科學月刊【數‧生活與學習】專欄 102 年 11 月
美國的高中數學核心課程
單維彰‧102 年 10 月 10 日
兩個月前，本欄介紹了美國 K-12 國民教育的《各州共同核心標準》(CCSS:
Common Core States Standards)，其中「核心」是指兩大類的核心課程，其中一類 就是我們的「數學領域」。我在前一篇闡述了個人對於這份數學課程標準的理解，
但僅涵蓋小學一年級至初中 (secondary school) 畢業（八年級）的內容，現在接 著談高中部分（九至十二年級）。
因為 K-12 是「國民基本教育」，其數學課程要照顧全體國民的共同需求，所 以原則上不能深入特殊專業性的課題。為了讓部分的學生有所選擇，美國以 AP 課程（大學預修課程）彌補或銜接國民基本教育課程（見本欄 97 年 12 月）。在 大約 40 門 AP 課程中，選修人數最多的數學領域課程是〈微積分 AB〉；每屆大 約有一成的高中生選修。因此，在以下探討 CCSS 的高中數學核心課程時，不可 忽略美國的教育現場，還有 AP 課程的選項。
關於〈微積分 AB〉的較詳細介紹，可參閱本欄在 98 年 1 月的報導。而一 部 1988 年出品的（老）電影，或許更親切地展現了〈微積分 AB〉的教學現場：
《為人師表》(Stand and Deliver)。這是一部根據 1982 年發生在洛杉磯落後區的 真實故事改編的電影，片中的數學教師在 2010 年過世了。
不像 1-8 年級的數學課程標準是分年描述的，高中階段的標準改以內容分 類，以六項範疇描繪高中數學的學習目標。這六項範疇的其中五項是我們熟悉的 名詞：數與量、代數、函數、幾何、統計與機率（注意「統計」寫在前面），但 第六項較為特殊：數學建模 (Modeling)。大家都知道數學建模不是數學的內容而 是實踐 (practice)，是一種使用數學的方法，甚至是一種認識數學的看法。所以，
它是一項特殊的範疇，用來聯繫其他五項內容的橫向範疇。
CCSS 的數學文件以上述六項範疇為標題，分別描述學習的目標。在高中階 段，這些內容並沒有限定前後的順序，也沒有指定教學的年級（另外提供了兩種 課程安排的範例），但是指定了「必備」和「選修」。列在文件裡的一般條目都是
「全體學生為大學與職涯做好準備」的必備課程，標注 (+) 號的條目是選修。
但是教師仍然可以將部分選修條目納入共同必修課程。選修條目的設計，是為了 進一步銜接微積分、高等統計、和離散數學（包括線性代數）。
在五項內容範疇的條目之後，如果打了一個星號，例如在「代數」範疇裡的
「建立描述數量關係的等式*」，就表示它同時也是「數學建模」的條目。
在「數與量」範疇，「數」就是先引進有理數的指數，然後發展複數、向量、
和矩陣等更高維度的類似數的物件，而「量」則從基本單位（例如公尺、平方公 尺、公斤、秒）發展到衍生單位（例如加速度、人口密度、人均收入），這一部 份都同時屬於「數學建模」範疇。數列與級數並未出現在條目裡。
在複數方面，從「共軛複數」起的所有課題，包括複數的絕對值、複數平面、
極式、和代數基本定理，都列為選修。所有向量與矩陣方面的課題，全部列為選 修。向量被用來處理速度之類的真實問題之後，立刻就以「單行矩陣」的角色和 方陣一起發展了（平面上的）線性映射。我要特別指出的是，向量並不用來處理 幾何問題。
在「代數」範疇，從「元」與「式」出發，學習多項式與有理式。這些式將 用來形成方程式、不等式和函數。線性規劃出現在代數與數學建模的共同範疇 裡。聯立方程組則以二變數為主，到了三個變數，就要改以（選修）矩陣形式表 達，並允許使用計算機。特別要指出的是，求解二元二次與一次的聯立方程式（例 如圓與直線關係），屬於必備課程。
限於銳角的 sin、cos、tan 三角比，放在「幾何」範疇，餘角關係和平方關 係是必備的，但是正弦定律與餘弦定律都是選修。美國的幾何課程比較「晚熟」，
包括全等、相似、作圖、推理等平面幾何課題，都列於高中。但是坐標幾何也在 高中，例如二次曲線：圓與切線、拋物線是必備的，但過圓外一點做切線，以及 橢圓和雙曲線是選修。值得注意的是，CCSS 文件指明要用透明片或電腦軟體，
讓學生操作平面圖形的旋轉、鏡射、縮放，以及識別立體物件的各種截面。
在「函數」範疇，要學生了解對應關係是函數的精神，例如玩「連連看」或
「對對碰」遊戲都有函數觀念。但是，在高中階段的大部分情況下，我們僅能討 論以「式」定義的函數。但即使在這樣的限制下，函數還是可以作為許多重要（真 實）問題的模型。
有趣的是，CCSS 所指的函數包括離散函數，那也就是數列。而費波那契數 列被作為遞迴函數的例子。遞迴函數受到一定程度的重視，因為在數學建模的範 疇裡又提起它。指數函數在等比例成長和衰退的情境下導入，而對數函數僅在求 解指數方程式的情境下使用，而且僅限以 2 或 10 或 e 為底的對數。為了發展必 備的三個三角函數，所有學生都要學習弧度量與廣義角，認識圖形的週期性並用 來當作模型。超過此範圍的三角函數都是選修。反函數是選修，包括了 arcsin、
arccos、arctan 以及它們的圖形。
「統計與機率」範疇包含我們常見的一維與二維數據分析，但是不只用線性 迴歸作資料的最適函數，二次函數與指數函數都在必備範圍內。隨機實驗、抽樣 和統計推論也都是必備的，但是沒有正式的信心水準。條件機率是必備的，但是 貝氏定理及其應用是選修。排列組合是選修，而且僅在計算古典機率的脈絡中使 用它。隨機變數以及分佈屬於選修，其中分佈是理論給定的或者調查構成的。
在數學建模的標題下，並沒有列學習內容的條目，而是概念性與原則性地闡 述數學建模是什麼、不是什麼。文件舉出八個可以用數學模型來處理的真實問 題，並以流程圖解釋以數學模型解決問題的一般性程序。
最後，我要提醒讀者，美國的高一是九年級，相當於我們的國中三年級。此 外，美國某些州過去自訂的數學課程進度比較快，他們的學生以前在八年級就學 到部分 CCSS 的高中內容了。現在的「共同標準」同意這些州繼續他們的傳統。
因此，當我們檢視以上高中數學內容的時候，也要了解，其實有一部份可能在我 們的國中二年級就學習了。
在 CCSS 數學標準的最後一頁，有一段特別叮嚀的話：許多重要而且實用的 核心內容，其實早在高中選修內容 (+) 之前，在 6-8 年級就學習了。例如比例關 係是一個威力強大的數學工具，可以處理非常多真實的問題。換句話說，不要忽 略簡單而基本的數學的威力。在高中畢業的總結性評量裡，不要忘了必須涵蓋 6~8 年級的數學。這一番話值得我國設計「素養」評量的師長們留意。
