§4 线性方程组的解的结构
回顾：线性方程组的解的判定
1.
包含 n 个未知数的齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解的 充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) n ．
2.
包含 n 个未知数的非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充 分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) = R(A, b) ，并且
当 R(A) = R(A, b) = n 时，方程组有唯一解；
当 R(A) = R(A, b) n 时，方程组有无限多个解．
引言
问题：什么是线性方程组的解的结构？
答：所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限 多个解时，解与解之间的相互关系．
备注：
当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构．
下面的讨论都是假设线性方程组有解．
解向量的定义
定义：设有齐次线性方程组 Ax = 0 ，如果 x
1=
11，
x
2=
21， ... ， x
n=
n1，，，，，，，，，
称为方程组的解向量．
11 21
1 n
齐次线性方程组的解的性质
性质 1 ：若 x =
1，
x =
2是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，
则 x =
1
2，是 Ax = 0 的解．
证明： A(
1
2=A
1+ A
2= 0 + 0 = 0 ．
性质 2 ：若 x = 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， k 为实 数，
则 x = k
，是 Ax = 0 ，，．
证明： A( k =k ( A )
= k 0 = 0 ．
结论：若 x =
1
x =
2, ...,
x =
t是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = k
1
1+ k
2
2+ … + k
t
t，是 Ax
= 0 的解 .
结论：若 x =
1
x =
2, ...,
x =
t是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = k
1
1+ k
2
2+ … + k
t
t，是 Ax = 0 的解 .
已知齐次方程组 Ax = 0 的几个解向量，可以通过这些 解向量的线性组合给出更多的解．
能否通过有限个解向量的线性组合把 Ax = 0 的解全部 表示出来？
把 Ax = 0 的全体解组成的集合记作 S ，若求得 S 的 一个最大无关组 S
0： x =
1
x =
2, ...,
x =
t，那么 Ax
= 0 的通解可表示为 x = k
1
1+ k
2
2+ … + k
t
t．
齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方
程组的基础解系（不唯一）．
基础解系的概念
定义：齐次线性方程组 Ax = 0 的一组解向量：
...,
r如果满足
①
，
， ... ，
r线性无关；
② 方程组中任意一个解都可以表示
...,
r的线性组合，
那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系．
后 n - r 前 r 列 列
设 R(A) = r ，为叙述方便，
不妨设 A
行最简形矩阵为对应的齐次线性方程组
令 x
r+1, …, x
n作自由变量，则
11 1,
21 2,
,1 ,
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
n r n r
r r n r
m n
b b
b b
b b
B
1 11 1 1,
2 21 1 2,
1 1 ,
0, 0, 0.
r n r n
r n r n
r r r r n r n
x b x b x
x b x b x
x b x b x
1 11 1 1,
2 21 1 2,
1 1 ,
, , .
r n r n
r n r n
r r r r n r n
x b x b x
x b x b x
x b x b x
1 11 1 1,
1 1 ,
1 1
n r n r
r r r n r n r
r
n n r
x b c b c
x b c b c
x c
x c
令 x
r+1= c
1, x
r+2= c
2, …, x
n= c
n-r，则
11 12 1,
1 2 ,
1 1 1 1 0
0 0 0
0 0 1
n r
r r r n r
n r
b b b
b b b
c c c
齐次线性方 程组的通解
1 11 1 12 2 1,
2 21 1 22 2 2,
1 1 2 2 ,
, , .
r r n r n
r r n r n
r r r r r r n r n
x b x b x b x
x b x b x b x
x b x b x b x
记作 x = c
1
1+ c
2
2+ … + c
n-r
n-r．（满足基础解系②）
11 12 1,
21 22 2,
,1 ,2 ,
1 2
( , , , )
1 0 0
0 1 0
0 0 1
n r n r
r r r n r
n r
b b b
b b b
b b b
n − r 列
前 r 行
后 n − r 行
故 R(
1,
2, … ,
n-r) = n − r ，
即
1,
2, … ,
n-r线性无关． （满足基础解系①）
于是
1,
2, … ,
n-r就是齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系
．
1 11 1 1,
1 1 ,
1 1
2 2
n r n r
r r r n r n r
r r
n n r
x b c b c
x b c b c
x c
x c
x c
令 x
r+1= c
1, x
r+2= c
2, …, x
n= c
n-r，则
11 12 1,
1 2 ,
1 1 1 1 0
0 0 0
0 0 1
n r
r r r n r
n r
b b b
b b b
c c c
线性方程组 的通解
1 11 1 12 2 1,
2 21 1 22 2 2,
1 1 2 2 ,
, , .
r r n r n
r r n r n
r r r r r r n r n
x b x b x b x
x b x b x b x
x b x b x b x
记作 x = c
1
1+ c
2
2+ … + c
n-r
n-r．（满足基础解系②）
1 2
1 0 0
0 1 0
, , ,
0 0 1
r r
n
x x x
1 11 1 12 2 1,
2 21 1 22 2 2,
1 1 2 2 ,
, , .
r r n r n
r r n r n
r r r r r r n r n
x b x b x b x
x b x b x b x
x b x b x b x
此即为 Ax = 0 的基础解系
．
通解为
= c
1
1+ c
2
2+ … + c
n-r
n-r1 11 12 1,
2 21 22 2,
1 2 ,
, , , ,
n r n r
r n r
r r r
x b b b
x b b b
x b b b
11 12 1,
1 2 ,
1 1 , 2 1 , , 0
0 0 0
0 0 1
n r
r r r n r
n r
b b b
b b b
，则
令
定理：设 m×n 矩阵的秩 R(A) = r ，则 n 元齐次线性方程 组
Ax = 0 的解集 S 的秩 R
S= n − r ．
基础解系的求解
例：求齐次线性方程组 的基础 解系．
方法 1 ：先求出通解，再从通解求得基础解系．
1 2 3 4
1 2 4
1 2 3 4
2 2 0
2 3 0
5 7 0
x x x x
x x x
x x x x
1 2 1 2 1 0 3 4
2 3 0 1 ~ 0 1 2 3
1 1 5 7 0 0 0 0
A
r
1 3 4
2 3 4
3 4 0
2 3 0
x x x
x x x
1 3 4
2 3 4
3 4
2 3
x x x
x x x
即
令 x
3= c
1， x
4= c
2， 得通解表达式
1 1 2
2 1 2
1 2 1 1 2 2
3 1
4 2
3 4 3 4
2 3 2 3
1 0
0 1
x c c
x c c
c c c c
x c
x c
因为
方程组的任意一个解都可以表示为
1
2的线性组合．
1
2的四个分量不成比例，所以
1
2线性无关．
，，
1
2是原方程组的基础解系．
方法 2 ：先求出基础解系，再写出通解．
1 2 1 2 1 0 3 4
2 3 0 1 ~ 0 1 2 3
1 1 5 7 0 0 0 0
A
r
1 3 4
2 3 4
3 4 0
2 3 0
x x x
x x x
1 3 4
2 3 4
3 4
2 3
x x x
x x x
即
令
34
1 0
0 , 1 x
x
1 2
3 4
2 , 3 x
x
1 2
3 4
2 3
1 , 0
0 1
合起来便得到基础解系
，得
还能找出其 它基础解系 吗？
问题：是否可以把 x
1选作自由变量？
答：可以，因为是否把系数矩阵化为行最简形矩阵，其实并 不影响方程组的求解．当两个矩阵行等价时，以这两个矩阵 为系数矩阵的齐次线性方程组同解．
1 2 1 2 1 0 3 4
2 3 0 1 ~ 0 1 2 3
1 1 5 7 0 0 0 0
A
r
3 1
3 2 2
1 2
5
3 ( 1)
2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 3 0 1 ~ 2 3 0 1
1 1 5 7 6 9 0 3
1 2 1 2 3 4 1 0
~ 2 3 0 1 ~ 2 3 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0
r r
r r r
r r
A
令 x
1= c
1， x
2= c
2， 得通解表达式
1 2 1 2 3 4 1 0
2 3 0 1 ~ 2 3 0 1
1 1 5 7 0 0 0 0
A
r
1 2 3
1 2 4
3 4 0
2 3 0
x x x
x x x
3 1 2
4 1 2
3 4
2 3
x x x
x x x
即
1 1
2 2
1 2 1 1 2 2
3 1 2
4 1 2
1 0
0 1
3 4 3 4
2 3 2 3
x c
x c
c c c c
x c c
x c c
从而可得另一个基础解系：
1和
2．
定理：设 m×n 矩阵的秩 R(A) = r ，则 n 元齐次线性方程 组
Ax = 0 的解集 S 的秩 R
S= n − r ．
例：设 A
m×nB
n×l= O （零矩阵），证明 R(A) + R(B) ≤ n ．
例：证明 R(A
TA) = R(A) ．
例：设 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 与 Bx = 0 同解，证明
R(A) = R(B) ．
非齐次线性方程组的解的性质
性质 3 ：若 x =
1，
x =
2是非齐次线性方程组 Ax = b 的解
，
则 x =
1−
2是对应的齐次线性方程组 Ax = 0 （导出组）
的 解．
证明： A(
1−
2=A
1− A
2= b − b = 0 ．
性质 4 ：若 x = 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解， x =
是
导出组 Ax = 0 的解，则 x = +
，是 Ax = b ，，．
证明： A( +
=A + A
= 0 + b = b ．
根据性质 3 和性质 4 可知
若 x =
*是 Ax = b 的解， x = 是 Ax = 0 的解，那 么
x = + * 也是 Ax = b 的解．
设 Ax = 0 的通解为 = c
1
+c
2
+…+c
n-r
n-r． 于是 Ax = b 的通解为
= c
1
+c
2
+…+c
n-r
n-r+
*例：求线性方程组 的通解．
1 2 3 4
1 2 4
1 2 3 4
2 2 3
2 3 5
5 7 0
x x x x
x x x
x x x x
解：容易看出 是方程组的一个特解 ．
其对应的齐次线性方程组为
根据前面的结论，导出组的基础解系为
*
1 1 0 0
1 2 3 41 2 4
1 2 3 4
2 2 0
2 3 0
5 7 0
x x x x
x x x
x x x x
1 2
3 4
2 3
1 , 0
0 1
于是，原方程组的通解为
*
1 1 2 2 1 2
3 4 1
2 3 1
1 0 0
0 1 0
c c c c
小结：关于线性方程组
求解线性方程组（第三章，利用矩阵的初等行变换）
线性方程组的几何意义（第四章，四种等价形式）
1. 齐次线性方程组的通解能由它的基础解系来构造．
① 基础解系是解集 S 的最大无关组．
② 解集 S 是基础解系的所有可能的线性组合．
2. 非齐次线性方程组的通解与其导出组的基础解系的关系 .
