自我評量
三角形三邊長的關係 三角形三邊長的關係
三角形的外角大於任一內對角 三角形的外角大於任一內對角
大邊對大角 大邊對大角
大角對大邊
大角對大邊
在國小時曾學過任意三角 形三邊的關係，如圖 3-25 ，如 果我們用小寫英文字母 a 、 b
、 c 來表示△ ABC 三內角∠
A 、∠ B 、∠ C 的對邊長，因 為兩點之間以直線的距離最短
，我們可以得到：
圖 3-25
a ＋ b ＞ c ……… b ＋ c ＞ a ……… c ＋ a ＞ b ……… 也就是說，
三角形任意兩邊長的和一定大於第三邊的長。
由式 a ＋ b ＞ c 可得
a ＞ c － b，
b ＞ c － a。
由式 b ＋ c ＞ a 可得
b ＞ a － c，
c ＞ a － b。
由式 c ＋ a ＞ b 可得
c ＞ b － a，
a ＞ b － c。
整理後可得
a ＞ c － b，
a ＞ b － c，即
a ＞∣ b－ c∣
。
b ＞ c － a
，
b ＞ a － c，即
b ＞∣ c － a∣。
c ＞ a － b，
c ＞ b － a，即
c ＞∣ a － b∣。 也就是說，
三角形任意兩邊長的差的絕對值一定小於第三
邊的長。
∣ 另兩邊長的差∣＜ 三角形任一邊長 ＜ 另兩 邊長的和。
因此我們得到：
三角形任一邊長小於其餘兩邊長的和，大於其餘 兩邊長的差的絕對值。即
取長度為 a 、 b 、 c 的三扣條
（依序稱為 a 扣條、 b 扣條、 c 扣條，其中
a 扣條的長度最長），將 b 、 c 兩扣條分別
扣在 a 扣條的兩端點，並轉動 b 、 c 兩扣
條，操作過程及結果如下表：
長度關係 操作過程 結果 1.
當 b ＋ c ＜ a 時
b 、 c 兩扣條 沒
有交點，不能 形成三角形。
2.
當 b ＋ c ＝ a 時
b 、 c 兩扣條 的
交點剛好落在 a
扣條上，不能形 成三角形。
長度關係 操作過程 結果
3.
當 b ＋ c ＞ a 時
b 、 c 兩扣條 有
交點，且交點不 在 a 扣條上，
可
以形成三角形。
從前面的操作過程中我們發現：
三條線段中，
1.如果兩條較短線段長度的和小於或等於最長線 段的長度，則這三條線段無法形成一個三角形
。
2. 如果兩條較短線段長度的和大於最長線段的
長度，就可以形成一個三角形。
1
三角形兩邊之和大於第三邊
下列各組數中，哪幾組可以作為三角形的三邊 長？
(1)4 、 6 、 7 (2)4 、 7 、 3 (3)4 、 2 、 7
解解
(1) 由於 4 ＜ 6 ＜ 7 ，且 4 ＋ 6 ＞ 7 ，
所以 4 、 6 、 7 可以作為三角形的三邊長
。
(2) 由於 3 ＜ 4 ＜ 7 ，且 3 ＋ 4 ＝ 7 ，
所以 3 、 4 、 7 不可以作為三角形的三邊 長。
(3) 由於 2 ＜ 4 ＜ 7 ，且 2 ＋ 4 ＜ 7 ，
所以 2 、 4 、 7 不可以作為三角形的三邊 長。
只須判斷較短的兩
線段和是否大於最
長線段。
下列各組數中，哪幾組可以作為三角形的三 邊長？
(A)5 、 6 、 7 (B)10 、 20 、 30
(C)4 、 5 、 (D)2a 、 3a 、 4a （ a ＞ 0 ） 11
(A) (C) (D)
(A) 由於 5 ＜ 6 ＜ 7 ，且 5 ＋ 6 ＞ 7 ，所以 5
、 6 、 7 可以作為三角形的三邊長。
(B) 由於 10 ＜ 20 ＜ 30 ，且 10 ＋ 20 ＝ 30 ， 所以 10 、 20 、 30 不可以作為三角形的 三邊長。
(C) 由於 ＜ 4 ＜ 5 ，且 ＋ 4 ＞ 5
，所以
、 4 、 5 可以作為三角形的三邊長
。
(D) 由於 2a ＜ 3a ＜ 4a ，且 2a ＋ 3a ＞ 4a ， 所以 2a 、 3a 、 4a 可以作為三角形的三 邊長。
11 11
11
解解
2
三角形兩邊之和大於第三邊的應用
設一個三角形的三邊長分別是 4 公分、 7 公分
、 a 公分，若 a 是整數，則滿足此條件的 a 共 有多少個？
7 － 4 ＜ a ＜ 7 ＋ 4 所以 3 ＜ a ＜ 11
因為 a 是整數，所以 a 可以是 4 、 5 、 6
、 7 、 8 、 9 、 10 ，滿足條件的 a 共有 7 個。
∣ 另兩邊長的差∣ ＜ 三角 形
任一邊長＜ 另兩邊長的和
兩線段的長度分別為 5 公分、 11 公分，下列 哪幾個線段長可以和這兩線段圍成一個三角形
？
6.9 公分、 15 公分、 20 公分、 公分 29 3
設另一邊的長為 a 公分，利用「如果兩條較 短線段長度的和大於最長線段的長度，就可 以形成一個三角形」的概念，得 ，即
，所以 6 ＜ a ＜ 16 。
題目中， 6.9 公分、 15 公分、 公分皆在 6 公分與 16 公分之間，可以和給定的兩線段 圍成一個三角形。
而 20 公分大於 16 公分，故不可以和給定的兩 線段圍成一個三角形。
11 ＋ 5 ＞ a
a ＋ 5 ＞ 1 1
a ＜ 1 6
a ＞ 6
29 3
數學是科學不可動搖的基石，促進人類事業 進步的豐富泉源。
— 巴羅（ Issac Barrow ， 1630-1677 ）
3
三角形兩邊之和大於第三邊的推理
如右圖，△ ABC 中， D 點 在 上，且 ＝ ，試比較 與 的大小
關係。
BC AC
BD AB CD
說明說明
△ABC 中，
＋ ，
即 ＋ ＋ ， 又因為 ＝ ，
所以 。 AB AC BC
AB AC BD CD AB CD
AC BD
＞
＞
＞
三角形任意兩邊長的
和，大於第三邊的長
如下圖，直線 L 是 的中垂線，
與直線 L 交於 P 點，試由下列步驟比較 與 的大小。 ( 在下面的空格中填入＞
、＝或＜ )
BC
AB
AC
AC
(1) ( 直線 L 是 的中垂線 )
，
(2) ＋ ( 三角 形任意兩邊長的和一定大於第三邊的長 ) ， (3) ＋ ，
(4) 。
PB PC
PA PB
AB
BC
PA PC AC AB
＞
AB
＞
＞
＝
如圖 3-26 ，△ ABC 為任意 三角形，∠ 1 是∠ ACB 的外角，
因為外角等於兩個內對角的和，
所以∠ 1 ＝∠ A ＋∠ B 。因為
∠ A 、∠ B 的度數都是正數，
所以∠ 1 ＞∠ A 且∠ 1 ＞∠ B 。也就是說，
圖 3-26
三角形的外角大於任一內對角。
4
外角大於任一內對角 如右圖，△ ABC 中， Q
點在 上， P 點在 上，試比較∠ 1 、∠ 2 和∠ A 的大小關係。
AC BQ
解解 因為 ∠ 1 是 △ PQC 的外角，所以 ∠ 1 ＞∠
2 ，
因為 ∠ 2 是 △ ABQ 的外角，所以 ∠ 2 ＞∠
A ，
因此∠ 1 ＞∠ 2 ＞∠ A 。
如右圖， ABC 為等腰三角 △ 形， ＝ ， D 在 的延長線上，試比較
∠ B 、∠ D 的大小關係，並說 明其理由。
AB AC BC
因為 ＝ ，所以∠ B ＝∠ ACB ， 又∠ ACB 為△ ADC 的外角，
所以∠ D ＜∠ ACB ＝∠ B 。
AB AC
我們已學過等腰三角形兩底角相等，但是 一個三角形，若有兩邊不相等，那麼這兩邊的 對角哪個比較大呢？
如圖 3-27 ，△ ABC 中， ＞
，那麼∠ B 和∠ A 這兩個角，哪一個比較大
？
AC BC
圖 3-27 圖 3-28
因為 ＞ ，我們可以在 上找一點 D ，使得 ＝ ，如圖 3- 28 ，
連接 ，則△ CDB 為等腰三角形，
所以 ∠ 1 ＝∠ 2 。
因為 ∠ 1 是 △ ADB 的外角，所以 ∠ 1 ＞∠
A 。
又從圖形上可知 ∠ CBA ＞∠ 2 ，
所以 ∠ CBA ＞∠ 2 ＝∠ 1 ＞∠ A 。
AC BC AC
CD BC
BD
從上面的說明，我們得到：
△ ABC 中，如果 ＞ ，則∠ B
＞∠ A 。也就是說，
在一個三角形中，若有兩邊不相等，則較長的 邊所對的角比較大。
AC BC
5
大邊對大角
如右圖，△ ABC 中，
、 、 的長度
分別是 11 、 13 、 15 公 分，試比較∠ A 、∠ B 和
∠ C 的大小關係。
AB BC AC
解解
△ABC 中，因為 ＞ ＞
，
所以∠ B ＞∠ A ＞∠ C 。 AC BC AB
大邊對大角
1.△ABC 中， ＝ 6 ， ＝ 7 ， ＝ 8 ，
則∠ A 、∠ B 、∠ C 哪一個角最小？
2.△PQR 中， ＝ 11 ， ＝ 8 ， ＝ 8 ， 則 ∠ P 、∠ Q 、∠ R 哪一 個角最大？
AB BC AC
PQ QR PR
∠C
∠R
6
大邊對大角的推理
如右圖，△ ABC 為正三角形， D 在 上，試比較∠ 1 和∠ 2 的大小關係。
AB
解解
＝ ，
且 ＜ ，所以 ＜ 。
在△ DBC 中，
因為 ＞ ， 所以∠ 1 ＞∠ 2 。
AD BC
BD AB BC
BC BD
BD
△ABC 為正三角形
大邊對大角
如右圖， ABCD 為正方形，
E 點 在 上。
(1) 試比較 和 的大小
關係。
(2) 試比較 ∠ 1 和 ∠ 2 的 大小
關係，並說明其理由
。
AD
AB AE
(1) 因為 ABCD 為正方形，所以 ＜ ＝
(2) 在△ ABE 中，因為 ＜ ，
所以利用大邊對大角的性質，得∠ 1 ＞∠
2 。
AE AD AB
AE AB
我們已學過，在一個三角形中，若有兩邊 不相等，則比較大的邊所對的角比較大。但是 反過來說，在一個三角形中，若有兩個角不相 等，那麼這兩個角所對的邊哪一個比較大？
如圖 3-29 ，△ ABC 中，若∠ A ＞∠ B ， 那麼 和 這兩個邊，哪一個邊 比較長？
BC AC
圖 3-30
如圖 3-30 ，以 為一邊作∠ BAD 等於∠ B
，∠ BAD 的另一邊交 於 D 點。因為∠ B AD ＝∠ B ，所以△ DAB 為等腰三角形，因而 ＝ 。
AB
BC
AD BD
圖 3-29
在△ ACD 中，利用三角形任意兩邊長的和大 於第三邊的關係得 ＋ ＞
，所以
＝ ＋ ＝ ＋ ＞ 。
從上面的說明，我們得到：△ ABC 中，如果
∠ A ＞∠ B ，則 ＞ 。 也就是說，
BC AC
在一個三角形中，若有兩角不相等，則較大的 角所對的邊較長。
AD DC AC
BC BD DC AD DC AC
直角。
因為直角三角形的三個內角中，直角最大。
直角三角形中，哪一個角所對的邊最長？為什
麼？
7
大角對大邊
解解
△ABC 中，∠ A ＝ 60° ，∠ B ＝ 6 2° ，試比較 、 、
三邊長的大小關係。
AB BC AC
因為三角形的內角和等於 180° ，所以
∠C ＝ 180° － 60° － 62° ＝ 58°
三個內角由大到小為∠ B ＞∠ A ＞∠ C 。
利用大角對大邊的性質，它們對邊的長度由
大到小為 ＞ AC BC AB ＞ 。
如右圖，四邊形 ABCD 中，∠ 1 ＝ 60° ，
∠ 2 ＝ 55° ，∠ 3 ＝ 60° ，∠ 4 ＝ 65° 。
(1) 比較 、 和 的大小關 係
，並說明其理由。
(2) 比較 、 和 的大小關 係
，並說明其理由。
(3) 綜合 (1) 、 (2) ，寫出 、 、 、 和 的大小關係
。
AB DA BD BC CD BD
AB BC
CD DA BD
(1) 因為∠ A ＝ 180° － 60° － 55° ＝ 65° ， 所以
＞ ＞ 。
(2) 因為∠ C ＝ 180° － 60° － 65° ＝ 55° ， 所以
＞ ＞ 。
(3) ＞ ＞ ＞ ＞
。
BD DA AB BC CD BD
BC CD BD DA AB
如圖 3-31 ，時鐘在 12 點時，時針與分針會重 合在一起，此時兩針的夾角為 0 度。從 12 點 到 12 點 20 分的過程中，兩針的夾角會慢慢 增加。而時針頂端與分針頂端的距離也會慢慢增 加。藉由這個觀察結果，我們來比較兩個三角形 中，第三個邊與夾角的關係。
圖 3-31
在△ ABC 與△ DEF 中，當 ＝ 、 ＝
時，如果 ∠ A ＝∠ D ，則△ ABC △ DEF ，可推得 ＝ 。
可是如果∠ A≠∠D ，如圖 3-32 與圖 3-33
，當 ＝ 、 ＝ 時
，按照前面兩針的夾角可以知道，如果 ∠ A
＜∠ D ，則 ＜
，這個定理稱為樞紐定理。
AB DE AC DF BC EF
AB DE AC DF
BC EF
圖 3-32 圖 3-33
= =
∠A≠∠D
AB
AB AB
AB
反過來說，△ ABC 與 △ DEF 中，
當 ＝
、 ＝ 時，如果
＜ ，則 ∠ A ＜∠ D 。
從前面的說明，我們發現，當兩個三 角形的兩個邊對應相等時：
(1) 若兩邊的夾角不相等，則夾角越大者，第三 邊越大。
(2) 若第三邊不相等，則第三邊越大者，所對夾 角越大。
DE
AB
AC DF BC EF
1. 三角形的三邊關係：三角形中，任意兩邊 長之和一定大於第三邊的長，任意兩邊長 之差一定小於第三邊的長。
2. 三角形外角不等關係：三角形中，外角大
於任何一個內對角。
3. 大邊對大角：三角形中，若有兩邊長不相 等，則較長邊所對的角較大。
4. 大角對大邊：三角形中，若有兩角不相等
，則較大角所對的邊較長。
3-3 自我評量
1. 下列各組數中，哪幾組可以作為三角形的三 邊長？
(A) 0.7 、 0.8 、 0.9 (B) 400 、 500 、 600 (C) 6 、 8 、
(D) a ＋ 2 、 a ＋ 3 、 2a ＋ 3 （ a ＞ 0 ）
101
(A) 由於 0.7 ＜ 0.8 ＜ 0.9 ，且 0.7 ＋ 0.8 ＞ 0.9
，所以 0.7 、 0.8 、 0.9 可以作為三角形的三 邊長。
(B) 由於 400 ＜ 500 ＜ 600 ，且 400 ＋ 500 ＞ 60 0 ，所以 400 、 500 、 600 可以作為三角形 的三邊長。
(C) 由於 6 ＜ 8 ＜ ，且 6 ＋ 8 ＞ ，所以 6 、 8 、 可以作為三角 形的三邊長。
(D) 由於 a ＋ 2 ＜ a ＋ 3 ＜ 2a ＋ 3 ，且 (a ＋ 2)
＋ (a ＋ 3) ＞ 2a ＋ 3 ，所以 a ＋ 2 、 a ＋ 3
、 2a ＋ 3 可以作為三角形的三邊長。
101 101
101
2. 四根吸管長度分別是 2 、 3 、 4 、 5 ，任選 三根吸管試著拼成三角形，請問：
(1) 哪些組合可以拼成三角形？
(2) 哪些組合不能拼成三角形？
四根吸管任選三根的情形有 (2 3 4)﹐ ﹐ 、
(2 3 5)﹐ ﹐ 、 (2 4 5)﹐ ﹐ 、 (3 4 5)﹐ ﹐ 四種。
(1)(2 3 4)﹐ ﹐ 、 (2 4 5)﹐ ﹐ 、 (3 4 5)﹐ ﹐ 可以拼成三角形
。
因為 2 ＜ 3 ＜ 4 ，且 2 ＋ 3 ＞ 4 ，所以 (2 3 4)﹐ ﹐ 可 以作為
三角形的三邊長。
因為 2 ＜ 4 ＜ 5 ，且 2 ＋ 4 ＞ 5 ，所以 (2 4 5)﹐ ﹐ 可 以作為
三角形的三邊長。
因為 3 ＜ 4 ＜ 5 ，且 3 ＋ 4 ＞ 5 ，所以 (3 4 5)﹐ ﹐ 可 以作為
三角形的三邊長。
(2)(2 3 5)﹐ ﹐ 不能拼成三角形。
因為 2 ＜ 3 ＜ 5 ，且 2 ＋ 3 ＝ 5 ，所以 (2 3﹐ ﹐ 5) 不可
以作為三角形的三邊長。
2. 設一個三角形的三邊長皆為整數，且周長為 1 3 公分。
(1) 如果最長邊是 6 公分，則滿足此條件的 三
角形有哪些？（答案不只一個）
(2) 如果最長邊是 5 公分，則滿足此條件的 三
角形有哪些？（答案不只一個）
三邊長 理由
（ 1 6 6﹐ ﹐ ） 因為 1 ＜ 6 ＝ 6 ，且 1 ＋ 6
＞ 6
（ 2 5 6﹐ ﹐ ） 因為 2 ＜ 5 ＜ 6 ，且 2 ＋ 5
＞ 6
（ 3 4 6﹐ ﹐ ） 因為 3 ＜ 4 ＜ 6 ，且 3 ＋ 4
＞ 6
(1) 最長邊為 6 ：
三邊長 理由
（ 3 5 5﹐ ﹐ ） 因為 3 ＜ 5 ＝ 5 ，且 3 ＋ 5
＞ 5
（ 4 4 5﹐ ﹐ ） 因為 4 ＝ 4 ＜ 5 ，且 4 ＋ 4
＞ 5
(2) 最長邊為 5 ：
4. 如右圖，每一小格皆為邊長 1 的正方形， A 、 B 、 C 三點皆在格子點上。
(1) 計算 、 、 的長度，
並比較其大小。
(2) 試比較∠ A 、∠ B 、∠ C 的大小關係。
AB BC CA
＝
＝ ＝ 5
＝
＝
＝
＝
＞ ＞
∠ B ＞∠ C ＞∠ A
AB
BC CA
CA AB BC
2 2
4 1
2 2
5 1
25 17 26
2 2
4
(1)3
(2)
5. 如右圖，四邊形 ABCD 中， ＝ 2 ，
＝ 2 ，
＝ 3.5 ， ＝ 3 。
(1) 試比較 ∠ 1 和 ∠ 2 的大小關係 ，並說明其理由。
(2) 試比較 ∠ 3 和 ∠ 4 的大小關係 ，並說明其理由。
(3) 綜合 (1) 、 (2) ，寫出 ∠ ABC 和
∠ADC 的大小關係，並說明其理由。
AB BC
CD DA
(1) 因為 ＞ ，所以∠ 1 ＞∠ 2
。
(2) 因為 ＞ ，所以∠ 3 ＞∠ 4
。
(3) 由 (1) 、 (2) 知，
∠ABC ＝∠ 1 ＋∠ 3 ＞∠ 2 ＋∠ 4 ＝∠ AD C 。
DA AB
CD BC
6. 如右圖， ABCD 為正方形， 是對角線，
E 在 上，且 ＝ 。依序 回答下列問題：
(1) 試比較 ∠ 1 和 ∠ 2 的大小關係 ，並說明其理由。
(2) 試比較 ∠ 2 和 ∠ 3 的大小關係 ，並說明其理由。
(3) 綜合 (1) 、 (2) ，寫出∠ 1 、∠ 2 和 ∠ 3 的大小關係。
BD
BD DE DC
(1) 因為 ＝ ，所以∠ 1 ＝∠ 2 。 (2) 因為∠ 2 是△ BCE 的外角，所以∠ 2 ＞
∠ 3 。
(3) 由 (1) 、 (2) 知，∠ 1 ＝∠ 2 ＞∠ 3 。
