第五部分 图论

第五部分 图论

本部分主要内容

 图的基本概念

 欧拉图、哈密顿图

 树

 平面图

 支配集、覆盖集、独立集、匹配与着色

第十四章 图的基本概念

主要内容

 图

 通路与回路

 图的连通性

 图的矩阵表示

 图的运算 预备知识

 多重集合——元素可以重复出现的集合

 无序集—— AB={(x,y) | xAyB}

14.1 图

定义 14.1 无向图 G = <V,E>, 其中

(1) V   为顶点集，元素称为顶点

(2) E 为 VV 的多重集，其元素称为无向边，简称边

实例 设

V = {v1, v2, …,v5},

E = {(v₁,v₁), (v₁,v₂), (v₂,v₃), (v₂,v₃), (v₂,v₅), (v₁,v₅), (v₄,v₅)}

则 G = <V,E> 为一无向图

有向图

定义 14.2 有向图 D=<V,E>, 只需注意 E 是 VV 的多重子集 图 2 表示的是一个有向图，试写出它的 V 和 E

注意：图的数学定义与图形表示，在同构（待叙）的意义下 是一一对应的

相关概念

1. 图

① 可用 G 泛指图（无向的或有向的）

② V(G), E(G), V(D), E(D) ③ n 阶图

2. 有限图

3. n 阶零图与平凡图

4. 空图——

5. 用 ek 表示无向边或有向边 6. 顶点与边的关联关系

① 关联、关联次数 ② 环

③ 孤立点

7. 顶点之间的相邻与邻接关系

} { ) ( )

(

} )

( )

, ( ) (

| { ) (

v v

N v

N v

v u G

E v

u G

V u

u v

N v















 的闭邻域

的邻域

} )

(

| { )

(v e e E G e与v关联

I   

} { ) ( )

(

) ( )

( )

(

} )

( ,

) (

| { ) (

} )

( ,

) (

| { ) (

v v

N v

N v

v v

v N v

v u D

E v

u D

V u

u v

v

v u D

E u

v D

V u

u v

v

D D

D D

D D D





















































的闭邻域 的邻域

的先驱元集 的后继元集

8. 邻域与关联集

① vV(G) (G 为无向图 )

v 的关联集

② vV(D) (D 为有向图 )

9. 标定图与非标定图

10. 基图

相关概念

多重图与简单图

定义 14.3

(1) 无向图中的平行边及重数

(2) 有向图中的平行边及重数（注意方向性）

(3) 多重图 (4) 简单图

在定义 14.3 中定义的简单图是极其重要的概念

顶点的度数

定义 14.4

(1) 设 G=<V,E> 为无向图 , vV, d(v)——v 的度数 , 简称 度

(2) 设 D=<V,E> 为有向图 , vV, d⁺(v)——v 的出度

d^(v)——v 的入度

d(v)——v 的度或度数 (3) (G), (G)

(4) ⁺(D), ⁺(D), ^(D), ^(D), (D), (D)

(5) 奇顶点度与偶度顶点

m v

d

n i

i) 2

(

1





m v

d v

d m

v d

n

i

i n

i

i n

i

i

 

















1 1

1

) ( )

( ,

2 )

( 且

定理 14.1 设 G=<V,E> 为任意无向图， V={v₁,v₂,…,v_n}, |E|=m, 则

证 G 中每条边 ( 包括环 ) 均有两个端点，所以在计算 G 中各 顶点度数之和时，每条边均提供 2 度， m 条边共提供 2m 度 .

本定理的证明类似于定理 14.1

握手定理

定理 14.2 设 D=<V,E> 为任意有向图， V={v₁,v₂,…,v_n}, |E|=m, 则

握手定理推论

推论 任何图 ( 无向或有向 ) 中，奇度顶点的个数是偶数 . 证 设 G=<V,E> 为任意图，令

V₁={v | vV d(v) 为奇数 } V₂={v | vV d(v) 为偶数 }

则 V1V2=V, V1V2= ，由握手定理可知

由于 2m, 均为偶数，所以 为偶数，但因为 V1中 顶点度数为奇数，所以 |V1| 必为偶数 .













2 1

) ( )

( )

( 2

V v V

v V

v

v d v

d v

d m



) (

V v

v

d



 ₁

) (

V v

v d

例 1 无向图 G 有 16 条边， 3 个 4 度顶点， 4 个 3 度顶点

，其余顶点度数均小于 3 ，问 G 的阶数 n 为几？

解 本题的关键是应用握手定理 .

设除 3 度与 4 度顶点外，还有 x 个顶点 v₁, v₂, …, v_x ， 则

d(v_i)  2 ， i =1, 2, …, x ， 于是得不等式

32  24+2x

得 x  4, 阶数 n  4+4+3=11.

握手定理应用

图的度数列

1 . V={v1, v2, …, vn} 为无向图 G 的顶点集，称 d(v1), d(v2), …, d (v_n) 为 G 的度数列

2. V={v1, v2, …, vn} 为有向图 D 的顶点集，

D 的度数列： d(v¹), d(v2), …, d(vn) D 的出度列： d⁺(v₁), d⁺(v₂), …, d⁺(v_n) D 的入度列： d^(v1), d^(v2), …, d^(vn)

3. 非负整数列 d=(d¹, d2, …, dn) 是可图化的，是可简单图化的 . 易知： (2, 4, 6, 8, 10) ， (1, 3, 3, 3, 4) 是可图化的，后者又是可 简单图化的，而 (2, 2, 3, 4, 5) ， (3, 3, 3, 4) 都不是可简单图化 的，特别是后者也不是可图化的

图的同构

定义 14.5 设 G1=<V₁,E₁>, G₂=<V₂,E₂> 为两个无向图 ( 两个有向 图 ) ，若存在双射函数 f:V1V₂, 对于 vi,v_jV₁,

(vi,vj)E1 当且仅当 (f(vi),f(vj))E2

（ <vi,vj>E1 当且仅当 <f(vi),f(vj)>E2 )

并且 , (vi,v_j) （ <vi,v_j> ）与 (f(vi),f(v_j)) （ <f(vi),f(v_j)> ）的重数相 同，则称 G1与 G2是同构的，记作 G1G₂.

 图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性 .

 能找到多条同构的必要条件，但它们全不是充分条件：

① 边数相同，顶点数相同 ; ② 度数列相同 ;

③ 对应顶点的关联集及邻域的元素个数相同，等等 若破坏必要条件，则两图不同构

 判断两个图同构是个难题

图同构的实例

图中 (1) 与 (2) 的度数列相同，它们同构吗？为什么？

(1) (2) (3) (4)

图中， (1) 与 (2) 不同构（度数列不同）， (3) 与 (4) 也不同构 .

(1) (2)

n 阶完全图与竞赛图

定义 14.6

(1) n (n1) 阶无向完全图——每个顶点与其余顶点均相邻的

无向简单图，记作 Kn. 简单性质：边数

(2) n (n1) 阶有向完全图——每对顶点之间均有两条方向相

反的有向边的有向简单图 . 简单性质：

(3) n (n1) 阶竞赛图——基图为 Kn的有向简单图 .

简单性质：边数

1 2 ,

) 1

(     

 n n n

m 

1 ),

1 (

2 ),

1

(         

 n n n ^{ } n

m  

1 2 ,

) 1

(     

 n n n

m 

n 阶 k 正则图

(1) 为 K5 ， (2) 为 3 阶有向完全图， (3) 为 4 阶竞赛 图 .

(1) (2) (3)

定义 14.7 n 阶 k 正则图—— ==k 的无向简单图 简单性质：边数（由握手定理得）

K_n 是 n1 正则图，

彼得松图（见书上图 14.3(1) 所示，记住它）

2 m  nk

子图

定义 14.8 G=<V,E>, G=<V,E>

(1) GG —— G 为 G 的子图， G 为 G 的母图

(2) 若 GG 且 V=V ，则称 G 为 G 的生成子图 (3) 若 VV 或 EE ，称 G 为 G 的真子图

(4) V （ VV 且 V ）的导出子图，记作 G[V]

(5) E （ EE 且 E ）的导出子图，记作 G[E]

例 2 画出 K₄ 的所有非同构的生成子图

实例

补图

定义 14.9 设 G=<V,E> 为 n 阶无向简单图，以 V 为顶点集

，以所有使 G 成为完全图 Kn的添加边组成的集合为边集的 图，称为 G 的补图，记作 .

若 G , 则称 G 是自补图 .

相对于 K4, 求上面图中所有图的补图，并指出哪些是自补 图 .

问：互为自补图的两个图的边数有何关系？

G

G

14.2 通路与回路

定义 14.11 给定图 G=<V,E> （无向或有向的）， G 中顶点与 边的交替序列  ^{= v}0e1v1e2…elvl， vi1, vi 是 ei 的端点 .

(1) 通路与回路： 为通路；若 v0=vl， 为回路， l 为回路长 度 .

(2) 简单通路与回路：所有边各异， 为简单通路，又若 v0=vl，

 为简单回路

(3) 初级通路 ( 路径 ) 与初级回路 ( 圈 ) ： 中所有顶点各异，则 称 为初级通路 ( 路径 ) ，又若除 v0=v_l，所有的顶点各不相 同且所有的边各异，则称 为初级回路 ( 圈 )

(4) 复杂通路与回路：有边重复出现

几点说明

表示法

① 定义表示法 ② 只用边表示法

③ 只用顶点表示法（在简单图中）

④ 混合表示法

环（长为 1 的圈）的长度为 1 ，两条平行边构成的圈长度为

2 ，无向简单图中，圈长 3 ，有向简单图中圈的长度 2.

不同的圈（以长度 3 的为例）

① 定义意义下

无向图：图中长度为 l （ l3 ）的圈，定义意义下为 2l 个 有向图：图中长度为 l （ l3 ）的圈，定义意义下为 l 个 ② 同构意义下：长度相同的圈均为 1 个

试讨论 l=3 和 l=4 的情况

通路与回路的长度

定理 14.5 在 n 阶图 G 中，若从顶点 vi 到 vj（ vivj）存在通路，

则从 vi 到 vj 存在长度小于或等于 n1 的通路 .

推论 在 n 阶图 G 中，若从顶点 vi 到 vj（ vivj）存在通路，则 从 vi 到 vj 存在长度小于或等于 n1 的初级通路（路径） .

定理 14.6 在一个 n 阶图 G 中，若存在 vi 到自身的回路，则一 定存在 vi 到自身长度小于或等于 n 的回路 .

推论 在一个 n 阶图 G 中，若存在 vi 到自身的简单回路，则一 定存在长度小于或等于 n 的初级回路 .

14.3 图的连通性

无向图的连通性

(1) 顶点之间的连通关系： G=<V,E> 为无向图 ① 若 vi 与 vj 之间有通路，则 vivj

②  是 V 上的等价关系 R={<u,v>| u,v V 且 uv}

(2) G 的连通性与连通分支

① 若 u,vV ， uv ，则称 G 连通

② V/R={V1,V2,…,Vk} ，称 G[V1], G[V2], …,G[Vk] 为连通分 支，其个数 p(G)=k (k1) ；

k=1 ， G 连通

短程线与距离

(3) 短程线与距离

① u 与 v 之间的短程线： uv ， u 与 v 之间长度最短的

通路

② u 与 v 之间的距离： d(u,v)—— 短程线的长度

③ d(u,v) 的性质：

d(u,v)0, u≁v 时 d(u,v)=

d(u,v)=d(v,u)

d(u,v)+d(v,w)d(u,w)

无向图的连通度

1. 删除顶点及删除边

Gv —— 从 G 中将 v 及关联的边去掉

GV—— 从 G 中删除 V 中所有的顶点

Ge —— 将 e 从 G 中去掉

GE—— 删除 E 中所有边

2. 点割集与边割集 点割集与割点

定义 14.16 G=<V,E>, VV

V 为点割集—— p(GV)>p(G) 且有极小性

v 为割点—— {v} 为点割集

定义 14.17 G=<V,E>, EE

E 是边割集—— p(GE)>p(G) 且有极小性

e 是割边（桥）—— {e} 为边割集

点割集与割点

例 3 {v1,v4} ， {v⁶} 是点 割集， v6是割点 . {v2,v5} 是点割集吗？

{e1,e2} ， {e¹,e3,e5,e6} ， {e8} 等是边割集， e8是 桥， {e7,e9,e5,e6} 是边割 集吗？

几点说明：

 K_n中无点割集， Nn中既无点割集，也无边割集，其中 Nn为 n 阶零图 .

 若 G 连通， E 为边割集，则 p(GE)=2 ， V 为点割集，

则 p(GV)2

点连通度与边连通度

定义 14.18 G 为连通非完全图

点连通度—  (G) = min{ |V |V  为点割集 } 规定  (Kn) = n1

若 G 非连通， (G) = 0

若  (G)k ，则称 G 为 k- 连通图 定义 14.19 设 G 为连通图

边连通度—— (G) = min{|E|E 为边割集 } 若 G 非连通，则 (G) = 0

若 (G)r ，则称 G 是 r 边 - 连通图

图中，  ==1 ，它是 1- 连通图 和 1 边 - 连通图

几点说明

 (K_n)=(K_n)=n1

 G 非连通，则  ==0

 若 G 中有割点，则 =1 ，若有桥，则 =1

 若 (G)=k, 则 G 是 1- 连通图， 2- 连通图，…， k- 连通图

，但不是 (k+s)- 连通图， s1

 若 (G)=r, 则 G 是 1- 边连通图， 2- 边连通图，…， r- 边 连通图，但不是 (r+s)- 边连通图， s1

 , ,  之间的关系 .

定理 7.5 (G)(G)(G)

请画出一个 << 的无向简单图

有向图的连通性

定义 14.20 D=<V,E> 为有向图

vi  v_j（ vi 可达 vj）—— vi 到 vj 有通路 v_i  v_j（ vi 与 vj 相互可达）

性质

 具有自反性 (vi  v_i) 、传递性  具有自反性、对称性、传递性 v_i 到 vj 的短程线与距离

类似于无向图中，只需注意距离表示法的不同

( 无向图中 d(vi,v_j) ，有向图中 d<vi,v_j>) 及 d<vi,v_j> 无对称性

有向图的连通性及分类

定义 14.22 D=<V,E> 为有向图

D 弱连通 ( 连通 )—— 基图为无向连通图

D 单向连通—— vi,vjV ， vivj 或 vjvi

D 强连通—— vi,v_jV ， viv_j 易知，强连通单向连通弱连通 判别法

定理 14.8 D 强连通当且仅当 D 中存在经过每个顶点至少一次 的回路

定理 14.9 D 单向连通当且仅当 D 中存在经过每个顶点至少一 次的通路

扩大路径法

无向图中

设 G=<V,E> 为 n 阶无向图， E. 设  _l 为 G 中一条路径，若 此路径的始点或终点与通路外的顶点相邻，就将它们扩到通

路中来，继续这一过程，直到最后得到的通路的两个端点不 与通路外的顶点相邻为止 . 设最后得到的路径为 l+k（长度 为 l 的路径扩大成了长度为 l+k 的路径），称 _{l+k为“极大路} 径”，称使用此种方法证明问题的方法为“扩大路径法” .

有向图中类似讨论，只需注意，在每步扩大中保证有向边方 向的一致性 .

实例

由某条路径扩大出的极大路径不惟一，极大路径不一定是 图中最长的路径

上图中， (1) 中实线边所示的长为 2 的初始路径， (2),(3),(4) 中实线边所示的都是它扩展成的极大路径 .

还能找到另外的极大路径吗？

(1) (2)

(4) (3)

扩大路径法的应用

例 4 设 G 为 n （ n3 ）阶无向简单图，  2 ，证明 G 中存在 长度   +1 的圈 .

证 设  _{= v}0v1…vl 是由初始路径  0 用扩大路径法的得到的极 大路径，则 l   （为什么？） .

因为 v⁰ 不与  外顶点相邻，又 d(v⁰)   ，因而在 _{上除 v}1

外，至少还存在  1 个顶点与 v0 相邻 . 设 vx 是离 v0 最远的顶 点，于是 v⁰v1…vxv0 为 G 中长度   +1 的圈 .

二部图

定义 14.23 设 G=<V,E> 为一个无向图，若能将 V 分成 V1和 V₂

(V₁V₂=V ， V1V₂=) ，使得 G 中的每条边的两个端点都是 一个属于 V1，另一个属于 V2，则称 G 为二部图 ( 或称二分 图、偶图等 ) ，称 V1和 V2为互补顶点子集，常将二部图 G 记为 <V1,V₂,E>.

又若 G 是简单二部图， V1中每个顶点均与 V2中所有的顶点相 邻，则称 G 为完全二部图，记为 Kr,s，其中 r=|V1| ， s=|V2|.

注意， n 阶零图为二部图 .

二部图的判别法

定理 14.10 无向图 G=<V,E> 是二部图当且仅当 G 中无奇圈 由定理 14.10 可知图 9 中各图都是二部图，哪些是完全二部 图？哪些图是同构的？

14.4 图的矩阵表示

无向图的关联矩阵（对图无限制）

定义 14.24 无向图 G=<V,E> ， |V|=n ， |E|=m ，令 mij为 vi

与 ej

的关联次数，称 (mij)_nm为 G 的关联矩阵，记为 M(G).

性质

平行边的列相同 )

4 (

2 )

3 (

) ,..., 2 , 1 (

) ( )

2 (

) ,..., 2 , 1 (

2 )

1 (

,

1 1

m m

n i

v d m

m j

m

j i

ij

i m

j ij

n

i ij





















37



 





















 







j i

ij m

j

m

j ij i

i ij

n

i ij

m

n i

v d m

v d m

m j

m

,

1 1

1

0 )

3 (

,..., 2 , 1 ),

( )

1 (

), ( )

1 (

) 2 (

) ,..., 2 , 1 (

0 )

1 (











的终点 为

，

不关联 与

，

的始点 为

j i

j i

j i

ij

e v

e v

e v

m

1 0

, 1

有向图的关联矩阵（无环有向 图）

定义 14.25 有向图 D=<V,E> ，令

则称 (m_ij)_nm 为 D 的关联矩阵，记为 M(D).

(4) 平行边对应的列相同 性质

有向图的关联矩阵

有向图的邻接矩阵（无限制）

定义 14.26 设有向图 D=<V,E>, V={v1, v₂, …, v_n}, E={e₁, e₂, … ,

e_m}, 令为顶点 vi 邻接到顶点 vj 边的条数，称为 D 的邻接矩 阵，记作 A(D) ，或简记为 A.

性质

的回路数 中长度为

的通路数 中长度为

1 )

4 (

1 )

3 (

,..., 2 , 1 ),

( )

2 (

,..., 2 , 1 ),

( )

1 (

1 ) 1 ( ,

) 1 ( 1

) 1 ( 1

) 1 (

D a

D m

a

n j

v d a

n i

v d a

n

i ii

j i

ij

j n

i ij

i n

j ij









































推论 设 B_l=A+A²+…+A^l （ l1 ），则 B_l 中元素

为 D 中长度为 l 的通路总数，

) ( l

aij

) (l

a



n j

l

aij

1 1

) (



i

l

aii 1

) (

  n i

n j

l

bij

1 1

) (



i

l

bii 1

) (

定理 14.11 设 A 为有向图 D 的邻接矩阵， V={v₁, v₂, …, v

n} 为顶点集，则 A 的 l 次幂 A^l （ l1 ）中元素 为 D 中 v_i 到 v_j 长度为 l 的通路数，其中

为 v_i 到自身长度为 l 的回路数，而

为 D 中长度小于或等于 l 的回路数

为 D 中长度小于或等于 l 的通路数 .

邻接矩阵的应用

为 D 中长度为 l 的回路总数 .

例 5 有向图 D 如图所示，求 A, A₂, A₃, A₄ ，并回答诸问题：

(1) D 中长度为 1, 2, 3, 4 的通路各有多少条？其中回路分别为

多少条？

(2) D 中长度小于或等于 4 的通路为多少条？其中有多少条回

路？

实例

41









































































1 0 0 4

0 1 0 4

1 0 0 5

0 0 0 1

0 1 0 3

1 0 0 3

0 1 0 4

0 0 0 1

1 0 0 2

0 1 0 2

1 0 0 3

0 0 0 1

0 1 0 1

1 0 0 1

0 1 0 2

0 0 0 1

4 3

2

A A

A A

(1) D 中长度为 1 的通路为 8 条，其中有 1 条是回路 .

D 中长度为 2 的通路为 11 条，其中有 3 条是回路 .

D 中长度为 3 和 4 的通路分别为 14 和 17 条，回路分别

为 1 与 3 条 .

(2) D 中长度小于等于 4 的通路为 50 条，其中有 8 条是回路 .

实例求解



 

否则 可达

,

1 ,

0

ij

v p v



















1 1

0 1

1 1

0 1

1 1

1 1

0 0

0 1

P

定义 14.27 设 D=<V,E> 为有向图 . V={v₁, v₂, …, v_n}, 令

有向图的可达矩阵（无限制）

称 (p_ij)_nn 为 D 的可达矩阵，记作 P(D) ，简记为 P.

由于 v_iV ， v_iv_i ，所以 P(D) 主对角线上的元素全为 1.

由定义不难看出 , D 强连通当且仅当 P(D) 为全 1 矩阵 . 下图所示有向图 D 的可达矩阵为

第十四章 习题课

主要内容

 无向图、有向图、关联与相邻、简单图、完全图、正则图

、子图、补图；握手定理与推论；图的同构

 通路与回路及其分类

 无向图的连通性与连通度

 有向图的连通性及其分类

 图的矩阵表示

基本要求

 深刻理解握手定理及推论的内容并能灵活地应用它们

 深刻理解图同构、简单图、完全图、正则图、子图、补图

、二部图的概念以及它们的性质及相互之间的关系

 记住通路与回路的定义、分类及表示法

 深刻理解与无向图连通性、连通度有关的诸多概念

 会判别有向图连通性的类型

 熟练掌握用邻接矩阵及其幂求有向图中通路与回路数的方 法，会求可达矩阵

1 ． 9 阶无向图 G 中，每个顶点的度数不是 5 就是 6.

证明 G 中至少有 5 个 6 度顶点或至少有 6 个 5 度顶点 .

练习 1

证 关键是利用握手定理的推论 . 方法一：穷举法

设 G 中有 x 个 5 度顶点，则必有 (9x) 个 6 度顶点，由握 手定理推论可知， (x,9x) 只有 5 种可能： (0,9), (2,7), (4, 5), (6,3), (8,1 ）它们都满足要求 .

方法二：反证法

否则，由握手定理推论可知，“ G 至多有 4 个 5 度顶点并 且至多有 4 个 6 度顶点”，这与 G 是 9 阶图矛盾 .

2 ．数组 2, 2, 2, 2, 3, 3 能简单图化吗？若能，画出尽可能多 的非同构的图来 .

练习 2

只要能画出 6 阶无向简单图，就说明它可简单图化 . 下图的 4 个图都以此数列为度数列，请证明它们彼此不同构，都是 K₆ 的子图 .

用扩大路径法证明 .

情况一：^   ⁺. 证明 D 中存在长度  ^ +1 的圈 .

设  ^{= v}₀^v₁^…v_l 为极大路径，则 l  ^( 为什么 ?). 由于 d^(v₀) ^

，所以在  上存在

PLAY



i i

i v v

v , ,...,

2

1 0 1... ... ... 0

2

1 v v v

v v

v _{i i i }

邻接到 v₀ ，于是 

情况二： ⁺  ^ ，只需注意 d⁺(v_l)   ⁺ .

3 ．设 D=<V,E> 为有向简单图，已知  (D)  2 ， +(D)>0

， (D)>0 ，证明 D 中存在长度  max{+,}+1 的圈 .

为 D 中长度  ^ +1 的有向圈

练习 3

(1) D 中有几种非同构的圈？

(2) D 中有几种非圈非同构的简单回路？

(3) D 是哪类连通图 ?

(4) D 中 v1到 v4长度为 1,2,3,4 的通路各多少 条？其中几条是非初级的简单通路？

(5) D 中 v1到 v1长度为 1,2,3,4 的回路各多少 条？讨论它们的类型 .

(6) D 中长度为 4 的通路（不含回路）有多少条？

(7) D 中长度为 4 的回路有多少条？

(8) D 中长度 4 的通路有多少条？其中有几条是回路？

(9) 写出 D 的可达矩阵 .

4 ．有向图 D 如图所示，回答下列诸问：

练习 4

49

解答

(1) D 中有 3 种非同构的圈，长度分别为 1,2,3 ，请画出它们

的图形 .

(2) D 中有 3 种非圈的非同构的简单回路，它们的长度分别为

4,5,6. 请画出它们的图形来 .

(3) D 是强连通的（为什么？）

为解 (4)—(8) ，只需先求 D 的邻接矩阵的前 4 次幂 .









































































1 2 2 2

2 3 4 4

1 2 2 2

2 4 6 5

0 1 2 1

1 2 2 2

0 1 2 1

2 2 2 3

1 0 0 1

0 1 2 1

1 0 0 1

0 2 2 1

0 1 0 0

1 0 0 1

0 1 0 0

0 0 2 1

4 3

2

A A

A A

(4) v

解答