一階與二階RLC電路分析
在含有電感和電容的電路中 在含有電感和電容的電路中 在含有電感和電容的電路中
在含有電感和電容的電路中,,,,其其其其電壓和電流不能瞬間改變電壓和電流不能瞬間改變電壓和電流不能瞬間改變電壓和電流不能瞬間改變,,,會產生暫態現象,會產生暫態現象會產生暫態現象。會產生暫態現象。。。 甚至應用或移除恆定電源會產生暫態現象
甚至應用或移除恆定電源會產生暫態現象 甚至應用或移除恆定電源會產生暫態現象 甚至應用或移除恆定電源會產生暫態現象。。。。 了解如何分析存有暫態的電陸是很重要的 了解如何分析存有暫態的電陸是很重要的 了解如何分析存有暫態的電陸是很重要的 了解如何分析存有暫態的電陸是很重要的。。。 。
學習目標學習目標學習目標 學習目標
一階電路一階電路 一階電路一階電路
電路中含有單一儲能元件 電路中含有單一儲能元件 電路中含有單一儲能元件 電路中含有單一儲能元件
儲能元件可能是一個電容或是一個電感 儲能元件可能是一個電容或是一個電感 儲能元件可能是一個電容或是一個電感 儲能元件可能是一個電容或是一個電感 二階電路
二階電路 二階電路 二階電路
電路中連接兩個儲能元件 電路中連接兩個儲能元件 電路中連接兩個儲能元件 電路中連接兩個儲能元件
在做電路分析時 在做電路分析時 在做電路分析時
在做電路分析時,,,,我們經常使用一組方程式來表示電路的數學模型我們經常使用一組方程式來表示電路的數學模型我們經常使用一組方程式來表示電路的數學模型我們經常使用一組方程式來表示電路的數學模型。。。。 一旦求得此方程組的解
一旦求得此方程組的解 一旦求得此方程組的解
一旦求得此方程組的解,,,我們就可以分析此電路模型,我們就可以分析此電路模型我們就可以分析此電路模型我們就可以分析此電路模型。。。 。 例如
例如 例如
例如,,,,在做電阻電路的節點或迴路分析在做電阻電路的節點或迴路分析在做電阻電路的節點或迴路分析,在做電阻電路的節點或迴路分析,, 電路的數學模型可以表示成一組代數方程式,電路的數學模型可以表示成一組代數方程式電路的數學模型可以表示成一組代數方程式。電路的數學模型可以表示成一組代數方程式。。 。
當電路含有電感器或電容器 當電路含有電感器或電容器 當電路含有電感器或電容器
當電路含有電感器或電容器時時時,時,,電路模型就會變成微分方程式,電路模型就會變成微分方程式電路模型就會變成微分方程式電路模型就會變成微分方程式 。。。。 因此因此因此,因此,,,為了分析具有儲能元為了分析具有儲能元為了分析具有儲能元為了分析具有儲能元 件的電路
件的電路 件的電路
件的電路,,,,需要分析和求解微分方程式的工具需要分析和求解微分方程式的工具需要分析和求解微分方程式的工具需要分析和求解微分方程式的工具。。。。
具有電感器和 具有電感器和具有電感器和
具有電感器和((((或或或或))))電容器的線性電路分析電容器的線性電路分析電容器的線性電路分析電容器的線性電路分析
當解答可以事先知道時 當解答可以事先知道時 當解答可以事先知道時
當解答可以事先知道時,,,,在一些特殊狀況下在一些特殊狀況下在一些特殊狀況下在一些特殊狀況下,,,一般方法可以被簡化,一般方法可以被簡化一般方法可以被簡化。一般方法可以被簡化。。。 在這些特殊的狀況下電路的分析變成一個確定一些參數的簡單事情 在這些特殊的狀況下電路的分析變成一個確定一些參數的簡單事情 在這些特殊的狀況下電路的分析變成一個確定一些參數的簡單事情 在這些特殊的狀況下電路的分析變成一個確定一些參數的簡單事情。。。。 在定電源的情況下
在定電源的情況下 在定電源的情況下
在定電源的情況下,,,,將詳細討論其中的兩個特殊狀況將詳細討論其中的兩個特殊狀況將詳細討論其中的兩個特殊狀況將詳細討論其中的兩個特殊狀況。。。。 一個是假設微分方程式可以得到
一個是假設微分方程式可以得到 一個是假設微分方程式可以得到
一個是假設微分方程式可以得到,,,,另一個是一秒鐘的基本電路分析是完全的另一個是一秒鐘的基本電路分析是完全的另一個是一秒鐘的基本電路分析是完全的另一個是一秒鐘的基本電路分析是完全的------------但是它通常是更長的時間但是它通常是更長的時間但是它通常是更長的時間但是它通常是更長的時間。。。。 根據戴維寧等效定理
根據戴維寧等效定理根據戴維寧等效定理
根據戴維寧等效定理,,,,將發展找出將發展找出將發展找出具有一個儲能元件的線性電路數學模型的方法將發展找出具有一個儲能元件的線性電路數學模型的方法具有一個儲能元件的線性電路數學模型的方法具有一個儲能元件的線性電路數學模型的方法。。。。
我們也將討論當 我們也將討論當我們也將討論當
我們也將討論當線性電路線性電路線性電路線性電路有其它簡單輸入時有其它簡單輸入時有其它簡單輸入時有其它簡單輸入時,,,此電路的性能,此電路的性能此電路的性能。此電路的性能。。。 電路模型電路模型電路模型
電路模型
簡介 簡介 簡介 簡介
電容和電感可以儲存能量 電容和電感可以儲存能量 電容和電感可以儲存能量
電容和電感可以儲存能量,,,,而且在一些狀況下能量可以被釋放出而且在一些狀況下能量可以被釋放出而且在一些狀況下能量可以被釋放出。而且在一些狀況下能量可以被釋放出。。。 能量釋放的速率將取決於連接儲能元件的電路參數
能量釋放的速率將取決於連接儲能元件的電路參數 能量釋放的速率將取決於連接儲能元件的電路參數 能量釋放的速率將取決於連接儲能元件的電路參數。。。。
當開關切到左邊時 當開關切到左邊時 當開關切到左邊時
當開關切到左邊時,,,,電容接收從電池來的電荷電容接收從電池來的電荷電容接收從電池來的電荷電容接收從電池來的電荷
當開關切到右邊時 當開關切到右邊時 當開關切到右邊時 當開關切到右邊時,,,, 電容經由閃光燈放電 電容經由閃光燈放電 電容經由閃光燈放電 電容經由閃光燈放電
dx x f
e t
x e t
x e
t t
TH x t
t
) 1 (
) ( )
(
0 0
0
= ∫
−
τ ττ
τ
一般響應:一階電路
)
00 (
; x x
f dt x
dx
TH
+ =
= τ +
給定初始條件,電容電壓或電感電流的數 學模型具有以下型式
使用積分因子可以將微分方程式變為具有 正合的特性,所以利用積分因子的方法解 以上的微分方程式
τ
τ τ
t
TH
e
f dt x
dx 1
= /*
+
TH t t
t
f e x
dt e
e
τdx
τ ττ τ
1
1 =
+
TH t t
f e x
dt e
d
τ ττ
= 1
∫
t
t0
dx x f
e t
x e
t x
t
t
TH x t t
t
) 1 (
) ( )
(
0 0
0
∫
− −− −
+
=
τ ττ
)
00 ( );
( )
( )
( t ax t f t x x dt
dx + = + =
注意 注意 注意
注意:::這個表示式允許任意的外加函數:這個表示式允許任意的外加函數這個表示式允許任意的外加函數。這個表示式允許任意的外加函數。。。不過在這裡不過在這裡不過在這裡不過在這裡 我們只討論外加函數是常數的特殊狀況
我們只討論外加函數是常數的特殊狀況 我們只討論外加函數是常數的特殊狀況 我們只討論外加函數是常數的特殊狀況。。。。
τ t
e− /
*
時間常數 電路衰減的速率取決於
時間常數 為電路的 " "
τ
電路連續切換的研究上 一般式可以被使用在
是任意的
初始時間 , t
o,
具有定電源的一階電路
dx x f
e t
x e
t x
t t
TH x
t t
t
) 1 (
) ( )
(
0 0
0
∫
− −
− −
+
=
τ ττ
)
00 (
; x x
f dt x
dx
TH
+ =
=
τ +
假如微分方程式等號的右邊是常數
dx f e
t x e
t x
t
t
x t TH
t t
∫
− −− −
+
=
0 0
) ( )
(
τ 0 ττ
=
−⇒
− −
τ τ τ
x t x
t
e e
e
dx e f e
t x e
t x
t
t x t
TH t
t
−
∫
− −
+
=
0 0
) ( )
(
τ 0 τ ττ
t
t x t
TH t
t
e f e
t x e
t x
0 0
) ( )
(
0
+
=
−− −
τ τ
τ
τ
τ
−
+
=
−− −
τ τ
τ τ
0 0
) ( )
(
0t t
t TH t
t
e e
e f t
x e
t x
( ( ) )
τ 0)
(
0t t TH
TH
x t f e
f t
x
− −
− +
=
t
0t ≥
解的型式為
0 2
1
;
) (
0
t t e
K K
t x
t t
≥ +
=
− − τ
在電路上的任意變數具有如下的型式
0 2
1
;
) (
0
t t e
K K
t y
t t
≥ +
=
− − τ
只有K_1和K_2的值不同
暫態 暫態 暫態 暫態
時間常數時間常數 時間常數時間常數
暫態的變化和時間常數的解釋 暫態的變化和時間常數的解釋暫態的變化和時間常數的解釋 暫態的變化和時間常數的解釋
定性觀點定性觀點 定性觀點定性觀點:::: 較小的時間常數 較小的時間常數 較小的時間常數
較小的時間常數,,,,暫態現象較快暫態現象較快暫態現象較快暫態現象較快 消失
消失 消失 消失
由於小於 由於小於由於小於
由於小於2%2%2%2%誤差誤差誤差誤差,,,, 在這點之後暫態為零 在這點之後暫態為零在這點之後暫態為零 在這點之後暫態為零 在一個時間常數下降
在一個時間常數下降在一個時間常數下降
在一個時間常數下降0.6320.6320.632倍0.632倍倍倍 的初始值
的初始值的初始值 的初始值
正切到在一個時間常數的 正切到在一個時間常數的 正切到在一個時間常數的 正切到在一個時間常數的XXX軸X軸軸軸
C R
THτ =
時間常數
下面的範例將說明 時間常數的物理意義
− vS +
RS a
b C
+ vc _
對電容充電
TH C
C
TH
v v
dt C dv
R + =
電路數學模型
0 ) 0 (
, =
= S C
S V v
v 假設
解具有如下的型式
τ t S S
C
t V V e
v ( ) = −
−C R
THτ =
暫態
從實際的觀點來看,當暫態可以忽略時
,電容被充電
0067 .
0
0183 .
0
0498 .
0
135 .
0
5 4 3 2
368 .
0
τ τ τ τ τ
τ t
t e
−在五個時間常數後,
誤差小於1%,
暫態可以忽略
dt C dvC
S S C
R v −v
0 : a KCL
− = +
S S C c
R v v
dt C dv
在節點
1. 電路只有獨立恆定電源
微分方程式法 電路含有一個儲能元件
條件
2. 對於關注的變數可以容易得到微分方程式。通常,使用基本的分析工具,如 KCL、 KVL. . .或戴維寧等效定律
3. 微分方程式的初始條件是已知的或者可以利用穩態分析得到
解決策略:使用微分方程式和初始條件來求參數 K1,K2,τ
( )
1 2
FACT: WHEN ALL INDEPENDENT SOURCES ARE CONSTANT FOR ANY VARIABLE, ( ), IN THE CIRCUIT THE
SOLUTION IS OF THE FORM
( ) ,
t tO
O
y t
y t K K e
ττττt t
−
−
−
− −
−
−−
= + >
= + >
= + >
= + >
假如微分方程式中已經知道y的型式
將解的型式代入微分方程式,並找出兩 個等式
0 0 1
) 0
( y
y
f y dt a
a dy
= +
=
+
我們可以利用這項資訊來找出y中的未知 變數
f e
K K
a K e
a
t t
=
+
+
−
−τ −ττ
0 1 22 1
0 1
1
0
a
K f f
K
a = ⇒ =
0 1 2
0
1
0
a e a
K
a a
t⇒ =
=
− +
−τ
τ
τ
τ
τ
t
K e dt
dy −
−
= 2
> ⇒ +
= − , 0
)
(t K1 K2e t y
t τ
2
)
10
( K K
y + = +
利用初始條件得到一個等式
1 2 y(0 ) K
K = + −
捷徑:將微分方程式以變數係數為1做正規化 表示
0 0
1 0
1 a
y f dt dy a f a
y dt a
a dy + = ⇒ + =
τ K
1) 2 0 (
. 0 ),
(
VS
v t
t
v > 假設 =
求
的數學模型 求出
在
使用KCL v(t) t>0
0 ) ) (
( − + =
dt t C dv R
V t
v S
2 / )
0 (
v =VS 初始條件
微分方程式已知,初始條件已知
步驟 1 時間常數
f dt y
dy + = τ
從微分項的係數得到時間常數
步驟 2 穩態分析
) (
, t
0
0 ,
) (
1 2 1
穩態值 且
當
解的型式為
K v(t)
t e K K t
v
t
→
∞
→
>
>
+
= −
τ
τ
在穩態時解變成一個常數。因此解的微分 等於零。從微分方程式
VS
dt v
dv = 0⇒ = 從微分方程式得到的 穩態值
VS
K =
∴
1
) (
穩態值相等
f K f
dt y
dy + = 則 1 = 假如數學模型為τ
步驟 3 使用初始條件
1 2
2
1 (0)
) 0 (
0
K v
K K
K v
t
−
⇒ = +
= 當 =
f v
K2 = (0)−
2 / 2
/ )
0
( VS K2 VS
v = ⇒ =−
0 , )
2 / ( )
(
: v t =V − V e−RC t >
t S
答案 S
學習範例
Vs
t v dt t
RC dv ( )+ ( ) =
R /
*
) 0 ( );
(
0 ,
) (
2 1
1
2 1
+
= +
∞
=
>
+
= −
x K
K x
K
t e K K
t x
t τ
0 ),
(
i t t >
求
的數學模型 求
使用KVL t > 0
− + vR
− + vL
(t) i KVL
) ( )
( t
dt Ldi t
Ri v
v
VS = R + L = +
0 ) 0 ) ( 0 ( ) 0 (
0 ) 0 (
0 + =
+
=
⇒ −
=
⇒ −
< i
i i
i t
電感
初始條件
步驟 1
R t V
i dt t
di R
L S
= + ( ) )
( R
= L τ 步驟 2 穩態
R K V
i(∞) = 1 = S 步驟 3 初始條件
2
) 1
0
( K K
i + = +
−
=
− LR
t
S e
R t V
i( ) 1
解答: 學習範例
) 0 ( );
(
0 ,
) (
2 1
1
2 1
+
= +
∞
=
>
+
= −
x K
K x
K
t e K K
t x
t τ
1 2
( ) , 0
t
i t = K + K e
−τt >
的數學模型 求
使用 KCL t > 0
) ) (
( i t R
t IS = v + (t)
v
= ( )⇒ )
( t
dt Ldi t
v (t) i(t)
dt di R
IS = L +
步驟 1
步驟 2 i(∞) = IS ⇒ K1 = IS 步驟 3 i(0+) =0 = K1 + K2
−
=
− LR
t
S e
I t
i( ) 1
解答:
0 ) 0 (
: i + = 初始條件
R
= L τ 練習範例
1 2
( ) , 0
t
i t = K + K e
−τt >
的數學模型 t > 0
2
) ) (
( R
t t v
i =
從電容電壓來決定電路數學模型,較 為簡單
初始條件
V v
k V k
vC k (12) 4 (0 ) 4
6 3
) 3 0
( = ⇒ + =
= +
−
) 0 ) (
(
||
; ) 0 ) (
) ( (
2 1 2
1
= +
=
= +
+
P
P
R t t v
dt C dv
R R R R
t t v
dt C dv R
t v
Ω
=
= k k k RP 3 ||6 2
s F
C
RP =(2×103Ω)(100×10 6 ) =0.2
= −
τ 步驟 1
步驟 2 v(∞) = K1 =0
步驟 3 v(0+) = K1 + K2 = 4V ⇒ K2 = 4V 0
], [ 4
)
(t = e−0.2 V t >
v
t
0 ],
3 [ ) 4 (
:i t = e−0.2 mA t >
t
解答 0
, )
(t = K1+ K2e− t >
i
t τ
電路的穩態
當 t < 0
V t
v dt t
dv
O
O ( ) ( ) 6
5 .
0 + =
] [ 3 ) ( ) ( 5 . 0
12 ) ( 4 ) ( 2
A t
i dt t
di
t i dt t
di
= +
=
+ vO(t) = 2i(t)[V]
0 ),
(
v
Ot t >
求
KVL(t>0) (t)
i
的數學模型 求
使用KVL t >0
0 ) ( )
( )
( 3
1
1 + + + =
− t R i t
dt Ldi t
i R VS
5 .
= 0
τ
步驟 10 ,
)
(t = K1+ K2e− t >
v
t
O τ
學習範例
步驟 2: 使用穩態分析求K1
V v
t v dt t
dv
O O
O ( ) ( ) 6 ( ) 6
5 .
0 + = ⇒ ∞ =
) 1
( K
vO ∞ =
V K1 =6
∴
為求初始條件,需要t<0時的電感電流並且在 開關期間,使用感應器電流的連續性。
接下來的步驟需要輸出訊號初始值, vO( +0 )
當t<0時,做穩態的假設可以簡化分析
) 0 ( );
(
0 ,
) (
2 1
1
2 1
+
= +
∞
=
>
+
= −
x K
K x
K
t e K K
t x
t τ
使用戴維寧定律時,假設電感在穩 態狀況下
Ω
=
= 2||2 1 RTH
0 4 4
12+ 1 − =
− I
I1
KVL
KVL VTH =VOC = 2I1 −4 =4[V] ]
[
1 4 A
I =
] 3[ ) 4 0 ( ) 0
( i A
iL − = + =
0 ,
)
(t = K1+ K2e− t >
v
t
O τ
] 3[ ) 8 0 3 (
) 4 0
( v V
i + = ⇒ O + =
0 3 ,
3 5 )
(t = − e−0.5 t >
i
t
a
b
0 ],
3 [ 6 10 )
(t = − e−0.5 V t >
v
t O
電路在穩態狀況下 (t<0)
) ( i
Lt 必需找出
3 6 10
3 8
2 2
2
1 + K = = − K ⇒ K =
K
i
Lt < 0
0 ),
(
v
Ot t >
求
C R1
R2
的數學模型 求
使用KCL t >0
0 )
( )
( 0 )
( 1 2
2 1
= +
⇒ + + =
+ C C c
C t v
dt C dv R R R
R t v
dt C dv
s F
C R
R ) (6 10 )(100 10 ) 0.6 ( 1+ 2 = × 3Ω × 6 =
= −
步驟 1 τ
) 3 (
) 1 4 (
2 ) 2
(t v t v t
vO C = C
= +
步驟 2 v (t) = K1+ K2e− ,t >0
t
C τ K1 =0
初始條件。電路在t<0時為穩態狀況
−
− +
) 0
C(
v (12)V 9
= 6
] [ 8 8
) 0
( K1 K2 K2 V
vC + = = + ⇒ =
步驟 3
0 ],
[ 8
)
(t = e−0.6 V t >
v
t C
0 ],
3 [ ) 8
(t = e−0.6 V t >
v
t O
學習評量
) ( v
ct 決定
) 0 ( );
(
0 ,
) (
1 2 1
1
2 1
+
= +
∞
=
>
+
= −
i K K
v K
t e K K
t v
C
t
C τ
0 ),
(
i
1t t >
求
的數學模型 求出
使用KVL t > 0
= ⇒ +181( ) 0
1 i t
dt Ldi
L
0 ) ( ) 9 (
1
1
1 t + i t = dt
di
) 0 ( );
(
0 ,
) (
1 2 1
1 1
2 1
1
+
= +
∞
=
>
+
= −
i K K
i K
t e K K
t i
t τ
步驟 1 s
9
= 1 τ
步驟 2 K1 =0
要找出初始條件需要t<0的電感電流
) 0
1( − i
電路在開關之前為穩態狀況
V A
i 1
12 ) 12 0
1( =
= Ω
− 步驟 3
] [ 1 )
0 ( )
0
( 1 1 2 2
1 i K K K A
i − = + = + ⇒ =
0 ],
[ ]
[ )
(
:
1=
19=
−9>
−
t A e
A e
t
i
tt
解答
)
1(t i
− + vL
學習評量
使用戴維寧定律得到數學模型 得到電容電壓或流過電感的電流
Circuit with resistances
and sources
Inductor or
Capacitor a
b
Representation of an arbitrary circuit with one storage element
戴維寧等效電路 −
VTH +
RTH
Inductor or
Capacitor a
b
− VTH +
RTH a
b C
+ vc _
Case 1.1
Voltage across capacitor
− VTH +
RTH a
b L
iL Case 1.2
Current through inductor
在節點a使用KCL
i
ci
Ri
c+ i
R= 0
dt C dv i
c=
CTH TH C
R
R
v i v −
=
= 0 + −
TH TH C
C
R v v
dt C dv
TH C
C
TH
v v
dt C dv
R + =
使用 KVL
− + vR
− + vL
TH L
R
v v
v + =
L TH
R
R i
v =
dt L di v
L=
LTH L
TH
L
R i v
dt
L di + =
=
=
+
TH TH L
L
TH
R
i v dt
di R
L
i
SC範例
Ω 6
Ω 6
Ω 6
Ω 6
H 3
V 24
−+
(t) iO
=0 t
>0 t
; (t) i Find O
在此範例中要求出流過電感的電流。
數學模型為
TH TH O
O
TH
R
i v dt
di R
L + =
此微分方程式的解的型號為
0
; )
( t = K
1+ K
2e
−t >
i
t O
τ
Ω 6
Ω 6
Ω 6
Ω V 6
24
− +>0 t
Thevenin for t>0
at inductor terminals a
b
TH
=
v 0 R
TH= 6 + ( 6 || ( 6 + 6 ))
H s R
L
TH
3 . 10 0
3 =
= Ω τ =
0
; 0 3
.
0 + i = t >
dt di
O O
3 0 . 3 0
.
0
2 0.3 +
1+
2 0.3=
−
− −t t
e K K
K e
0
; )
( t = K
2e
−0.3t >
i
t
⇒
O 1= 0
K
下個步驟: 利用初始條件
Ω 6
Ω 6
Ω 6
Ω V 6
24
− +) 0 ( ) 0
( − = O +
O i
i
<0 t
由於 K1=0 所以解為
0
; )
( t = K
2e
−0.3t >
i
t O
求在0+的值
6 32
2
= K
0 6 ;
) 32
( t = e
−0.3t >
i
t O
Ω 6
Ω 6
Ω 6
Ω 6
H 3
V 24
−+
(t) iO
<0 t
Circuit for t<0
i1
i
2i
30 ) (
6 ) (
6
6 i
1+ i
1− i
3+ i
1− i
2= 0 ) (
6 ) (
6
24 +
2−
1+
2−
3=
− i i i i
0 )
( 6 ) (
6 i
3− i
1+ i
3− i
2=
3) 0
( i i
C+ =
6 mA ) 32
(0 i
:
C+ = 解答
和電感電流的連續性
使用穩態假設 決定 i
O( 0 + ).
v1
8 6 0
24 6
6 1
1 1
1 − = ⇒ =
+
+ v v v
v
6 6
) 24 0
( v1
iO + = +
迴路分析
節點分析
+
-
t = 0
k 6
k 6
k 6
k 6 µ F
100
V 12
(t ) i
O0 t (t), i
Find
O>
範例
− + v
C6k i v
, 0
t > 時
O=
C當
假如電容的電壓已知, 則這個問題是可解的 v_c 的數學模型
TH C
C
TH
v v
dt C dv
R + =
+
-
t > 0
k 6
k 6
k 6
k V 6
12
(t ) i
Oa b
− + v
THk k
k
R
TH= 6 || 6 = 3
s F 0.3 10
* 100
* 10
*
3 3Ω 6 =
= −
τ
6 3
. 0
v
= +
CC C
dt v dv
數學模型
3 . 2 0 1
t
C K K e
v = + −
5 6 . 5 1
.
1
2 1.5 +
1+
2 0.3=
−
− −t t
e K K
K e
1
= 6 K
現在,我們須要使用穩態的假設 和連續性,決定初值v_c(0+)
+
-
t < 0
6 k
k 6
k 6
k V 6
12
(t ) i
Ocircuit in steady state before the switching
−
− + v
C( 0 )
V v
C( 0 − ) = 6
電容電壓的連續性
V v
C( 0 + ) = 6
) 0
2
(
1
+ K = v
C+
K
0
6
21
= ⇒ K =
K
> ⇒
= 6 ; 0
)
( t V t
v
C0
; 6 1
)
( = = mA t >
k t v
i
O C 微分方程式方法
二階 二階 二階
二階電路 電路 電路 電路
電路基本方程式 電路基本方程式 電路基本方程式 電路基本方程式
單一節點 單一節點 單一節點
單一節點 : : : : 使用使用使用 KCL使用 KCLKCLKCL
iR iL
iC
= 0 + + +
−iS iR iL iC
) ( );
( )
1 ( );
(
0
0
dt t C dv i
t i dx x L v
R i t
i v L C
t
t L
R = =
∫
+ =S L
t
t
i dt t
C dv t
i dx x L v
R
v + 1
∫
( ) + ( 0)+ ( ) =0
對上式微分 對上式微分 對上式微分 對上式微分
dt di L
v dt dv dt R
v
C d + 1 + =
S2 2
單一迴路 單一迴路 單一迴路
單一迴路 : : : 使用 : 使用使用使用 KVL KVL KVL KVL
− +vR
− +vC
=0 +
+ +
−vS vR vC vL
) ( );
( )
1 (
; 0
0
dt t Ldi v
t v dx x C i
v Ri
v C L
t
t C
R = =
∫
+ =dt dv C
i dt Rdi dt
i
Ld 2 + + = S
2
S C
t
t
v dt t
Ldi t
v dx x C i
Ri + 1
∫
( ) + ( 0)+ ( ) =0