與訊號處理簡介

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FFT 與訊號處理簡介

祁忠勇演講

林聖哲記錄

(一) 何謂訊號處理:

當你要處理訊號時, 首先是必須有測量到的訊號, 而訊號必定有一個產生的過程。

假設我們有一輸入訊號u(n), 進入某一個未知的系統後, 而得到一個輸出訊號x(n), 然後我們想要設計一個系統來處理訊號x(n), 以抽出它所攜帶的情報, 這便是我們所謂的

「訊號處理」。而如何設計一好的系統, 方能從x(n)中正確而完全的獲得我們想要知道的情報, 便是訊號處理者日日在研究的課題。我們現在舉些例子來讓大家更能感覺到什麼是訊號處理。

首先是通訊, 在通訊裡面我們常常傳送 0 和 1 兩個數字的訊號, 當然也可能不袛兩個數字, 而所有的通信頻道都有一定的頻寬, 假如你傳送的太快, 那麼前一個訊號和後一個訊號會相互干擾, 從所收到的x(n)就再也看不出它原來傳送的信號為 0 或 1 了。因此, 必須設計一個訊號處理系統 (Signal Process- ing System) 來處理所收到訊號, 以還原所傳送的信號, 這就是一個典型的訊號處理的問題。另一個例子便是語音信號處理, 人的聲

音是由聲門產生一振幅不均勻之脈衝串來激發聲道而產生聲音, 且經由聲道形狀的改變產生不同的聲音。我們也可經由電腦來合成這些聲音, 但因為是合成的, 所以會有些不自然。當然我們也可以設計一個訊號處理系統來抽出一些想知道的訊息, 如所發的是什麼音、頻率多少、以及是由何人所發的, 這便可應用在語音鎖上。另外還有很多應用, 例如:

石油探戡、聲納、影像、雷達· · ·等等。

(二) 何謂訊號和系統:

訊號是一個系統所輸入的函數, 不論是連續變數的函數, 或是離散變數的函數, 而系統的輸出也叫做訊號, 還有系統內部所有可以代表的量, 我們也稱作訊號。那麼什麼又是所謂的連續時間訊號 (Continuous-time Signal), 您可以將它想像成一個以時間t為變數之函數x(t), 但時間 t 是連續的, 例如:

x(t) = A · sin(w

0

t), 它是一個三角函數, 當然t的變化是連續的。而所謂的離散時間訊號 (Discrete-time Signal) 又是什麼呢? 簡單的說, 就是整數的函數x(n)。例如: x(n) = A sin(w

₀

n)就是一個離散時間訊號了。

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數學傳播十八卷四期民

₈₃

年

₁₂

月

接著我們來說明系統是什麼? 簡單的說:「有輸入, 有輸出」的便是系統了。如果輸入與輸出均是離散時間訊號, 此系統就稱作離散時間系統 (Discrete-time System);

同理, 如果輸入與輸出均是連續時間訊號, 此系統就稱為連續時間系統 (Continuous- time System)。再讓我們介紹一種訊號處理系統, 如此我們才能往下推進。這系統稱為 Discrete-time Linear Time-invariant System, 而什麼又叫做 Linear System 呢? 就是此系統在輸入與輸出間形成一種線性組合的關係。也就是說, 輸出是輸入的訊號經一種線性的關係組合而成的。那麼什麼又叫做 Time-invariant 呢? 假設某一個輸入訊號進入一系統, 結果產生一個輸出訊號, 但是如果慢一個小時輸入的話, 還是會得到相同的輸出訊號, 並不會因輸入時間不同而得到不同的結果, 這就稱作 Time- invariant。而對於 Discrete-time Linear Time-invariant system, 它的輸出和輸入有一定的關係: 假設輸入訊號是x(n) 而輸出訊號是y(n), 那麼y(n) = h(n) ∗ x(n), 其中∗是一種h(n)和x(n)的運算, 而這運算稱為 Convolution, 也就是說y(n) = h(n) ∗ x(n) =

^P ^∞ _k=−∞

h(k)x(n − k) =

P _∞

k=−∞

x(k)h(n − k), 而其中h(n)稱為脈衝響應 (Impulse Response), 而它又是什麼呢? 就是此系統, 當輸入訊號是 δ(n) (δ(0) = 1, δ(n 6= 0) = 0)時, 所得到的輸出訊號。所以當h(n)已知, 這個 Discrete-time Linear Time- invariant System 的輸入輸出訊號間的關係完全確定。

(三)Fast Fourier Transform (FFT):

首先讓我介紹 Discrete-time Fourier Transform。假設我們有一個訊號x(n), 將它乘上 e

^−jwn

, 然後將它從n =

−∞至∞連加起來, 我們用X(e

^jw

) =

P _∞

而 Inverse Fourier Transform 和 Fourier Transform 在工程裡面經常重複地使用, 所以必須發展快速的計算方法來解決這個問題, 也因為電腦的出現與進步, 也就使得這門學問日漸壯大。

接著讓我們談談什麼是 Fast Fourier Transform(以下簡稱 FFT), 假設我們有一個 Linear Time-invariant System(以下簡稱 LIT 系統), 其脈衝響應為h(n), 我們將輸出和輸入的訊號做 Fourier Trans- form 的話, 我們會發現輸出訊號的 Fourier Transform恰巧會等於輸入訊號的 Fourier

^jw

), 也就是說, 重複計算 Fourier Transform 許許多多次, 所以必須發展 FFT 以滿足我們的需求。

再接著我們介紹 Discrete Fourier Transform (DFT)。在數位信號處理 (Dig- ital Signal Processing) 的領域裡所使用的 Fourier Transform, 都是指 Discrete-time Signal 的 Fourier Transform。而 DFT 便是指在 Fourier Transform 中的w從0到 2π 的範圍 (一週期) 分成N等分點, 即每兩點的間隔為2π/N, 再假設信號x(n)的範圍是從0到N − 1, 因此 DFT 是指X(e

^j2πk/N

) =

P _{N −1}

n=0

x(n)e

^−j2πkn/N

, 而且x(n)可以證明等於

¹

N

P _{N −1}

k=0

X(e

^j2πk/N

) · e

^j2πkn/N

。如此一來它便較符合一般實際的應用, 畢竟我們不可能累加一個從 −∞到∞的數列。

計算一個N點的 DFT 運算究竟要花多少的運算量呢? 如果直接來計算, 它需要N

²

將 DFT 的定義X(k) ≡ X(e

^j2πk/N

) =

^P ^{N −1} _n=0

x(n)W

_N ^kn

, k = 0, 1, · · · , N − 1, 表示成下列奇數項的和加上偶數項的和:

X(k) =

N/2−1 X

r=0

x(2r)(W

_N ²

)

^rk

+

N/2−1 X

r=0

x(2r + 1)(W

_N ²

)

^rk

· W

N k

= G(k) + W

_N ^k

· H(k)

其中W

_N ²

= e

^−j2π·2/N

= e

^−j2π/(

^N²

⁾

= W

_N/2

, G(k)和H(k)分別是下列兩個N/2點的 DFT:

G(k) =

N/2−1 X

n=0

x(2n)W

_N/2 ^kn

H(k) =

N/2−1 X

n=0

x(2n + 1)W

_N/2 ^kn

如此一來我們算一個N點的 DFT, 變成算兩個N/2點的 DFT, 這樣做究竟是否有減少運算呢? 現在我們用一個流程圖來表示上述的計算過程, (假設N = 8):

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數學傳播十八卷四期民

₈₃

年

. .. .. . .. .. ..

... ...

x [5] X [6]

H [2] W ⁶

N

. .. . .. . . .. ..

... ...

x [7] X [7]

H [3] W ⁷

N N

2 - point DFT

N

_N ^k+4

H(k + 4), k = 0, 1, 2, 3。所以, 將圖中的蝶形運算之

公因式提出(W

_N ^r+N/2

= −W

_N ^r

), 則X(k + 4) = G(k + 4) − W

_N ^k

H(k + 4), 如此做還可以再減少一倍的運算, 使得我們祗須要(N/2) · log

₂

N的運算, 例如: N = 1024 = 2

¹⁰

, FFT 的運算量約是直接計算 DFT 的二百分之一。

(四) 信號處理的未來:

信號處理研究可分成二類, 一是須要統計量的信號處理, 另一類是不須統計量的信號處理。但是無論是那一類的信號處理, 快速信號處理演算法則是永遠需要的, 而 FFT 祗是一個典型的例子。各種不同目的的信號處理演算法則不斷地被開發出來, 然而能夠將已開發出來的信號處理演算法則變得更快速也才更能夠符合實際的應用。

—本文作者任教於清華大學電機系—

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(一) 何謂訊號處理:

(二) 何謂訊號和系統:

0

0

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P ∞ k=−∞

P ∞

k=−∞

(三)Fast Fourier Transform (FFT):

−jwn

jw

P ∞

n=−∞

−jwn

2π 1 R −π π

jw

jwn

jw

jw

jw

FFT

3

jw

jw

jw

jw

jw

jw

j2πk/N

P N −1

n=0

−j2πkn/N

1

N

P N −1

k=0

j2πk/N

j2πkn/N

2

v

N

−j2π/N

N k(N −n)

N −kn

N kn

∗

N kn

N k(n+N )

N (k+N )n

j2πk/N

j2πk/N

P N −1 n=0

N kn

N/2−1 X

r=0

N 2

rk

N/2−1 X

r=0

N 2

rk

N k

N k

N 2

−j2π·2/N

−j2π/(

)

N/2

N/2−1 X

n=0

N/2 kn

N/2−1 X

n=0

祁忠勇演講

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₀

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₁₂

^P ^∞ _k=−∞

P _∞

^−jwn

^jw

P _∞

^−jwn

_2π ¹ ^R _−π ^π

^jw

^jwn

^jw

^jw

^jw

₃

^jw

^jw

^jw

^jw

^jw

^jw

^j2πk/N

P _{N −1}

^−j2πkn/N

¹

P _{N −1}

^j2πk/N

^j2πkn/N

²

^v

^−j2π/N

_N ^{k(N −n)}

_N ^−kn

_N ^kn

^∗

_N ^kn

_N ^{k(n+N )}

_N ^{(k+N )n}

^j2πk/N

^j2πk/N

^P ^{N −1} _n=0

_N ^kn

_N ²

^rk

_N ²

^rk

_N ^k

_N ²

^−j2π·2/N

^−j2π/(

⁾

_N/2

_N/2 ^kn

_N/2 ^kn

₈₃

₁₂

W ⁰

W ¹

W ²

W ³

H [0] W ⁴

H [1] W ⁵

H [2] W ⁶

H [3] W ⁷

^N ₂

²

^N ₂

²

_N ^k

^N ₂

²

²

₂

²

_N ^k

_N ^k+4

_N ^r+N/2