和光同塵

和光同塵 ₍ 上 ₎

黃文璋

1. 棋盤裡的學問

在某項招生考試中, 有底下一道選擇題:

在一 8 × 8 的棋盤, 第一格放 1 個銅板 (十 元), 第二格放 2 個銅板, 第三格放 2² 個銅 板, 餘類推, 最後一格放 2⁶³ 個銅板。 將這些 銅板疊起來, 問下列何者最接近其高度?(A) 紐約帝國大廈, (B) 玉山, (C) 喜馬拉雅山, (D) 地球到太陽的距離。 考完後, 有些反應 是: 沒有計算機, 或不知紐約帝國大廈高度, 或不知一個銅板的厚度, 因此沒有辦法算。 當 然也有人 4 個答案任猜一個。

六個十元銅板其厚度約 1 公分 (事實上 接近 1.1 公分)。 而銅板數總共有

1 + 2¹+ 2²+ · · · + 2⁶³= 2⁶⁴−1

= 18, 446, 744, 073, 709, 551, 615 個, 所以疊起來後之高度約為 (2⁶⁴−1)/6 公 分。 即使你算不出 2⁶⁴, 但擁有計算機, 立即 可得 2⁶⁴ .

= 1.84467 · 10¹⁹, 因此 (2⁶⁴−1)/6 約為 3.07445 · 10¹⁸。 即疊起來之高度約為 3.07445 · 10¹³ 公里, 即約 30.7445 兆公 里。 而太陽與地球之距離約為 1.496 · 10⁸

公里, 故銅板總高度約為太陽與地球間距的 20.5 萬倍。

一個銅板並不是太厚, 64 次方也不是 太大的次方, 2 也是“合理”情況下的最小正 整數底 (底取為 1 就沒什麼好討論的)。 但 居然這些銅板疊起來, 是如此的高, 超乎我 們的想像。 如果是將 2¹⁰ 個銅板疊起來呢?

2¹⁰ 是 1, 024, 所以高度僅約 1, 024/6 公分

= 170.6 公分, 差不多是一個人的高度。 很難. 相信 2⁶⁴個銅板 (減去的 1 當然是不太重要) 疊起來, 就變得這麼高。 另外, 就算沒有計算 機, 因

2⁶⁴= 2⁴·(2¹⁰)⁶ = 16 · (1, 024)⁶

> 16 · (10³)⁶ = 1.6 · 10¹⁹,

且就以 10 個銅板高度應超過 1 公分計 (這 種估計能力總該有吧!), 則銅板總高度大於 1.6 · 10¹⁸ 公分 = 1.6 · 10¹³ 公里。 不必用 到計算機仍得到一難以想像的高度。

前述棋盤放銅板, 有一些不同的版本, 底 下我們舉一流傳於印度的民間傳說 (見 Pe- terson (1990) p.196)。

68

在印度 Shirim 王的時代, 其國師 Sissa 發明了西洋棋 (chess) 以供宮廷遊樂。 國 王覺得怎麼會有這麼好玩的遊戲, 發明者真 是天才, 於是決定好好獎賞 Sissa。 獎賞方 式是在棋盤上的每一空格各放一塊黃金送給 Sissa。 Sissa 婉謝國王的好意, 他不要黃金, 只要米, 方式是: 在棋盤的第一格放一粒米, 第二格放兩粒米, 第三格放 4 粒米, 第四格 放 8 粒米, . . ., 然後將 64 格中的米都送給 他。

國王對 Sissa 如此謙遜的要求感到很驚 訝, 覺得 Sissa 真有古大臣之風。 遂叫一侍衛 拿一大袋米來, 依序放進 1, 2, 2², 2³, . . . 粒 米於各格中。 到第 12格時, 米便已放不進格 子中, 於是將米堆在棋盤旁。 到第 20 格時, 袋中米便空了, 於是國王要侍衛去多拿幾袋。

最後國王放棄了, 他終於理解到, 即使把皇宮 中所有的米搬出來, 均不足以放滿 64 格棋 盤。

事實上放滿 64 格的米夠全世界的人吃!

歷經銅板事件, 你大約不會認為我們言過其 實了。

設一碗飯以 3, 000 粒米計 (要不要數數 看?), 又設每人平均每日吃 5 碗飯 (不至於 低估吧!)。 則全世界的 60 億人, 一年共吃

3, 000 × 5 × 365 × 6 · 10⁹ = 3.285 · 10¹⁶ 粒米。 再以 2⁶⁴ = 1.84467 · 10. ¹⁹ 除以 3.285 · 10¹⁶, 得可吃約 561.5 年。 夠驚人 的吧! 全世界的人吃此棋盤的米 (該棋盤必須 奇大無比), 可吃五百多年。 底下附上一則三 十年前的新聞 (這是取自61年9月出版之“活

的數學” (一本高中數學參考書) 中, 該書作 者蔡國 加一標題“化理論為實際”, 可能是 要讓讀者認同數學之重要), 一方面博君一粲 (粲剛好是米部), 一方面顯示, 將米不斷加倍, 倒也並非象牙塔裡的遊戲。

數字魔術 · 駭人聽聞 · 秤肉粒米 · 匪夷所思 一粒米十斤肉 算到頭來吃大虧 三十天節節 高 幾何級數嚇煞人

[台南訊]住在台南縣柳營鄉的翁圳受和 李宗田互相約定, 以白米交換豬肉, 由翁圳 受每日拿豬肉十台斤 (折合新台幣二百廿元), 向李宗田掉換白米一粒 (白米每日以累計倍 數計算), 為期一月。 結果卅天下來, 白米累積 倍數, 價值十二萬一千二百四十元, 豬肉價只 需付出六千六百元。 李宗田不甘損失, 訴由台 南地檢處以詐欺罪嫌提起公訴, 案移地院刑 庭推事黃金富審結, 以罪證不足, 判決翁圳受 無罪。

這兩個人是在今年六月十四日約定白米 換豬肉。 李宗田不懂得累計倍數法, 以為白米 換肉會有利可圖, 而於六月十五日在新營鎮 環球旅社對面翁代書處, 各邀同保證人簽訂 交換契約。 第二天李宗田換算結果, 才發現吃 了大虧, 於是向台南縣警察局提出告訴。

判決理由中說, 翁圳受與李宗田的約定 交換豬肉, 雙方在定契約時有證人蕭明照、 楊 水勝, 立會人林慶田在座。 簽約時李宗田出於 自願, 第二天才發現卅日合計豬肉價只有六 千六百元, 而白米累積卅日需給付五億三千 六百八十七萬零九百十二粒, 折合重量為三 萬二千七百六十八台斤, 按時價每台斤三元 七角計算, 達新台幣十二萬一千二百四十一

元六角, 相差約廿倍之鉅, 於是拒絕收受豬肉 價款, 要求解約。

李宗田由他岳父母央託陳永松、 楊振基、

沈有田出面調解, 以一萬七千五百元賠償給 翁圳受, 為翁所接受, 調解亦因而成立。

判決理由中又說, 雙方口頭約定前, 既經 翁圳受加以說明, 亦為李宗田所同意, 雙方邀 同證人, 立會人在翁代書處簽訂交換契約, 應 無不慎重核算後, 再簽約的道理? 何況李宗田 本人是碾米商人, 每日出入米糧不知凡幾, 對 累計倍數計算法, 推說不清, 很難相信。 當時 以一粒米事小, 豬肉十台斤折價二百廿元事 大, 而折豬肉以圖近利, 其過在他自己, 因而 判決翁圳受無罪。(58年 11月 18日聯合報)

最後, 附帶一提, 在 Chelminski(1999) 一文指出: 在二十世紀初, 英國律師埃德溫

·安東尼計算過, 西洋棋頭十步的可能走法一 共有 169, 518, 829, 100, 544 · 10¹⁵種。 據估 計, 在一局共走四十步的棋中, 可能的下子法 有 25 · 10¹¹⁵ 種—整個宇宙原子的數量僅是 這個數字的一小部分。

小小 8 × 8 的棋盤, 居然有如此大的變 化, 更不要說是通行於亞洲的 19 × 19 之圍 棋盤了。

2. 指數函數的威力

大家自中學起便學函數, 利用函數可描 述各種複雜的概念。 指數函數, 常被拿來作為 描述自然成長的模式。 指數函數除了用途廣 泛, 其成長之快速, 是極令人驚訝的。

什麼是指數函數呢? 諸如 g(n) = 2ⁿ, n = 1, 2, 3, . . . , h(x) = e^x, −∞< x < ∞, 皆為指數函數。 一般而言

f (x) = a^x, x ∈ I,

其中 a 為某一正數, I 為某一實數的集合, 便 稱為指數函數。

指數函數到底成長多快呢? 我們先看表 1。

表 1. 不同函數增長之近似值

函數 n = 10 n = 30 n = 100 n = 1,000 10n² 10³ 9 · 10³ 10⁵ 10⁷

n¹⁰ 10¹⁰ 5.90 · 10¹⁴ 10²⁰ 10³⁰ 1.01ⁿ 1.104 1.347 2.704 20959.1 1.05ⁿ 1.628 4.321 131.50 1.54 · 10²¹

1.1ⁿ 2.593 17.449 13780.6 2.46 · 10⁴¹ 1.15ⁿ 4.045 66.211 1.17 · 10⁶ 4.98 · 10⁶⁰ 2ⁿ 1024 1.07 · 10⁹ 1.26 · 10³⁰ 1.07 · 10³⁰¹

由表 1, 即使是 1.01 的 n 次方, 當 n = 1, 000 時, 便有兩萬多了。 如果人口年成 長率維持在 1%, 則經 1, 000 年, 若無重大天 災人禍, 人口將是兩萬倍以上, 真是驚人。 再 以 1.1ⁿ與 n¹⁰相比, 當 n = 1, 000 時, 前者 便已較後者大很多了。 如果你能找到一平均 每年獲利有 10% 以上的投資方式, 則放一單 位的錢, 經 30 年後本利和將達 17 倍以上。

這是家長為其孩子設立創業基金之一好方式:

在小孩出生時便為他找一個穩定的投資公司, 放一筆錢, 然後三十年不要去動它。

在第 1 節裡我們看到 2⁶⁴ 就已是一天文 數字, 其實比起我們在其他地方的討論, 這只 是一微不足道的數。 例如, 目前所知之完全數 (perfect number) 共有 38 個, 最小的是 6 = 1 + 2 + 3, 最大的是在西元 1999 年 6 月所發現的

2^6,972,592(2^6,972,593−1),

其位數達 4, 197, 919 位 (所謂完全數即一 數等於其所有真因數之和, 見黃文璋 (1999) 第一章)。 此數若以 A4 紙來印, 如果一頁可 印4, 000位, 需1, 050頁, 是一本巨著。 諸位 看, 是2的將近七百萬次方! 而這是不是已 經是一夠大的次方呢? 我們曾討論費馬數 (Fermat number, 見黃文璋 (1999) 第四 章):

Fk = 2^{2 k}+ 1, k = 0, 1, . . . 。 此數列成長快速。F⁰ = 3, F¹ = 5, F² = 17, F³ = 257, F⁴ = 65, 537 , 但 F⁵ 就 已是 4, 294, 967, 297 了。 曾有人如此形容:

如果將 F⁷³ 這個數印出來, 則全世界沒有一 個圖書館容納得下。 你可能難以相信。 事實上 F⁷³= 2²⁷³+ 1, 而

2⁷³ .

= 9.44 · 10²¹,

所以 F73 是比目前所知之最大的完全數大很 多。經由取對數, 可得 F⁷³的位數約有 2.84 · 10²¹。而一本 1, 000 頁的書約可印 4 · 10⁶ 位 (每頁以印 4, 000 位計)。 故將 F⁷³ 印出, 約 需

2.84 · 10²¹

4 · 10⁶ = 7.1 · 10¹⁴

本 1, 000 頁厚的書。 這些書夠全世界的人每 人分十幾萬本。

指數函數與多項函數成長速度之天壤之 別, 可以下述微積分中的結果來形容: 對每一 正整數 n,

x→∞lim xⁿ

e^x = 0。 (1) 當 n 很大時, 以 n = 100 為例, xⁿ 隨著 x 之增大, 成長很快, 如 x = 10 時, 其值已 達 10¹⁰⁰。 但與 e^x 相比, 只要 x 很大, (1) 式告訴我們 xⁿ 幾乎可說是微乎其微。 例如, x = 1, 000 時, 1, 000¹⁰⁰ = 10³⁰⁰ 有 301 位, 雖很大, 但此時 e^1,000, 其位數達 435 位。

不論 n 多大 (但固定), xⁿ 與 e^x 之比值, 隨 著 x 之增大, 而趨近至 0, 雖 x → ∞ 時, xⁿ → ∞。 事實上, 除了 (1) 式, 我們尚有:

對 ∀a > 1,

x→∞lim xⁿ a^x = 0。

由此立即得對每一多項式 P (x), 只要 a > 1,

x→∞lim P (x)

a^x = 0。 (2)

不論 P (x) 之次數多高, 而 a 只要比 1 稍大 一些, 則 x 夠大後, a^x 均可將 P (x) 遠遠拋 開。 指數函數之威力實在是無以名之的。

由 (1) 得, 對每一正整數 n,

x→∞lim e^−x

x⁻ⁿ = 0。 (3) 也就是 x 增大時, e^−x 下降至 0 的速度亦極 快, 快過任一 x⁻ⁿ, n > 0。

一般多項式微分後, 次數會愈來愈低, 如 (x³)^′ = 3x², (x²)^′ = 2x, (x)^′ = 1, 而1微 分後是 0。 但 e^x 微分後仍是 e^x, 這也是 e^x 的一特性。 曾有個笑話, 有位數學教授因做研 究過於投入, 有點神智不清, 遇到人便說“我 要微分你”。 有次他又說了, 結果對方說“我是 e^x”。 自此後那位教授再也不敢微分別人了。

了解指數函數之成長快速的特性後, 要 成為一擁有一億元的富翁, 也非難事。

找到一每年投資報酬率達 15% 的投資 方式, 每月固定投資 1 單位的錢, 則經 30 年的複利計算, 本利和將共有

^P

X

i=1

1.0125ⁱ .

= 7009.82。

而 30 年共投資 360 單位的錢, 故本利和約 為總投資額的 19.47 倍。 現若每月投資一萬 五千元, 則 30 年後之本利和約為一億零五百 十四萬元。 至於供投資之本金, 則是五百四十 萬元, 差不多只是本利和之零頭而已。

只要持之以恆, 再加上投資正確, 人皆可 以為富翁, 當然還要活得夠久。

我們常說上天有眼, 所以多行不義必自 斃, 而有志者事竟成。 這種上天有眼的想法, 也是基於指數函數之快速成長的原理。

譬如說作壞事, 假設第 i 次被發現的 機率為 pi, 而每次被發現的事件假設為相 互獨立。 則做了 n 次皆未被發現的機率為

Q

i=1(1 − pi), 因此至少被發現一次的機率為 1 −

^Q

1−

Y

i=1

(1−pi) > 1−(1−0.01)ⁿ= 1−0.99ⁿ。 現若 n = 100, 則 0.99¹⁰⁰ = 0.36603, 而. 1 − 0.99¹⁰⁰ .

= 0.63396。 換句話說, 雖每次 被發現的機率不大, 但在 100 次內被發現的 機率大於 0.63396。 至於若 n = 1, 000, 因 0.99^1,000 = 0.000043171, 故被發現的機率. 大於 0.99995, 已算是很接近 1 了。

若壞事只做一次可能不易被發現。 只是 多半人食髓知味, 一而再再而三, 終有失手的 一天。 清朝的一代奇才, 曠世風流的紀曉嵐, 著有“閱微草堂筆記”, 是部文言短篇小說集, 多寫神異鬼怪故事。 在該書卷五, 作者藉一 害人的故事說明“君子之於小人, 謹備之而已, 無故而觸其鋒, 鮮不敗也。” 對於小人不妨遠 遠避開, 並非真相信上天有眼, 但既然觸其鋒 也沒有益處, 也就不用傷神管他。 小人行事往 往愈來愈大膽 (pi 愈來愈大), 因此事跡敗壞 的日子也不見得會太久 (n 不用太大)。

3. 讓東方不敗倒下

武俠世界裡, 代代有高手出現, 在技不如 他之下, 聯手以對抗之, 為一常見的方式。 不 世出的奇才張三丰, 似也瞭解指數函數之威 力, 並藉此設計出一聯手的陣仗:

在倚天屠龍記中 (見金庸 (1996a) pp.

383-384), 張三丰在大江之濱, 凝望蛇龜二 山, 苦思三晝夜後, 猛地省悟, 哈哈大笑, 回 到武當山, 將七名弟子叫來, 每人傳了一套武 功。這七套武功分別行使, 固是各有精微奧妙 之處, 但若二人合力, 則師兄弟相輔相成, 攻 守兼備, 威力立即大增。 若是三人同使, 則比 兩人同使的威力又強一倍, 四人相當於八位 高手, 五人相當於十六位, 六人相當於三十二 位。 到得七人齊施, 猶如六十四位當世一流高 手同時出手。 當世之間, 算得上第一流高手的 也不過寥寥二三十人, 那有這等機緣, 將這許 多高手聚集在一起?

張三丰這套武功由真武大帝座下龜蛇二 將而觸機創制, 是以名之為“真武七截陣”。 他 當時苦思難解者, 總覺顧得東邊, 西邊便有漏 洞, 同時南邊北邊, 均予敵人以可乘之機, 後 來想到可命七弟子齊施, 才破解了這個難題。

聯手, 成為要對付武功如東方不敗之大 高手的好方法。 多一人聯手, 威力加倍, 這樣 的聯手設計, 可說是極成功的。

我們再看兩個成功的聯手例子。

在神鵰俠侶中 (見金庸 (1996b) pp.

563-566), 楊過與小龍女, 一使全真劍法, 一 使玉女劍法, 雙劍合璧, 威力立即大得驚人。

不但能相互呼應配合, 所有破綻全為旁邊一 人補去, 厲害殺著卻是層出不窮, 打得金輪法 王招架不及, 落荒而逃。

在倚天屠龍記中 (pp.1460-1576), 少林 寺的渡厄、 渡劫及渡難, 三僧坐了三十餘年的 枯禪, 心意相通, 一人動念, 其餘二人立即意 會, 以三根黑索, 組成金剛伏魔圈。 張無忌雖

身懷九陽神功, 乾坤大挪移及太極拳等三大 神功, 卻未能攻破。 後邀了明教光明左使楊逍 及外公殷天正相助, 亦仍無效, 且殷天正還耗 竭身亡。 第三次與周芷若以二敵三, 也只能打 個平手。

聯手要奏效, 參與的人武功往往也要不 錯, 並且要能“相互呼應配合”, 或“心意相 通”。 有些聯手的武功, 威力雖大, 其中卻隱含 極大致命傷。 例如, 全真教中最上乘的玄門功 夫乃是天罡北斗陣。 此陣當敵人來攻時, 正面 首當其衝者不用出力招架, 卻由身旁陣友側 擊反攻, 猶如一人身兼數人武功, 威不可當。

全真七子本來武功便不低, 即使“劉處玄與王 處一同時發掌, 二人掌力合流, 一陰一陽, 相 輔相成, 力道竟是大得出奇, 遠非兩人內力相 加之可比”, 何況七人佈下天罡北斗陣! 此陣 對付高手梅超風, 將她牢牢的困在陣中, 對付 梅超風的師父東邪黃藥師, 也能打成平手。 但 西毒歐陽鋒趁他們僵持不下時, 攻擊譚處端, 七人死了一個, 此陣便破了 (見射鵰英雄傳, 金庸 (1996c) pp.1022-1033)。 可見此陣雖 厲害, 號稱“練到爐火純青之時, 七名高手合 使, 無敵於天下”, 但只要一人被擊潰, 全陣瓦 解, 這種陣法的威力未免要大打折扣。 甚至若 不是由全真七子主持陣法, 而換成武功較差 者, 則只消佔到了北極星位, 便能“以主驅奴, 制得北斗陣縛手縛腳, 施展不得自由”。 我們 再引一段, 以顯示此陣法是無法對抗真正的 大高手。

郭靖帶著楊過上終南山, 全真教因誤會, 由一群小道士擺出一天罡北斗陣圍攻他, 卻 被郭靖輕易地佔據北極星位, 因而全陣在郭

靖控制之下, 七個道士隨著郭靖, 忽而快跑, 忽而緩步, 忽而躍上樹幹。 即使後來再以十四 個天罡北斗陣共九十八人聯手, 也是被郭靖 帶著四五十個人摔入水中, 另數十人踏在別 人背上 (見神鵰俠侶, 金庸 (1996b) pp.107- 121)。

一般而言聯手是要發揮“力道遠非內力 相加可比”之效。 在碧血劍 (金庸 (1996d) pp.208-243) 中, 溫氏五老的的五行陣本來 還算圓轉渾成, 不露絲毫破綻。 此陣法令人喪 膽之處, 在於敵人入圍之後, 不論如何硬闖巧 閃, 五老必能以厲害招數反擊, 一人出手, 其 餘四人立即綿綿而上, 不到敵人或死或擒, 永 無休止。 五老招數互為守禦, 步法相補空隙, 臨敵之際, 五人猶如一人。 不過五人中有一人 走錯了腳步, 或是慢得一慢便破了。 雖然溫氏 五老“是熟的, 包管閉了眼睛也不會走錯”, 但 碰到高手, 或換年輕的弟子擺陣, 就沒那麼樂 觀了。 所以與天罡北斗陣有類似的弱點。 袁承 志由金蛇郎君所寫的金蛇秘笈中, 本已獲知 如何破五行陣, 但五老又創一個八卦陣 (有 16 人), 置於五行陣外圍, 將所有空隙填得密 密實實。 袁承志初以為五行陣外又有八卦陣, 要破此陣, 變成難上加難。 但他只看了十六人 轉幾個圈子, 已了然於胸“敵人若是破不了五 行陣, 何必再加一個八卦陣? 若是破得了五 行陣, 八卦陣徒然自礙手腳。 溫氏五老的天資 見識, 和金蛇郎君果然差得甚遠。 看來這五行 陣也是上代傳下來的, 諒五老自己也創不出 來。 他們自行增添一個陣勢, 反成累贅。 金蛇 郎君當年若知溫氏五老日後有此畫蛇添足之 舉, 許多苦心的籌謀反可省去了”。 想通後動

手, 先將五行八卦陣弄得大亂, 溫氏眾人, 陣 中不見敵人, 來來去去的盡是自己人。 袁承志 舉手之間先破八卦陣, 再破五行陣。 五老之大 哥溫方達見本派這座天下無敵的五行八卦陣, 竟被這小子在片刻之間, 如摧枯拉朽般一番 掃蕩, 登時鬧了個全軍覆沒, 一陣心酸, 竟想 在柱子上一頭撞死。

畫蛇添足的結局竟是如此, 真令人心酸。

五行陣加八卦陣, 不但沒有發揮“力道遠非兩 陣相加可比”之效, 反成作繭自縛。 學武之傷 心莫過於此, 難怪溫方達想一頭撞死。 當天資 見識均有限時, 就不要異想天開。 這也是為何 在歷史上我們對蕭規曹隨會如此肯定。 雄才 大略的領導人固然不易得, 即使能審時度勢, 信奉蕭規曹隨者亦是罕見。 溫氏五老只是在 祖宗留下的資產蛇足一番, 就已弄個全軍覆 沒。 有些庸才一旦掌權, 便迫不及待地揚棄先 人的五行陣, 自創八卦陣, 其後果的不堪實不 難預料。 這道理人人能懂, 難就難在庸才之所 以為庸才, 就是連自己是庸才都不知道, 讓我 們再度向曹參致敬。

完全數愈來愈巨大, 那該如何找尋呢?

當然是要藉助計算機, 目前所知的完全數皆 為偶數, 而偶完全數必呈 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) 的 型式, 其中 n 為一正整數, 且 2ⁿ − 1 為 一質數, 這種型式的質數, 稱為梅仙尼質數 (Mersenne prime)。 找偶完全數便與找梅仙 尼質數是等價的。 而我們又知道 2ⁿ−1 要為 質數, 則 n 必須為質數。 所以找偶完全數已 有了方向, 只要依序對質數 n, 看 2ⁿ−1 是否 為質數即可。 而這工作又只需要交給計算機。

那為何至今只知道 38 個呢?

目前對一任給的兩百位的數, 若採用試 除法, 則即使窮地球的壽命, 往往也極難判定 其是否為質數。 你可能覺得我們言過其實, 說 明如下: 假設計算機平均一秒鐘可做一億次 除法, 則一年約可做 3.1536 · 10¹⁵ 次。 而檢 驗一兩百位的數是否為質數, 有時要做到近 10¹⁰⁰ 次試除, 換句話說, 約要 3.17 · 10⁸⁴ 年。 而估計地球的壽命不過約 50 億 (5 · 10⁹) 年而已。 就算計算機速度增快, 一秒鐘可做一 兆 (10¹²) 次除法, 仍要約 3.17 · 10⁸⁰ 年。

所以要設計發展出較有效的方法, 以大幅減 少計算機除的次數, 否則光增快計算機的速 度是徒然無功的。

由上討論知, 當質數 n 很大時, 要來驗 證 2ⁿ−1 是否為一質數, 為一極艱難的工作。

處理兩百位的數就已不得了了, 何況是處理 數百萬位的數。 超級電腦也只能瞠乎其後了, 發揮不了太大的功能。

聯手! 我們看聯手能否發揮功能。

美國的 Woltman, 在西元 1996 年 1 月成立了一 GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) 的組織。 他設立 了一特別的網站, 免費提供一程式, 以利用 個人電腦的剩餘時間, 來尋找梅仙尼質數。 他 的程式藉助所謂 Lucas-Lehmer 質數測試 法, 為一檢驗一數是否為質數之有效方法。 至 西元 1999 年, 全世界已有超過 12, 600 人加 入他們的組織。 經由網際網路, Woltman 將 參加者的力量結合起來, 每位參加者, 均可獲 得已知結果的資料庫 (database), 一旦參加 者選定一檢驗的整數區域, 便須告知 Wolt- man, 以使其他搜尋者不用重複地找。 Wolt- man 的程式後來被 Kurowski 改進, 使更

易使用。 經由 Kurowski 的公司 Entropia.

Com. Inc. 的 PrimeNet 系統, 將全世界超 過 21, 500 部個人電腦整合起來, 每秒鐘可做 7, 200 億次以上的計算。 若沒有這套系統, 是 無法找尋如此巨大的質數。 在西元 1999 年 6 月 1 日, 他們第4次成功地找到新的梅仙尼質 數, 因此一個新的完全數也誕生了。 目前最大 的4個完全數皆是此組織所找到的。

此最新的梅仙尼質數, 是 Nayan Ha- jratwala 在他 350 MHz Pentium II IBM Aptiva 計算機上, 經過111天的剩餘時間 所檢驗出。 若是連續不斷地檢驗, 則需三週 的時間。 事實上當此巨大質數產生時, Ha- jratwala 並未發現, 因如同其他參與者, 他 只是讓計算機在不使用時, 便開始找尋。 是 PrimeNet 通知他在其機器上已產生此新質 數。

在西元 1999 年初, 電子前衛基金 (Electronic Frontier Foundation) 提出獎 賞: 首位發現百萬位以上之質數者可獲 5 萬 美元, 首位發現千萬位以上之質數者可獲 10 萬美元, 依此類推, 獎金最高至 25 萬美元。

歷史上, 一新的梅仙尼質數的產生, 往往也是 一最大質數產生的里程碑。 讀者諸君不妨加 入此一尋找梅仙尼質數的陣容。 說不定還可 致富呢!

GIMPS 組織, 可說充分發揮“相互呼應 配合”及“心意相通”之效, 而且“力道遠非內 力相加可比”, 而參加者只要有個人電腦, 且 僅須利用剩餘時間。 因此沒有天罡北斗陣的 缺點: 參加者須武功高強, 且一人被擊潰便 全軍覆沒。

遇到如東方不敗之類的巨大的數, 結合 分散在世界各地, 只需擁有最基本武器 (個人 電腦) 的小兵, 居然可發揮如此大的功能, 這 可說是武俠世界裡都見不到的成功聯手情況。

但這並非科學界裡唯一的聯手成功的例子。

利用大數之難以分解的特性, 美國麻 省理工學院 (Massachusetts Institute of Technology, 簡稱 MIT) 的幾位數學家 Rivest, Shamir 及 Adleman, 於西元 1977 年提出一所謂公開鑰匙密碼法 (Public-Key Cryptography), 又稱 RSA 法, 為目前最安 全的密碼技術。

在提出 RSA 法後, MIT 的研究人員將 一個代表一訊息之 128 位數編碼, 欲破此碼, 須先分解一 129 位數。 MIT的研究小組並懸 賞100美元給第一位破譯者。

這100美元看起來是很安全的, MIT研 究小組估計要花 23, 000 年才可能分解該 129 位數。 雖 100 美元似乎不是一筆很大的 錢。 但你要不要估計經過 23, 000 年後, 100 美元成為多少? 若以年利率 6% 的複利計, 為一筆有 585 位之鉅款, 夠嚇人的吧! 也許 計算機速度的增快, 可使破解的時間降低一 兩個位數, 但仍是很安全的。

可惜人算不如天算, 這個叫陣的 RSA 數經過17年, 便敗下陣來, 而將它打下擂台 的計算, 全部只花不到一年的時間。 由一批約 六百餘位因數分解迷所組成的鬆散組織, 分

散在 20 多個國家, 經過8個月的努力, 於西 元 1994年 4 月, 成功地將該129位數, 分解成 一64位的質數與一65位的質數之積, 因而破 譯密碼。

之所以能這麼快便成功, 一方面是靠今 日網際網路的發達, 一方面是靠新技術, 所謂 二次篩法 (Quadratic Sieve), 以加速找因 數的工作。 而這兩項技術的威力, 都是在西元 1977 年提出 RSA 法時所未想到的。

有關上述挑戰 RSA 數的過程之報導, 可見 Cipra (1996) pp.90-99, 倪錄群譯 (1997) 為其譯稿。

除了廣邀志同道合的好漢聯手外, 發展 有效率的方法或技術, 為擊敗科學中的東方 不敗之關鍵, 否則就算是參與的人多也不見 得就能奏效。

參考文獻

1. 倪錄群譯 (1997), 大數秘史, 數學譯林, 第 16 卷第 4 期, 296-302。

2. 黃文璋 (1999), 數學欣賞, 華泰文化事業股 份有限公司, 台北。

3. Chelminski, R. (1999), 西洋棋只是遊戲?

讀者文摘 1999 年三月號, 103-107。

4. Cipra, B. (1996). 1995-1996 What’s Happening in the Mathematical Sci- ences. American Mathematical Soci- ety, Providence, Rhode Island.

—本文作者任教於國立高雄大學應用數學 系_—