三角形的外心 三角形的外心

三角形的外心 三角形的外心

自我評量

三角形的內心 三角形的內心

三角形的重心

三角形的重心

圖 3-3 如圖 3-3 ， P 點在直線

L 上，

(1) 如果 L 是 的中垂 線，則

。

(2) 如果 ，則 L 是 的

中垂線。

如果想作一個圓同時通過△ ABC

的三個頂點，這個圓一定作得出來嗎？如果作得 出來，它的圓心會在哪裡？

AB PB

PA 

PB

PA  AB

如圖 3-4 ，△ ABC 中， L

為 的 中垂線， L

為 _{的中垂線， L}

_{與 L}

交於 O 點，連接 、

、

銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形

圖 3-4

AB BC OA

OB OC

∵L

是 的中垂線，∴

。

又 L

是 的中垂線，∴

。

故 _{，即 O 點到三} 頂點等距離。

因此若以 O 點為圓心， 為半徑畫圓，

則此

圓必通過△ ABC 的三個頂點。

AB OA  OB

OC OB 

BC

OC OB

OA  

OA

如圖 3-4 ，若 L

為 的中垂線，

則 L

也會通過 O 點嗎？

AC

會

下列各圖的三角形中，虛線為該邊之中垂線

，請利用這些中垂線，各作出一個圓，使這

個圓通過三角形的三個頂點。

下 列 各 圖 的 三 角 形 中

， 虛 線 為 該 邊 之 中 垂

線 ， 請 利 用 這 些 中 垂

線 ， 各 作 出 一 個 圓 ，

使 這 個 圓 通 過 三 角 形

的三個頂點。

由上面的說明與隨堂練習可知：

任意三角形三邊的中垂線交於同一點（設為 O 點），且此點到三頂點的距離相等（設為 R

）。若以 O 點為圓心， R 為半徑，作一圓通

過此三角形的三頂點，此圓稱為該三角形的外

接圓，圓心稱為該三角形的外心。

外心會落在三角形的內部、三角形的 邊上或三角形的外部？我們用圓周角的觀點說 明如下：

　　如圖 3-5 ，△ ABE 為銳角 三角形，△ ABD 為直角三角 形，△ ABC 為鈍角三角形，

且△ ABE 、△ ABD 與△ ABC 皆為圓 O 的 圓內接三角形，

所以

圖 3-5

(1) 銳角三角形 ABE 的外 心（圓心 O ）會在三 角形內部。

(2) 直角三角形 ABD 的外 心（圓心 O ）剛好在 三角形的斜邊中點。

(3) 鈍角三角形 ABC 的外 心（圓心 O ）會在三

角形外部。 圖 3-5

如下圖，有 A 、 B 、 C 三村，想蓋一座公園 到三村的距離相等，請用尺規作圖找出公園 的位置。

搭配習作 P44 基礎題 4

直角三角形 ABC 中，∠ A

＝ 90° ， _{＝ 6 ，}

＝ 8 ，試求△ ABC 外接圓的 半徑長。

AB AC

解 解 ∵△ABC 為直角三角形，

∴ 斜邊 ＝

，

且 中點即為外心，

故外接圓半徑＝

＝ 10 ÷ 2 ＝ 5 。

BC 6

 8

 10 BC

OC OB

OA  

搭配習作 P43 基礎題 1

1 直角三角形外接圓半徑

直角三角形 ABC 中，∠ A ＝ 90° ， ＝ 9

， ＝ 12 ，試求△ ABC 外接圓的半徑長

。

AB AC

斜邊 ＝

∴ 外接圓半徑＝ 13÷2 ＝ BC

 12

 13

13 2

2 30° － 60° － 90° 三角形三邊長

如右圖，△ ABC 中，已知∠ ACB

＝

90° ，∠ B ＝ 60° ，∠ A ＝ 30° ，

＝ a ，試求 、 。

BC

AB AC

解 解 如右圖，作斜邊中點 O ，∵∠ ACB ＝ 90°

，

∴O 為外心， ＝ ＝

，

又∠ OCB ＝∠ B ＝ 60° ，則∠ BOC ＝ 60°

，

故△ OBC 為正三角形，

＝ ＝ ＝ a ， ＝ ＋ ＝ 2a ＝

＝

OA OB OC

BC AB AC

OC OB OA OB

AB

 BC

a a

a ) 3 2

(





如圖 3-6 ，△ ABC 中，

＝ c ， ＝ a ， ＝ b ，

∠A ＝ 30° ，∠ B ＝ 60° ，∠ C ＝ 90° ， 則△ ABC 三邊長的比為

a ： b ： c ＝ 1 ： ： 2 。 AB BC AC

圖 3-6

3

如右圖，△ ABC 中，∠ A ＝ 30° ，

∠C ＝ 60° ，若 ＝ 6 ，試求 。

AB BC

∠B ＝ 180° － 30° － 60° ＝ 90°

： ：

＝

： 1 ： 2

6 ： ＝ ： 1 ＝

AB BC BC BC

3 3

3 2

AC

3 外接圓的應用

圓內接三角形的三內角為其外接圓的圓 周角，而一弧所對的圓周角度數，等於該弧所對圓 心角度數的一半，可利用此關係求解相關問題。

如右圖，△ ABC 中，∠ A

＝ 67° ， O 為△ ABC 的外心

，試求∠ BOC 。

解 解

如右圖，畫出△ ABC 的外接圓。

∵∠A ＝ ∠ BOC

（圓周角＝ 圓心角）

∴∠BOC ＝ 2∠A ＝ 2 × 67° ＝ 13 4°

1 2

1 2

1. 如右圖，△ ABC 中， O 為外 心，若∠ BAC ＝ 46° ，∠ ABC

＝ 79° ，試求∠ AOB 。

∠ACB ＝ 180° － 46° － 79°

＝ 55°

∴∠AOB ＝ AB

_{＝ 2∠AC}

B ＝ 110°

2. 如右圖，△ ABC 為鈍角三角 形，外心 O 在三角形外部，

若∠ ABC ＝ 28° ，∠ BAC ＝ 106° ，試∠ AOB 。

∠ACB ＝ 180° － 28° － 106°

＝ 46°

∴∠AOB ＝ AB

_{＝ 2∠ACB}

＝ 92°

如果想在三角形內部作一個圓，使得這 個圓和三角形的三邊相切，這個圓一定作得出來 嗎？如果作得出來，它的圓心會在哪裡？

如圖 3-7 ，△ ABC 中，作

∠CAB 的角平分線 L

、∠ A BC

的角平分線 L

， I 為 L

、 L

的

交點，並作 、

、 ，分別交 、 、

_{於 D 、 E 、} F 。

圖 3-7 BC

ID  IE  AC AB

IF  BC AC

AB

∵ L

是∠ CAB 的角平分線

，

∴ ，

∵ L

是∠ ABC 的角平分線

，

∴ ，

故 ， 即 I 到△ ABC 三邊等距離

。

圖 3-8

因此，若以 I 為圓心， 為半徑 畫圓，則此圓和三角形的三邊相切，如圖 3-8

。

IF IE 

IF ID 

IF IE

ID  

ID

若 L

為∠ ACB 的角平分線，則 L

是否也會通過 I 點？由上面可知，

，且 、 ，

∴ I 點必在∠ ACB 的角平分線 L

上。

由此可知，三角形三內角的角平分線 交於一點，且此點為三角形內切圓的圓心，所 以將此點稱為三角形的內心。

IE

ID  ID  BC AC

IE 

(1) 三角形三內角的角平分線交於一點，此點 稱為三角形的內心。

(2) 三角形的內心到三邊等距離。

(3) 若以三角形的內心為圓心，到三邊的距離

為半徑畫圓，可得到三角形的內切圓。

如圖，△ ABC 為鈍角三角形，請利用尺規作圖

，

求作： (1) △ABC 的內心。

(2) △ABC 的內切圓。

三角形的內心，一定都在三角形內部嗎？為什 麼？

搭配習作 P43 基礎題 3

∵ 內心為三內角的角平分線交點

∴ 一定在三角形內部

4 角度的計算

如右圖， I 為△ ABC 的內

心，且∠ ABC ＝ 70° ，∠ A

CB ＝ 40° ，試求∠ BIC 。

解 解 ∵I 為△ ABC 的內心，

∴ 為∠ ABC 的角平分線

，

則∠ 1 ＝ ∠ ABC ＝ 35° 。 同理，∠ 2 ＝ ∠ ACB ＝ 20

° 。

∠BIC ＝ 180° －∠ 1 －∠ 2

＝ 180° － 35° － 2 0° ＝ 125°

1 2

1 2

BI

如右圖，△ DEF 中， I 為內心

，∠ EFD ＝ 40° ，∠ E ＝ 80°

，試求∠ DIF 。

∠EDF ＝ 180° － 40° － 80° ＝ 60°

∴∠DIF ＝ 180° －∠ IDF －∠ IFD

＝ 180° － ∠ EDF － ∠ EFD

＝ 180° － 30° － 20°

＝ 130°

2 1

2 1

將三角形的內心與三個頂點連接，可 以將原三角形分成三個小三角形，因為內心到三 邊的距離相等，我們可以利用此性質來討論這三 個小三角形的面積比。

如圖 3-9 ，△ ABC 中，

I 為△ ABC 的內心，

， ， ，

其中 D 、 E 、 F 為垂足，

∴

圖 3-9 AB

ID  IE  BC IF  CA IF

IE

ID  

△AIB ：△ BIC ：△ CIA

＝ ( × × ) ： ( × × ) ： ( × × )

＝ ： ：

圖 3-9 1 2

1 2

1 2 AB

AB

BC

ID IE CA IF

BC CA

5 三角形內心與面積

如右圖，△ ABC 中， I 為內切圓 的圓心，△ ABI 的面積為 24 ，△

ACI 的面積為 15 ，△ BCI 的面 積為 21 ，試求 ： ：

。

AB AC BC 解 解 ： ：

＝△ ABI ：△ ACI ：△ B CI

＝ 24 ： 15 ： 21

＝ 8 ： 5 ： 7

AB AC BC

若△ ABC 為等腰直角三角形，且∠ C ＝ 90°

， I 為內心，試求△ AIB ：△ BIC ：△ CIA 。

∵△ABC 為等腰直角三角形，∠ C ＝ 90°

∴ ： ： ＝ 1 ： 1 ：

又 I 為內心，∴△ AIB ：△ BIC ：△ CIA

＝ ： ：

＝ ： 1

： 1

BC CA AB 2

AB BC CA

2

如果已知道三角形的面積與各邊的邊 長，我們也可利用三角形內心到三邊等距離的性 質，算出三角形內切圓的半徑。

6 內切圓半徑

如右圖， I 為△ ABC 的內心，

△ABC 的面積為 84 ，

若 _{＝ 15 ， ＝ 13 ， ＝ 14 ，}

試求△ ABC 的內切圓半徑。

AC BC AB

解 解 設內切圓半徑為 r ，連接 、 、

，

∵ I 為內心，

∴ I 到三邊的距離均為 r ，

△ABC ＝△ IAB ＋△ IBC ＋△ IAC

84 ＝ ． _{． r ＋ ． ． r ＋ ． ． r}

84 ＝ ． 14 ． r ＋ ． 13 ． r ＋ ． 15

． r

84 ＝ 21r r ＝ 4

故△ ABC 的內切圓半徑為 4 。

IA IB IC

1 2

AB 1 2 BC AC 1 2

1 2

1 2

1 2

如右圖， I 為△ ABC 內心， ， ，

，若△ ABC 面積為 ， 且 ＝ 5 ，

＝ 6 ， ＝ 7 ，試求 。 AB

IL  IM  BC AC

IN  6 6

AB

AC BC

IM

連接 、 、

∵ I 為內心，∴ 令 ＝ ＝ ＝ r ，

△ABC ＝△ AIB ＋△ BIC ＋△ CIA

∴ r ＝

故 ＝

AI BI CI

IL IM IN 3 6

2

IM 6

3 2

圖 3-10 如圖 3-10 ，△ ABC 中，

_{＝ c ，}

_{＝ a ， ＝ b ，內切圓} 半徑為 r ，

I 為內切圓的圓心，連接 、

、

，則△ IAB 、△ IBC 、△ IAC 的底

邊分別為 c 、 a 、 b ，且高都是 r 。 AB

BC AC

IA IB

IC

△ABC ＝△ IAB ＋△ IBC ＋△ I CA

＝ ＋

＋

＝ _{（ a ＋ b ＋} c ）

cr 2

ar 2

br 2 r 2

三角形的面積＝內切圓半徑與三角形周長之乘 積的一半。

　 接下來，我們來探討直角三角形的兩股

、斜邊與內切圓半徑的關係。

如圖 3-11 ，直角三角形 ABC 中，∠

C ＝ 90° ，作出內切圓 O ，且切三邊於 D 、 E 、 F 三點，令 r 為其半徑，分別連接

、 。

OE OF

圖 3-11

由於 、 為切線長，所以 ＝

，

同理 ＝ ， ＝ 。

因為 E 、 F 為切點，∠ C ＝ 90° ， ＝ _{＝ r ，}

因此四邊形 OECF 為正方形。

故 ＋ ＝（ ＋ ）＋（

＋ ）

＝（ ＋ ）＋

（ ＋ ）

＝（ ＋ ）＋

2r

＝ _{＋ 2r}

AD AF AD AF

BD BE CE CF

OE OF AC BC AF

AF

CF BE CE BE CF CE AD BD

AB

直角三角形的兩股和＝斜邊長＋內切圓半徑的 2 倍。

由上面的說明可知：

7 直角三角形的內切圓

△ABC 中，∠ A ＝ 90° ， _{＝ 5 ，}

＝ 12 ，試求△ ABC 的內切圓半徑。

AB AC

解一 解一 ＝

△ABC 的周長＝ 5 ＋ 12 ＋ 13 ＝ 30

△ABC ＝ ． ． ＝ ． 5 ． 12 ＝ 30

BC 5

 12

 13

2 1

1 2 AB AC

設內切圓半徑為 r

△ABC ＝ ． r ．△ ABC 的周長

30 ＝ ． r ． 30 r ＝ 2 故內切圓半 徑＝ 2

1 2

1 2

解二 解二 斜邊 ＝

設內切圓半徑為 r

＋ ＝ ＋ 2r 5 ＋ 12 ＝ 13 ＋ 2r

r ＝ 2

故內切圓半徑＝ 2

BC 5

 12

 13

AB AC BC

直角三角形 ABC 中，∠ B ＝ 90° ， ＝ 8 ， ＝ 6 ，試求△ ABC 的內切圓半徑

。

AB BC 斜邊 ＝

設內切圓半徑為 r

＋ ＝

＋ 2r

8 ＋ 6 ＝ 10 ＋ 2r r ＝ 2

AC

AB BC AC

10 6

8





將三角形的頂點和其對邊中點連線

，此線段稱為三角形的中線，其長度稱為 中線 長。

如圖 3-12 ，△ ABC 有三條中線，

為

上的中線， 為 上的中線， 為 上的中

線。

AM BC BN AC CP AB

圖 3-12

將一個質地均勻的三角板，依次輪流 懸掛其中的一個頂點，然後將懸掛線延長，可觀 察到這條線通過懸掛頂點的對邊中點，如圖 3-13

，兩條虛線會交於一點，那麼第三條虛線會交於 同一點嗎？

圖 3-13

接下來，我們將證明第三條中線會通過 前面二條中線的交點，而此交點稱為三角形的重 心。

圖 3-14 如圖 3-14 ，△ AB

C 中，

D 、 E 、 F 分別為 、

、

中點，且 和 兩中 線

交於 G 點。連接 。

BC AC AB BE CF

EF

圖 3-14

∵ E 、 F 分別為 、 中點

，

∴ // ，且 ＝

。

在△ GBC 與△ GEF 中，

∠1 ＝∠ 3 ，∠ 2 ＝∠ 4 ，（

// ）

則△ GBC∼△GEF （ AA 相似），

故 ： ＝ ： ＝ 2 ： 1 。

AC AB EF BC EF 1 2

BC

EF BC

BG GE BC EF

　 如圖 3-15 ，設 與 兩

中線交於 G' 點，

同理 ： _{＝ 2 ： 1}

，

故 G 與 G' 是同一點，

即 _{通過 G 點。}

圖 3-15 AD BE

'

BG E G '

AD

由上面的說明可知

1. 如圖 3-16 ，△ ABC 的三中 線

、 、 交 於重心 G 。

AD BE CF

圖 3-16

圖 3-17 2. 如圖 3-17 ，若 G 為△ AB

C 的

重心，則 ＝

，

＝ 。

AG AD GD AD

3 2

3 1

8 求中線長

如右圖，△ ABC 中，三中線 、 、 交於 G 點，

＝ 12 ， _{＝ 18 ，}

＝ 15 ，

試求 、 、 。 AD BE CF AD

BE CF

AG BG CG

解 解 ∵G 為三中線 、 、 的 交點，

∴G 為△ ABC 重心

故 ＝ ＝ ． 12 ＝ 8

＝ ＝ ． 18 ＝ 1 2

＝ ＝ ． 15 ＝ 1 0

AD BE CF

AG 3 2 AD

3 2 BG 3 2 BE

3 2 CG 3 2 CF

3 2

如右圖，△ PQR 中， M 、 N 分別為

、 中點， 、 _{交於 G 點}

，若 ＋ ＝ 5 ，試求 ＋ PQ QR

PN RM GM GN

PN RM

∵G 為重心

∴ ＝ 3 ， ＝ 3

∴ ＋ ＝ 3 ＋ 3 ＝ 3 （ ＋ ）

＝ 15 PN GN RM GM

PN RM GN GM

GN GM

9 重心均分面積

如右圖，△ ABC 的三中線 、

、 交於一點 G ，試證△ ABG

、

△BCG

△ CAG 面積相等。

AD BE

CF

證明 證明

(1) △ABC 中， D 為 中點，

∴△ ABD ＝△ ACD 。

同理，△ GBD ＝△ GCD 。 (2) △ ABG ＝△ ABD －△ GBD

＝△ ACD －△ G CD ＝△ CAG

同理，△ BCG ＝△ CAG 。 ∴△ABG ＝△ BCG ＝△ CAG 。

BC

如右圖，△ ABC 的三中線 、 、 交於一點 G ，試證△ AFG ＝ △ ABC 的 面積。

AD BE CF 1 6

∵F 為 中點，

∴△AFG ＝ △ ABG ＝

． △ ABC

＝

△ ABC AB

1 2 1 2

1 3

1 6

圖 3-18 由例題 9 與隨堂練習可知：

如圖 3-18 ，△ ABC 中， 、 、 為三中線， G 為重心，則：

(1) △AGB ＝△ BGC

＝△ CGA ＝ △ ABC (2) △AGF ＝△ BGF ＝△ BGD

＝△ CGD ＝△ CGE

＝△ AGE ＝ △ ABC AD BE CF

1 3

6 1

10 重心計算

如右圖，△ ABC 中，∠ ABC ＝ 90° ，兩中線 、

交於 G 點， ＝ 6 ， ＝ 8 ， 試求： (1) 、 。

(2)△ABG 的面積。

(3) 四邊形 CDGE 的面積。

AD

BE AB BC

AG GE

解 解 (1)∵△ABC 為直角三角形，∴ ＝

∵ E 為斜邊 中點，∴ E 為△ ABC 外心。

則 ＝ ＝ ＝ 10÷2 ＝ 5 ，

且 ＝ ＝ 4 ， ＝ 又兩中線 、 交於 G 點，

∴G 為△ ABC 的重心，

＝ ＝ ． ＝ ＝ ＝ ． 5 ＝

AC 6

 8

 10 AC

EA EB EC

BD 1 2 BC AD 6

 4

 2 13 AD BE

AG 3 2 AD

3 2 2 13 13 3 4

GE 1 3 BE

1 3

5 3

解 解 (2)△ABG ＝ △ ABC ＝ ．（ ． 6 ． 8 ）＝ 8

(3) 如圖，連接 ，

則四邊形 CDGE 面積 ＝△ CDG ＋△ CEG

＝ △ ABC ＋ △ ABC ＝ ．（ ． 6 ． 8 ）

＝ 8

1 3

3 1

1 2 CG

6 1

6 1 3 1

1 2

如右圖，△ ABC 中，

＝ 8 ， _{＝ 15 ，∠}

BAC ＝

90° ，若 G 為重心，試求 及△ AEG 的面積

。

AB AC

AG

＝

∵ D 為外心，∴ ＝ ＝ G 為重心，∴ ＝ ＝

△AEG ＝ △ ABC ＝ × （ × 8 × 15 ）＝ 10

BC 8

 15

 17

AD 1 2 BC

17 2 AG 3 2 AD

17 3 1 6

6 1

1 2

11 重心的應用

如右圖，平行四邊形 ABCD 中，

O 為對角線 、 的交點

， E

為 中點， H 為 中 點，試

證 ＝ ＝ 。 AC BD

CD BC

BG GF FD

證明 證明 (1)∵ 平行四邊形對角線互相平分，

∴ ＝ ， ＝ 。 (2)△ABC 中， O 為 中點， H 為

中點，

∴G 為重心，故 ＝ ， ＝ 。

AO OC BO OD

AC BC

BG 3 2 BO GO BO 1 3

同理， ＝ ， ＝ 。

(3) ∵ ＝ ，

∴ ＝ ＋

＝ ＋

＝

故 ＝ ＝

FD 3 2 OD FO 1 3 OD BO OD

GF GO FO 3 1

BO 3 1

OD 3 2 BO

BG GF FD

如右圖，長方形 ABCD 中

，

＝ 9 ， ＝ 12 ，若 G

、 G

分別為△ ABC 、△ A CD

的重心，試求 。

AB BC

2 1

G

G

＝

∵G

、 G

分別為△ ABC 、△ ACD 的 重心

∴ ＝ ＝

故 ＝ ＝ 5 BD 12

 9

 15

BG

G

G

G

D

2 1

G

G 1 3 BD

在前一節中，我們學過「等腰三角 形底邊上的高平分底邊，且平分頂角」，即等 腰三角形底邊的中線和中垂線與其頂角平分線 相同，故正三角形的三中線即是三邊的中垂線

，也是三內角平分線。

如圖 3-19 ，△ ABC 為正三

角形， 、 、 為三中線

，則 、 、 分別為

、 、 的中垂線，

也分別是∠ A 、∠ B 、∠ C 的角平分線

。由上面的說明可得：

圖 3-19 AD BE CF

AD BE CF BC AC AB

正三角形的外心、內心與重心是同一點。

垂心

三角形的三高交於一點，該點稱為 三角形的 垂心 ，通常以 H 來表示△ ABC 的 垂心。如圖 3-20 ，銳角三角形的垂心位於三 角形內部，鈍角三角形的垂心位於三角形外部

，直角三角形的垂心即為直角頂點。

圖 3-20

在數學中最令我欣喜的，是那些能夠被證 明的東西。

── 羅素（ Bertrand Russell ， 1872-197

0 ）

1. 外心：

任何三角形三邊的中垂線交於同一點（外心）

，且此點到三頂點的距離相等。

2. 三角形外心的位置：

(1) 銳角三角形的外心會在三角形內部。

(2) 鈍角三角形的外心會在三角形外部。

(3) 直角三角形的外心剛好在斜邊中點上。

3. 直角三角形的三邊比：

△ABC 中， ＝ c ， ＝ a ，

＝ b ，∠ A ＝ 30° ，∠ B ＝ 60° ，∠ C ＝ 90°

，則△ ABC 三邊長的比為 a ： b ： c ＝ 1 ： ： 2 。

AB BC AC

3

4. 內心：

(1) 三角形三內角的角平分線交於一點，此 點就是三角形的內心。

(2) 三角形的內心到三邊等距離。

(3) 若以三角形的內心為圓心，到三邊的距 離為半徑畫圓，可得到三角形的內切圓

。

5. 內切圓的半徑：

(1) 三角形的面積＝內切圓半徑與三角形周 長之乘積的一半。

(2) 直角三角形的兩股和＝斜邊長＋內切圓

半徑的 2 倍。

6. 重心：

(1) 三角形的三中線交於一點 ，此交點稱為三角形的 重

心。

(2) 如圖 3-21 ， G 為△ ABC 的重心，則 ＝ ，

＝ 。

圖 3-21 AG 3 2

AD GD 1 3

AD

(3) 如圖 3-22 ，△ ABC 中， 、 、 為三中

線， G 為重心，則：

△AGB ＝△ BGC

＝△ CGA ＝ △ ABC

△AGF ＝△ BGF ＝△ BGD

＝△ CGD ＝△ CGE

＝△ AGE ＝ △ ABC 圖 3-22 AD BE CF

1 3

6 1

3-2 自我評量

1. 若直角三角形的兩股長分別為 2 、 6 ，試求 其外心到三個頂點的距離和。

斜邊長＝

∴ 外心到三頂點的距離和 ＝ 3 × （ × ）＝

10 2

6

2





1 2 2 10 3 10

2.△ABC 中，已知∠ A ＝ 60° ，∠ B ＝ 40° ，若 O 為△ ABC 的外心，試求∠ BOC 。

如右圖，圓 O 為△ ABC 的外 接圓

O 為外心

∴∠BOC ＝ BC ＝ 2∠A ＝ 12 0°

⁀

3.△ABC 中，∠ A ＝ 60° ，∠ B ＝ 90° ，若 O 為 外 心，且 ＋ ＋ ＝ 18 ，試求

△ ABC 的面積。

OA OB OC

O 為外心，∴ ＝ ＝ ＝ 6

∴ ＝ 12

△ABC 中，∠ A ＝ 60° ，∠ B ＝ 90° ，∠ C ＝ 30°

∴ ： ： ＝ 1 ： ： 2 ： ： 6 ＝ 12 ： ： 2

∴ ＝ 6 ， ＝

△ABC ＝ × × ＝

OA OB OC AC AB BC AC

AB BC

AB BC

1 2 AB BC 18 3 3

3

3

6

4 .△ABC 的面積為 24 ，其內切圓半徑為 3 ， 試求△ ABC 的周長。

△ABC 的面積

＝ × 內切圓半徑 × △ABC 的周長

24 ＝ × 3 × △ABC 的周長

△ABC 的周長＝ 16 2 1

1 2

5. 如右圖，△ ABC 中，三中線 、

、 交於 G 點，若△ ABC 的面積為 48 平方公分，試求四邊形 AEGF 的面積。

AD BE CF

四邊形 AEGF 的面積

＝△ AGE ＋△ AFG

＝ △ ABC ＋

△ ABC

＝ 16 （平方公分）

6 1

1 6

6. 設 G 為正三角形 ABC 的重心，若

＝ 12 ，試求 。

AB AG

如右圖，

G 為重心， 為 中線

∵△ABC 為正三角形

∴ 亦為高

故 ＝

＝

＝ ＝

AD AD

AD 2 3 AB AG 3 2 AD

3 6

3

4

尤拉線

在平面幾何中，尤拉線（圖 3-23 中的 紅線）是指通過三角形的垂心（ H ）、外心（

O ）、重心（ G ）的一條直線。瑞士數學家暨

物理學家尤拉（ Leonhard Euler ， 1707-1783 ）

證明了在任意三角形中，以上三點共線。尤拉

線上的三點中，重心到外心的距離是重心到垂

心距離的一半。

圖 3-2

3

旁心

三角形的任意兩角的外角平分線和第 三個角的內角平分線交於一點，這種點對於一 個三角形而言共有三個，它們即為三角形的旁 心 ，旁心恆在三角形的外部，通常以 I a 、 Ib

、 Ic 表示旁心。如圖 3-24 ，△ ABC 中，

＝ c ， _{＝ a ，} ＝ b ，其中 Ia 表示與 相切的旁切圓圓心， Ib 表示與 相切的旁切圓圓心， Ic 表示與

相切的旁切圓圓心。

AB BC

AC BC

AC

AB

圖 3-24