ： csc x 是 sin x 倒數，故 sin x 不能為 0 ，變數 x 所受的限制與 cot x 相同，即 x  n ，其中 n 是整數。 y  csc x 與 y  sin x 的週期同為 2 ，仿正割函數的討論，可知餘割函數的圖形如圖。. 1 1 1     sec( x  ) ，說明餘割函數 y  csc x sin x cos(   x) cos( x   ) 2 2 2 與正割函數 y  sec x 圖形的關係。. 13. 由 y  csc x . 13.

(14) 【性質】 1. 在正弦函數 y  sin x 及餘弦函數 y  cos x 中，變數 x 的值都可取為任意實數，而所有實數所成的集合以 R 表示。一般而言，在一個函數 y  f ( x) 中，變數 x 所有可取的值所成的集合稱為函數 f 的定義域，所有函數值 y 所成的集合稱為函數 f 的值域。六個三角函數的定義域、值域列表如下(以 R 為宇集)：三角函數的定義域及值域函數定義域( x 的範圍) 值域(y 的範圍) y  sin x { y | 1  y  1 } R y  cos x { y | 1  y  1 } R  y  tan x { x | x  n  ， n 為整數} R y  cot x. y  sec x. 2. { x | x  n ， n 為整數}  { x | x  n  ， n 為整數}. { y | y  1 或 y  1 }. { x | x  n ， n 為整數}. { y | y  1 或 y  1 }. y  csc x. 2. 【性質】 1. 三角函數的圖形： y  sin x (週期 2 ). 2. 3.. R. y  c o sx (週期 2 ). y  tan x (週期  ). y  c o xt (週期  ). y  sec x (週期 2 ). y  c s cx (週期 2 ). 設 k  0 ，則 y  sin x  k ， y  sin x  k ， y  sin( x  k ) ， y  sin( x  k ) 的圖形依序是 y  sin x 的圖形上移、下移、右移、左移 k 單位所得的圖形。設 k  0 ，則 y  k sin x ， y  sin kx 的圖形依序是 y  sin x 的圖形上下伸縮 k 倍、左右伸縮. 1 倍所得的圖形。 k. 14.

(15) 【類型】度量分成兩種： 1. 度度量：度。 2. 弳度量：弧度。【定義】 1. 度(degree)：半徑為 r 的圓 O ，將其圓周分成 360 等分，每一等分所對應的角度大小就定義為 1 度，因此一個圓周就是 360 。 2. 弧度(radian)：半徑為 r 的圓 O ，在其圓周上取一段圓弧 PQ ，使得圓弧 PQ 的長度等於半徑 r ，規定這一段圓弧所對的圓心角 POQ 為 1 弧度。即當弧長等於半徑時所弧長對的圓心角是 1 弧度。所以弧長除以半徑就是弧度，即弧度  。半徑註： (1)圓心角固定時，弧長除以半徑的比值不會變。弧度也就是用半徑來量角度之意，是一個比值。 (2) 1 弧度比 60 小。 (3)在用弧度計算角度時，為了方便，一般不寫弧度單位，直接寫值。 sin x (4)在微積分中， lim  1 ，可見弧度的另一好處。 x 0 x Q. s.  O. r. P. 繞一圈的弧度：半徑為 r 的圓 O ，繞一圈的弧度為弧長除以半徑，弧長 2 r 即   2 (弧度) 。半徑 r 【性質】 1. 度與弧度之關係：由於 360  2 (弧度) 360 2 )  5717'45' '  57.3 且 1  ( ) (弧度)  0.01745 (弧度)。  1 (弧度)  ( 2 360 註：一般我們  (弧度) 180 ，而不是講   180 ，  永遠是指 3.14159 。【問題】 1. 試轉換下列角度：度 0 30 45 60 120 135 150 210 225 240 300 315 330 360    2 3 5 7 5 4 5 7 11 弧度 0 2 3 6 3 4 6 4 6 4 3 6 4 3 3.. 15.

(16) 【公式】 Q. s A.  r. O. 1.. 扇形的弧長：半徑為 r 的圓 O ，若圓弧 PQ 的圓心角為  弧度，弧長為 s ，由於弧長與角度成正比，弧長 2 r s 故，得 s  r ，   角度 2 (弧度)  (弧度) 或(扇形弧長 s)  (圓周長) . 2.. 3.. 4.. P.    r 。  2 r  2 2. 扇形的周長：半徑為 r 的圓 O ，若圓弧 PQ 的圓心角為  弧度，弧長為 s ，扇形 POQ 的周長為 L ，得 L  r (2   ) 。扇形的面積：半徑為 r 的圓 O ，若圓弧 PQ 的圓心角為  弧度，弧長為 s ，扇形 POQ 的面積為 A ，由於面積與角度成正比，面積  r2 A 1 1 1   故，得 A  r 2  r (r )  rs ， 2 2 2 角度 2 (弧度)  (弧度) 1   或(扇形面積 A)  (圓面積)    r2   r 2 。 2 2 2 弓形面積： (弓形面積)  (扇形 POQ 面積)(三角形 POQ 面積) 1 1 1  r 2  r 2 sin   r 2 (  sin  ) 。 2 2 2 Q. s. . A r. O. P. 註： 1. 一般未寫角度單位時，即表示為弧度，若寫度時，一定要標示出來。故若一廣義角為 x 弧度，其六個三角函數即為 sin x, cos x, tan x, cot x, sec x, csc x 。 2. 使用弧長、面積、周長等公式，角度的單位要使用弧度才正確，不可使用度。 3. 六個三角函數皆為比值，弧度也為比值，皆為無單位數。. 16.

(17) 【定義】 1. 奇函數：若函數 y  f (x) 滿足 f ( x)   f ( x) ，則稱函數 y  f (x) 為奇函數。 2. 偶函數：若函數 y  f (x) 滿足 f ( x)  f ( x) ，則稱函數 y  f (x) 為偶函數。 3. 週期(period)函數：一個函數 y  f (x) 的圖形若滿足 f ( x  p)  f ( x) ，就稱函數 y  f (x) 為一週期函數。若可以找到滿足條件的最小正數 p，則稱 p 為函數 y  f (x) 的週期。 4. 振幅：函數圖形最高點與最低點差距的一半。【性質】 1. 因 sin( x)   sin x ，故 y  sin x 為奇函數。因 cos( x)  cos x ，故 y  cos x 為偶函數。因 tan( x)   tan x ，故 y  tan x 為奇函數。因 cot( x)   cot x ，故 y  cot x 為奇函數。因 sec( x)  sec x ，故 y  sec x 為偶函數。因 csc( x)   csc x ，故 y  csc x 為奇函數。 2. 因 sin( x  2 )  sin x ，故 y  sin x 週期為 2 。因 cos( x  2 )  cos x ，故 y  cos x 週期為 2 。因 tan(x   )  tan x ，故 y  tan x 週期為  。因 cot(x   )  cot x ，故 y  cot x 週期為  。因 sec( x  2 )  sec x ，故 y  sec x 週期為 2 。因 csc( x  2 )  csc x ，故 y  csc x 週期為數 2 。 3. 奇函數的圖形對稱於原點。證明： (a, b)  y  f ( x)  b  f (a)  b   f (a)  b  f (a)  (a,b)  y  f ( x) ∴奇函數的圖形對稱於原點。 4. 偶函數的圖形對稱於 y 軸。 (a, b)  y  f ( x)  b  f (a)  b  f (a)  (a, b)  y  f ( x) ∴偶函數的圖形對稱於 y 軸。. 17.

(18) 【圖形】 1.正弦函數 y  sin . 2.餘弦函數 y  cos . 3.正切函數 y  tan. 4.餘切函數 y  cot . 5.正割函數 y  sec. 6.餘割函數 y  csc. 18.

(19) 【性質】 1.奇偶性與週期、定義域與值域、振幅、漸近線：奇偶週 y  f (x) 定義域值域函期數 { y  R || y | 1} y  sin x 奇 2 R y  cos x 偶 2 { y  R || y | 1} R  y  tan x 奇  {x  R | x  k  , k  Z } R 2 y  cot x 奇  {x  R | x  k , k  Z} R y  sec x 偶 2 {x  R | x  k   , k  Z } { y  R || y | 1} 2 y  csc x 奇 2 {x  R | x  k , k  Z} { y  R || y | 1} 2.遞增、遞減：. y  f (x). 0. ....  2 1. . .... .... 振幅. 漸近線. 1 1 x  k . . ,k  Z 2 x  k , k  Z x  k . . ,k  Z 2 x  k , k  Z. 3 2 1 0   |  0   | . .... 2. 0 y  sin x ↗ ↘ ↘ ↗ 0 0 y  cos x 1 ↘ ↘ ↗ ↗ 0 1 1 y  tan x 0 ↗   |  ↗ ↗ ↗ 0 0 y  cot x   |  ↘ ↘   |  ↘ ↘   |  0 y  sec x 1 ↗   |  ↗ ↘ ↘ 1 1 y  csc x   |  ↘ ↗   |  ↗ ↘   |  1 1 註：可用三角函數在各象限的正負號輔助判別週期。【方法】描繪三角函數的圖形方法有下列： 1. 描點法，然後用平滑曲線將這些線連結起來。 2. 利用已知函數的圖形以平移、伸縮、鏡射等畫出。【性質】 1. 函數 y  a sin(b( x  c))  d 的圖形中的 a, b, c, d 之意義分別為何，並求其週期。 a ：表示上下伸縮、鏡射。 b ：表示左右伸縮、鏡射。 c ：表示左右平移。 d ：表示上下平移。 2 週期：。 |b| 2. 函數 y  a tan(b( x  c))  d 的圖形中的 a, b, c, d 之意義分別為何，並求其週期。 a ：表示上下伸縮、鏡射。 b ：表示左右伸縮、鏡射。 c ：表示左右平移。 d ：表示上下平移。. 週期：.  。 |b|. 註：先平移再伸縮與先伸縮再平移，圖形不一定一樣。. 19.

(20) 【問題】 1. 證明：將 y  sin x 的圖形上移 2 單位可以得到 y  sin x  2 的圖形。證明： (a, b)  y  sin x  b  sin a  b  2  sin a  2  (a, b  2)  y  sin x  2 2.. 證明：將 y  sin x 的圖形右移.   單位可以得到 y  sin( x  ) 的圖形。 4 4. 證明： (a, b)  y  sin x  b  sin a. 3.. 4.. 5.. . . . 左移. . 2  y  sin ( x  y  sin x . 6.. . )  )  (a  , b)  y  sin( x  ) 4 4 4 4 證明：將 y  sin x 的圖形以 x 軸上下伸縮 2 倍可以得到 y  2 sin x 的圖形。證明： (a, b)  y  sin x  b  sin a  2b  2 sin a  (a,2b)  y  2 sin x 1 證明：將 y  sin x 的圖形以 y 軸左右伸縮倍可以得到 y  sin 2 x 的圖形。 2 證明： a a (a, b)  y  sin x  b  sin a  b  sin(2  )  ( , b)  y  sin 2 x 2 2 試畫出 y  cos x 的圖形。方法：  b  sin((a .  2. )  cos x. 試利用 y  sin x 的圖形畫出 y  3 sin(2 x .  4. )  5 的圖形。. 方法： 1 左右伸縮倍 2. 左移. . 8  y  sin (2( x   y  sin 2 x  y  sin x  左移. . 4 (或 y  sin x   y  sin ( x . 3倍 上下伸縮   y  3 sin (2 x .  4.  4.  8. ))  sin (2 x . 1 左右伸縮倍. 2 )   y  sin (2 x . 5 y  3 sin (2 x  ) 上移. 20.  4. )5.  4. )).  4. ).

(21)