第一節 第一節 研究設計 研究設計 研究設計 研究設計

第三章 第三章

第三章 第三章 研究方法 研究方法 研究方法 研究方法

本章共分為五小節：第一節陳述研究設計；第二節描述研究對象；第 三節分析研究工具；第四節描述研究過程；第五節陳述研究限制。

第一節 第一節

第一節 第一節 研究設計 研究設計 研究設計 研究設計

本研究的主要目的是：利用動態評量的漸進提示促進國中生類比遷移 (analogical transfer) ，以探討國一學生數學類比遷移的現象。因此，產生 下列研究問題：

一、國一學生在動態評量的漸進提示下，進行成功的數學類比遷移時所需 要的漸進提示特質為何？

二、國一學生進行類比遷移時的表現，在解決表異結似的各類問題時，有 何差異？

三、學生擁有成功解決「表似結似」問題(均是合併 x 項的一元一次方程式) 的經驗之後，若提供另一類「表異結似」的標的問題(不只合併 x 項，

還須合併常數項的一元一次方程式)所需的漸進提示，國一學生類比遷 移的表現是否提升？

為了能回答上述的研究問題一，本研究將類比遷移的過程分為憶取、

映射、調適三個要素，並據此設計漸進提示。實施時，以漸進的方式進行，

開始時提供一個要素，然後依次增加所提供要素的個數。並評估國一學生 針對標的一進行成功的數學類比遷移時所需要的漸進提示特質。

另外，第二個研究問題欲探討的是，國一學生在解決表異結似的各類

問題時，類比遷移的表現有何差異？為了能回答此問題，本研究在後測 (一)

(請見附錄二) 中，設計了六個彼此「表異結似」的題目，來評量學生的表

有不同。其中，可以解決「表似結似」及「表異結似」問題的學生，具有 真正的「類比」能力，屬於最高的層次；可以解決「表似結似」但不能完 全解決「表異結似」問題的學生，屬於「擬類比」的層次；而「表似結似」

及「表異結似」皆不能解決的學生，則屬於「未類比」的層次，為最低的 層次。

最後，第三個研究問題欲探討的是，學生擁有成功解決「表似結似」

問題(均是合併 x 項的一元一次方程式)的經驗之後，若提供另一類「表異 結似」的標的問題(不只合併 x 項，還須合併常數項的一元一次方程式)所 需的漸進提示，國一學生類比遷移的表現是否提升？為了能回答此問題，

本研究在最後的階段，提供另一類「表異結似」的標的問題二所需的漸進 提示，仿照標的一的漸進提示設計，進行一連串的「測驗—提示—測驗」，

並在最後的後測 (二) (請見附錄三) 中，設計六個彼此「表異結似」的題

目，測驗學生的表現，來評量學生類比品質的層次，並將其結果與後測 (一)

作比較，來判斷學生類比品質的層次是否提升。由於後測 (一) 與後測

(二) 各題目的相似性、難易度一一對應。如果學生在後測 (二) 中的表

現優於後測 (一) ，則其基模歸納的表現較佳；反之，則其基模歸納的表

現較差。

第二節 第二節 第二節

第二節 研究 研究 研究對象 研究 對象 對象 對象

本研究的研究對象設定為已經學過「以符號代表數」 ，尚未學過「等 量公理」 、 「以等量公理解一元一次方程式」 ，但正要開始學習「以等量公 理解一元一次方程式」的國一學生，希望在學生從未接觸過本研究的標的 問題的情況下，評量其獨立進行類比遷移的能力，並利用動態評量的漸進 提示，以一連串的「測驗—提示—測驗」的方式，測量其類比遷移的潛在 發展能力。因此，本研究的實施時間，選定在「以等量公理解一元一次方 程式」單元正常進度開始前一個月進行，使得絕大多數的研究對象 (無論 有沒有補習) 都尚未接觸過本研究的標的問題。

另外，由於本研究的設計中，利用動態評量的漸進提示，以一連串的

「測驗—提示—測驗」的方式進行，每一系列的測驗都需要 100 分鐘 (兩

節課，中間下課時間不休息) ，若要完成本研究，則研究對象班級需要進

行兩個系列 (兩個 100 分鐘) 的測驗。所以，在研究對象的選取上，需要

考量調課、學生能配合的時間等問題，無法將研究樣本擴大，因此，研究

對象選取的是研究者任課的班級，為中部某大型國中的一個國一班級，此

班級為常態編班，該班的班級成員有 2 位學生是資源班的學生。該年級學

生國小採用民國 82 年版的數學教科書，國一採用南一版(民 93) 的數學教

科書，該學年度的學生適用「九年一貫課程暫行綱要」 。另外，研究者在

正式施測前，針對該班級進行「以符號代表數」的教學。

研究對象的資料概況如下：

表 3.1：研究對象人數

男生 女生 19 18 人數

全班共 37 人

表 3.2：研究對象是否學習過「以等量公理解一元一次方程式」

有 沒有 是否在補習班或其他地方

學過 「以等量公理解一元一

次方程式」 2 人 35 人

編號 s10415、s10407 的學生已在補習班或其他地方學過「以等量公理 解一元一次方程式」 ，因此，研究者將此 2 位學生列為無效樣本，其餘 35 位學生則列為有效樣本。

表 3.3：有效樣本數與無效樣本數

有效樣本 無效樣本 樣本數

35 2

第三節 第三節 第三節

第三節 研究工具 研究工具 研究工具 研究工具

一、先備知識測驗：

(一)第一大題：評量學生是否能解決簡易的一元一次方程式。

(二)第二大題：評量學生是否能夠察覺方程式中能夠互相抵銷的數 值，並將其抵銷，以便將方程式中的未知數算出來。

(三)第三大題：評量學生是否能夠進行 x 的一次項 的一次項 的一次項 的一次項的加法或減法。

(四)第四大題：評量學生是否了解「天平平衡」原理。

(五)第五大題：評量學生是否能夠進行正、負數的加法或減法。

二 二

二 二、 、 、 、漸進提示設計：

表 3.4：漸進提示設計表 漸進提示

階段

對學生提供的 類比遷移的協助

說明

標的一 前測

無

在此階段，不提供任何提示，希望 在學生從未接觸過「標的問題一」

的情況下，評量其獨立解決「標的 問題一」的能力。

標的一 提示 0

提供類比物，以協助學生

「憶取」天平平衡的經驗

提示 0 (請見附錄二) 提供等量公 等量公 等量公 等量公 理

理 理

理的圖像 圖像 圖像表徵 圖像

標的一 提示 1

提供「來源問題一」的提 示 1，以協助學生「憶取」

天平平衡的經驗

提示 1 (請見附錄二) 以故事的方 式，呈現某人在生活情境中所遇到 的問題，並將其解決問題 (即：來 源問題一) 的過程，以方程式的 方程式的 方程式的 方程式的靜 靜 靜 靜 態

態 態

態圖像表徵 圖像表徵 圖像表徵 圖像表徵來呈現。

標的一 提示 2

提供「來源問題一」的提 示 2。以協助學生自行 自行 自行將 自行 提示 1 與提示 2 進行「映 射」

提示 2 (請見附錄二) 則將「來源問 題一」以方程式的符號表徵來呈 現，該問題 (即：來源問題一) 的 題目及解決問題的計算過程，皆以 書寫符號的方式來表徵。由於提示 1 與提示 2 代表的皆是「來源問題 一」 ，唯該問題所呈現的表徵方式不 同，因此，這兩個提示的解題過程 可以一一對應。研究者希望藉此幫 助學生自行 自行 自行 自行進行「映射」 。

標的一 提示 3

提供口語教學 (請見附 錄四) ，以協助學生「映 射」

提供口語教學 (請見附錄四) ，幫 助學生將提示 1 的關鍵元素「映射」

至提示 2

標的一 提示 4

提供口語教學 (請見附 錄四) ，以協助學生「調 適」

提供口語教學，幫助學生同化和順 化，拋棄先前提示中的表面屬性 (重量、形狀、特定的數據，如：2

×x、……)，建立一個解題程序，以 適切標的問題的需要。

後測(一) 第一~六題

無

標的二前測 標的二

提示 0 標的二 提示 1

提供「標的問題二」所需 的「來源問題二的前測 前測 前測~ 前測 提示 提示

提示 提示 4」 ，以協助學生「基 模歸納」 ，以便解決後續

「表異結似」的各類問

提供「來源問題二」的前測 前測 前測 前測~提示 提示 提示 4 提示

(請見附錄三) ，期望學生能夠注意

兩個來源問題結構特徵的相似之

處，拋棄表面相似，以解決後測中

的各種「表異結似」的問題。

標的二 提示 2 標的二 提示 3 標的二 提示 4

題。

後測(二) 第一~六題

無

三 三

三 三、 、 、 、研究範圍：

本研究選定的單元是「以等量公理解一元一次方程式」 ，然而，為了 避免研究範圍過大而失去主軸，其中的一元一次方程式限定於型如

ax+b=cx+d 的式子，且 a、b、c、d 均為整數。至於項數超過 4 項、係數含 有分數或小數的一元一次方程式，則因為皆可化簡為上述型式，且化簡過 程並非本研究關注之焦點，所以不列在本研究討論的範圍。以下是我們針 對本研究的研究範圍進行討論：

(一)一元一次方程式 ax+b=cx+d，其中，a、b、c、d 為整數。

(二)型如 ax+b=cx+d，其中，a、b、c、d 為整數的一元一次方程式又可 依據其係數的特性分為下列十種題型：

表 3.5：題型 (1) a、b、c、d

均不為 0

型一：ax+b=cx+d

型二：b=cx+d 型三：ax =cx+d (2) a、b、c、d

有一為 0 型四：ax+b=d 型五：ax+b=cx

型六：ax+b=0 型七：0=cx+d 型八：ax = d (3) a、b、c、d

有二為 0 型九： b=cx 型十：ax =cx

由於時間的限制，本研究的研究範圍將鎖定 本研究的研究範圍將鎖定 本研究的研究範圍將鎖定 本研究的研究範圍將鎖定 ax+b=cx+d、 、 、ax =cx+d、 、 、 、 、 ax+b=cx 這三種題型的一元一次方程式進行討論 這三種題型的一元一次方程式進行討論 這三種題型的一元一次方程式進行討論 這三種題型的一元一次方程式進行討論。 。 。 。

(三)針對 ax+b=cx+d、ax =cx+d、ax+b=cx 這三種題型的一元一次方程 式而言，其書寫符號的表面變項又細分為下面幾個重點來討論 書寫符號的表面變項又細分為下面幾個重點來討論 書寫符號的表面變項又細分為下面幾個重點來討論 書寫符號的表面變項又細分為下面幾個重點來討論，

以便了解學生在解決表異結似的各類問題時，類比遷移的表現之 差異：

1、 x xx x 項係數 項係數 項係數 項係數：等號左邊較大 vs. 等號右邊較大

2、 常數項數值之大小 常數項數值之大小 常數項數值之大小：等號左邊較大 vs. 等號右邊較大 常數項數值之大小 3、 常數項數值之正負 常數項數值之正負 常數項數值之正負：皆為正數 vs. 含有負數 常數項數值之正負

4、 排列方式 排列方式 排列方式：皆為降冪 vs. 含有升冪 排列方式

四 四 四

四、 、 、 、問題的相似性：

(一)提示 0 與標的一：

表 3.6：提示 0 與標的一的相似性比較

提供類比物 (提示 0) (請見附錄二)

標的一 (請見附錄二) 問題 僅提供類比物 類比物 類比物：等量公理 類比物 等量公理 等量公理 等量公理的

靜態圖像 圖像 圖像 圖像表徵(即下列的現 象 1~4)。

下面式子中的χ代表某一個 數，請將式子中 請將式子中 請將式子中 請將式子中χ χ χ χ所代表的 所代表的 所代表的 所代表的 數算出來

數算出來 數算出來 數算出來。 。 。 。

15 ×χ＝11 ×χ＋76 呈現的

表徵方式

呈現現象 現象 現象 現象的表徵方式：

等量公理 等量公理

等量公理 等量公理的靜態圖像 圖像 圖像 圖像表徵。

呈現問題 問題 問題 問題的表徵方式：

方程式 方程式

方程式 方程式的符號 符號 符號表徵 符號 表面特徵 1、 現象 1：等量加法 等量加法 等量加法 等量加法的靜態

圖像 圖像 圖像

圖像表徵。

2、 現象 2：等量減法 等量減法 等量減法 等量減法的靜態 圖像 圖像 圖像

圖像表徵。

3、 現象 3：等量乘法 等量乘法 等量乘法 等量乘法的靜態 圖像 圖像 圖像

圖像表徵。

4、 現象 4：等量除法 等量除法 等量除法 等量除法的靜態 圖像 圖像 圖像

圖像表徵。

1. x

2. 代表某一個數 3. 15 ×χ

4. 11 ×χ 5. 76 6. 式子 7. =

8. 請將式子中χ所代表的數 算出來。

結構特徵 一元一次方程式 一元一次方程式

(二)來源問題一 (提示 1) 與標的一：

表 3.7：提示 1 與標的一的相似性比較

來源問題一 (提示 1) (請見附錄二)

標的一 (請見附錄二) 問題 小明家裡有好多個一模一樣的盒子 一模一樣的盒子 一模一樣的盒子 一模一樣的盒子

□，他想知道這些盒 他想知道這些盒 他想知道這些盒 他想知道這些盒子的重量有多 子的重量有多 子的重量有多 子的重量有多 重

重 重

重，於是，他做了好多個一模一樣的 泥球●，每個 每個 每個 每個泥球 泥球 泥球 泥球都是 都是 都是 1 都是 11 1 公克重 公克重 公克重，並 公克重 利用天平來秤出盒子的重量。

一剛開始，天平的左、右兩邊平衡。

……其餘操作程序請見附錄二

下面式子中的χ代 表某一個數，請將式 請將式 請將式 請將式 子中

子中 子中

子中χ χ χ χ所代表的數 所代表的數 所代表的數 所代表的數 算出來

算出來 算出來 算出來。 。 。 。

15 ×χ＝11 ×χ＋76

問題呈現 的 表徵方式

方程式 方程式 方程式

方程式的靜態圖像 圖像 圖像表徵 圖像 方程式 方程式 方程式 方程式的符號 符號 符號 符號表徵

表面特徵 表徵 表徵 表徵 表徵： ： ： ： 1. □

2. 盒子的重量 3. □□□□□

4. □□

5. ●●●●●●

6. 天平 7.

8. 他想知道盒子的重量有多重。

表徵 表徵 表徵 表徵： ： ： ： 1. x

2. 代表某一個數 3. 15 ×χ

4. 11 ×χ 5. 76 6. 式子 7. =

8. 請將式子中χ所

題型 題型 題型

題型： ： ： ax =cx+d ： 書寫 書寫

書寫 書寫符號的表面變項 符號的表面變項 符號的表面變項： 符號的表面變項 ： ： ： 1、 xx x 項係數 x 項係數 項係數 項係數：等號左邊較大

2、 常數項數值之大小 常數項數值之大小：等號右邊較 常數項數值之大小 常數項數值之大小 大

3、 常數項數值之正負 常數項數值之正負：皆為正數 常數項數值之正負 常數項數值之正負 4、 排列方式 排列方式：皆為降冪 排列方式 排列方式

代表的數算出來。

題型 題型 題型

題型： ： ： ： ax =cx+d 書寫符號的表面變 書寫符號的表面變 書寫符號的表面變 書寫符號的表面變 項

項 項 項： ： ： ：

1、 x xx x 項係數 項係數 項係數 項係數：等號 左邊較大 2、 常數項數值之 常數項數值之 常數項數值之 常數項數值之

大小 大小 大小

大小：等號右邊 較大

3、 常數項數值之 常數項數值之 常數項數值之 常數項數值之 正負

正負 正負

正負：皆為正數 4、 排列方式 排列方式 排列方式 排列方式：皆為

降冪

結構特徵 一元一次方程式 一元一次方程式

(三)來源問題一 (提示 2) 與標的一：

表 3.8：提示 2 與標的一的相似性比較

來源問題一 (提示 2) (請見附錄二)

標的一 (請見附錄二) 問題 下面式子中的χ代表某一個

數，請將式子中 請將式子中 請將式子中 請將式子中χ χ χ所代表的 χ 所代表的 所代表的 所代表的 數算出來

數算出來 數算出來 數算出來。 。 。 。 5 ×χ＝2 ×χ＋6

下面式子中的χ代表某一個 數，請將式子中 請將式子中 請將式子中 請將式子中χ χ χ χ所代表的 所代表的 所代表的 所代表的 數算出來

數算出來 數算出來 數算出來。 。 。 。

15 ×χ＝11 ×χ＋76 問題呈現

的

方程式 方程式 方程式

方程式的符號 符號 符號 符號表徵 方程式 方程式 方程式 方程式的符號 符號 符號 符號表徵

表徵方式

表面特徵 表徵 表徵 表徵： 表徵 ： ： ： 1. x

2. 代表某一個數 3. 5 ×χ

4. 2 ×χ 5. 6 6. 式子 7. =

8. 請將式子中χ所代表的數 算出來。

題型 題型 題型

題型： ： ： ax =cx+d ： 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項： ： ： ： 1、 xx x 項係數 x 項係數 項係數 項係數：等號左邊較大 2、 常數項數值之大小 常數項數值之大小：等號 常數項數值之大小 常數項數值之大小

右邊較大

3、 常數項數值之正負 常數項數值之正負：皆為 常數項數值之正負 常數項數值之正負 正數

4、 排列方式 排列方式：皆為降冪 排列方式 排列方式

表徵 表徵 表徵 表徵： ： ： ： 1. x

2. 代表某一個數 3. 15 ×χ

4. 11 ×χ 5. 76 6. 式子 7. =

8. 請將式子中χ所代表的數 算出來。

題型 題型 題型

題型： ： ： ： ax =cx+d 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項： ： ： ： 1、 x xx x 項係數 項係數 項係數：等號左邊較大 項係數 2、 常數項數值之大小 常數項數值之大小 常數項數值之大小 常數項數值之大小：等號

右邊較大

3、 常數項數值之正負 常數項數值之正負 常數項數值之正負 常數項數值之正負：皆為 正數

4、 排列方式 排列方式 排列方式 排列方式：皆為降冪

結構特徵 一元一次方程式 一元一次方程式

(四)「標的問題一」與「後測(一)第一題」：

表 3.9：「標的問題一」與「後測(一)第一題」的相似性比較 標的問題一 後測(一)第一題 問題 下面式子中的χ代表某一個

數，請將式子中 請將式子中 請將式子中 請將式子中χ χ χ所代表的 χ 所代表的 所代表的 所代表的 數算出來

數算出來 數算出來 數算出來。 。 。 。

15 ×χ＝11 ×χ＋76

下面式子中的χ代表某一個 數，請將式子中 請將式子中 請將式子中 請將式子中χ χ χ χ所代表的 所代表的 所代表的 所代表的 數算出來

數算出來 數算出來 數算出來。 。 。 。

10 ×χ＝7 ×χ＋51 問題呈現

的 表徵方式

方程式 方程式 方程式

方程式的符號 符號 符號 符號表徵 方程式 方程式 方程式 方程式的符號 符號 符號表徵 符號

表面特徵 表徵 表徵 表徵： 表徵 ： ： ： 1. x

2. 代表某一個數 3. 15 ×χ

4. 11 ×χ 5. 76 6. 式子 7. =

8. 請將式子中χ所代表的數 算出來。

題型 題型 題型

題型： ： ： ax =cx+d ： 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項： ： ： ： 1、 xx x 項係數 x 項係數 項係數 項係數：等號左邊較大 2、 常數項數值之大小 常數項數值之大小：等號 常數項數值之大小 常數項數值之大小

右邊較大

3、 常數項數值之正負 常數項數值之正負：皆為 常數項數值之正負 常數項數值之正負 正數

4、 排列方式 排列方式：皆為降冪 排列方式 排列方式

表徵 表徵 表徵 表徵： ： ： ： 1. x

2. 代表某一個數 3. 10 ×χ

4. 7 ×χ 5. 51 6. 式子 7. =

8. 請將式子中χ所代表的數 算出來。

題型 題型

題型 題型： ： ： ax =cx+d ： 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項： ： ： ： 1、 x xx x 項係數 項係數 項係數 項係數：等號左邊較大 2、 常數項數值之大小 常數項數值之大小 常數項數值之大小 常數項數值之大小：等號

右邊較大

3、 常數項數值之正負 常數項數值之正負 常數項數值之正負 常數項數值之正負：皆為 正數

4、 排列方式 排列方式 排列方式 排列方式：皆為降冪

(五)「標的問題一」與「後測(一)第二題」：

表 3.10：「標的問題一」與「後測(一)第二題」的相似性比較 標的問題一 後測(一)第二題 問題 下面式子中的χ代表某一個

數，請將式子中 請將式子中 請將式子中 請將式子中χ χ χ所代表的 χ 所代表的 所代表的 所代表的 數算出來

數算出來 數算出來 數算出來。 。 。 。

15 ×χ＝11 ×χ＋76

下面式子中的χ代表某一個 數，請將式子中 請將式子中 請將式子中 請將式子中χ χ χ χ所代表的數 所代表的數 所代表的數 所代表的數 算出來

算出來 算出來 算出來。 。 。 。

8 ×χ＋1＝6 ×χ＋59 問題呈現

的 表徵方式

方程式 方程式 方程式

方程式的符 符 符 符號 號 號表徵 號 方程式 方程式的符號 方程式 方程式 符號 符號表徵 符號

表面特徵 表徵 表徵 表徵： 表徵 ： ： ： 1. x

2. 代表某一個數 3. 15 ×χ

4. 11 ×χ 5. 76 6. 式子 7. =

8. 請將式子中χ所代表的 數算出來。

題型 題型 題型

題型： ： ： ax =cx+d ： 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項： ： ： ： 1、 xx x 項係數 x 項係數 項係數 項係數：等號左邊較大 2、 常數項數值之大小 常數項數值之大小：等 常數項數值之大小 常數項數值之大小

號右邊較大

3、 常數項數值之正負 常數項數值之正負：皆 常數項數值之正負 常數項數值之正負 為正數

4、 排列方式 排列方式：皆為降冪 排列方式 排列方式

表徵 表徵 表徵 表徵： ： ： ： 1. x

2. 代表某一個數 3. 8 ×χ

4. 6 ×χ 5. 59 6. 式子 7. =

8. 請將式子中χ所代表的數 算出來。

9. 1 題型 題型 題型

題型： ： ： ax+b=cx+d ： 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項： ： ： ： 1、 xx x 項係數 x 項係數 項係數 項係數：等號左邊較大 2、 常數項數值之大小 常數項數值之大小：等號 常數項數值之大小 常數項數值之大小

右邊較大

3、 常數項數值之正負 常數項數值之正負：皆為 常數項數值之正負 常數項數值之正負 正數

4、 排列方式 排列方式：皆為降冪 排列方式 排列方式

結構特徵 一元一次方程式 一元一次方程式

(六)「標的問題一」與「後測(一)第三題」：

表 3.11：「標的問題一」與「後測(一)第三題」的相似性比較 標的問題一 後測(一)第三題 問題 下面式子中的χ代表某一個

數，請將式子中 請將式子中 請將式子中 請將式子中χ χ χ所代表的 χ 所代表的 所代表的 所代表的 數算出來

數算出來 數算出來 數算出來。 。 。 。

15 ×χ＝11 ×χ＋76

下面式子中的χ代表某一個 數，請將式子中 請將式子中 請將式子中 請將式子中χ χ χ χ所代表的數 所代表的數 所代表的數 所代表的數 算出來

算出來 算出來 算出來。 。 。 。

3 ×χ＋120＝10＋8 ×χ 問題呈現

的 表徵方式

方程式 方程式 方程式

方程式的符號 符號 符號 符號表徵 方程式 方程式的符號 方程式 方程式 符號 符號表徵 符號

表面特徵 表徵 表徵 表徵： 表徵 ： ： ： 1. x

2. 代表某一個數 3. 15 ×χ

4. 11 ×χ 5. 76 6. 式子 7. =

8. 請將式子中χ所代表的 數算出來。

題型 題型 題型

題型： ： ： ax =cx+d ： 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項： ： ： ： 1、 xx x 項係數 x 項係數 項係數 項係數：等號左邊較大 2、 常數項數值之大小 常數項數值之大小：等 常數項數值之大小 常數項數值之大小

號右邊較大

3、 常數項數值之正負 常數項數值之正負：皆 常數項數值之正負 常數項數值之正負 為正數

4、 排列方式 排列方式：皆為降冪 排列方式 排列方式

表徵 表徵 表徵 表徵： ： ： ： 1. x

2. 代表某一個數 3. 3 ×χ

4. 8 ×χ 5. 10 6. 式子 7. =

8. 請將式子中χ所代表的數 算出來。

9. 120 題型 題型 題型

題型： ： ： ax+b=cx+d ： 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項： ： ： ： 1、 xx x 項係數 x 項係數 項係數 項係數：等號右邊較大 2、 常數項數值之大小 常數項數值之大小：等號 常數項數值之大小 常數項數值之大小

左邊較大

3、 常數項數值之正負 常數項數值之正負：皆為 常數項數值之正負 常數項數值之正負 正數

4、 排列方式 排列方式：含有升冪 排列方式 排列方式

(七)「標的問題一」與「後測(一)第四題」：

表 3.12：「標的問題一」與「後測(一)第四題」的相似性比較 標的問題一 後測(一)第四題 問題 下面式子中的χ代表某一個

數，請將 請將 請將 請將式子中 式子中 式子中χ 式子中 χ χ所代表的 χ 所代表的 所代表的 所代表的 數算出來

數算出來 數算出來 數算出來。 。 。 。

15 ×χ＝11 ×χ＋76

下面式子中的χ代表某一個 數，請將式子中 請將式子中 請將式子中 請將式子中χ χ χ χ所代表的數 所代表的數 所代表的數 所代表的數 算出來

算出來 算出來 算出來。 。 。 。

8 ×χ－78＝2 ×χ 問題呈現

的 表徵方式

方程式 方程式 方程式

方程式的符號 符號 符號 符號表徵 方程式 方程式的符號 方程式 方程式 符號 符號表徵 符號

表面特徵 表徵 表徵 表徵： 表徵 ： ： ： 1. x

2. 代表某一個數 3. 15 ×χ

4. 11 ×χ 5. 76 6. 式子 7. =

8. 請將式子中χ所代表的 數算出來。

題型 題型 題型

題型： ： ： ax =cx+d ： 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項： ： ： ： 1、 xx x 項係數 x 項係數 項係數 項係數：等號左邊較大 2、 常數項數值之大小 常數項數值之大小：等 常數項數值之大小 常數項數值之大小

號右邊較大

3、 常數項數值之正負 常數項數值之正負：皆 常數項數值之正負 常數項數值之正負 為正數

4、 排列方式 排列方式：皆為降冪 排列方式 排列方式

表徵 表徵 表徵 表徵： ： ： ： 1. x

2. 代表某一個數 3. 8 ×χ

4. 2×χ 5. 0 6. 式子 7. =

8. 請將式子中χ所代表的數 算出來。

9. -78 題型 題型 題型

題型： ： ： ax+b=cx ： 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項： ： ： ： 1、 xx x 項係數 x 項係數 項係數 項係數：等號左邊較大 2、 常數項數值之大小 常數項數值之大小：等號 常數項數值之大小 常數項數值之大小

右邊較大

3、 常數項數值之正負 常數項數值之正負：含有 常數項數值之正負 常數項數值之正負 負數

4、 排列方式 排列方式：皆為降冪 排列方式 排列方式

結構特徵 一元一次方程式 一元一次方程式

(八)「標的問題一」與「後測(一)第五題」：

表 3.13：「標的問題一」與「後測(一)第五題」的相似性比較 標的問題一 後測(一)第五題 問題 下面式子中的χ代表某一個

數，請將式子中 請將式子中 請將式子中 請將式子中χ χ χ χ所代表的 所代表的 所代表的 所代表的 數算出來

數算出來 數算出來 數算出來。 。 。 。

15 ×χ＝11 ×χ＋76

下面式子中的χ代表某一個 數，請將式子中 請將式子中 請將式子中 請將式子中χ χ χ χ所代表的數 所代表的數 所代表的數 所代表的數 算出來

算出來 算出來 算出來。 。 。 。

9×χ－5＝4×χ＋100 問題呈現

的 表徵方式

方程式 方程式 方程式

方程式的符號 符號 符號表徵 符號 方程式 方程式 方程式 方程式的符號 符號 符號 符號表徵

表面特徵 表徵 表徵 表徵： 表徵 ： ： ： 1. x

2. 代表某一個數 3. 15 ×χ

4. 11 ×χ 5. 76 6. 式子 7. =

8. 請將式子中χ所代表的 數算出來。

題型 題型 題型

題型： ： ： ax =cx+d ： 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項： ： ： ： 1、 xx x 項係數 x 項係數 項係數 項係數：等號左邊較大 2、 常數項數值之大小 常數項數值之大小：等 常數項數值之大小 常數項數值之大小

號右邊較大

3、 常數項數值之正負 常數項數值之正負：皆 常數項數值之正負 常數項數值之正負 為正數

4、 排列方式 排列方式：皆為降冪 排列方式 排列方式

表徵 表徵 表徵 表徵： ： ： ： 1. x

2. 代表某一個數 3. 9×χ

4. 4 ×χ 5. 100 6. 式子 7. =

8. 請將式子中χ所代表的數 算出來。

9. -5 題型 題型

題型 題型： ： ： ： ax+b=cx+d 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項： ： ： ： 1、 x xx x 項係數 項係數 項係數 項係數：等號左邊較大 2、 常數項數值之大小 常數項數值之大小 常數項數值之大小 常數項數值之大小：等號

右邊較大

3、 常數項數值之正負 常數項數值之正負 常數項數值之正負 常數項數值之正負：含有 負數

4、 排列方式 排列方式 排列方式 排列方式：皆為降冪

結構特徵 一元一次方程式 一元一次方程式

(九)「標的問題一」與「後測(一)第六題」：

表 3.14：「標的問題一」與「後測(一)第六題」的相似性比較 標的問題一 後測(一)第六題 問題 下面式子中的χ代表某一個

數，請將式子中 請將式子中 請將式子中 請將式子中χ χ χ χ所代表的 所代表的 所代表的 所代表的 數算出來

數算出來 數算出來 數算出來。 。 。 。

15 ×χ＝11 ×χ＋76

下面式子中的χ代表某一個 數，請將式子中 請將式子中 請將式子中χ 請將式子中 χ χ χ所代表的數 所代表的數 所代表的數 所代表的數 算出來

算出來 算出來 算出來。 。 。 。

4 ×χ＋70＝－11＋7×χ 問題呈現

的 表徵方式

方程式 方程式 方程式

方程式的符號 符號 符號表徵 符號 方程式 方程式 方程式 方程式的符號 符號 符號 符號表徵

表面特徵 表徵 表徵 表徵： 表徵 ： ： ： 1. x

2. 代表某一個數 3. 15 ×χ

4. 11 ×χ 5. 76 6. 式子 7. =

8. 請將式子中χ所代表的 數算出來。

題型 題型 題型

題型： ： ： ax =cx+d ： 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項： ： ： ： 1、 xx x 項係數 x 項係數 項係數 項係數：等號左邊較大 2、 常數項數值之大小 常數項數值之大小：等 常數項數值之大小 常數項數值之大小

號右邊較大

3、 常數項數值之正負 常數項數值之正負：皆 常數項數值之正負 常數項數值之正負 為正數

4、 排列方式 排列方式：皆為降冪 排列方式 排列方式

表徵 表徵 表徵 表徵： ： ： ： 1. x

2. 代表某一個數 3. 4×χ

4. 7×χ 5. -11 6. 式子 7. =

8. 請將式子中χ所代表的數 算出來。

9. 70 題型 題型

題型 題型： ： ： ： ax+b=cx+d 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項： ： ： ： 1、 x xx x 項係數 項係數 項係數 項係數：等號右邊較大 2、 常數項數值之大小 常數項數值之大小 常數項數值之大小 常數項數值之大小：等號

左邊較大

3、 常數項數值之正負 常數項數值之正負 常數項數值之正負 常數項數值之正負：含有 負數

4、 排列方式 排列方式 排列方式 排列方式：含有升冪

結構特徵 一元一次方程式 一元一次方程式

(十)來源問題一與來源問題二：

1、提示 0 的部份：

表 3.15：「來源問題一提示 0」、「來源問題二提示 0」的相似性比較 針對「標的一」

所提供的 「來源問題一提示 0」

針對「標的二」

所提供的 「來源問題二提示 0」

提供類比物 (提示 0) 提供類比物 (提示 0) 問題 僅提供類比物 類比物 類比物：等量公理 類比物 等量公理 等量公理 等量公理的

靜態圖像 圖像 圖像 圖像表徵 (即：現象 1~4)

同左

呈現的 表徵方式

呈現現象 現象 現象 現象的表徵方式：等量 等量 等量 等量 公理 公理 公理

公理的靜態圖像 圖像 圖像 圖像表徵。

同左 表面特徵 現象 1：

等量加法 等量加法 等量加法

等量加法的靜態圖像 圖像 圖像 圖像表徵。

現象 2：

等量減法 等量減法 等量減法

等量減法的靜態圖像 圖像 圖像 圖像表徵。

現象 3：

等量乘法 等量乘法 等量乘法

等量乘法的靜態圖像 圖像 圖像 圖像表徵。

現象 4：

等量除法 等量除法 等量除法

等量除法的靜態圖像 圖像 圖像 圖像表徵。

同左

結構特徵 一元一次方程式 同左

2、提示 1 的部份：

表 3.16：「來源問題一提示 1」、「來源問題二提示 1」的相似性比較 來源問題一 (提示 1) 來源問題二 (提示 1) 問題 小明家裡有好多個一模一樣 一模一樣 一模一樣 一模一樣

的盒子 的盒子 的盒子

的盒子□，他想知道這些盒 他想知道這些盒 他想知道這些盒 他想知道這些盒 子的重量有多重

子的重量有多重 子的重量有多重

子的重量有多重，於是，他做 了好多個一模一樣的泥球●，

每個 每個 每個

每個泥球 泥球 泥球都是 泥球 都是 都是 都是 1 11 1 公克重 公克重 公克重，並 公克重 利用天平來秤出盒子的重量。

一剛開始，天平的左、右兩邊 平衡。

…其餘操作程序請見附錄二

大明家裡有好多個一模一樣 的盒子□，他想知道這些盒子 他想知道這些盒子 他想知道這些盒子 他想知道這些盒子 的重量有多重

的重量有多重 的重量有多重

的重量有多重，於是，他做了 好多個一模一樣的泥球●，每 每 每 每 個

個 個

個泥球 泥球 泥球 泥球都是 都是 都是 都是 1 11 1 公克重 公克重 公克重 公克重，並利用 天平來秤出盒子的重量。

一剛開始，天平的左、右兩邊 平衡。

…其餘操作程序請見附錄三 問題呈現的

表徵方式

方程式 方程式 方程式

方程式的靜態圖像 圖像 圖像表徵 圖像 方程式 方程式的靜態圖像 方程式 方程式 圖像 圖像 圖像表徵 表面特徵 表徵 表徵 表徵 表徵： ： ： ：

1. □

2. 盒子的重量 3. □□□□□

4. □□

5. ●●●●●●

6. 天平 7.

8.

題型 題型 題型

題型： ： ： ax =cx+d ： 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項： ： ： ： 1、 xx x 項係數 x 項係數 項係數 項係數：等號左邊較大 2、 常數項數值之大小 常數項數值之大小：等號 常數項數值之大小 常數項數值之大小

右邊較大

3、 常數項數值之正負 常數項數值之正負：皆為 常數項數值之正負 常數項數值之正負 正數

4、 排列方式 排列方式：皆為降冪 排列方式 排列方式

表徵 表徵 表徵 表徵： ： ： ： 1. □

2. 盒子的重量 3. □□□□□□

4. □□

5. ●●●●●●●●●●●●

6. 天平 7.

8.

9. ●●●●

題型 題型 題型

題型： ： ： ： ax+b=cx+d 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項： ： ： ： 1、 xx x 項係數 x 項係數 項係數 項係數：等號左邊較大 2、 常數項數值之大小 常數項數值之大小：等號 常數項數值之大小 常數項數值之大小

右邊較大

3、 常數項數值之正負 常數項數值之正負：皆為 常數項數值之正負 常數項數值之正負 正數

4、 排列方式 排列方式：皆為降冪 排列方式 排列方式

結構特徵 一元一次方程式 一元一次方程式

3、提示 2 的部份：

表 3.17：「來源問題一提示 2」、「來源問題二提示 2」的相似性比較 來源問題一 (提示 2) 來源問題二 (提示 2) 問題 下面式子中的χ代表某一個

數，請將式子中 請將式子中 請將式子中 請將式子中χ χ χ所代表的數 χ 所代表的數 所代表的數 所代表的數 算出來

算出來 算出來 算出來。 。 。 。

5 ×χ＝2 ×χ＋6

下面式子中的χ代表某一個 數，請將式子中 請將式子中 請將式子中 請將式子中χ χ χ所代表的數 χ 所代表的數 所代表的數 所代表的數 算出來

算出來 算出來 算出來。 。 。 。

6 ×χ＋4＝2 ×χ＋12 問題呈現

的 表徵方式

方程式 方程式 方程式

方程式的符號 符號 符號 符號表徵 方程式 方程式 方程式 方程式的符號 符號 符號 符號表徵

表面特徵 表徵 表徵 表徵： 表徵 ： ： ： 1. x

2. 代表某一個數 3. 5 ×χ

4. 2 ×χ 5. 6 6. 式子 7. =

8. 請將式子中χ所代表的數 算出來。

題型 題型 題型

題型： ： ： ax =cx+d ： 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項： ： ： ： 1、 xx x 項係數 x 項係數 項係數 項係數：等號左邊較大 2、 常數項數值之大小 常數項數值之大小：等號 常數項數值之大小 常數項數值之大小

右邊較大

3、 常數項數值之正負 常數項數值之正負：皆為 常數項數值之正負 常數項數值之正負 正數

4、 排列方式 排列方式：皆為降冪 排列方式 排列方式

表徵 表徵 表徵 表徵： ： ： ： 1. x

2. 代表某一個數 3. 6 ×χ

4. 2 ×χ 5. 12 6. 式子 7. =

8. 請將式子中χ所代表的數 算出來。

9. 4 題型 題型 題型

題型： ： ： ： ax+b=cx+d 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項： ： ： ： 1、 x xx x 項係數 項係數 項係數 項係數：等號左邊較大 2、 常數項數值之大小 常數項數值之大小 常數項數值之大小 常數項數值之大小：等號

右邊較大

3、 常數項數值之正負 常數項數值之正負 常數項數值之正負 常數項數值之正負：皆為 正數

4、 排列方式 排列方式 排列方式 排列方式：皆為降冪

結構特徵 一元一次方程式 一元一次方程式

(十一)標的一與標的二：

表 3.18：「標的問題一」、「標的問題二」的相似性比較

標的一 標的二

問題 下面式子中的χ代表某一個 數，請將式子中 請將式子中 請將式子中χ 請將式子中 χ χ所代表的 χ 所代表的 所代表的 所代表的 數算出來

數算出來 數算出來 數算出來。 。 。 。

15 ×χ＝11 ×χ＋76

下面式子中的χ代表某一個 數，請將式子中 請將式子中 請將式子中 請將式子中χ χ χ所代表的數 χ 所代表的數 所代表的數 所代表的數 算出來

算出來 算出來 算出來。 。 。 。

5 ×χ＋6＝2 ×χ＋60 問題呈現

的 表徵方式

方程式 方程式 方程式

方程式的符號 符號 符號 符號表徵 方程式 方程式 方程式 方程式的符號 符號 符號 符號表徵

表面特徵 表徵 表徵 表徵： 表徵 ： ： ： 1. x

2. 代表某一個數 3. 15 ×χ

4. 11 ×χ 5. 76 6. 式子 7. =

8. 請將式子中χ所代表的數 算出來。

題型 題型 題型

題型： ： ： ： ax =cx+d 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項： ： ： ： 1、 xx x 項係數 x 項係數 項係數 項係數：等號左邊較大 2、 常數項數值之大小 常數項數值之大小：等號 常數項數值之大小 常數項數值之大小

右邊較大

3、 常數項數值之正負 常數項數值之正負：皆為 常數項數值之正負 常數項數值之正負 正數

4、 排列方式 排列方式：皆為降冪 排列方式 排列方式

表徵 表徵 表徵 表徵： ： ： ： 1. x

2. 代表某一個數 3. 5 ×χ

4. 2 ×χ 5. 60 6. 式子 7. =

8. 請將式子中χ所代表的數 算出來。

9. 6 題型 題型 題型

題型： ： ： ： ax+b=cx+d 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項 書寫符號的表面變項： ： ： ： 1、 x xx x 項係數 項係數 項係數：等號左邊較大 項係數 2、 常數項數值之大小 常數項數值之大小 常數項數值之大小 常數項數值之大小：等號

右邊較大

3、 常數項數值之正負 常數項數值之正負 常數項數值之正負 常數項數值之正負：皆為 正數

4、 排列方式 排列方式 排列方式 排列方式：皆為降冪

結構特徵 一元一次方程式 一元一次方程式

(十二)後測(一)與後測(二)各題相似性的比較：

表 3.19：後測(一)與後測(二)各題相似性的比較 表面特徵 問題

問題呈現 的

表徵方式 表徵 題型

書寫符 號的表 面變項

結構 特徵 後測(一)

第一題 vs.

後測(二) 第一題

10 ×χ＝7 ×χ＋51 12 ×χ＝7 ×χ＋70

相似 相似 相似 相似 相似

後測(一) 第二題 vs.

後測(二) 第二題

8 ×χ＋1＝6 ×χ＋59

10 ×χ＋3＝6 ×χ＋95

相似 相似 相似 相似 相似

後測(一) 第三題 vs.

後測(二) 第三題

3 ×χ＋120＝10＋8 ×χ

3 ×χ＋170＝2＋9 ×χ

相似 相似 相似 相似 相似

後測(一) 第四題 vs.

後測(二) 第四題

8 ×χ－78＝2 ×χ 7 ×χ－48＝4 ×χ

相似 相似 相似 相似 相似

後測(一) 第五題 vs.

後測(二) 第五題

9×χ－5＝4×χ＋100

10×χ－14＝6×χ＋90

相似 相似 相似 相似 相似

後測(一) 第六題 vs.

後測(二) 第六題

4 ×χ＋70＝－11＋7×χ

3 ×χ＋90＝－60＋9×χ

相似 相似 相似 相似 相似

五、編碼說明：

若欲解決本研究所設計的一元一次方程式，其解題過程中所產生的類 比遷移可以分為 x 項的等量加減法 項的等量加減法 項的等量加減法 項的等量加減法、 、 、常數項的等量加減法 、 常數項的等量加減法 常數項的等量加減法 常數項的等量加減法、 、 、 、等量乘除法 等量乘除法 等量乘除法 等量乘除法三 方面的類比遷移表現來加以討論，因此，我們將學生對於本研究所設計的 一元一次方程式之類比遷移表現編碼如下：

(一 一 一 一)x 項的等量加減法的編碼 項的等量加減法的編碼 項的等量加減法的編碼 項的等量加減法的編碼： ： ： ：

表 3.20：x 項的等量加減法的編碼

第一碼 第二碼

1：正確使用類比 1：類比

(x 項的等量加減法方面 項的等量加減法方面 項的等量加減法方面) 項的等量加減法方面 0：未正確使用類比 1：可行的解題方法 0：未類比

(x 項的等量加減法方面 項的等量加減法方面 項的等量加減法方面) 項的等量加減法方面 0：未使用可行的解題方法

(二 二 二 二)常數項的等量加減法的編碼 常數項的等量加減法的編碼 常數項的等量加減法的編碼： 常數項的等量加減法的編碼 ： ： ：

表 3.21：常數項的等量加減法的編碼

第一碼 第二碼

1：正確使用類比 1：類比

(常數項的等量加減法方面 常數項的等量加減法方面 常數項的等量加減法方面 常數項的等量加減法方面) 0：未正確使用類比 1：可行的解題方法 0：未類比

(常數項的等量加減法方面 常數項的等量加減法方面 常數項的等量加減法方面 常數項的等量加減法方面) 0：未使用可行的解題方法

(三 三 三 三)等量乘除法的編碼 等量乘除法的編碼 等量乘除法的編碼： 等量乘除法的編碼 ： ： ：

表 3.22：等量乘除法的編碼

第一碼 第二碼

1：正確使用類比 1：類比

(等量乘除法方面 等量乘除法方面 等量乘除法方面 等量乘除法方面) 0：未正確使用類比 1：可行的解題方法 0：未類比

(等量乘除法方面 等量乘除法方面 等量乘除法方面 等量乘除法方面) 0：未使用可行的解題方法

第四節 第四節 第四節

第四節 研究過程 研究過程 研究過程 研究過程

本研究的研究過程如下：

圖 3.1：研究過程 與指導教授溝 通 閱讀相關文獻及資 料

決定研究架構 根據研究架構編製研究工具

前置研 究

前置研究結果分析、修訂研究工具 進行先備知識測驗

進行後測(一) 進行標的問題二測驗

進行後測(二)

資料分析

研究結論與建議

進行標的問題一測驗

第五節 第五節 第五節

第五節 研究限制 研究限制 研究限制 研究限制

本研究的研究限制如下：

一、研究設計中，利用動態評量的漸進提示，以一連串的「測驗—提示—

測驗」的方式進行，每一系列的測驗都需要 100 分鐘 (兩節課，中間 下課時間不休息) ，若要完成本研究，則研究對象班級需要進行兩個 系列 (兩個 100 分鐘) 的測驗。所以，在研究對象的選取上，需要考 量調課、學生能配合的時間等問題，無法將研究樣本擴大，因此研究 對象只採用研究者任課的一個班級。所以，如果要將本研究的結果作 推論的話，請務必小心謹慎。

二、由於本研究的研究對象設定為已經學過「以符號代表數」 ，尚未學過

「等量公理」 、 「以等量公理解一元一次方程式」 ，並正要開始學習「以

等量公理解一元一次方程式」的國一學生，因此，若要兼顧到學生能

夠配合的期間、以盡量不影響學生段考或其他活動進行為原則，正式

施測的時間點非常的緊迫。本研究的實施期間，選定在「以等量公理

解一元一次方程式」單元學校正常進度開始前一個月進行，以便在補

習班、學校或其他地方皆未曾教授此單元前，探討學生學習歷程中的

類比遷移現象。在正式施測結束後，進行研究結果分析與討論時，已

有部分有效樣本的補習班已經開始教授「等量公理」 、 「以等量公理解

一元一次方程式」 ，若選在此時進行晤談，其晤談內容可能與先前正

式施測時的想法產生出入，因此，本研究沒有採行晤談。