略論隨機性

略 論隨機性

徐瀝泉

1. 話說隨機性

俗話說, 有緣千里來相會, 無緣相見不 相認。 緣者, 機遇也。 機會出現了, 碰到了機 會, 碰到了好機會、 好事情就說交好運; 反 之, 就說倒霉了。 其實, 在日常生活中碰到好 事也罷, 碰到壞事也罷, 都是交替出現的。 帶 有很多偶然性。 偶然性即隨機性, 具有偶然性 的事件, 叫做偶然事件或隨機事件。 偶然性或 偶然事件的反面就是所謂的必然性或必然事 件, 一般說來:

必然事件就是在條件 C 下一定會發生 或一定不會發生的事件; 而隨機事件則是在 條件 C 下可能發生也可能不發生的事件。

事物發展是多層次的, 必然與偶然交互 作用。

例如, 植物的種子札根於某地某處 (第1 層次) 默默地度過一段時間後, 在一定條件下 破土而出 (進入第2層次), 這時它只有一根主 幹, 過了一段時間, 在某時刻又分成幾支, 它 分叉的時間和支數都是隨機的 (3層), 每一支 又平靜地生長 (4層), 再分叉 (5層), 如此等 等 (如圖一)。

... ..

.. . . .. . . .. .. ...

. .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .

... ... ... ... ... ... ...

... . ...

...

. ...

... ...

圖一

其實, 一個人一生的經歷又何嘗不是如 此。 嬰兒呱呱墜地, 他的降生充滿了偶然性 (1 層); 他平靜地度過童年 (2 層); 到了十七、

八歲, 站在人生的十字路口 (分叉點), 在升學 和就業之間進行隨機地選擇 (3層); 跨過這一 步, 他可以相當穩定地學習和工作一段時間 (4 層), 學業 (事業) 有成又站到一個分叉點 上, 比如晉級、 提升等等 (5層); 一般說來, 他 也要經歷戀愛、 結婚、 生育這些階段 (5 層或 6 層上的分叉), 俗話說, 千里姻緣一線牽, 夫 妻的結合就有不少偶然的因素; 直到某一偶 然的時刻在某個偶然的地點, 出於某種偶然 的原因, 必然結束他那偶然的生命 (最後一個 層次)^註

²

。 劇本 「何文秀」(越劇)“算命”一場 中一段唱詞, 生動而又曲折地道出了何文秀 21 歲前的坎坷歷程, 他唱道: 時辰八字排分

註

_{1: 1999}

年作者在無錫市高中青年骨幹教師研修班上的專題講座。

註

_2:

見參考文獻

_[1]

。

81

明, 文秀要算自己命, 別人的命兒不會算, 自 己的命兒算得準 . . ., 一周兩歲娘懷抱, 三周 四歲離娘身, 五歲六歲無關口, 七歲八歲上學 門, 九歲十歲有文昌關, 十一十二倒安寧, 十 二算到十七歲, 十七歲上有災星, 十七歲命犯 天狗星, 無風起浪波濤生, 朝中奸臣來殘害, 害他全家一滿門, 只有此命能逃生, 他是窮途 落魄去飄零, 可比瞎子過竹橋, 破船過江險萬 分, 幸得紅鸞喜星照, 路逢淑女私贈銀, 男無 聘金為表記, 女無媒證自成親, 十七算到十八 歲, 十八歲又逢大難星, 牢獄之災飛來禍, 人 命官司加在身, 命犯小人暗相害, 受屈含冤命 難存, 幸虧又逢貴人星, 貴人相救得重生, 十 八過去十九春, 獨占青龍交好運, 今年正當二 十一, 金榜得中做公卿, 目下夫妻可相會, 冤 案昭雪得歡慶 . . . .。

邱吉爾說: “一個人活得愈長, 他就愈認 識到一切取決於機會。 任何人, 哪怕只要回顧 一下 10 年前的經歷, 他就會看到某些本身毫 不重要的細小事件, 實際上都左右了他的全 部命運和前程。” ^同註

²

他所說的所謂細小事 件, 大都集中在那些分叉點上, 我們中間哪個 人沒有這個切身的體會呢?

地球的起源和地球上生物的變遷, 也是 如此。 每個國家的歷史也都有著許多分叉點, 這中間可以作許多假設。 例如, 假設鴻門宴上 項羽殺了劉邦, 會是個什麼樣子, 還會有漢 朝和 「三國演義」 嗎? . . . 假設康熙帝 時, 中國就能全面對外開放, 當時中國是世界 上的三強 (與歐洲、 俄羅斯) 之一。 這是中國 歷史上錯過的一次最大機遇。 順便說一句, 數

學家、 微積分發明者之一的萊伯尼茲就在中、

俄、 歐之間做了不少聯絡工作, 給沙皇與康熙 皇帝寫了許多信, 他致力於三強聯合發展科 學, 造福人類。 康熙帝不僅文治武功還擅長數 學與機械。^註

³

事物發展過程的一般法則是, 必然性與 偶然性相互交替出現和交替作用。 它處於兩 個分叉點之間時, 其發展相對說來比較穩定, 這時必然性起主導作用, 但也不排除有次要 的隨機因素和次要的分叉點存在。 因為誰也 不能保證不會發生突變事件, 即偶然性的突 變或小概率事件, 所謂小概率事件, 一般說 來是不可能出現的。 正是由於人們相信和承 認“小概率事件的不可能性原理”, 才能大膽 地進行工作和學習。 不然, 誰還敢出門, 誰還 敢乘車? 話又說回來, 你躲在家裡, 在街上步 行, 在花園散步就絕對安全了? 飛來橫禍的 事也屢見不鮮。 “小概率事件一旦出現”它會 給人帶來不可思議的結果與後果。 它可能給 人帶來重大災難, 也可能使人倖免於難。

據說, 在美國發生這樣的一件事。 有 15 人將參加某晚 7:15時的排練, 但由於這 15人 因各種不同的原因而全部遲到了, 而且都在 7:25 時之後到來。 而在那晚的排練室裡被人 放了定時炸彈, 7:25 正時爆炸, 全都倖免於 難。

1998 年中國大陸抗洪救災期間, 一隊救 災的戰士因過橋橋突然倒塌, 幾十名戰士全 部遇難。 這是小概率事件, 但恰有一名因繫鞋 帶沒有迅速跟上隊伍上橋而倖免於難。 更是 小概率事件。

註

_3:

李迪

_,

康熙帝與數學

_{, “}

數學教育

_·

數學史

_·

數學文化史

_·

信息科學

_”

國際研討會論文集

_{, 1998.4}

於北京。

彭加來 (Poincar´e) 說過“最大的機遇 莫過於一個偉人的誕生” ^同註

²

。 因為天才和 偉人的誕生會造福於人類。 牛頓就是這樣的 偉人之一, 堪稱科學之父。 他一生為科學獻身 而終生未娶, 被英女皇封為爵士。 當然, 偉人 的誕生除了機遇之外還需要其他條件, 比如 至少說還要天才和勤奮。 這裡我們只討論“機 遇”。 由於某個人的誕生是一系列隨機事件的 復合: 別的不說, 單論父母、 祖父母、 外祖 父母,. . . 的結合, 前面我們說過夫妻結合 本身就是這一復合。「白蛇傳」 中的開頭, 在那 桃紅柳綠的陽春三月, 老艄公在西湖中搖著 小船, 載著許仙、 白娘子和小青妹 3 人, 邊劃 邊唱道:“最愛西湖三月天, 斜風細雨送游船, 十世喲修來同船渡, 百世修來共枕眠, 共枕 眠。”就道出了這一事實。 所以某個特定的人 要成為偉人, 可能性是很小的, 甚至是極小 的。 屬於小概率事件。 但儘管如此, 各個時代 仍然偉人輩出, 這是什麼原因呢? 一個人成 功的概率雖然極小, 但幾十億人中總有佼佼 者。 這就是所謂的必然寓於偶然之中。 我們把 偉人的出現權作一次隨機試驗的實現。

假設該試驗中出現的小概率事件 A 的 概率為 ε, 不論 ε > 0 多麼小, 如果把它獨立 重複試驗下去, 那麼 A 遲早會出現1次, 從而 也必然出現任意多次。這是因為第1次試驗中 不出現 A 的機率為 1 − ε, 那麼, 連續經過 n 次試驗後, 不出現 A 的概率為 (1 − ε)

ⁿ

, 因 而前 n 次試驗中 A 至少出現一次的概率就 是1−(1−ε)

ⁿ

, 當 n → ∞ 時, (1−ε)

ⁿ

→ 0, 故 A 必然出現 1次。 A 出現之後把下次試驗

再當作第一次。 如此循環往復, A 必然出現 任意多次。 而獨立地重復試驗 n 次與 n 個 相互獨立事件同時試驗一次是等價的。 故而 千百萬人之中出一個天才人物的事也就屢見 不鮮了。

“文革”期間, 林彪說, 像毛澤東這樣的 偉人全世界幾百年, 中國幾千年出現一個。 爾 後遭到毛的批駁, 當然毛澤東不是從概率的 角度而是從事實出發予以批駁的。 他說, 世界 幾百年, 馬、 恩, 列、 斯不都是同時代的人嗎?

我們用上述方法可以推測“地球以外存 在生命”的概率。

宇宙太大, 只考慮銀河系, 其實銀河系也 不小, 該系中恆星的顆數就約為 3 × 10

¹¹

, 其中有條件居住生物的行星約為 65 × 10

⁷

顆^同註

²

。 由此設在這些行星中每顆有生命的 概率不小於 ε; 於是每顆無生命的概率不大於 1 − ε。 那麼, 65 × 10

⁷

顆行星都無生命之概 率不大於 (1 − ε)

^65×10

⁷, 於是至少有一顆行 星上有生命的概率不小於 1 − (1 − ε)

^65×10

⁷, 不管 ε > 0 多麼小, 而最後一個數字充份地 接近 1。 因此, 我們有充份的信心和把握, 認 為除地球外還存在著有生命的星球。

2. 概率論古今

數學史上最早被認為具有與運用概率 論思想的數學家, 是意大利科學家伽利略 (1564-1642), 據說他在研究測量中的誤差時 就運用了概率論思想。

當然, 毫無疑問, 推動科學發展的直接動 力是社會實踐, 但有人認為概率論卻起源於

對賭博的研究。 17 世紀, 一位法國賭徒名曰 梅爾 (Mere), 他認為擲一粒骰子 4 次至少出 現一個 6 點的可能性 (1 − (

⁵ ₆

)

⁴

= .517), 要 比擲兩粒骰子 24 次中至少出現一對 6 點的可 能性 (1 − (

³⁵ ₃₆

)

²⁴

= .4914) 更大些。 就此, 他請教法國當時的大數學家帕斯卡 (Pascal, 1623-1662)。 Pascal 把他的研究結果告訴了 費馬 (Fermat, 1601-1665), 爾後這兩位大 師為此專門進行了信件交往, 這些書信, 據 說被認為是數學史上最早的概率論文獻。 鍾 開萊先生在“概率和 Doob”一文中指出:“數 學概率從 Fermat 和 Pascal 的信件往來開 始, 這兩位比與 Leibniz 一起發明微積分的 Newton 都更老。”^註

⁴

之後, 荷蘭數學家、 物理學家惠更斯 (Huygens, 1629-1695) 於 1657 年發表了

“論賭博中的計算”, 被認為是概率論初創時 期的第一篇論文。

概率論一出世就表現出了它強大的生命 力。 英國科學家、 天文物理物家、 哈雷 (Hal- ley) 曾於 1693 年根據死亡率來計算壽命的 保險費。

瑞士 數 學 家 雅 各 布·貝 努 利 (Jacob Bernoulli, 1654-1705) 第 1 次使用母函 數這一工具研究了獨立重複試驗, 構建了

“Bernoulli 概型 b(k; n, p); 並明確提出 了概率論中最重要的定律之一“大數定律”。

他去世之後的 1713 年, 巴塞爾出版了他的名 著 「猜度術」, 這被認為是數學史上概率論的 第一本專著。

繼而, 法國數學家棣美弗 (A. de Mo- ivre) 對此又作了巨大推進。 他於 1718 年發

表了 「機遇原理」(Doctrine of chances), 提 出了概率乘法法則、 正態分布和正態分布律 的概念, 並證明了二項分布的極限分布就是 正態分布 .b(k; n, p) ∼ N(a, σ)。

經過了上述數學家的努力, 使概率論真 正成為一個數學分支。 雅各布·貝努利的侄兒 丹尼爾· 貝努利 (1700-1782) 把概率論應用 於接種牛痘的研究, 消除了人類在接種牛痘 初期所產生的恐懼心理, 他作了大量的抽樣 統計後推斷出接種牛痘之後人類的平均壽命 將延長 3年。

這裡要提及法國數學家蒲豐 (Buffon) 對概率論也作出了重要貢獻。 他第1次用投擲 均勻硬幣的試驗, 驗證了頻率的穩定性 (試驗 4040 次中出現正面的次數 2048), 於 1777 年 發表了 「偶然性的算術試驗」, 著名的 Buf- fon 投針問題不僅開創了幾何概率的先河, 並 且饒有興趣地用偶然性的方法來計算圓周率 π 達到任意精確度的近似值, 其重要意義是 向人們指出了偶然性與必然性之間, 隨機性 數學與經典數學之間也並不存在著不可逾越 的鴻溝 (unspannable abyss)。 正如恩格斯 在 「費爾巴哈與德國古典哲學的終結」 一書中 所指出的 “那斷然被認為是必然的東西, 是由 種種純粹的偶然性構成, 而被認為是偶然的 東西, 則是一種必然性隱藏在裡面的形式。”

眾所周知, 歐拉 (Euler, 1707-1783, 瑞士) 是 18 世紀最傑出的數學家之一。 他 以每年 800 頁的速度撰寫創造性論文。 歐拉 全集有 74 卷, 其中分析學、 代數學和數論 約占40%, 幾何學約占18%, 物理學和力學 占20%, 天文學占11%, 彈道學和航海學 註

_4:

陳培德譯

_,

概率和

_Doob,

數學譯林

, 1999, 4, P.274

。

占3%, 其他8%。 他將概率廣泛應用於人口統 計、 保險等領域, 撰有“關於死亡率和人類增 長問題的研究”,“關於孤兒保險”等論著。

又一位法國數學家普阿松 (Poisson 1781-1840) 則將概率應用於射擊的各種問 題, 撰有“打靶概率研究報告”, 提出了著名的 普阿松分布 b(k; n, p) →

^λ _k!

^ke

^−λ

∼ P

k

(t) =

(λt)

^k

k!

e

^−λt

。這裡順便提及, 產生普阿松公布的 機制中要用到一條分析引理: i.e., ∀x, y > 0, 若f 單調或連續, 且f (x)f (y) = f (x + y)則 f (x) = a

^x

。這就是我們熟悉的冪函數。

例如, 若隨機事件滿足: (i) 過程的平穩 性 (即它的概率規率不隨時間的推移而改變);

(ii) 獨立增量性 (無後效性, 在互不相交的時 間區間內過程進行的相互獨立性); (iii) 普通 性 (在同一時間瞬間出現有 2次或 2次以上實 際上是不可能的)。 則這些隨機變量皆服從普 阿松分布:

P

k

(t) = (λt)

^k

k! e

^−λt

, k = 0, 1, 2, . . . (其中 t 為時間間隔, k 為在區間 [t

₀

, t

₀

+ t]

內事件出現的次數)。 證略 (詳見, 復旦大學 編, 概率論, 第一冊, 高等教育出版社, 1979 年 4月第一版, p.97-100), 請看其初始值

P

0

(t) = e

^−λt

的由來:

∀△t > 0, 考慮 [0, t + △t] 中事件出 現 k 次的概率 P

k

(t + △t), 由上假設及全概 公式

P

k

(t+△t)=P

k

(t)P

0

(△t)+P

k− 1

(t)P

1

(△t) + · · · + P

₀

(t)P

k

(△t), > 0

特別地 P

0

(t + △t) = P

0

(t)P

0

(△t)

而 P

₀

(t+△t)−P

0

(t) = P

0

(t)(P

0

(△t)

−1) < 0 (即 P

₀

(t) 單調下降)。

故由上述分析引理 P

₀

(t) = a

^{t ∵}

a ∈ (0, 1) 故存在 λ, 使

P

0

(t) = e

^−λt

(λ > 0)

而拉普拉斯 (P. S. Laplace, 1749- 1827, 法) 是使概率論走向嚴密、 系統和科學 的最卓越的創造者之一, 他於 1812 年在巴黎 出版了 「分析概率」(或 「概率的分析理論」),

“並以此書獻給拿破侖^同註

²

, 拿破侖鐘情於數 學和數學家, 據說曾聘任他為財政部長, 當然 他當不好財政部長, 很快就被解聘了。 如果說 數學家都能勝任財政部長, 那麼在今天, 概率 統計專家去“炒股”, 都會成為超級富翁了。

拉氏的誤差理論和最小二乘法, 經德國 數學家高斯 (1777-1855) 的努力, 正式奠定 了其理論基礎。 拉普拉斯說過, 概率無非是把 人們的常識化為計算而已。 古典概型的計算 公式就是由他給出的, 其操作性極強。

17、18 世紀到 19 世紀的前半葉, 可以說 是概率論的形成時期。

19 世紀後半葉起, 概率論才有了更大的 長足的發展。 前蘇聯的幾位數學家對近代概 率論都作出了重大貢獻。 車貝曉夫 (Cheby- shev, 1821-1894) 是概率論大數定律的創建 者之一。 著名的車氏不等式為此奠定了理論 基礎。 他的學生馬爾可夫 (Markov, 1856- 1922) 是 “馬爾可夫過程”、“馬爾可夫鏈”等 這些隨機過程的創始人; 另一位學生李雅普 諾夫 (Lyapunov, 1857-1918) 是中心極限 定理和特徵函數的奠基者之一。

前蘇聯數學家柯爾莫戈洛夫 (Kolmo- gorov, 1903-1987) 以勒貝格 (Lebesgue, 法) 測度論為基礎, 給出了概率論的公理 化體系。 把概率論正式變成了一個嚴謹的 數學分支。 現代意義上的概率論臻於完善。

Lebesgue 測度以無窮區間覆蓋點集, 一反先 求積分後求測度的做法, 而是先定義測度後 定義積分; 求積分時又採取劃分值域而不是 定義域, 突破了黎曼積分的局限性。 它是泛函 分析、 概率論、 抽象積分論、 抽象調和分析的 理論基礎。

概率論於 19世紀末傳入中國, 第一本譯 著是由華蘅芳 (1839-1902) 在英國傳教士付 蘭雅 (J. Fryer, 1839-1928) 的幫助下, 於 1896 年譯出的 「決疑數學」。 因此, 我國對概 率論的學習與研究起始於本世紀初。

現代概率論主要研究無窮多個隨機變量 的集合, 即隨機過程。 例如, 若以 ξ

t

表示某 地某次大地震後餘震的情況, 則 {ξ

t

} 構成一 隨機過程, t = 1, 2, . . .。 隨機過程又可分為 馬爾可夫過程、 平穩過程、 鞅 (Martingale)、

正態過程、 點過程等。 隨機過程與其他學科交 叉應用又產生了隨機微分方程、 過程統計、 數 論中的概率方法、 現代幾何概率、 計算概率等 等新分支。 至於研究方向, 除了上述極限定理 外, 近幾十年主要由法國學派開創了隨機過 程的一般理論, 鞅的現代理論和隨機場、 點過 程、 馬爾可夫過程和位勢論等。

由於偶然性無時不有, 無處不在, 故概率 論的應用也幾乎伸展到所有領域。

經濟建設中, 用於合理設計和最優化。

如在橋梁設計時, 必須考慮河流最大洪水量

的分布。 又如用來進行氣象、 地震、 病蟲害及 人口預測預報等。 產品的設計、 質量控制 (如 日本的田口方法)、 抽樣檢查、 以及經濟學、

排隊論、 運籌學等領域的應用。

自然科學中, 最典型的是統計力學。 量 子力學非用概率論不可。 許多卓越的物理學 家都曾用過概率論的思想和方法 (如愛因斯 坦研究布朗運動)。 生物學中的群體遺傳, 群 體增長, 疾病傳染 (在古典概型中 G. Polya 就運用模球模型來描述細菌傳染)。“化學中的 反應動力學, 高分子的統計性質; 天文學中銀 河亮度起伏及星系的空間結構等。”^同註

²

在先進技術和國防中的應用, 現代自動 控制需要利用隨機微分方程來描述狀態的轉 移。 也應用在通訊技術中的濾波理論和一般 的數學信息論等。 在核反應堆中, 利用隨機模 型研究中子的減速過程。 二次大戰後, 產生了 一門新興的軍事運籌學, “隨機搜索”、“射擊 模擬”等都是它的重要研究課題, 以此解答有 關諸如導彈彈落點的目標命中率、 殺傷區域 殺傷率等問題。

中國著名數學家王梓坤教授 (中科院院 士) 曾成功地運用概率論對地震預報的研究。

3. 概率論的公理化定義

3.1 事件 σ-代數, 假設 Ω 是一抽象 點集, F 是 Ω 中一些子集的集合。 稱 F 為 Ω 中 −σ-代數, 如果它滿足下列性質:

(i) Ω ∈ F ;

(ii) 若 A ∈ F , 則 ¯A ∈ F , 其中 ¯A = Ω\A;

(iii) ∀A

i

∈ F , i = 1, 2, . . . , n, . . .可數, 則

∪

^∞ _i=1

A

i

∈ F .

那麼, 稱 Ω 為基本事件空間; 稱 Ω 的每 一個點 ω 為基本事件; 稱 F 為事件 σ-代數, 稱 F 的每一個元素 A 為隨機事件 (簡稱事 件或可測集); 稱 {Ω, F } 為可測空間。

3.2 概率與概率空間 設 P (A), A ∈ F , 是定義在 Ω 中 σ-代數 F 上的實值集函 數。 稱為 P (A) 為 F 上概率測度 (簡稱為概 率), 如果它滿足下列條件:

(i) 非負性: ∀A ∈ F , 有 0 ≤ P (A) ≤ 1;

(ii) 規範 (−) 性: P (Ω) = 1;

(iii) 完全 (可列) 可加性: ∀A ∈ F (m = 1, 2, . . ., 可數), 若 A

i

∩A

j

= ∅, i 6= j, 則 P (∪

^∞ _m=1

Am) =

^{P ∞} _m=1

P (Am)。

基本事件空間、 事件 σ-代數 F 和定義 在 F 上的概率測度 P , 這三元數組的全體 {Ω, F , P } 叫做概率空間。

4. 兩個最簡型

下面我們用上述公理化體系來定義或重 新解釋古典概型和幾何概率, 給它們賦予現 代意義。

4.1 古典概型的公理化定義

假設 Ω = {ω

₁

, ω

₂

, . . ., ω

n

}, F 由 Ω 的一切子集構成 (它含有

^{P n} _k=0

C

_n ^k

= 2

ⁿ

個元素); P ({ω

i

}) =

_n ¹

, i = 1, 2, . . ., n,

∀A ∈ F , 定義 P (A) =

^X

i∈A

P ({ω

i

}) = k n

其中 k 是 A 所含的基本事件數。 這樣稱 {Ω, F , P } 為古典型隨機試驗的概率空間。

4.2 幾何型概率的公理化定義

假設 Ω 是 m 維空間 R

^m

中一有界區 域, L(Ω) 是它的 m 維體積; F 是 Ω 的一切 可以用 m 維體積來度量的子集的集合 (即全 體 Lebesgue 可測集的集合); ∀A ∈ F , 令

P (A) = L(A) L(Ω)

其中 L(A) 是 A 的 m 維體積, 不難 驗證 P (A) 是定義在 σ-代數 F 上的概率測 度。 我們稱 {Ω, F , P } 為對應於幾何型隨機 試驗的概率空間。

4.3 Buffon 投針問題、 會面問題和分 配問題

4.3.1. 平面上有一簇平行線, 每 2 條 之間相距 a 單位。 向此平面任投一長度為 b(b < a) 的針, 試求此針與任一平行線相交 的機率。

解: 如圖, 設該針中點到最近的一條平 行線的距離為 x, 它與平行線的交角為 α。

... ...

.. .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. . . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. ... . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . . . .. . .. . .. ... . .. . .. . .. .. .. . .

a

x α

... .. .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .

. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. ... .. .. .. . .. .. .. . .

... ...

O α

a 2

x

... .

.. .. . .. .. . .. .. . .. .. . . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . . . .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . . .. .. . .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . . . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .

b 2

sin α

顯然, 針與平行線相交的充分且必要的 件是 x ≤

₂ ^b

sin α (1) 且 x ∈ [0,

^a ₂

], α ∈

[0, π] (2) 則所求概率就是滿足關係式 (1) 的 面積 (圖中影陰部分) 與長為 π 寬為

^a ₂

的長 方形的面積之比,

P (A) = L(A) L(Ω) =

1 2

R _π

0

b sin αdα

1

2

aπ = 2b

πa 由於最後的結果與 π 有關, 故以此可計 算 π 值, π = 2P b/a(其中 P 可用頻率代 替)。

4.3.2 兩人相約 7 點到 8 點在某地會面, 先到者等候 20 分鐘即可離去, 試求兩人會面 的概率。

解: 以 x, y 分別表示兩人到達時刻, 則 會面的充要條件為

|x − y| ≤ 20, 且 x ∈ [0, 60], y ∈ [0, 60]

這也是一個幾何概率問題 (如圖) P = 60

²

− 40

²

60

²

= 5 9

. .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. ... .. . .. .. .. . .. .. .

...

O x

y

... ...

... ... .

... ... ... ... ...

4.3.3 把 n 個質點隨機地分配到 N(n

≤ N) 個盒子中去。 假設每個質點分到各個 盒中是等可能的。 試就有返回有序、 有返回無 序、 無返回有序、 無返回無序 4種不同的分配 方式計算下列事件之概率:

a. A = { 某指定的 n 個盒中各有一個質點 };

b. B = { 恰有 n 個盒中各有一個質點 }。

解: 以 P

i

(i = 1, 2, 3, 4) 分別記有放回 有序、 無序, 不放回有序、 無序這 4 種抽樣方 式下上述事件的概率。 則顯然

P

1

(A) = n!

N

ⁿ

, P

1

(B) = C

_N ⁿ

· n!

N

ⁿ

∼ Maxwell-Boltzmann 統計 P

2

(A) = C

_n ⁿ

C

_N ⁿ _+n−1

, P

2

(B) = C

_N ⁿ

· C

_n ⁿ

C

_N ⁿ _+n−1

∼ Boze-Einstein 統計 P

₃

(A) = n!

A

ⁿ _N

, P

₃

(B) = C

_N ⁿ

· n!

A

ⁿ _N

= 1

∼ Firmi-Dirac 統計 P

₄

(A) = C

_n ⁿ

C

_N ⁿ

, P

₄

(B) = C

_N ⁿ

· C

_n ⁿ

C

_N ⁿ

= 1

∼ Firmi-Dirac 統計

參考文獻

1. 王梓坤著, 科學發現縱橫談, 北京師大出版 社, 1997 年 7 月第 3 次印刷。

2. 張素亮主編, 數學史簡編, 內蒙古大學出版 社, 1990 年 6 月。

3. 周概容編, 概率論與數理統計, 高等教育出版 社, 1987 年 8 月第 4 次印刷。

—本文作者任職於中國無錫市教研中心_—