時 間 : 民國 101 年 11 月 23 日 地 點 : 中央研究院數學研究所 整 理 : 甘濟維、 陳麗伍

有朋自遠方來一一專訪 宮岡 洋一 教授

策 劃 : _劉太平

訪 問 : _{翟敬立、 陳榮凱}

時 間 : _民國 101 _年 11 _月 23 _日 地 點 : _{中央研究院數學研究所} 整 理 : _{甘濟維、 陳麗伍}

宮岡 洋一 (Yoichi Miyaoka), 1949年出生, 1977年東京大學博士, 1993年至 2001年擔任京都大學教授, 現為東京大學教授, 2011 年就任日本數學會理事長。 主 要研究領域是代數幾何, 重要工作包含1977年發表的關於 Bogomolov-Miyaoka- Yau 不等式的證明。

翟敬立 (以下簡稱 「翟」): 這個專欄有個慣例, 在訪問中先談談數學的養成期 (formative years)。

有人認為數學家是天生的, 這有兩種看法, 不過有趣的是人各有所異。

宮岡 洋一 (以下簡稱 「宮岡」): 我是到了20歲才考慮成為數學家。 起初我有興趣的是物理與天 文, 對各種科學都非常喜歡。 進東京大學的時候, 想要念物理, 但是發現自己沒有做實驗的 天分。 做實驗很費時, 而我每個實驗又都以失敗收場, 所以轉向數學。 剛到數學系時, 興趣 在偏微分方程, 直到遇見了我的老師小平 邦彥¹,他1968年回到日本。 我1970年到數學系, 請他當我的指導教授。 這就是我成為數學家的過程。

翟: 你和小平 邦彥一起工作的經驗如何?

宮岡: 他的演講非常清楚, 說話聲音輕柔而低沉, 而他寫在黑板上的講義就像教科書一般清楚。

1Kunihiko Kodaira小平 邦彥 (1915∼1997), 代數幾何日本學派的奠基人, 1954 年獲頒 Fields Medal, 是獲此榮譽的首位日本 人。 關於小平 邦彥之生平, 請見數學傳播第 25 卷 1 期。

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一切都很清晰, 很容易領會。

陳榮凱 (以下簡稱 「陳」): 當時飯高 茂²和川又 雄二郎³都在那裡?

宮岡: 川又小我三歲。 事實上, 我念研究所時小平 邦彥當上院長, 他太忙碌無法指導我們, 由 上野 健爾⁴指導。 上野去德國的時候, 專題討論由飯高負責。 第一次專題討論的教科書是 Morrow 和小平合著的 Complex Manifolds⁵; 那是給大四生的。 我們念研究所的時候, 先念 Pierre Deligne⁶寫的 《Th´eorie de Hodge》 的第二部份, 後來念了幾篇論文, 包括 Clemens⁷對於三次三維流形非有理性的證明⁸。

陳: 你拿到東京大學的文憑之後, 去德國待了幾年。

宮岡: 碩士班畢業之後, 我希望找到助理教授之類的職位, 當時一般都是這樣。 但是令人沮喪 的是畢業後一年半都找不到工作。 最後找到首都大學東京 (Tokyo Metropolitan Univer- sity) 的職缺, 1977年完成關於所謂宮岡不等式 (Miyaoka inequality) 的博士論文。 拿到 博士學位之後四個月, 到德國去待了兩年。 日本大學以前有個很好的傳統, 允許年輕的學者 在國外待二到三年的時間。 例如森 重文⁹在哈佛待了三年。

翟: 你做博士論文的經驗怎麼樣? 這通常是個好故事。 問題是你自己找的嗎?

宮岡: 1976年 Miles Reid¹⁰經由蘇聯訪日, 帶了一篇 Bogomolov¹¹的論文給我, Bogomolov 的論證很難懂, 所以我認為應該會有比較簡潔的方法證明它。 我找到了比較簡潔的證明, 而 這個證明可以給出更好的結果。

陳: 就是所謂的宮岡–丘不等式 (Miyaoka-Yau inequalities) ?

宮岡: Bogomolov 原來的結果是第一陳示性類小於等於四倍的第二陳示性類¹² (c1

≤ 4c

2Shigeru Iitaka飯高 茂 (1942∼), 日本數學家, 主要研究領域為代數幾何學。

3Yujiro Kawamata川又 雄二郎 (1952- ), 日本數學家, 主要研究領域為代數幾何學。

4Kenji Ueno上野 健爾 (1945∼), 日本數學家, 主要研究領域為代數幾何學。

5James Morrow和 Kunihiko Kodaira, Complex Manifolds, 1971 年由 AMS Chelsea 出版。

6Pierre Deligne (1944∼), 比利時數學家, 1978 年菲爾茲獎得主、 2008 年沃爾夫獎得主、 2013 年阿貝爾獎得主, 以在 Weil con- jectures的研究聞名。

7C. Herbert Clemens,美國數學家, 主要研究領域為代數幾何學。

8Clemens, C. Herbert and Griffiths, Phillip A. The intermediate Jacobian of the cubic threefold. Ann. of Math.

(2) 95(1972), 281-356.

9Shigefumi Mori森 重文 (1951∼), 日本數學家, 詳 《數學傳播》33 卷第 4 期 「有朋自遠方來」 專訪。

10Miles Reid (1948∼), 英國數學家, 主要研究領域為代數幾何。

11Fedor Bogomolov (1946∼), 俄國及美國數學家, 以代數幾何和數論的工作聞名。

12數學上以 c1和 c2 表示第一及第二陳示性類。

明 d-封閉, 就能證明任何包含在餘切叢 (cotangent bundle) 的線叢 (line bundle) 不可 能很大。 也就是說以曲面為例, 包含在 Ω¹ 的線叢有非正的自交, 這樣自然就導出了宮岡不 等式 (Miyaoka inequality)。 當然某種意義上丘的不等式更好, 但他的證明難而且複雜得 多。 他可以得到在等式成立時 universal cover 是球的結果。 在這個情形下, 這是更好的結 果, 不過我的論證基本而且簡單得多。

陳: 可以請你試著比較代數方法和分析方法?

宮岡: 一般而言, 代數方法比較簡潔, 比較容易理解, 但有些例子的結果牽涉到純分析層面 (例 如關於 universal covering 的資訊), 在某種意義上微分幾何方法自然得多。

翟: 曾經有 「靈光乍現 (eureka)」 的時刻嗎? Andr´e Weil¹³說過每個稱職的數學家都有這樣 的經驗。 當你做某個東西卡住很久, 一直思考, 然後在某個時間點得到啟示。 爾後你對這種 感覺上癮, 努力使那個經驗再現。 我想你一定有過這種時刻。

宮岡: 那是非常快樂的時刻。 其實為了瞭解 Bogomolov 的論證, 我花了很大的力氣, 用了好幾 個月的時間試著改善它, 然後在一次大約72小時不眠不休地工作之後, 明白了一件事: 應 該考慮 branched covering of surfaces, 如此所有的東西都會成為一個 sections 的聯集, 那就非常、 非常容易, 之後的6個小時之內我就完成了證明。 那是非常令人興奮的經驗。

翟: 72小時當中有一個特別的時刻嗎?

宮岡: 現在看來那72小時微不足道。 全心投入工作是很好的感覺。

陳: 大約25年前, 你證明了三維的 abundance 猜測 (abundance conjecture), 這是 minimal model program 裡很重要的一步。 你怎麼看近來代數幾何的發展, 特別是關於 minimal model program (又稱 Mori program)。

宮岡: 至少 Birkar¹⁴-Cascini¹⁵-Hacon¹⁶-McKernan¹⁷已經建立了一個里程碑。 尤其他們證 明了 canonical 環一定是有限再生成的 (finitely regenerated)。 某種意義上來說可能已 經解決了 Mori program 一半的問題。 當然我們需要把 abundance 定理推廣到四維以上。

怎麼做我還沒有想法, 但是做的方向應該是找出構造廣域形 (global form) 的方法, 不必一 定是最高權的形 (highest weight forms), 也許只要 intermediate微分形就可以。 可以的 話希望有兩種方法, 其一也許是微分幾何, 不過我不知道如何運用它, 另外的方法是宮岡-丘

13Andr´e Weil (1906∼1998), 法國數學家, 在數學許多領域都做出實質的貢獻, 是二十世紀最有影響力的數學家之一。

14Caucher Birkar,庫德數學家, 主要研究領域為代數幾何。

15Paolo Cascini,數學家, 主要研究領域為代數幾何。

16Christopher Derek Hacon (1970∼), 數學家, 因為對代數幾何做出卓越的貢獻在 2009 年與 James McKernan 一起獲頒柯 爾獎 (Cole Prize)。

17James McKernan (1964∼), 英國數學家, 因為對代數幾何做出卓越的貢獻在 2009 年與 Christopher Hacon 一起獲頒柯爾獎 (Cole Prize)。

不等式 (Miyaoka-Yau inequality) 的再精煉; 三維的時候, 我們需要一個關於 c1, c2的 不等式, 但在一般的情形應該有一個很精準的不等式包含更高的陳示性類 (higher Chern classes)。

陳: 包含 c3 和 c4。

宮岡: 由松阪 輝久¹⁸的大定理 (Matsusaka’s Big Theorem) 和丸山 正樹¹⁹(Masaki Maruyama) 關於半穩定向量叢的結果, 如果固定 c1, c2, 並且假設某些穩定性, 那麼高階陳示性類就是 有界的。 但是我們並不知道那個明確的界正確公式是什麼, 所以我們應該努力嘗試, 針對高 階陳示性類找出這樣的不等式。 比方說, 如果 c1 和 c2 都是零而且向量叢穩定, 則每個高階 陳示性類都必須為零。 但是如果 c1 是零而 c2 為正, 我就不知道高階陳示性類該是什麼。 如 果有這樣一個不等式, 比方說在四維, 能證明某些很明確的, 有關 c4 的不等式, 那麼應該可 以預期有些結果。

陳: 所以你預期陳類中的某些不等式會很有用?

宮岡: 我想是的, 不過遺憾的是我沒有陳述這個不等式絕對正確的方式。

陳: 那麼 Shokurov²⁰提議的另一個利用 ACC 猜測的方向如何?

宮岡: 我不確定 ACC 猜測本身是否能夠證明所有的情形。 也許他的想法在某些情形有效。 不 論如何如果能證明至少有一個 section, 然後用歸納法會很有效。 用歸納法來論證或是能有 一些好的流形都是好的, 只是我不知道如何去構築這樣的好的流形。

陳: 所以你認為 minimal model program 仍然是代數幾何的主流? 你對 Gromov-Witten 理論那類的幾何有什麼看法?

宮岡: 這問題很有意思。 我對於證明在 Calabi-Yau three-fold 上存在有理曲線 (rational curve)很感興趣, 不過這個問題實際上非常困難。 起初我的想法是利用辛幾何 (symplectic geometry) 和變形理論 (deformation theory) 把解析的變形理論推展至辛幾何的範疇。

另一方面, 很容易造出一個擬全純 (pseudoholomorphic) S² 浸入 (immersed) 到辛流 形。 如果可以將一個在 Calabi-Yau 上的一般辛結構平滑地變形回到原先的複結構, 而且 把這個浸入的擬全純 S² 變形回到全純曲線, 那麼就應該有一個投影有理曲線 (projective rational curve), 不過這裡有個因為定向 (orientation) 所引起的、 非常微妙需要小心處理 的地方, 假設現在有一對 S², 它們在變形中可能遭反方向的定向抵消而忽然消失, 這是問 題所在。

陳: 所以有另一個與森 重文很不一樣的方向來證明有理曲線的存在。

18Teruhisa Matsusaka松阪 輝久 (1926∼2006), 數學家, 以在代數幾何的研究而為人所知。

19Masaki Maruyama丸山 正樹 (1944∼2009), 日本數學家, 以在代數的研究而為人所知。

20Vyacheslav Vladimirovich Shokurov (1950∼), 俄羅斯數學家, 以在代數幾何的研究而為人所知。

宮岡: 也許在一般的 Calabi-Yau 的情形是如此。 但是這比森 重文的方法困難。 當然也許還有 些經由調和映射 (harmonic map) 不同的幾何方法, 不過在技術面上, 這非常, 非常困難。

翟: 我對高維代數幾何知道得很少。 不過做研究生時, 森 重文把問題化約到用特徵 p 的方法去 證明特徵零的結果, 他的證明真讓我著迷。

宮岡: 真正是令人瞠目、 讚歎的方法。

陳: 你是日本數學學會 (Mathematical Society of Japan, MSJ) 的會長, 怎麼看日本數學會 在東亞數學界的角色?

宮岡: 眾所周知東亞的數學發展迅速, 尤其在中國大陸、 台灣和韓國, 現在培養出許多好的數學 家。 然而, 日本發展數學的歷史最為久遠, 我們非常樂意藉由合辦專題討論、 研討會等等來 協助東亞地區發展數學。 中國大陸是個很大的國家, 而韓國、 台灣和日本若能組成聯盟, 在 某種意義上進行良性的抗衡, 或許很好。

翟: 日本的數學發展史很吸引人, 在相對很短的時間裡提升到很高的水準。

宮岡: 事實上花了不少時間。 日本現代數學開始於 1870 年代, 第一個具原創性的成果是高木 貞治²¹在1920年代做出的, 所以經過了50年的時間。 不過高木的工作一支獨秀, 第二代在 1940年代二戰期間開始有原創性的工作, 代表人物是小平 邦彥、 伊藤 清²²等, 因此花了70 年。 以應用科學來說, 例如應用化學或醫學科學, 銜接的時間短多了。 醫學科學上, 日本在 1900年代初期在醫學上就有高水準的進展, 所以在應用科學上只花了30年就達到高水準, 可是在數學上時間長多了, 理論物理也一樣。

陳: 你認為理論和應用科學主要的分野是什麼?

宮岡: 一般人能夠輕易理解應用科學、 科技和工程的重要性, 卻不明白純粹或理論科學的真正 意義。 必須有好的學生申請數學系, 才會有好的數學家, 如果不瞭解基礎科學的重要性, 一 般人會傾向念醫學或工學院, 而非理學院。

陳: 當時的日本學生似乎不常出國留學。

宮岡: 事實上在1950和1960年代, 大部分有才華的學生在碩士畢業後, 或在剛拿到助理教授職 位後到美國去留學。 其實大約從1880年代以來, 讓年輕研究者留學一、 兩年, 在日本是標準 的作法。

陳: 由政府補助的?

宮岡: 是的, 不過二戰之後日本非常拮据窮困, 所以受到美國機構的資助。

21Teiji Takagi高木 貞治 (1875∼1960), 日本數學家, 最出名的是證明類域論中的高木存在定理。

22Kiyoshi Ito伊藤 清 (1915 - 2008), 日本數學家, 被視為隨機分析的創立者, 除了對數學的貢獻, 對社會科學也有很大的影響, 1987年沃爾夫獎得主, 1998 年京都基礎科學獎得主, 2006 年第一屆高斯獎得主。

陳: 目前如何?

宮岡: 現下年輕研究者不願意留學, 日本太舒服了。 這不好, 他們應該出國, 交些朋友。 他們需 要接觸國際社群、 有國際經驗。

陳: 政府依舊支持這類方案嗎?

宮岡: 政府鼓勵人們, 可是很難強迫他們出國。 此外, 我們的教學負荷比以往重, 因為日本政府 的財政危機與預算赤字, 教師的名額刪減, 因而教學量變大, 造成年輕人無法出國久待。 現 在年輕人比較忙, 而且日本的工作比以往難找, 這意味著需要當更久的博士後, 如果想要待 在日本, 需要申請很多所大學的職缺。

翟: 戰後有一整個世代的代數幾何學家和數論學家, 像是井草 準一²³、 岩澤 健吉²⁴、 志村 五 郎²⁵, 還有其他許多, 都去了美國。 他們的工作對於數論的影響甚鉅, 如果他們待在日本, 影 響會· · · ?

宮岡: 影響或許會比較小, 他們留在美國可能是件好事, 接收比較多刺激, 如果留在日本, 會太 滿足於教書。 志村 五郎可能還是會很活躍, 但是有些人留在日本可能會更樂在作育英才。

翟: 就如你方才提到的, 志村 五郎依舊從事絕對原創性的研究, 他們提出的想法仍然在很多方 面都引領理論的發展。 小平 邦彥也是。

宮岡: 小平 邦彥回日本之後擔任理學院院長, 忙得沒空寫論文, 最後一篇論文在1972年完成, 但如果他留在美國, 最後一篇論文可能寫於1976年, 或再晚個五、 六年。

陳: 對, 不過我想小平 邦彥對日本新世代數學家的影響, 在現今過了二十年之後, 依舊很大。

宮岡: 對於我們他就像是燈塔的存在。 他固定主持星期六的專題討論, 非常多人來參加, 他其實 不多問問題, 也不多作評論。 代替他的是飯高 茂、 上野 健爾、 田 徹治²⁶和堀川 穎二²⁷,他 們向年輕研究者提出許多嚴謹的問題及評論。 小平只說:「啊, 這很有趣。」 但是專題討論上有 他和他短短的評論, 的確讓人振奮。

陳: 你如何比較小平 邦彥在研究上和在教育年輕世代上的貢獻?

宮岡: 教學和研究同等重要。 或許對小平 邦彥而言, 至少在研究上美國比較好。 不過事實上小 平並不很喜歡美式風格, 因為他的英文不是很好。 他的寫作很強, 可是在口語表達上有些困 難。 另一個可能不重要的因素, 是他不開車。

23Junichi Igusa井草 準一 (1924∼), 日本數學家, 以其對代數幾何與數論的貢獻出名。

24Kenkichi Iwasawa岩澤 健吉 (1917∼1998), 日本數學家, 以其對代數數論的影響出名。

25Goro Shimura志村 五郎 (1930∼), 日本數學家, 以其對代數的影響而為人所知。

26Tetsuji Shioda 田 徹治, 日本數學家, 以其在代數幾何的研究而為人所知。

27Eiji Horikawa堀川 穎二 (1947∼2006), 日本數學家, 以其在代數幾何的研究而為人所知。

翟: 不開車!那個年代如果不開車, 必定很麻煩。

宮岡: 而志村 五郎完全是相反的例子。

翟: 我不大認識他, 只是曾經有機會跟他互動, 不過不是什麼深刻的互動。

宮岡: 順便提一下, 志村 五郎對於中國文學很熟稔, 包括一些長篇小說, 他讀了很多中文原著 小說。

翟: 你似乎也是屬於這一類的學者。

宮岡: 不, 我只能讀很經典的作品, 不讀小說。

陳: 你怎麼看日本和台灣的互動與結盟?

宮岡: 我們的成員之間已有固定的交流、 參加彼此的年會。 但無論如何, 明年 (2013) 將舉行亞 洲數學會議²⁸, 也許是某種東亞數學家的協會的開始, 至少東南亞已經有一個東南亞數學協 會²⁹。

陳: 你指的是新加坡等國家組成的。

宮岡: 對, 說不定我們應該要由中國、 台灣、 韓國、 日本、 香港組成東亞數學家協會, 將是不錯 的協會, 因為我們有好多數學家。

翟: 關於培養中學生對數學的興趣、 鼓勵大學生選擇學習數學, 這些教育議題, 你有什麼樣的看 法?

宮岡: 很幸運的, 我們有很多真正對數學感興趣的年輕學生。 例如在東大可能有四、 五個很好的 學生對數學真正有興趣, 有些人可能在高中就讀過 EGA³⁰。

翟: 高中? 是懲罰吧!

宮岡: 有時候會有這樣的情形。 我們的問題是想念數學的女學生很少。 我不知道為什麼會這樣, 不過其中一個癥結可能是高中老師傾向鼓勵女生念醫學院、 藥學、 或生物科學, 而不是數學 或物理。

陳: 原因是什麼?

宮岡: 也許他們對女性從事的職業有某些既定印象, 而這並不正確, 因為對女性來說數學是很好 的職業。 數學不用做實驗, 可以在家, 甚至在醫院做。 即使照顧幼兒, 依舊可以念書、 做數學 研究, 可是如果是做嚴謹的實驗, 照顧幼兒的時候什麼也沒法做。 所以其實數學對於女性而 言是很好的工作, 但是我們系上很少女生。

282013年亞洲數學會議, 6 月 30 日至 7 月 4 日在韓國釜山舉辦。

29東南亞數學會, 官網 http://www.seams-math.org/。

30Jean Dieudonn´e與 Alexander Grothendieck 著, 《代數幾何的元素》 (´El´ements de g´eom´etrie alg´ebrique), 從 1960 至 1967由法國高等科學研究所 (Institut des Hautes ´Etudes Scientifiques) 出版。

翟: 我從沒發覺日本有這樣的性別差距。 我對於台灣的狀況不是很清楚, 但就以往的經驗, 有不 少來自台灣的女數學家。

宮岡: Jean-Pierre Bourguignon³¹告訴我法國大約百分之三十的數學家是女性。 在義大利超 過一半是女性。 在美國呢?

翟: 我想美國的情況漸入佳境, 性別差距依然存在, 情況並不好。 台灣1970年代的女性數學家 比例一定比美國1990年代或本世紀初的比例來得高, 但還是有問題。 我覺得你們高中生能 念很高階數學這件事很讓人神往, 他們有教師從旁協助嗎, 還是自修的?

宮岡: 都是自修的, 例如齋藤 毅³²就是其中之一。

翟: 至少他們必須知道 EGA 的存在, 所以我想書本幫了忙, 不知道他們怎麼發現那些書的。

宮岡: 有些特殊的高中有非常好的圖書館, 而有的教師或許了解一些深刻的數學。 我不是這種 學校出身的。

翟: 是菁英學校嗎?

宮岡: 是, 好幾所私立的六年制完全中學。 例如其中之一所是武藏高等學校中學校³³, 他們訂了 美國的 《數學年刊》³⁴。

翟: 他們一定有優良的教師, 我猜想他們也給學生很多自由。 我不知道台灣有沒有類似的學校, 美國有, 可是我知道的不多。

宮岡: 日本也只有少數幾所而已。

陳: 高中太強調考試而不是知識本身。

翟: 在美國, 史岱文森高中³⁵(Stuyvessant) 和布朗士科學高中³⁶ (Bronx High) 很多科學教 師擁有頂尖大學的博士學位, 我想日本也一樣。

宮岡: 事實上, 雖然日本有很多數學系, 培養真正從事數學的“serious 數學家”的卻只有幾個。

他們百分之九十五到九十九來自大約十個數學系, 例如東京大學、 早稻田大學, 以及幾所其 它的學校。

翟: 十個!那是很好的數目了。

宮岡: 不過這要看“serious 數學家”的定義為何。

31Jean-Pierre Bourguignon (1947∼), 法國數學家, 從事微分幾何的研究。

32Akeshi Saito齋藤 毅 (1961∼), 日本數學家, 從事數論的研究。

33Musashi Junior & Senior High School武藏高等學校中學校 http://www.musashi.ed.jp/。

34《數學年刊》(The Annals of Mathematics), 普林斯頓大學和高等研究院出版的雙月刊。

35史岱文森高中 (Stuyvesant High School) http://stuy.enschool.org/。

36布朗士科學高中 (The Bronx High School of Science)http://www.bxscience.edu/。

翟: 我不大確定台灣的數目。

宮岡: 我們有很多數學系, 或許數百個。

翟: 我想有好幾百個。

宮岡: 也沒那麼多, 因為小型學院根本沒有數學系。

翟: 這意味著那些學生也沒什麼機會接觸數學?

宮岡: 他們只教人文學科等等, 或只教簡單的東西。 日本大專院校的總數大約七百, 不過大部份 原來是專科。

陳: 所以有多少位“serious 數學家”?

宮岡: 我得提醒兩位, 這不是很嚴格的估計。 日本數學學會有大約五千名會員, 其中三千位任職 學術界, 如果寬鬆的定義, “serious 數學家”的人數大約三千。

翟: 是個好數目。

宮岡: 假設“serious 數學家”的定義嚴格一點, 也就是只算現在從事嚴謹研究的研究者, 那麼人 數可能介於五百和一千之間。

翟: 我覺得那已經相當不錯了。

陳: 比台灣的人數多了很多。

宮岡: 因為日本的人口是台灣的五、 六倍。

陳: 不過數學家的人數比我們的五倍還要多。

翟: 下面這個說法可能不盡正確, 不過高中生的學習受到太多入學考試體制的箝制與領導, 將會 影響日後從事創意的工作。

宮岡: 在日本入學考試一直是個問題, 不過入學考試也不是一無是處。 對頂尖的學生來說沒這 個必要, 但對於一般人或平凡的學生卻是很好的學習的理由。 日本比較嚴重的問題是制度很 死板, 不准太年輕的學生進大學, 必須年滿十八歲。

陳: 所以學生無法提早上大學。 不過如果他們能夠自修 EGA 的話, 那也不是問題。

翟: 謝謝你。 這訪談很愉快。 希望未來日本與台灣之間有更多交流。

宮岡: 我想我們應該致力發展更緊密的聯繫。

—本文訪問者翟敬立任職中央研究院數學研究所, 陳榮凱任教台灣大學數學系, 整理者甘濟維、

陳麗伍為中央研究院數學研究所助理—