單元二 三角形的三心

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單元二 三角形的三心

課文A： 三角形的外心

日月潭風景管理處打算舉行划獨木舟比賽，比賽方式為三隊分別從朝 霧碼頭、玄光碼頭、伊達邵碼頭出發，先搶到插在潭中的旗子獲勝，為了 公平起見，旗子到三個碼頭的距離必須相等，則旗子應該設置在何處呢？

先詴著猜猜看，旗子應該會設置在何處呢？

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如果將朝霧碼頭(A 點)、玄光碼 頭(B 點)、伊達邵碼頭(C 點)看成一 個△ABC，我們就是要找出一點 𝑂 點，使得 𝑂𝐴̅̅̅̅ = 𝑂𝐵̅̅̅̅ = 𝑂𝐶̅̅̅̅！

我們先找到與 𝐴

、

𝐵 等距的點 好了，回憶一下，「如果 𝑂 點落在 𝐴𝐵̅̅̅̅ 的中垂線 𝐿₁ 上，那麼 𝑂 點到 𝐴𝐵̅̅̅̅ 的兩端點等距。」

如果 𝑂 點也落在 𝐵𝐶̅̅̅̅ 的中垂線 𝐿₂ 上，則 𝑂 點與 𝐵

、

𝐶 也會等距。

所以作 𝐴𝐵̅̅̅̅ 的中垂線 𝐿₁ 及 𝐵𝐶̅̅̅̅

的中垂線 𝐿₂，𝐿₁ 與 𝐿₂ 的交點就是 𝑂 點。

想想看，那麼 𝑂 點也會在 𝐴𝐶̅̅̅̅ 的中垂線 𝐿₃ 上嗎？為什麼？

答案是會的！

因為 𝑂 在 𝐴𝐵̅̅̅̅ 的中垂線 𝐿₁，所以 𝑂𝐴̅̅̅̅ = 𝑂𝐵̅̅̅̅，

而且 𝑂 在 𝐵𝐶̅̅̅̅ 的中垂線 𝐿₂，所以 𝑂𝐵̅̅̅̅ = 𝑂𝐶̅̅̅̅，

因此 𝑂𝐴̅̅̅̅ = 𝑂𝐶̅̅̅̅，故 𝑂 點也會在 𝐴𝐶̅̅̅̅ 的中垂線 𝐿₃ 上！

A

B C

O

A

B C

2

O

A

B C

O

1

2

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※三角形的外心與外接圓

我們以 𝑂 點為圓心，𝑂𝐴̅̅̅̅ 為半徑畫圓，因為 𝑂𝐴̅̅̅̅ = 𝑂𝐵̅̅̅̅ = 𝑂𝐶̅̅̅̅，所以 A、B、C 都會在圓上，也就 是圓會通過 △ABC 的三個頂點，△𝐴𝐵𝐶 稱為 圓 𝑂 的「圓內接三角形」，圓𝑂 稱為 △𝐴𝐵𝐶的「外接圓」，

而外接圓的圓心 𝑂 就稱為△ABC 的「外心」。

學會找出外心之後，請詴著利用尺規作圖的方式回到第 41 頁找出符 合到朝霧碼頭、玄光碼頭、伊達邵碼頭等距離的 𝑂 點。

※三角形外心的位置

請利用尺規作圖的方式作出下列三個三角形的外心及外接圓！

A

B

C

O

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觀察上一頁所畫的圖可以發現三角形外心的位置：

1.銳角三角形的外心在三角形內部

2.直角三角形的外心在斜邊中點

3.鈍角三角形的外心在三角形外部

例題一：如圖，𝑂 點為 △𝐴𝐵𝐶 的外心，

𝑂𝐴̅̅̅̅ = 5，求 𝑂B̅̅̅̅、𝑂𝐶̅̅̅̅。

解：因為 𝑂 點為 △𝐴𝐵𝐶 的外心，所以 𝑂 點到 △𝐴𝐵𝐶 三頂點等距，故 𝑂𝐵̅̅̅̅ = 𝑂𝐶̅̅̅̅ = 𝑂𝐴̅̅̅̅ = 5。

21

例題二：如圖，直角 △𝐴𝐵𝐶 中，

𝑂 點為斜邊 𝐴𝐵̅̅̅̅ 中點，

且 𝑂𝐶̅̅̅̅ = 6，求 △𝐴𝐵𝐶 外接圓面積。

解：

直角 △𝐴𝐵𝐶 的外心為斜邊 𝐴𝐵̅̅̅̅ 的中點，

所以 𝑂 點就是外接圓圓心，𝑂𝐶̅̅̅̅ 就是外接圓半徑，

故 △𝐴𝐵𝐶 外接圓面積 = π × 6² = 36π。

例題三：如圖，直角 △𝐴𝐵𝐶 中，∠C＝90°，

且 𝐵𝐶̅̅̅̅ = 9、𝐴𝐶̅̅̅̅ = 12，求 △𝐴𝐵𝐶 外接圓面積。

解：

直角 △𝐴𝐵𝐶 中，∠C＝90°，且 𝐵𝐶̅̅̅̅ = 9、𝐴𝐶̅̅̅̅ = 12，

所以斜邊 𝐴𝐵̅̅̅̅ = √9²+ 12² = √81 + 144 = √225 = 15，

直角 △𝐴𝐵𝐶 的外心為斜邊 𝐴𝐵̅̅̅̅ 的中點，

所以外接圓半徑 = ¹

2𝐴𝐵̅̅̅̅ = ¹⁵

2， 故 △𝐴𝐵𝐶 外接圓面積 = π × (¹⁵

2)² =²²⁵

4 π。

22

例題四：如圖，𝑂 點為銳角 △𝐴𝐵𝐶 外心，

若 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐴𝐶̅̅̅̅ = 10、𝐵𝐶̅̅̅̅ = 12，

求 △𝐴𝐵𝐶 外接圓半徑=？

◎解題思維：本題就是要求出𝑂𝐴̅̅̅̅=? 而這個三角形其實是等腰三角形。

因為 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐴𝐶̅̅̅̅，所以A 點會在 𝐵𝐶̅̅̅̅ 的中垂線上。

因為 𝑂𝐵̅̅̅̅ = 𝑂𝐶̅̅̅̅，所以圓心 O 點也會在 𝐵𝐶̅̅̅̅ 的中垂線上。

因此直線 AO 就是𝐵𝐶̅̅̅̅ 邊上的中垂線。

(也可以說，𝐵𝐶̅̅̅̅ 邊上的中垂線會同時通過圓心 O 點與 A 點)

解：依解題思維的分析，延長𝑂𝐴̅̅̅̅，則直線 AO 就是𝐵𝐶̅̅̅̅ 邊上的中垂線，

設此中垂線與𝐵𝐶̅̅̅̅交於 M 點，則△𝐴𝐵𝑀 會形成一個直角三角形：

𝐴𝐵̅̅̅̅ = 10、𝐵𝑀̅̅̅̅̅ = ¹

2𝐵𝐶̅̅̅̅ =¹

2× 12 = 6，

𝐴𝑀̅̅̅̅̅ = √𝐴𝐵̅̅̅̅²− 𝐵𝑀̅̅̅̅̅² = √10²− 6² = √100 − 36 = √64 = 8 假設 △𝐴𝐵𝐶的外接圓半徑 = 𝑟，

也就是 𝑂𝐵̅̅̅̅ = 𝑂𝐴̅̅̅̅ = 𝑟，

則 𝑂𝑀̅̅̅̅̅ = 𝐴𝑀̅̅̅̅̅ − 𝑂𝐴̅̅̅̅ = 8 − 𝑟

又因為 △𝑂𝐵𝑀 也是一個直角三角形，

根據畢氏定理列式：

𝑟² = (8 − 𝑟)²+ 6² 𝑟² = (64 − 16𝑟 + 𝑟²) + 36 𝑟² = 𝑟²− 16𝑟 + 100 16𝑟 = 100 𝑟 =¹⁰⁰

16 =²⁵

4 外接圓半徑 =²⁵

4 10

6

6

6 −

23

※三角形外心的位置

因為任意的三角形都可以找到外心也可以畫出外接圓，而且三角形的 三個頂點都會在外接圓上，所以此三角形的三個內角都會是外接圓的圓周 角，我們就可以利用上一章節所學到的圓與角相關概念來求角度。

例題五：如圖，𝑂 點為銳角 △𝐴𝐵𝐶 之外心，

若 ∠𝐵𝐴𝐶 = 65°、∠𝐴𝐵𝑂 = 40°，求：

(1) ∠𝐵𝑂𝐶 = ？ (2) ∠𝐵𝐶𝐴 = ？

解(1)：外接圓會通過 △𝐴𝐵𝐶 的三個的頂點，

∠𝐵𝑂𝐶 為 BC 所對的圓心角，所以 ∠𝐵𝑂𝐶 = BC 。

BC 所對的圓周角為 ∠𝐵𝐴𝐶，所以 BC = 2∠𝐵𝐴𝐶 = 2 × 65° = 130°。

故 ∠𝐵𝑂𝐶 = 130°。

解(2)：∠𝐵𝐶𝐴為外接圓的圓周角，所對的弧為 AB，所以∠𝐵𝐶𝐴 =¹

2AB 。

又因為 △𝐴𝐵𝑂 是一個等腰三角形，∠𝐴𝐵𝑂 = ∠𝐵𝐴𝑂 = 40°，

所以 ∠𝐴𝑂𝐵 = 180° − 40° − 40° = 100°。

AB 為圓心角 ∠𝐴𝑂𝐵 所對的弧，所以 AB = ∠𝐴𝑂𝐵 = 100°。

故 ∠𝐵𝐶𝐴 = ¹

2 AB =¹

2× 100° = 50°。

24

例題六：如圖，𝑂 點為鈍角 △𝐴𝐵𝐶 之外心，

若 ∠𝐵𝐴𝐶 = 100°，求 ∠𝐵𝑂𝐶 = ？

解：∠𝐵𝐴𝐶 為圓 𝑂 的圓周角，所對的弧為 ， 所以 = 2∠𝐵𝐴𝐶 = 2 × 100° = 200°，

因此 = 360° − 200° = 160°，

∠𝐵𝑂𝐶 為 所對的圓心角，

所以 ∠𝐶𝑂𝐵 = = 160°。

例題七：𝑂 點為 △𝐴𝐵𝐶 的外心，若 ∠𝐵𝑂𝐶 = 130°，則 ∠𝐵𝐴𝐶 = ？

◎解題思維：已經知道 𝑶 點為 △𝑨𝑩𝑪 的外心，所以可以畫出一個圓 𝑶 為

△𝑨𝑩𝑪 的外接圓，即 △𝑨𝑩𝑪 的三個頂點 𝑨、𝑩、𝑪 會在圓 𝑶 上。

也就是 𝑩𝑪̅̅̅̅ 會是外接圓 𝑶 的一弦。

是圓心角

∠

𝐵𝑂𝐶 所對應的弧，所以 =

∠

𝐵𝑂𝐶 = 130°。

而 = 360° − = 360° − 130° = 230°

𝐵𝐶̅̅̅̅ 邊確定了，但 𝐴 點還不知道在哪裡。我們從可能的位置找起。

25

解：

=

∠

𝐵𝑂𝐶 = 130°，而 = 360° − = 360° − 130° = 230°。

而如果 𝐴 點在 上：

發現圓周角 ∠𝐵𝐴𝐶 所對的弧是 ， 所以 ∠BAC = ¹

2 =¹

2× 230° = 115°。

如果 𝐴 點在 上：

發現圓周角 ∠𝐵𝐴𝐶 所對的弧是 ， 所以 ∠BAC = ¹

2 =¹

2× 130° = 65°。

所以這題有兩種可能，故 ∠𝐵𝐴𝐶 = 65° 或 115°。

26

重點提問

1.根據上面的課文，請利用尺規作圖做出下面三角形的外接圓並說明作 法。

2. 根據上面的課文，請用自己的話解釋「外心」的意思，並說明外心有 何特性。

3.根據上面的課文，請問銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的外心位 置有何差異？請整理差異並列下表中。

三角形類型

圖示

外心位置

27

4.下圖中 𝑂 點皆為 △𝐴𝐵𝐶 的外心，請詴著標示出各小題中的等腰三角 形，並解釋原因。

(1) (2)

5. 在上一章圓的單元時有介紹「圓內接四邊形」及「外接圓」，下圖四邊 形 𝐴𝐵𝐶𝐷 為圓內接四邊形。

(1)請想想看如何找出四邊形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的外接圓圓心。

(2)請利用尺規作圖找出四邊形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的外接圓圓心。

28

6.請利用尺規作圖畫出下列各四邊形中，四個邊的中垂線。

(1)

(2) (3)

(4)

四邊形中，四個邊的中垂線一定會交於同一點嗎？

29

․隨堂練習：

1.如圖， 𝑂 點為鈍角 △𝐴𝐵𝐶 的外心，𝑂𝐴̅̅̅̅ = 5，

求 𝑂B̅̅̅̅、𝑂𝐶̅̅̅̅ 及外接圓的半徑。

2.如圖，𝐴、𝐵、𝐶 為公園中的三座涼亭，想蓋一座公廁到三個涼亭的距離 相等，利用尺規作圖找出公廁的位置。

3.直角 △𝐴𝐵𝐶 中，∠C＝90°，且 𝐵𝐶̅̅̅̅ = 7、𝐴𝐶̅̅̅̅ = 24，求 △𝐴𝐵𝐶 的外接圓 面積。

30

4.如圖，𝑂 為銳角 △𝐴𝐵𝐶 的外心，

若 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐴𝐶̅̅̅̅ = 25、𝐵𝐶̅̅̅̅ = 14，

求 △ABC 的外接圓半徑=？

5.如圖，𝑂 為鈍角 △𝐴𝐵𝐶 外心，

若 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐴𝐶̅̅̅̅ = 5、𝐵𝐶̅̅̅̅ = 8，

求 △ABC 外接圓半徑=？

6.如圖，𝑂 點為銳角 △𝐴𝐵𝐶 之外心，

若 ∠𝐵𝐴𝐶 = 70°、∠𝐴𝐵𝑂 = 30°，求 (1) ∠𝐵𝑂𝐶 = ？

(2) ∠𝐵𝐶𝐴 = ？

31

7.如圖，𝑂 點為鈍角 △𝐴𝐵𝐶 之外心，

若 ∠𝐵𝐴𝐶 = 110°、∠𝐶𝐵𝐴 = 40°，求 (1) ∠𝐵𝑂𝐶 = ？

(2) ∠𝐶𝑂𝐴 = ？ (3) ∠𝐴𝑂𝐵 = ？

8.△𝐴𝐵𝐶 中，𝑂 點為外心，若 ∠𝐵𝑂𝐶 = 80°，則 ∠𝐵𝐴𝐶 = ？

32

課文B： 三角形的內心

在某地區有三條直線公路，如下圖，如果想在中間的這塊空地蓋一間 倉庫，為了運貨方便起見，倉庫到三條公路的距離相等，則倉庫的位置應 該蓋在哪裡？

先詴著猜猜看，倉庫應該會設置在何處呢？

33

如果將三條直線公路的交點 分別為 A 點、B 點、C 點，我們 就是要找出一點 𝐼 點，使得 𝐼 點到 𝐴𝐵̅̅̅̅

、

𝐵𝐶̅̅̅̅、𝐶𝐴̅̅̅̅ 的距離相等！

我們先找與 𝐴𝐵̅̅̅̅

、

𝐵𝐶̅̅̅̅ 等距離 的點，回憶一下，「如果𝐼 點落在 ∠𝐵𝐴𝐶 的角平分線 𝐿₁ 上，那麼 𝐼 點到 ∠𝐵𝐴𝐶 的兩邊等距離。」

而這個 𝐼 點如果落在 ∠𝐶𝐵𝐴 的角平分線 𝐿₂ 上，那麼 𝐼 點到 𝐵𝐶̅̅̅̅

、

𝐵𝐴̅̅̅̅ 也會等距。

所以 ∠𝐵𝐴𝐶 的角平分線 𝐿₁ 與 ∠𝐶𝐵𝐴 的角平分線 𝐿₂ 的交點就是 𝐼 點。

想想看，𝐼 點也會落在 ∠𝐴𝐶𝐵 的角平分線 𝐿₃ 上嗎？

A

B C

A

B C

1

A

B C

2

A

B C

1

2

34

因為𝐼 點落在 ∠𝐵𝐴𝐶 的角平分線 𝐿₁ 上，所以 𝐼 點到 ∠𝐵𝐴𝐶 的兩邊 𝐴𝐵̅̅̅̅

、

𝐴𝐶̅̅̅̅ 等距；又因為 𝐼 點也落在 ∠𝐶𝐵𝐴 的角平分線 𝐿₂ 上，所以 𝐼 點到 ∠𝐶𝐵𝐴 的兩邊 𝐵𝐶̅̅̅̅

、

𝐵𝐴̅̅̅̅ 會等距。

因此 𝐼 點到 𝐴𝐶̅̅̅̅

、

𝐵𝐶̅̅̅̅ 也會等距，故 𝐼 點也會落在 ∠𝐴𝐶𝐵 的角平分線 𝐿₃ 上！

※三角形的內心與內切圓

以 𝐼 點分別向三邊做 𝐼𝐷̅̅̅ 垂直 𝐴𝐵̅̅̅̅、𝐼𝐸̅̅̅ 垂直 𝐵𝐶̅̅̅̅、𝐼𝐹̅̅̅ 垂直 𝐴𝐶̅̅̅̅，因為 𝐼 點 到 𝐴𝐵̅̅̅̅

、

𝐵𝐶̅̅̅̅、𝐶𝐴̅̅̅̅ 的距離相等，所以 𝐼𝐷̅̅̅ = 𝐼𝐸̅̅̅ = 𝐼𝐹̅̅̅。

如果以 𝐼 點為圓心、𝐼𝐷̅̅̅ 為半徑畫圓，圓會與 △ABC 的三邊相切，

△ABC 稱為圓 𝐼 的「圓外切三角形」，圓 𝐼 稱為△ABC 的「內切圓」，而內 切圓 的圓心 𝐼 就稱為 △ABC 的「內心」。

學會找出內心之後，請詴著利用尺規作圖的方式回到第 63 頁找出 到三條公路的距離相等的 𝐼 點。

A

B C

D

E

F

35

下面請利用尺規作圖的方式作出下列兩個三角形的內心、內心到三角 形其中一邊的垂直線段以及內切圓！

想想看三角形的內心一定在三角形內部嗎？為什麼？

三角形的內切圓一定會在三角形內部，其圓心也會在三角形的內部。

36

※三角形的角度與內心

三角形的內心是三個內角的角平分線的交點，我們可以利用角的角平 分線來求出角度的相關問題！

例題一：如圖，在 △𝐴𝐵𝐶 中，𝐼 點為其內心，

∠𝐶𝐵𝐴＝50°、∠𝐴𝐶𝐵＝80°，求

∠

𝐵𝐼𝐶 = ？

◎解題思維：

想求 ∠𝐵𝐼𝐶 可以利用 △𝐵𝐼𝐶 的內角和為 180°，

知道 ∠𝐶𝐵𝐼 和 ∠𝐼𝐶𝐵 後就可以算出 ∠𝐵𝐼𝐶 了。

解：

因為 𝐵𝐼 是 ∠𝐶𝐵𝐴 的角平分線、𝐶𝐼 是 ∠𝐴𝐶𝐵 的角平分線，

所以 ∠𝐶𝐵𝐼 = ¹

2∠𝐶𝐵𝐴 = ¹

2× 50° = 25°

∠𝐼𝐶𝐵 = ¹

2∠𝐴𝐶𝐵 =¹

2× 80° = 40°

故

∠

𝐵𝐼𝐶 = 180° − 25° − 40° = 115°。

37

例題二：如圖，在 △𝐴𝐵𝐶 中，𝐼 點為其內心，

∠𝐴＝70°，求 ∠𝐵𝐼𝐶 = ？

◎解題思維：

想求 ∠𝐵𝐼𝐶 可以利用 △𝐵𝐼𝐶 的內角和為 180°，

知道 ∠𝐶𝐵𝐼 與 ∠𝐼𝐶𝐵 之和後就可以算出 ∠𝐵𝐼𝐶 了。

又因為 𝐵𝐼 是 ∠𝐶𝐵𝐴 的角平分線、𝐶𝐼 是 ∠𝐴𝐶𝐵 的角平分線，

所以 ∠𝐶𝐵𝐼 = ¹

2∠𝐶𝐵𝐴、∠𝐼𝐶𝐵 =¹

2∠𝐴𝐶𝐵，

∠𝐶𝐵𝐼 + ∠𝐼𝐶𝐵 =1

2∠𝐶𝐵𝐴 +1

2∠𝐴𝐶𝐵 =1

2(∠𝐶𝐵𝐴 + ∠𝐴𝐶𝐵) 解：△A𝐵𝐶 中，∠𝐶𝐵𝐴 + ∠𝐴𝐶𝐵 = 180° − 70° = 110°

∠𝐶𝐵𝐼 + ∠𝐼𝐶𝐵 = ¹

2∠𝐶𝐵𝐴 +¹

2∠𝐴𝐶𝐵 =¹

2(∠𝐶𝐵𝐴 + ∠𝐴𝐶𝐵) =¹

2× 110° = 55°

∠𝐵𝐼𝐶 = 180° − 55° = 125°

※三角形的面積與內切圓半徑

將三角形的內心與三個頂點連接，可以將原來的三角形分成三個較小 的三角形，因為內心是內切圓的圓心，內切圓與三角形的三邊相切，所以 內切圓半徑就是這三個小三角形的高，可以用來表示三角形的面積關係，

請看下面的例題。

38

例題三：如圖，△𝐴𝐵𝐶 中，圓 𝐼 為 △𝐴𝐵𝐶 內切圓，

半徑為 4，若 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 13、𝐵𝐶̅̅̅̅ = 14、𝐶𝐴̅̅̅̅ = 15，求：

(1) △ABC 面積。

(2) △𝐼𝐴𝐵面積：△𝐼𝐵𝐶面積：△𝐼𝐶𝐴面積=？

解(1)：內心 𝐼 點與 △𝐴𝐵𝐶 的三頂點連接，

將 △𝐴𝐵𝐶 分割成三個小三角形：

△𝐼𝐴𝐵 中，𝐴𝐵̅̅̅̅ 為底、𝐼𝐷̅̅̅ 為高，面積就是 ¹

2× 13 × 4 = 26，

△𝐼𝐵𝐶 中，𝐵𝐶̅̅̅̅ 為底、𝐼𝐸̅̅̅ 為高，面積就是 ¹

2× 14 × 4 = 28，

△𝐼𝐶𝐴 中，𝐶𝐴̅̅̅̅ 為底、𝐼𝐹̅̅̅ 為高，面積就是 ¹

2× 15 × 4 = 30。

所以 △𝐴𝐵𝐶面積 = △𝐼𝐴𝐵面積+△𝐼𝐵𝐶面積+△𝐼𝐶𝐴面積 = 26 + 28 + 30 = 84。

解(2)：△𝐼𝐴𝐵面積：△𝐼𝐵𝐶面積：△𝐼𝐶𝐴面積 = 26：28：30 = 13：14：15

★省思 1：從例題三當中就可以發現，已知三角形 的三邊長及內切圓半徑，就可以將整個三角形面積 表示出來。

如圖，△𝐴𝐵𝐶 中，𝐼 點為其內心，△𝐴𝐵𝐶 的內切圓半徑為 r，連接 𝐼𝐴̅̅̅、𝐼𝐵̅̅̅、

𝐼𝐶̅̅̅，則△𝐴𝐵𝐶面積 = △𝐼𝐴𝐵面積+△𝐼𝐵𝐶面積+△𝐼𝐶𝐴面積 =¹

2× 𝐴𝐵̅̅̅̅ × 𝑟 +¹

2× 𝐵𝐶̅̅̅̅ × 𝑟 +¹

2× 𝐶𝐴̅̅̅̅ × 𝑟 = ¹

2(𝐴𝐵̅̅̅̅ + 𝐵𝐶̅̅̅̅ + 𝐶𝐴̅̅̅̅) × 𝑟 即 △𝐴𝐵𝐶面積 = ¹

2× 周長 × 內切圓半徑。

39

★省思 2：除此之外，觀察一下因為內心到三邊的距離相等，所以可以利 用這個性質來討論這三個小三角形的面積比。

因為△𝐼𝐴𝐵、△𝐼𝐵𝐶、△𝐼𝐶𝐴 的高都是內切圓的半徑，

所以 △𝐼𝐴𝐵面積：△𝐼𝐵𝐶面積：△𝐼𝐶𝐴面積 = 𝐴𝐵̅̅̅̅：𝐵𝐶̅̅̅̅：𝐶𝐴̅̅̅̅

即這三個小三角形的面積比就是三角形的邊長比。

例題四：△𝐴𝐵𝐶 中，𝐼 點為內心，若 △𝐴𝐵𝐶 面積為 12√15，

𝐴𝐵̅̅̅̅ = 8、𝐴𝐶̅̅̅̅ = 16、𝐵𝐶̅̅̅̅ = 12，求 𝐼 點到各邊的距離為何？

◎解題思維：

由例題三我們可以知道，將內心與三角形的三個頂點連接，

就可以把三角形切成三塊小三角形，

而三塊小三角形面積之和就是整個三角形面積。

解：令 𝐼 點到各邊的距離為 𝑟，

△𝐴𝐵𝐶面積 = △𝐼𝐴𝐵面積+△𝐼𝐵𝐶面積+△𝐼𝐶𝐴面積 =¹

2× 𝐴𝐵̅̅̅̅ × 𝑟 +¹

2× 𝐵𝐶̅̅̅̅ × 𝑟 +¹

2× 𝐶𝐴̅̅̅̅ × 𝑟 =¹

2(𝐴𝐵̅̅̅̅ + 𝐵𝐶̅̅̅̅ + 𝐶𝐴̅̅̅̅) × 𝑟 12√5 = ¹

2(8 + 16 + 12) × 𝑟 ⇒ 12√5 =

1

2  36

^{18 × 𝑟}

𝑟 =

2

12

3

5

18

=2√5 3

𝐼 點到各邊的距離為 ^2√5

3

40

※直角三角形的內切圓半徑

接下來討論直角三角形的兩股、斜邊與內切圓半徑的關係。

例題五：如圖，圓 𝐼 為直角 △𝐴𝐵𝐶 之內切圓，若 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 7、𝐴𝐶̅̅̅̅ = 25、

𝐵𝐶̅̅̅̅ = 24，求內切圓圓 𝐼 半徑。

◎解題思維：

想求三角形內切圓面積可以先將三角形的內切圓半徑畫出來：

作 𝐼𝐷̅̅̅ 垂直 𝐴𝐵̅̅̅̅、𝐼𝐸̅̅̅ 垂直 𝐵𝐶̅̅̅̅、𝐼𝐹̅̅̅ 垂直 𝐴𝐶̅̅̅̅。

內切圓與三角形的三邊相切，

所以 𝐴𝐹̅̅̅̅ = 𝐴𝐷̅̅̅̅、𝐶𝐹̅̅̅̅ = 𝐶𝐸̅̅̅̅、𝐵𝐷̅̅̅̅ = 𝐵𝐸̅̅̅̅，

又因為 ∠𝐸𝐵𝐷 = ∠𝐵𝐷𝐼 = ∠𝐼𝐸𝐵 = 90°，

所以四邊形BDIE 為一個正方形，邊長都是內切圓半徑。

41

解：令 內切圓半徑= 𝑟，

則 𝐵𝐷̅̅̅̅ = 𝐵𝐸̅̅̅̅ = 𝑟，𝐴𝐷̅̅̅̅ = 7 − 𝑟，𝐵𝐸̅̅̅̅ = 24 − 𝑟。

內切圓與三角形的三邊相切，所以 𝐴𝐹̅̅̅̅ = 𝐴𝐷̅̅̅̅ = 7 − 𝑟、𝐶𝐹̅̅̅̅ = 𝐶𝐸̅̅̅̅ = 24 − 𝑟 而 𝐴𝐶̅̅̅̅ = 𝐴𝐹̅̅̅̅ + 𝐶𝐹̅̅̅̅

故 25 = (7 − 𝑟) + (24 − 𝑟) 25 = 7 − 𝑟 + 24 − 𝑟

25 = 31 − 2𝑟 2𝑟 = 31 − 25 = 6 𝑟 = 3

內切圓半徑為 3 另解：

△𝐴𝐵𝐶面積 = ¹

2× 𝐵𝐶̅̅̅̅ × 𝐴𝐵̅̅̅̅ =¹

2× 24 × 7 = 84，

另外，△𝐴𝐵𝐶面積 =¹

2(𝐴𝐵̅̅̅̅ + 𝐵𝐶̅̅̅̅ + 𝐶𝐴̅̅̅̅) × 𝑟 84 =¹

2× (7 + 24 + 25) × 𝑟 84 =

¹

2  56

²⁸ × 𝑟 𝑟 = 84 ÷ 28 = 3

42

重點提問

1.根據上面的課文，請利用尺規作圖做出下面三角形的內切圓並說明作法。

2.根據上面的課文，請用自己的話解釋「內心」的意思，並說明內心有何 特性。

3.如圖，𝐴𝐵𝐶 中，𝐼 點為其內心，△𝐴𝐵𝐶 的內切圓半徑為 𝑟。

如何利用三角形的三邊長 𝐴𝐵̅̅̅̅、𝐵𝐶̅̅̅̅、𝐶𝐴̅̅̅̅ 及 𝑟 表示△𝐴𝐵𝐶面積？

△𝐼𝐴𝐵、△𝐼𝐵𝐶、△𝐼𝐶𝐴 與三角形的三邊長又有何關係？請說明並解釋原因。

43

4.圖中 𝐼 點為 △𝐴𝐵𝐶 的內心，請找出與各小題角度相等的角。

(1) ∠𝐼𝐴𝐵 = 。 (2) ∠𝐼𝐵𝐶 = 。 (3) ∠𝐼𝐶𝐴 = 。

5.

(1)請畫出下圖中直角三角形的內切圓，並說明有什麼特別。

(2)△𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐶 = 90°，𝐵𝐶̅̅̅̅ = 𝑎、𝐶𝐴̅̅̅̅ = 𝑏、𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝑐，請利用 𝑎、𝑏、𝑐 來 表示這個直角三角形的半徑。

44

6.在上一章圓的單元時有介紹「圓外切四邊形」及「內切圓」，下圖四邊形 𝐴𝐵𝐶𝐷 為圓外切四邊形。

(1)請想想看如何找出四邊形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的內切圓圓心。

(2)請利用尺規作圖找出四邊形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的內切圓圓心。

7.請利用尺規作圖畫出下面各四邊形中，四個內角的角平分線。

(1)

45

(2) (3)

(4)

四邊形中，四個內角的角平分線一定會交於一點嗎？

․隨堂練習：

1.如下圖，某公園有三條外圍道路，

在公園中有一座涼亭及三條等長的 步道，步道是由涼亭連接到外圍道 路的路線且與外圍道路垂直，請利 用尺規作圖在另外一張設計圖找出 涼亭的位置並畫出步道。

46

2.如圖，在 △𝐴𝐵𝐶 中，𝐼 點為其內心，

∠𝐶𝐵𝐴＝44°、∠𝐴𝐶𝐵＝70°，

求

∠

𝐵𝐼𝐶 = ？

3.如圖，在 △𝐴𝐵𝐶 中，𝐼 點為其內心，

∠𝐴 = 130°，求 ∠𝐵𝐼𝐶 = ？

4.如圖，△𝐴𝐵𝐶 中，圓 𝐼 為 △𝐴𝐵𝐶 內切圓，

半徑為 r，若 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 9、𝐵𝐶̅̅̅̅ = 13、𝐶𝐴̅̅̅̅ = 7，求：

(1) △𝐴𝐵𝐶 面積。(以 r 表示)

(2) △𝐼𝐴𝐵面積：△𝐼𝐵𝐶面積：△𝐼𝐶𝐴面積=？

5.△𝐴𝐵𝐶 中，𝐼 點為內心，若 △𝐴𝐵𝐶 面積為 4√5， 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 3、𝐴𝐶̅̅̅̅ = 6、𝐵𝐶̅̅̅̅ = 7，

求 𝐼 點到各邊的距離和為多少？

47

6.圓 𝐼 為直角 △𝐴𝐵𝐶 之內切圓，若 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 20、𝐴𝐶̅̅̅̅ = 21、𝐵𝐶̅̅̅̅ = 29，求內切 圓圓 𝐼 半徑。

7.直角坐標上有三點 𝐴(0,0)、𝐵(0,4)、𝐶(3,0)，𝐼 為 △𝐴𝐵𝐶 的內心，求 𝐼 點 的坐標。

8.如圖，等腰 △𝐴𝐵𝐶 中，𝐼 點為 △𝐴𝐵𝐶 的內心，若 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐴𝐶̅̅̅̅ = 15、𝐵𝐶̅̅̅̅ = 18，

求：

(1) △𝐴𝐵𝐶 面積

(2) 𝐼 到各邊的距離為何？

48

課文C： 三角形的重心

一個材質均勻厚薄一致的三角板中，是不是可以找到一個點，利用這 個點可以支撐起整個三角板且呈現平衡？

請先詴詴看，若可以找到，則這樣的點我們稱為三角板的重心。

我們可以利用懸吊的方式來找出重心，首先先將其中一個頂點 A 點懸 掛起來，直到維持平衡不動為止，並以虛線畫出懸掛的鉛垂線。

會發現虛線會通過對邊 𝐵𝐶̅̅̅̅ 的中點，想想看你覺得為什麼呢？

A

B

C

49

因為在懸吊至維持平衡不動時必須左右兩邊的面積一樣，左右兩塊三 角形的高是一樣的，所以只有當左右兩塊三角形的底一樣時，面積才會一 樣。

再將另外一個頂點 B 點懸掛起來，直到維持平 衡不動為止，並以虛線畫出懸掛的鉛垂線，同樣的 道理會發現虛線會通過對邊 𝐶𝐴̅̅̅̅ 的中點。

最後將頂點 C 點懸掛起來，直到維持平衡不動 為止，並以虛線畫出懸掛的鉛垂線，同樣的也會發 現虛線會通過對邊 𝐴𝐵̅̅̅̅ 的中點。

※三角形的重心

這三條虛線都是由穿過頂點及對邊的中點的直線，我們稱為「中線」，

而這三角形的三條中線恰好交於一點，利用這個點就可以將起材質均 勻厚薄一致的三角板支撐起來而且呈現平衡，是整個重力平衡的中心，

所以我們稱此點為三角形的「重心」。

A

B C

G E F

D

A B

C

50

※與三角形的重心相關的長度

前面觀察出三角形的三條中線剛好會交於一點，以下利用推理證明來 說明這件事，並且討論線段的關係：

先觀察 𝐵𝐸̅̅̅̅、𝐶𝐹̅̅̅̅ 兩條中線相交的關係，𝐵𝐸̅̅̅̅、𝐶𝐹̅̅̅̅ 兩條中線交於 𝐺 點。

(1)連接 𝐹𝐸̅̅̅̅。

(2)因為 𝐸、𝐹 分別為 𝐴𝐵̅̅̅̅、𝐴𝐶̅̅̅̅ 中點，

所以 𝐸𝐹̅̅̅̅//𝐵𝐶̅̅̅̅ 且 𝐸𝐹̅̅̅̅ =¹

2𝐵𝐶̅̅̅̅。

(3)在 △𝐺𝐶𝐵 與 △𝐺𝐹𝐸 中，

∠𝐺𝐵𝐶 = ∠𝐺𝐸𝐹、∠𝐺𝐹𝐸 = ∠𝐺𝐶𝐵 (因為𝐸𝐹̅̅̅̅//𝐵𝐶̅̅̅̅)，

則 △𝐺𝐶𝐵 ~ △𝐺𝐹𝐸 (AA 相似)，

故 𝐵𝐺̅̅̅̅：𝐺𝐸̅̅̅̅ = 𝐵𝐶̅̅̅̅：𝐸𝐹̅̅̅̅ = 2：1 (相似形的對應邊成比例)，

𝐶𝐺̅̅̅̅：𝐺𝐹̅̅̅̅ = 𝐵𝐶̅̅̅̅：𝐸𝐹̅̅̅̅ = 2：1 (相似形的對應邊成比例)。

51

再觀察 𝐴𝐷̅̅̅̅、𝐵𝐸̅̅̅̅ 兩條中線相交的關係，𝐴𝐷̅̅̅̅、𝐵𝐸̅̅̅̅ 兩條中線交於 𝐺^′ 點。

請利用上一頁的方式求證出 (1)𝐵𝐺′̅̅̅̅̅：𝐺′𝐸̅̅̅̅̅ = 2：1 (2)𝐴𝐺′̅̅̅̅̅：𝐺′𝐷̅̅̅̅̅ =？

連接 𝐷𝐸̅̅̅̅。

上一頁得知「𝐵𝐸̅̅̅̅、𝐶𝐹̅̅̅̅ 兩條中線交於 𝐺 點，𝐵𝐺̅̅̅̅：𝐺𝐸̅̅̅̅ = 2：1」，這一頁 得知「𝐴𝐷̅̅̅̅、𝐵𝐸̅̅̅̅ 兩條中線交於 𝐺^′ 點，𝐵𝐺′̅̅̅̅̅：𝐺′𝐸̅̅̅̅̅ = 2：1」，也就是 𝐺 點和 𝐺^′ 點 為同一點，換句話說三角形的三條中線會交於同一點，這點就是三角形的 重心。

除此之外，重心到頂點的距離：重心到對邊中點的距離 = 2：1，即 𝐴𝐺̅̅̅̅：𝐺𝐷̅̅̅̅ = 2：1、𝐵𝐺̅̅̅̅：𝐺𝐸̅̅̅̅ = 2：1、𝐶𝐺̅̅̅̅：𝐺𝐹̅̅̅̅ = 2：1。

52

例題一：如圖，△𝐴𝐵𝐶 三中線相交於 𝐺 點，

且 𝐴𝐷̅̅̅̅ = 36、𝐵𝐸̅̅̅̅ = 21、𝐶𝐹̅̅̅̅ = 33，

求 𝐴𝐺̅̅̅̅ + 𝐵𝐺̅̅̅̅ + 𝐶𝐺̅̅̅̅ = ？

解：△𝐴𝐵𝐶 三中線相交於 𝐺 點，所以 𝐺 點是 △𝐴𝐵𝐶 的重心，

故 𝐴𝐺̅̅̅̅：𝐺𝐷̅̅̅̅ = 2：1、𝐵𝐺̅̅̅̅：𝐺𝐸̅̅̅̅ = 2：1、𝐶𝐺̅̅̅̅：𝐺𝐹̅̅̅̅ = 2：1。

即 𝐴𝐺̅̅̅̅ = ²

3𝐴𝐷̅̅̅̅ = ²

3× 36 = 24，

𝐵𝐺̅̅̅̅ = ²

3𝐵𝐸̅̅̅̅ =²

3× 21 = 14，

𝐶𝐺̅̅̅̅ =²

3𝐶𝐹̅̅̅̅ = ²

3× 33 = 22。

𝐴𝐺̅̅̅̅ + 𝐵𝐺̅̅̅̅ + 𝐶𝐺̅̅̅̅ = 24 + 14 + 22 = 60

例題二：如圖，𝑂、𝐺 兩點分別為直角 △𝐴𝐵𝐶 之 外心及重心，若 ∠𝐴𝐵𝐶 = 90°、𝐴𝐵̅̅̅̅ = 6、𝐵𝐶̅̅̅̅ = 8，

求 𝐵𝐺̅̅̅̅ = ？

◎解題思維：𝑂 為直角 △𝐴𝐵𝐶 的外心，直角三角形的外心在斜邊的中點上，

所以 𝑂 為 𝐴𝐶̅̅̅̅ 的中點，𝑂𝐵̅̅̅̅ 為 △𝐴𝐵𝐶 的中線。

又 𝐺 為直角 △𝐴𝐵𝐶 的重心，所以 𝐵𝐺̅̅̅̅：𝐺𝑂̅̅̅̅ = 2：1。

因此只要算出 𝑂𝐵̅̅̅̅ 後，就可以再算出 𝐵𝐺̅̅̅̅ 了。

又因為 𝑂 為直角 △𝐴𝐵𝐶 的外心，所以 𝑂𝐴̅̅̅̅ = 𝑂𝐵̅̅̅̅ = 𝑂𝐶̅̅̅̅，

𝑂𝐴̅̅̅̅ 恰好會是斜邊 𝐴𝐶̅̅̅̅ 的一半。

53

解：直角 △𝐴𝐵𝐶 中，𝐴𝐶̅̅̅̅ = √𝐴𝐵̅̅̅̅²+ 𝐵𝐶̅̅̅̅² = √6²+ 8² = √100 = 10，

因為 𝑂 點為 △𝐴𝐵𝐶 的外心，所以 𝑂𝐵̅̅̅̅ = 𝑂𝐴̅̅̅̅ = 𝑂𝐶̅̅̅̅ =¹

2𝐴𝐶̅̅̅̅ = 5。

又 𝐺 點為 △𝐴𝐵𝐶 的重心，所以 𝐵𝐺̅̅̅̅：𝐺𝑂̅̅̅̅ = 2：1，

即 𝐵𝐺̅̅̅̅ =²

3𝐵𝑂̅̅̅̅ = ²

3× 5 = ¹⁰

3。

※與三角形重心相關的面積性質

重心𝐺與△𝐴𝐵𝐶的三頂點連接後，將大三角形切割成三個小三角形，

這三個小三角形 △𝐺𝐴𝐵、△𝐺𝐵𝐶、△𝐺𝐶𝐴 的面積有什麼關係呢？

先看中線 𝐴𝐷̅̅̅̅ 所切成的兩個三角形 △𝐴𝐷𝐵 和 △𝐴𝐷𝐶：

△𝐴𝐵𝐷 和 △𝐴𝐷𝐶 等底等高，所以△𝐴𝐵𝐷面積 = △𝐴𝐷𝐶面積。

連接 𝐺𝐵̅̅̅̅、𝐺𝐶̅̅̅̅：

△𝐺𝐵𝐷 和 △𝐺𝐷𝐶 等底等高，所以△𝐺𝐵𝐷面積 = △𝐺𝐷𝐶面積。

△𝐺𝐴𝐵 = △ 𝐴𝐵𝐷面積−△𝐺𝐵𝐷面積；△𝐺𝐶𝐴 = △ 𝐴𝐷𝐶面積−△𝐺𝐷𝐶面積， 所以 △𝐺𝐴𝐵面積 = △𝐺𝐶𝐴面積。

A

B C

G A

B D C

G

A

B C

G

D

54

請利用同樣的方式解釋 △𝐺𝐴𝐵面積 = △𝐺𝐵𝐶面積：

故重心𝐺 與 △𝐴𝐵𝐶 的三頂點連接，會將大三角形分成三個面積一樣的 三個角形，這三個面積就都會是 △𝐴𝐵𝐶面積的 ¹

3 倍，

即 △𝐆𝑨𝑩面積 = △𝑮𝑩𝑪面積 = △𝑮𝑪𝑨面積 = ^𝟏

𝟑△𝑨𝑩𝑪面積。

A

B C

E

G

55

再看看三角形的三中線所切割成 6 個三角形面積：

在△𝐺𝐵𝐶 中：

△𝐺𝐵𝐷 和 △𝐺𝐷𝐶 等底等高，所以 △𝐺𝐵𝐷面積 = △𝐺𝐷𝐶面積 = ¹

2△𝐺𝐵𝐶面積。

在△𝐺𝐶𝐴 中：

△𝐺𝐶𝐸 和 △𝐺𝐸𝐴 等底等高，所以 △𝐺𝐶𝐸面積 = △𝐺𝐸𝐴面積 = ¹

2△𝐺𝐶𝐴面積。

在△𝐺𝐴𝐵 中：

△𝐺𝐴𝐹 和 △𝐺𝐹𝐵 等底等高，所以 △𝐺𝐴𝐹面積 = △𝐺𝐹𝐵面積 = ¹

2△𝐺𝐴𝐵面積。

也就是三角形的三中線會將三角形切割成 6 個面積相等三角形，

即 △𝐺𝐵𝐷面積 = △𝐺𝐷𝐶面積 = △𝐺𝐶𝐸面積 = △𝐺𝐸𝐴面積 = △𝐺𝐴𝐹面積 = △𝐺𝐹𝐵面積 每一個三角形都會是△𝐴𝐵𝐶面積的 ¹

6 倍。

A

B C

G

F E

D

B C

G

D A

C G

E

A

B

G F

56

例題三：如圖，直角△𝐴𝐵𝐶 中兩股長分邊為 6 和 8，

∠𝐴𝐵𝐶 = 90°，𝐺 點為 △𝐴𝐵𝐶 之重心，

求 △𝐺𝐴𝐶 面積 =？

◎解題思維：

重心𝐺 與 △𝐴𝐵𝐶 的三頂點連接，將大三角形分成三個面積一樣的小角 形，所以先將直角△𝐴𝐵𝐶 面積算出來後再乘以 ¹

3 倍。

解：直角△𝐴𝐵𝐶 中兩股長分邊為 6 和 8，

所以直角△𝐴𝐵𝐶面積=¹

2× 6 × 8 = 24，

△G𝐴𝐶面積 = ¹

3△𝐴𝐵𝐶面積 = ¹

3× 24 = 8。

例題四：如圖，直角△𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐶 = 90°，

中線 𝐴𝐷̅̅̅̅、𝐵𝐸̅̅̅̅ 相交於 𝐺 點，

若 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 10、𝐵𝐶̅̅̅̅ = 6，求

(1)△𝐴𝐺𝐸 面積 =？(2)四邊形𝐺𝐷𝐶𝐸 面積 =？

◎解題思維：畫另外一條中線，三角形的三中線會將三角形切割成 6 個面 積相等三角形，每一個三角形都會是△𝐴𝐵𝐶面積的 ¹

6 倍。

57

解(1)：(1)直角△𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐶 = 90°，𝐴𝐵̅̅̅̅ = 10、𝐵𝐶̅̅̅̅ = 6，

根據畢氏定理得知 𝐴𝐶̅̅̅̅ = √(𝐴𝐵̅̅̅̅)²− (𝐵𝐶̅̅̅̅)² = √10²− 6² = 8 所以直角△𝐴𝐵𝐶面積=¹

2× 6 × 8 = 24，

△G𝐴𝐸面積 = ¹

6△𝐴𝐵𝐶面積 = ¹

6× 24 = 4。

解(2)：四邊形𝐺𝐷𝐶𝐸 面積 = △G𝐷𝐶面積 +△G𝐶𝐸面積 = 4 + 4 = 8

例題五：如圖，𝐺 點為 △𝐴𝐵𝐶 之重心，∠𝐵 = 90°，

𝐷 為 𝐴𝐶̅̅̅̅ 上的一點，且 𝐺𝐷̅̅̅̅ ⊥ 𝐴𝐶̅̅̅̅，

若 𝐴𝐶̅̅̅̅ = 29、𝐴𝐵̅̅̅̅ = 20、𝐵𝐶̅̅̅̅ = 21，則 𝐺𝐷̅̅̅̅ = ？

◎解題思維：

重心𝐺 與 A、C 連接，△𝐺𝐴𝐶面積 = ¹

3△ABC。

在△𝐺𝐴𝐶 中，以 𝐴𝐶̅̅̅̅ 為底，𝐺𝐷̅̅̅̅ 就是高，

所以 △𝐺𝐴𝐶面積 = ¹

2× 𝐴𝐶̅̅̅̅ × 𝐺𝐷̅̅̅̅。

解：直角△𝐴𝐵𝐶面積= ¹

2× 20 × 21 = 210，

△G𝐴𝐶面積 = ¹

3×△𝐴𝐵𝐶面積 = ¹

3× 210 = 70。

△𝐺𝐴𝐶面積 = ¹

2× 𝐴𝐶̅̅̅̅ × 𝐺𝐷̅̅̅̅ = 70 =¹

2× 29 × 𝐺𝐷̅̅̅̅ = 70 ⟹ 29 × 𝐺𝐷̅̅̅̅ = 140 ⟹ 𝐺𝐷̅̅̅̅ = ¹⁴⁰

29

58

例題六：如圖，平行四邊形𝐴𝐵𝐶𝐷 對角線相交於 𝑂 點，𝑀 點為 𝐵𝐶̅̅̅̅ 中點，

𝐴𝑀̅̅̅̅̅ 交 𝐵𝐷̅̅̅̅ 於 𝑃 點，若 𝑃𝑂̅̅̅̅ = 3，

且 △𝐴𝑃𝑂 面積為 8，則：

(1)𝐵𝐷̅̅̅̅ =？

(2)平行四邊形𝐴𝐵𝐶𝐷 面積 = ？

◎解題思維：

平行四邊形𝐴𝐵𝐶𝐷 對角線會互相平分，也就是 𝑂 會是 𝐴𝐶̅̅̅̅ 中點。

所以在 △𝐴𝐵𝐶 中，𝐵𝑂̅̅̅̅、𝐴𝑀̅̅̅̅̅ 是其中的兩條中線，

故 𝑃 點會是 △𝐴𝐵𝐶 的重心。

所以 𝐵𝑃̅̅̅̅：𝑃𝑂̅̅̅̅ = 2：1，△𝐴𝑃𝑂面積 = ¹

6△𝐴𝐵𝐶面積。

解(1)：平行四邊形𝐴𝐵𝐶𝐷 對角線會互相平分，所以 𝑂 是 𝐴𝐶̅̅̅̅ 中點，

又因為 𝑀 為 𝐵𝐶̅̅̅̅ 中點，因此 𝑃 點會是 △𝐴𝐵𝐶 的重心。

可得知 𝐵𝑃̅̅̅̅：𝑃𝑂̅̅̅̅ = 2：1，

其中 𝐵𝑃̅̅̅̅：3 = 2：1 ⟹ 𝑃𝐵̅̅̅̅ = 3 × 2 = 6。

𝐵𝑂̅̅̅̅ = 𝐵𝑃̅̅̅̅ + 𝑃𝑂̅̅̅̅ = 6 + 3 = 9，𝐵𝐷̅̅̅̅ = 2𝐵𝑂̅̅̅̅ = 2 × 9 = 18。

解(2)：承(1)小題，𝑃 點會是 △𝐴𝐵𝐶 的重心，𝑂 是 𝐴𝐶̅̅̅̅ 中點，

所以 △𝐴𝑃𝑂面積 = ¹

6△𝐴𝐵𝐶面積。

△𝐴𝐵𝐶面積 = 6 ×△𝐴𝑃𝑂面積= 6 × 8 = 48，

對角線 𝐴𝐶̅̅̅̅ 將平行四邊形𝐴𝐵𝐶𝐷 切成大小一樣的兩個三角形，

平行四邊形𝐴𝐵𝐶𝐷 面積 = 2 ×△𝐴𝐵𝐶面積= 2 × 48 = 96。

59

重點提問

1.根據上面的課文，請利用尺規作圖做出下面三角形的三條中線並說明作 法。

2.根據上面的課文，請用自己的話解釋「重心」的意思。

3.如圖，△𝐴𝐵𝐶 中，𝐴𝐷̅̅̅̅、𝐵𝐸̅̅̅̅、𝐶𝐹̅̅̅̅ 為 △𝐴𝐵𝐶 的三 條中線，且交於 𝐺 點，請回答下列各題：

(1)𝐴𝐺̅̅̅̅_：𝐺𝐷̅̅̅̅ _{= ？ 𝐵𝐺̅̅̅̅：𝐺𝐸}̅̅̅̅ = ？ 𝐶𝐺̅̅̅̅：𝐺𝐹̅̅̅̅ = ？

(2)請找出與 △𝐺𝐴𝐵 面積相同的三角形，並解釋原因。

(3)請找出與 △𝐺𝐴𝐹 面積相同的三角形，並解釋原因。

60

4.如圖，△𝐴𝐵𝐶 中，中線 𝐴𝐷̅̅̅̅、𝐵𝐸̅̅̅̅ 交於 𝐺 點，請回答下列各題：

(1)請證明 𝐴𝐺̅̅̅̅：𝐺𝐷̅̅̅̅ = 2：1。

(2)請證明 △𝐴𝐷𝐵面積 = △𝐴𝐷𝐶面積。

(3)承(1)、(2)，請證明 △𝐴𝐷𝐵面積=¹

2△𝐴𝐵𝐶面積。

(4)承(1)、(3)，請證明 △𝐺𝐴𝐵面積= ¹

3△𝐴𝐵𝐶面積。

(5)

承(1)、(3)，請證明 △𝐺𝐵𝐷面積= ¹

6△𝐴𝐵𝐶面積。

․隨堂練習：

1.如圖，△ABC 三中線相交於 G 點，

且 𝐴𝐷̅̅̅̅ = 15、𝐵𝐸̅̅̅̅ = 12、𝐶𝐹̅̅̅̅ = 18，

求 𝐴𝐺̅̅̅̅ = ？𝐵𝐺̅̅̅̅ = ？𝐶𝐺̅̅̅̅

＝

？

61

2.如圖，𝑂、𝐺 分別為直角 △𝐴𝐵𝐶 之外心及重心，

若 ∠𝐴𝐵𝐶 = 90°、𝐴𝐵̅̅̅̅ = 24、𝐵𝐶̅̅̅̅ = 32，求 𝑂𝐺̅̅̅̅ = ？

3.如圖，直角△𝐴𝐵𝐶 中兩股長分邊為 8 和 15，

∠𝐴𝐵𝐶 = 90°，𝐺 點為 △𝐴𝐵𝐶 之重心，

求 △𝐺𝐴𝐶 面積 =？

4. 如圖，𝐺 點為 △𝐴𝐵𝐶 之重心，∠𝐵 = 90°，

𝐷 為 𝐴𝐶̅̅̅̅ 上的一點，且 𝐺𝐷̅̅̅̅ ⊥ 𝐴𝐶̅̅̅̅，

若 𝐴𝐶̅̅̅̅ = 37、𝐴𝐵̅̅̅̅ = 35、𝐵𝐶̅̅̅̅ = 12，則 𝐺𝐷̅̅̅̅ = ？

62

5. 平行四邊形𝐴𝐵𝐶𝐷 對角線相交於 𝑂 點，

𝑀 為 𝐵𝐶̅̅̅̅ 中點，𝐴𝑀̅̅̅̅̅ 交 𝐵𝐷̅̅̅̅ 於 𝑃 點，

𝑁 為 𝐶𝐷̅̅̅̅ 中點，𝐴𝑁̅̅̅̅ 交 𝐵𝐷̅̅̅̅ 於 𝑄 點，

若 𝐵𝐷̅̅̅̅ = 24，且 △𝐴𝑃𝑄 面積為 30，則：

(1) 𝑃𝑄̅̅̅̅ =？

(2) 平行四邊形𝐴𝐵𝐶𝐷 面積 = ？

6. 如圖，△ABC 中，𝐸、𝐹 分別為 𝐴𝐶̅̅̅̅、𝐴𝐵̅̅̅̅ 的中點，

𝐵𝐸̅̅̅̅、𝐶𝐹̅̅̅̅ 相交於 G 點，若 𝐵𝐸̅̅̅̅ = 𝐶𝐹̅̅̅̅ = 9，

求證：

(1) △𝐺𝐵𝐶為等腰三角形。

(2) △𝐸𝐵𝐶 ≅△𝐹𝐶𝐵。

(3) △𝐴𝐵𝐶為等腰三角形。

63

課文D： 特殊三角形的三心

※等腰三角形的三心

下圖為一個等腰△𝐴𝐵𝐶，請利用尺規作圖的方式分別找出這個等腰三 角形的外心、內心和重心。

觀察看看等腰三角形的三心有什麼特別的地方呢？為什麼呢？

會發現等腰△𝐴𝐵𝐶 的三心會位在同一條線上，因為底邊的中垂線會是 頂角的角平分線，也同時是底邊上的中線，所以等腰三角形的外心、內心 和重心就會在同一條線上。

如右圖，等腰△𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐵𝐴𝐶 為頂角，𝐵𝐶̅̅̅̅ 為底邊，𝐴𝐷⃡ 是 𝐵𝐶̅̅̅̅ 的中 垂線也是∠𝐵𝐴𝐶 的角平分線， 𝐴𝐷̅̅̅̅是𝐵𝐶̅̅̅̅ 的中線。

𝐸𝐻⃡ 是 𝐴𝐶̅̅̅̅ 的中垂線，與 𝐴𝐷⃡ 交於外心 𝑂 點；

𝐵𝐹⃡ 是 ∠𝐴𝐵𝐶 的角平分線，與 𝐴𝐷⃡ 交於內心 𝐼 點；

𝐵𝐸̅̅̅̅ 是 𝐴𝐶̅̅̅̅ 的中線，與 𝐴𝐷⃡ 交於重心 𝐺 點。

因此外心、內心、重心會位在同一條線上。

A

B C

64

※正三角形的三心

請利用尺規作圖的方式分別找出正三角形的外心、內心和重心。

外心：

內心：

重心：

觀察看看正三角形的三心有什麼特別的地方呢？為什麼呢？

其實正三角形的外心、內心和重心會是同一點，因為正三角形的三邊 中垂線會是三內角的角平分線，也同時是三邊的中線。如下圖，正△𝐴𝐵𝐶 中，

𝐺 點就是 正△𝐴𝐵𝐶 的重心、內心、外心。

65

例題一：如圖，𝑂、𝐼、𝐺 分別為等腰直角 △𝐴𝐵𝐶 之外心、內心及重心，

∠

𝐵𝐴𝐶 = 90°、𝐵𝐶̅̅̅̅ = 2，求：

(1) 𝐴𝑂̅̅̅̅ = ？(2) 𝐺𝑂̅̅̅̅ = ？(3) 𝐼𝑂̅̅̅ = ？

解(1)：等腰直角 △𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐵𝐴𝐶 = 90°，

𝑂 為△𝐴𝐵𝐶 的外心，所以 𝑂 在斜邊 𝐵𝐶̅̅̅̅ 中點，

即 𝐴𝑂̅̅̅̅ = 𝑂𝐵̅̅̅̅ = 𝑂𝐶̅̅̅̅ =¹

2𝐵𝐶̅̅̅̅=1。

解(2)：由(1)可以得知 𝑂 在斜邊 𝐵𝐶̅̅̅̅ 中點，

又因為 𝐺 為 △𝐴𝐵𝐶 的重心，

所以 𝐴𝐺̅̅̅̅：𝐺𝑂̅̅̅̅ = 2：1，即 𝐺𝑂̅̅̅̅ =¹

3𝐴𝑂̅̅̅̅ = ¹

3。

解(3)：𝐼 為等腰直角 △𝐴𝐵𝐶 的內心，𝐼𝑂̅̅̅ 是內切圓半徑，

作 𝐼𝐷̅̅̅ ⊥ 𝐴𝐶̅̅̅̅、𝐼𝐸̅̅̅ ⊥ 𝐴𝐵̅̅̅̅， 𝐼𝐷̅̅̅、𝐼𝐸̅̅̅ 也是內切圓半徑，

四邊形𝐼𝐷𝐴𝐸 會是正方形，即 𝐼𝐸̅̅̅ = 𝐼𝐷̅̅̅ = 𝐴𝐷̅̅̅̅ = 𝐴𝐸̅̅̅̅。

因為內切圓與 𝐶𝐴̅̅̅̅ 相切於 𝐷 點、與 𝐵𝐶̅̅̅̅ 相切於 𝑂 點，所以 𝐶𝐷̅̅̅̅ = 𝑂𝐶̅̅̅̅=1。

因為 △𝐴𝐵𝐶 為等腰直角三角形，∠𝐵𝐴𝐶 = 90°，

由(1)可以得知 𝑂 在斜邊 𝐵𝐶̅̅̅̅ 中點，

所以 △𝐴𝐶𝑂 會是一個 45°-45°-90° 的直角三角形，

66

因此三邊長的比為 𝑂𝐶̅̅̅̅：𝐴𝑂̅̅̅̅：𝐴𝐶̅̅̅̅ = 1：1：√2，

又 𝑂𝐶̅̅̅̅ = 𝐴𝑂̅̅̅̅ = 1，故 𝐴𝐶̅̅̅̅ = √2。

所求的𝐼𝑂̅̅̅ = 𝐼𝐷̅̅̅ = 𝐴𝐷̅̅̅̅ = 𝐴𝐶̅̅̅̅ − 𝐶𝐷̅̅̅̅=√2 − 1

例題二：如圖，𝐺 是正 △𝐴𝐵𝐶 的重心，

𝐷 點為 𝐵𝐶̅̅̅̅ 的中點，若 𝐵𝐶̅̅̅̅ = 2，

求正 △𝐴𝐵𝐶 的外接圓半徑及內切圓半徑。

◎解題思維：

因為 △𝐴𝐵𝐶 為一個正三角形，𝐺 是正 △𝐴𝐵𝐶 的重心，所以 𝐺 也是正

△𝐴𝐵𝐶 的外心，也就是 𝐺𝐴̅̅̅̅ 就是外接圓半徑。

同時，𝐺 也是正 △𝐴𝐵𝐶 的內心，又因為 𝐷 點為 𝐵𝐶̅̅̅̅ 的中點，所以 𝐴𝐷̅̅̅̅ ⊥ 𝐵𝐶̅̅̅̅，而 𝐺 也在 𝐴𝐷̅̅̅̅ 上，所以 𝐺𝐷̅̅̅̅ ⊥ 𝐵𝐶̅̅̅̅，也就是 𝐺𝐷̅̅̅̅ 是內切圓半徑。

解：△𝐴𝐵𝐷 是 30°-60°-90° 的三角形，

三邊長比為 𝐵𝐷̅̅̅̅：𝐴𝐷̅̅̅̅：𝐴𝐵̅̅̅̅ = 1：√3：2，

𝐵𝐷̅̅̅̅ =¹

2𝐵𝐶̅̅̅̅ =¹

2× 2 = 1，因此 𝐴𝐷̅̅̅̅ = √3。

又因為正三角形的重心、外心、內心是同一點，所以 𝐺𝐴̅̅̅̅ 就是外接圓半 徑、𝐺𝐷̅̅̅̅ 是內切圓半徑。𝐺𝐴̅̅̅̅：𝐺𝐷̅̅̅̅ = 2：1

即 𝐺𝐴̅̅̅̅ =²

3𝐴𝐷̅̅̅̅ = ²

3× √3 = ^2√3

3 、 𝐺𝐷̅̅̅̅ = ¹

3𝐴𝐷̅̅̅̅ = ¹

3× √3 =^√3

3。 外接圓半徑 = ^2√3

3 、內切圓半徑 = ^√3

3。

67

重點提問

1.根據上面的課文，等腰三角形的外心、內心和重心的位置有什麼特別的 地方？

2.根據上面的課文，正三角形的外心、內心和重心的位置有什麼特別的地 方？

3.△𝐴𝐵𝐶 為等腰直角三角形，其中

∠

𝐵𝐴𝐶 = 90°，𝐵𝐶̅̅̅̅ = 2𝑎，

𝑂、𝐼、𝐺 分別為等腰直角 △𝐴𝐵𝐶 之外心、內心及重心，求：

(1) 𝐴𝑂̅̅̅̅ = ？ (2) 𝐺𝑂̅̅̅̅ = ？ (3)𝐼𝑂̅̅̅ = ？

68

4.如圖，△𝐴𝐵𝐶 是正三角形，𝐷 點為 𝐵𝐶̅̅̅̅ 的中點，

𝐺 是 △𝐴𝐵𝐶 的重心，求：

(1) 𝐴𝐷̅̅̅̅：𝐵𝐶̅̅̅̅ = ？

(2) 𝐴𝐺̅̅̅̅：𝐵𝐶̅̅̅̅ = ？ (3) 𝐺𝐷̅̅̅̅：𝐵𝐶̅̅̅̅ = ？

(4)△𝐴𝐵𝐶的外接圓面積：△𝐴𝐵𝐶的內切圓面積 = ？

․隨堂練習：

1.如右圖，△𝐴𝐵𝐶 是正三角形，

𝐷 點為 𝐵𝐶̅̅̅̅ 的中點，𝐺 是 △𝐴𝐵𝐶 的重心，

△𝐴𝐵𝐶 的內切圓半徑為 √3，求：

(1) △𝐴𝐵𝐶 的外接圓半徑 (2)△𝐴𝐵𝐶 邊長

(3)△𝐴𝐵𝐶 面積。

69

2.如圖，𝑂 為銳角 △𝐴𝐵𝐶 外心，

若 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝐴𝐶̅̅̅̅ = 25、𝐵𝐶̅̅̅̅ = 14，

求：

(1)𝐴𝐷̅̅̅̅ =？

(2)𝐴𝐺̅̅̅̅ =？

(3)△𝐴𝐵𝐶面積 =？

(4)△𝐴𝐵𝐶 外接圓半徑=？

(5)△𝐴𝐵𝐶 內切圓半徑=？

3.如圖，△𝐴𝐵𝐶 為等腰三角形，其中

∠

𝐵𝐴𝐶 = 90°，

𝑂、𝐼、𝐺 分別為等腰直角 △𝐴𝐵𝐶 之外心、內心及重心，

𝐴𝐺̅̅̅̅ = 4，求：

(1) △𝐴𝐵𝐶 外接圓半徑=？

(2) △𝐴𝐵𝐶 內切圓半徑=？