序、系與邏輯、真理

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序、系與邏輯、真理

(Order 、 Hierarchy and Logic 、 _Truth)

金周新

一、引言

討論白馬、黑馬, 不如譚馬; 討論先有雞、先有蛋, 不如譚染色體 (DNA); 討論中藥療傷、西藥醫病, 不如譚生理與藥理; 討論家事、國事、天下事, 不如譚人下之私 (公); 討論好夢、惡夢、春秋大夢, 不如譚目不明 (夢);

討論 I love you、Je t’aime、めリレます ,我愛你, 不如譚內心的接受 (愛)。同樣地, 討論群、環、體、模 ..., 不如譚代數; 討論代數幾何、代數拓撲、代數數論、K - 代數 ,不如譚典範理論 (Category Theory)。但典範理論上的典範理論又是什麼呢?

當我們周而復始, 討論不完, 無法譚盡, 找不到問題解決的一天時 ,我們就會回過頭來想想: 我們在討論問題時討論的結構本身是不是出了問題 ,它的癥結在那裡?

數學的推理本身就建立了自己的一套邏輯結構, 這結構的完備性, 也給了我們推理的可信度。而真理常存, 其一不變, 唯一的臨界點又在那裡呢 [1]? 戈德爾的不完備定理給了我們探索真理的途徑, 但本身是否真的完備,

可能是人人都可以, 也應當思考的問題, 而不僅僅是哲學家所必須面對的問題 [2]。

二、序與戈德爾不完備定理

一個陳述 (statement) 往往是一些單字有秩序地排列起來, 代表一些意義, 如 [3]

天渡津口口口碑海容寧世世世平孟雖亞聖其道驥周言舊邦猶命新

一九九一, 七, 廿七人生相遇在知心

賓城會上喜逢君三週共度雖嫌短安得把盞在津寧

一九九一, 七, 廿八秩序的排列是連續的, 我們可選擇習以為常的量來一一對應, 時間是最佳的選擇, 因為 t

∈ R¹, 它一去不復返。秩序的排列是離散的, 正整數應當是最佳的選擇了。

1

(2)

戈德爾察覺到所有的數學的陳述都是一組字串有序地離散排列, 而這些字組符號 (Symbols) 又是有限多個, 於是訂下了自然數來一一對應; 透過這些自然數的算術運作, 得到唯一的自然數 ,或許觀察這一個簡單的自然數, 便能瞭解到冗長陳述中的含意。

這些符號、數字、中文含意可列出一個簡表:

邏輯符號自然數中文含意

⊃ 3 則

& 5 和

∨ 7 或

¬ 9 否

∀ 11 對於所有的

∃ 13 存在

= 15 等於

+ 17 加

· 19 乘

, 21 逗點

0 23 零

a 25 a

| 27 a 的下一個邏輯符號 b 從這些邏輯符號的序我們可訂下一個算術公式, 再來討論這個公式是否真的可正規代表系統, 而這個系統是否具一致性與完備性。例如:a + a = a · a ⇔ 2²⁵· 3¹⁷· 5²⁵· 7¹⁵· 11²⁵· 13¹⁹· 17²⁵。

而不完備定理告訴我們,「任何一個具有一致性的公設化系統皆是不完備的。」其證明的核心可參考 [4][5]。

三、系與卜氏定理 (Post

Theorem)[6][7][8]

現在我們可以討論如何建立邏輯上的序, 由序而成一體系, 如何再將兩個系連絡在一起。

首先定義圖林級數 (Turing Degree) 和一些性質:

定義:

(i) 存在一遞迴函數 f 使得 f (A) ⊆ B 和 f(A) ⊂ B, 稱 A 是多對一可約簡 (re- ducible) 至 B, 記成 A ≤T B,T ∈ Z⁺。

(ii) A ≤T B 和 B ≤T A, 則 A ≡T B。

(iii) A 的圖林級數 deg(A) = {B : B ≡T

A}。

(iv) deg(A) ∪ deg(B) = deg(A ⊕ B) (v) a, b, c 表示級數,D 表示所有級數所成

的集合。

(vi) deg(A) ≤ deg(B) 若且唯若 A ≤T

B。

(vii) a 包含一個遞迴可數集, 稱級數 a 是遞迴可數。

(viii) a 包含某一集合 A 在集合 Bǫb 中遞迴可數, 稱級數 a是遞迴可數。

在遞迴過程下是收斂的運作, 我們稱為一個跳躍 (Jump), 而跳躍可用級數來定義, 第 n 次跳躍可從某一個跳躍遞迴 n 次產生, 所以我們可以建立一個級數的無限系。也就是說, 我們可定義

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(i) 集合 A 的跳躍 JÂ = {ΦÂ_x(x) ↓}, ΦÂ_x(x) 是定義於集合 A 中 x 的函數值。

(ii) A⁽⁰⁾ = A, A⁽ⁿ⁺¹⁾ = (A⁽ⁿ⁾)^′, 第 n 次跳躍A⁽ⁿ⁾便可求得。

(iii) 令0⁽ⁿ⁾= deg(φ⁽ⁿ⁾) 則可求得一系 0 < 0^′ <0^′′ <· · · < 0⁽ⁿ⁾<· · · 如何利用戈德爾的洞悉能力, 將級數的跳躍系和算術系一一對應呢? 這便是卜氏定理的精神。

定義: B 是算術的, 若且唯若 B 可經有限多個投影 P 和補投影 I – P 遞迴作用中產生。

定義:

(i) 集合 B 在 ^P₀(Π₀) 中, 若且唯若 B 是遞迴。

(ii) Q =

(∃, n 是奇數, n ≥ 1

∀, n 是偶數, n ≥ 1 存在一遞迴關係 R (x, y₁, y₂, . . . , yn) 使得 x∈ B ⇐⇒ (∃y1)(∀y2)(∃y3) · · · Q(yn)

R(x, y1, y2,· · · , yn), 則 B ∈^P_n。

同樣地, Q=

(∃, n 是奇數, n ≥ 1

∀, n 是偶數, n ≥ 1

存在一遞迴關係 R (x, y₂, y₂, . . . yn) 使得 x ∈ B ⇐⇒ (∀y₁)(∃y2)(∀y3) . . . (Qyn) R(x, y, y2, . . . , yn)。

(iii) B ∈ ^P_n∩Πn, 則 B ∈ ∆n

(iv) B ∈ ∪n(^P_n∩Πn), 則 B 是算術的。

定義: 如集合 A ∈ ^P_n(Πn), 對所有的集合 B ∈^Pn(Πn), B ≤1 A^′, 則 A 是^Pn — 完備 (Πn — 完備)。

卜氏定理: 對於所有的 n ≤ 0,

(i) B ∈^P_n+1 ⇐⇒ B在一些 Πn 集合中遞迴可數。

⇐⇒ B 在一些^P_n集合中遞迴可數。

(ii) n > 0, φ⁽ⁿ⁾ 是Πn — 完備。

(iii) B ∈ ^P_n+1 ⇐⇒ B 在 φ⁽ⁿ⁾ 中遞迴可數。

(iv) B ∈ ∆n+1 ⇐⇒ B ≤T φ⁽ⁿ⁾。

證明:

(i) (⇒) 令 B ∈ ^P_n+1, 則 x ∈ B ⇐⇒

(∃y)R(x, y),R ∈ Πn。所以 B 在 R 中屬於 Π1。

故 B 在 R 中遞迴可數。

(⇐) 設 B 在某一 Πn 集合 C 中遞迴可數。

則對於某一戈德爾數 e, 令 We 是第 e 個遞迴可數集合,

x∈ B ⇐⇒ x ∈ W_e^C(如果 W_e^C 6= φ)。

⇐⇒ (∃s)(∃σ)[σ ⊂ C & x ∈ W_e,s^σ

≡ {σ, e, s : W_e^σ(s) 6= φ}。

⇒ x ∈ W_e,s^σ 。

(4)

因為 C ∈ Πn,

σ ⊂ C ⇐⇒ (∀y < lh(σ)) ≡ |domσ|)[σ(y) = C(y)],

lh(σ)是 σ 的定義域的長度函數。

⇐⇒ (∀y < lh(σ))[[σ(y) = 1 & y ∈ C]

∨[σ(y) = 0 & y 6∈ C]。

⇐⇒ (∀y < lh(σ))[Π_n∪ Σ_n]。

又因為 1.A ∈^P_n(Πn)⇐⇒(∀m > n) [A ∈^P_m∩Πm]。

2. A, B ∈^P_n(Πn) ⇒ A ∪ B, A∩ B ∈^P_n(Πn)。

3. R ∈^Pn(Πn), A, B 具下列性質

hx, yi∈A⇐⇒(∀z<y)R(x, y, z) hx, yi∈B⇐⇒(∃z<y)R(x, y, z) 則 A, B ∈^P_n(Πn)。

(ii) n = 1, 顯然成立

n > 1, φ⁽ⁿ⁾ 是 ^P_n – 完備, φ⁽ⁿ⁾ 是 Πn – 完備。

B ∈^P_n+1 ⇐⇒ B 在某一 ^P_n中遞迴可數。

⇐⇒ B 在 φ⁽ⁿ⁾ 中遞迴可數。

(iii) φ⁽ⁿ⁾ 是 Πn – 完備, 可從 (i),(ii) 中得證。

⇐⇒ B ≤1 φ⁽ⁿ⁺¹⁾, 因 A 在 B 中遞迴可數若且唯若 A 在 ¯B 中遞迴可數。

(iv) B ∈ ∆_n+1 ⇐⇒ B, B ∈^P_n+1。

⇐⇒ B, B 在 φ⁽ⁿ⁾ 中遞迴可數。

⇐⇒ B ≤T φ⁽ⁿ⁾。

系定理(Hierarchy theorem):(∀n >

0)[∆n⊂^P_n 和 ∆n ⊂ Πn]。

證明:利用卜氏定理 (ii), (iv) 和 B 在 A 中遞迴可數若且唯若 B ≤₁ A^′

φ⁽ⁿ⁾∈ Σn− Πn

同理

φ⁽ⁿ⁾∈ Πn− Σn

太抽象了!讓我們來舉兩個小例子。

四、例子 [9][10]

令 x : R⁺ → Zp 滿足函數方程式 x(t) = x(t − 1) + x(t − θ), θ ∈ (0, 1), 其確切解可從遞迴可數性求得

定理:

x(t, θ) = ^X

µ>0,ν>0 t−1<µ+νθ<t

µ+ ν µ

!

2

其證明的步驟如下

(i) 將定義在 t ∈ R¹ 上的函數 x(t) 的相加

“+”, 經拉普拉斯轉換至 µ ∈ Z⁺ 上的函數 Q(u) 的相加 “⊕”。

(ii) 而 µ ∈ Z⁺, 可分解成兩個正交可數子集:µ 是偶數或奇數, 從這兩個正交子集中很容易觀察出 Q(u) 的遞迴算術公式。

(5)

(iii) 再經過反拉普拉斯轉換之加法公式 — 彼隆 (Perron) 加法公式, 可求得 x(t) 的遞迴算術公式。而這算術公式是定義在兩個可數“離散”空間的跳躍函數

J(t) 的遞迴公式。

我們可用以下的交換圖清晰地看出證明的想法:

證明:

x(t) = x(t − 1) + x(t − θ) mod p

= x(t−2)+2x(t−1−θ)+x(t−2θ) mod p ...

x(t, θ) = ^X

µ>0,ν>0 t−1<µ+νθ<t

µ+ 2 µ

!

x(t−µ−2θ) mod p

2 階跳躍函數定義為:

J(t) = ^X

µ>0,ν>0 µ+νθ<t

µ+ ν µ

!

2

+ η(t),

η(t) = ¹₂, 當 t = µ + νθ,^µ+ν_µ

2 = 1 x(t) 經過拉普拉斯轉換成 X(s), 再令 u= e⁻^s,Q(u) = X(s),Zp = Z₂, 其正規多項式級數展開式可寫成

Q(u) = (1 − u^θ− u)⁻¹

=

∞

X

µ=0

(u^θ+ u)^µ

=

∞

X

µ:even

(u^θ+ u)^µ+

∞

X

µ:odd

(u^θ+ u)^µ

= (1 + u^θ+ u)

∞

X

µ=0

(u^θ+ u)^2µ

⇒ (Q(u))₂ = (1 + u^θ+ u)Q(u²)

經彼隆 (Perron) 加法公式可求得跳躍函數的遞迴公式,

J(t, θ) = J(t

2) + J(t− θ

2 ) + J(t− 1 2 )。

對於任意質數 p,Jr(t, θ) =

Pp−1 r=1Pp−1

q=0 Pq

ν=0ξτ rJτ[^{t−(q−ν)θ−ν}_p ], ξτ r=

(1, (τ (^q_ν))p 6= 0 0, (τ (^q_ν))p = 0,

如圖一、二、三分別為 p = 3,J0, J1, J2 的分佈。而 deg(Jr) = p。

第二個例子考慮建立一個孤立子系。

同樣地, 我們可考慮運算子空間 O, 運算子 L ∈ O, 求相對應正交運算子的分解,^L

n Ln∈ O。

類似前一個例子中的拉普拉斯的運作, 我們將積分、微分的運算轉換成 +,· 的運算,

(6)

也可求得一遞迴算術公式。再經過反拉普拉斯的運算, 我們可求得另一算術公式, 這便形成一孤立子系 (Soliton Hierarchy)。

我們也可寫下一交換圖, 將其運作清晰看出。

圖1. J0 分佈

(7)

圖2. J₁ 分佈

(8)

圖3. J₂ 分佈令運算子

L= L²₃ = ∂_x²+ qxσ++ rxσ⁻− qr, σ+, σ⁻, σ3, I 是 SL(2, C) 的產生元。

我們可以建立四組運算子 L₁, L₂, L₃, L₀ 皆滿足 L = L²₁ = L²₂ = L²₃ = L²₀, 正規的 n 次方。

令 Bn = L0Lⁿ⁻¹₃ , 取其正規級數展開式的微分項 B_n⁺ 和 Lr, r = 0, 1, 2, 3 做拉氏對 (Lax pairs), 而構成一組孤立子系, 而 deg(L) = 2, 高次級數的孤立子系便不難求得。

五、引申問題及結論

如何將邏輯結構推廣, 建立更廣義的無限維交錯李代數是一有趣的問題, 這將與組合數學 ,自然機 (Automata) 等問題相連繫在一起, 其幾何意義更值得深究, 最終我們將探討戈德爾不完備定理是否真的完備 [11],[12]。

六、文獻參考

1. Geuss R., “The Idea of a Critical The- ory”, Camb. Univ. Press, (1982).

2. 董世平,“G¨odel Imcompleteness Theo- rem”, Mathmedia, Vol. 15, No. 4, pp.

(9)

49-53, (1991).

3. 孟道驥教授與作者在代數群及其延拓會上的應和詩。

4. Gödel V. K., “ Über Formal Unentschei- dbare Sätze der Principia Mathemtia und Verwandter System I”, Monatsh.

Math. Phys., Vol. 38, pp. 173-198, (1931).

5. Nagal E. and Newman J. R.,

“G¨odel’s Proof”, New York Univ.

Press, (1960).

6. Post E.L., “Recursively Enumerable Sets of Positive Integers and Their De- cision Problems”, Bull. Am. Math.

Soc., Vol. 50, pp. 284-316, (1944).

7. Soare R.I., “Recursively Enumerable Sets and Degrees”, Springer-Verlag, (1987).

8. Sacks G. E., “Degree of Unsolvabil- ity”, Ann. of Math. Studies, No. 55, Princeton Univ. Press, (1963).

9. Jeng H.T. and Chin C.H., “On Z₃Frac- tal”, Ann. Meeting of CPS, (1992).

10. Chin C. H. and Chen H. H.,

“On the Spinor Representation of the Infinite Dimensional Grassmannian”, Nucl. Phys. B, Vol. 6, pp. 419-421, (1989).

11. Harrington L. and Soare R.I., “Post’s Program and Imcomplete Recursively Enumerable Sets”, Proc. Natl. Acad.

Sci. U.S.A., Vol. 88, pp. 10242-10246, (1991).

12. Chin C. H. and Jeng H. T., “Ex- act Solution, Jump Function, Fractal Dimension and Entropy Formation of the p-adic Functional Equation x(t) = x(t−1)+(t−θ)”, to appear in the Proc.

of XXI Int. Congress of D. G. M. T. P.

(1992).

—本文作者現任教於交通大學電子物理系_—

序、 系與邏輯、 真理