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第十二章

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Academic year: 2022

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(1)

第十二章

兩母體的統計估計與假設檢定

(2)

學習目的

1. 了解獨立大樣本及小樣本下兩母體平均數差的區間估計與假 設檢定的方法、步驟及其應用。

(3)

學習目的

1. 了解獨立大樣本及小樣本下兩母體平均數差的區間估計與假 設檢定的方法、步驟及其應用。

2. 了解成對樣本成對差的區間估計與假設檢定的方法與步驟。

(4)

學習目的

1. 了解獨立大樣本及小樣本下兩母體平均數差的區間估計與假 設檢定的方法、步驟及其應用。

2. 了解成對樣本成對差的區間估計與假設檢定的方法與步驟。

3. 了解兩母體比例差的區間估計與假設檢定的方法與步驟。

(5)

學習目的

1. 了解獨立大樣本及小樣本下兩母體平均數差的區間估計與假 設檢定的方法、步驟及其應用。

2. 了解成對樣本成對差的區間估計與假設檢定的方法與步驟。

3. 了解兩母體比例差的區間估計與假設檢定的方法與步驟。

4. 熟悉兩樣本變異數比的抽樣分配-F 分配。

(6)

學習目的

1. 了解獨立大樣本及小樣本下兩母體平均數差的區間估計與假 設檢定的方法、步驟及其應用。

2. 了解成對樣本成對差的區間估計與假設檢定的方法與步驟。

3. 了解兩母體比例差的區間估計與假設檢定的方法與步驟。

4. 熟悉兩樣本變異數比的抽樣分配-F 分配。

5. 學習兩母體變異數比的假設檢定方法、步驟及其應用。

(7)

學習目的

1. 了解獨立大樣本及小樣本下兩母體平均數差的區間估計與假 設檢定的方法、步驟及其應用。

2. 了解成對樣本成對差的區間估計與假設檢定的方法與步驟。

3. 了解兩母體比例差的區間估計與假設檢定的方法與步驟。

4. 熟悉兩樣本變異數比的抽樣分配-F 分配。

5. 學習兩母體變異數比的假設檢定方法、步驟及其應用。

6. 熟悉估計兩母體平均數差、比例差時樣本數的選擇。

(8)

學習目的

1. 了解獨立大樣本及小樣本下兩母體平均數差的區間估計與假 設檢定的方法、步驟及其應用。

2. 了解成對樣本成對差的區間估計與假設檢定的方法與步驟。

3. 了解兩母體比例差的區間估計與假設檢定的方法與步驟。

4. 熟悉兩樣本變異數比的抽樣分配-F 分配。

5. 學習兩母體變異數比的假設檢定方法、步驟及其應用。

6. 熟悉估計兩母體平均數差、比例差時樣本數的選擇。

7. 利用 Excel 來作兩母體差異的統計估計與假設檢定。

(9)

本章結構

兩母體的統計估計與假設檢定

成對母體平 均數差的統

計推論 兩個獨立母

體平均數差 的統計推論

-大樣本

兩個獨立母 體平均數差 的統計推論

-小樣本

兩個母體比 例差的統計

推論

兩個母體變 異數比的統

計推論

樣本數的

選擇 Excel 的使用

兩獨立母 體平均數 差統計推 論的基本

概念 兩獨立母 體平均數 差的區間

估計 兩獨立母 體平均數 差的假設

兩獨立母 體平均數 差的區間

估計 兩獨立母 體平均數 差的假設

檢定

成對母體 平均數差 的區間估

成對母體 平均數差 的假設檢

兩個母體 比例差的 區間估計 兩個母體 比例差的 假設檢定

兩樣本變 異數比的 抽樣分配

F 分配 兩母體變 異數比的 區間估計 兩母體變 異數比的 假設檢定

估計兩母 體平均數 差時樣本 數的選擇 估計兩母 體比例差 時樣本數

的選擇

(10)

獨立母體與不獨立母體

X 與 Y 分別代表兩個母體的特質,若 X 與 Y 為統 計獨立,則 X 與 Y 兩母體獨立,否則為不獨立。

兩個獨立母體平均數差的統計推論

-大樣本

(11)

獨立母體與不獨立母體

X 與 Y 分別代表兩個母體的特質,若 X 與 Y 為統 計獨立,則 X 與 Y 兩母體獨立,否則為不獨立。

獨立樣本

分別自兩個獨立母體,隨機獨立抽樣所得的兩個樣本 稱為獨立樣本。

兩個獨立母體平均數差的統計推論

-大樣本

(12)

兩個獨立母體平均數差的統計推論

-大樣本

母體 1 母體 2

X1:元素 µ1:平均數

X2:元素 µ2:平均數

(13)

兩個獨立母體平均數差的統計推論

-大樣本

母體 1 母體 2

X1:元素 µ1:平均數

X2:元素 µ2:平均數

抽取 n1 個樣本 µ1 - µ2:兩母體平均數差 抽取 n2 個樣本

兩獨立樣本

X11, X12, ... , X1n1

:樣本平均數 S12:樣本變異數 X 1

X21, X22, ... , X2n2

:樣本平均數 S22:樣本變異數 X 2

(14)

兩個獨立母體平均數差的統計推論

-大樣本

X 1 - X 2 的抽樣分配

從兩個母體抽取兩個大且獨立的樣本, 的抽樣分 配為(近似)常態分配,

其平均數為:

X 1 - X 2

nX1- X2 = n1 - n2

(15)

兩個獨立母體平均數差的統計推論

-大樣本

X 1 - X 2 的抽樣分配

從兩個母體抽取兩個大且獨立的樣本, 的抽樣分 配為(近似)常態分配,

其平均數為:

X 1 - X 2

變異數為:

nX1- X2 = n1 - n2

V X] 1 - X 2g = v2X1- X2 = n

1

v12

+ nv222

(16)

兩個獨立母體平均數差的統計推論

-大樣本

X 1 - X 2 的抽樣分配

從兩個母體抽取兩個大且獨立的樣本, 的抽樣分 配為(近似)常態分配,

其平均數為:

X 1 - X 2

變異數為:

nX1- X2 = n1 - n2

V X] 1 - X 2g = v2X1- X2 = n

1

v12

+ nv222

v

2X1- X2 的點估計式

S2X1- X2 = nS112

+ nS222

(17)

獨立大樣本母體平均數差 µ1 - µ2 的信賴區間 1. 兩母體變異數已知

兩個獨立母體平均數差的統計推論

-大樣本

X 1 - X 2

] g ! Za/2 vX1- X2

(18)

獨立大樣本母體平均數差 µ1 - µ2 的信賴區間 1. 兩母體變異數已知

2. 兩母體變異數未知

兩個獨立母體平均數差的統計推論

-大樣本

X 1 - X 2

] g ! Za/2 vX1- X2

X 1 - X 2

] g ! Za/2 SX1- X2 _SX1- X2 = ^S12 n1h + S^ 22 n2h i

(19)

獨立大樣本母體平均數差 µ1 - µ2 的信賴區間 1. 兩母體變異數已知

2. 兩母體變異數未知

兩個獨立母體平均數差的統計推論

-大樣本

X 1 - X 2

] g ! Za/2 vX1- X2

X 1 - X 2

] g ! Za/2 SX1- X2 _SX1- X2 = ^S12 n1h + S^ 22 n2h i

季節 雨季(3 月至 5 月) 乾季(10 月至 12 月)

樣本數 92 92

平均數 1,815,233 1,789,992

標準差 85,313 106,125

達美樂新竹地區分店每日營業額統計

(20)

獨立大樣本母體平均數差 µ1 - µ2 的信賴區間 1. 兩母體變異數已知

2. 兩母體變異數未知

3. 兩母體變異數未知但已知相等

兩個獨立母體平均數差的統計推論

-大樣本

X 1 - X 2

] g ! Za/2 vX1- X2

X 1 - X 2

] g ! Za/2 SX1- X2 _SX1- X2 = ^S12 n1h + S^ 22 n2h i

X 1 - X 2

] g ! Za/2 SX1- X2 S

X1- X2 = S p n11

+ n12

b l

(21)

兩個獨立母體平均數差的統計推論

-大樣本

兩樣本的混合變異數

S2P = n1 + n2 - 2 X1i - X 1

^ h

i = 1 n1

/

+ ^X2i - X 2h

i = 1 n2

/

= n1 + n2 - 2 n1 - 1

] gS12 + n] 2 - 1gS22

(22)

兩個獨立母體平均數差的統計推論

-大樣本

兩樣本的混合變異數

S2P = n1 + n2 - 2 X1i - X 1

^ h

i = 1 n1

/

+ ^X2i - X 2h

i = 1 n2

/

= n1 + n2 - 2 n1 - 1

] gS12 + n] 2 - 1gS22

季節 雨季(3 月至 5 月) 乾季(10 月至 12 月)

樣本數(輛) 38 34

平均里程 852 445

標準差 231 162

達美樂新竹地區分店外送機車里程統計

(23)

獨立大樣本母體平均數差 µ1 - µ2 的檢定統計量 1. 兩母體變異數已知

兩個獨立母體平均數差的統計推論

-大樣本

Z = vX1- X2

X 1 - X 2

] g - n^ 1 - n2 h

(24)

獨立大樣本母體平均數差 µ1 - µ2 的檢定統計量 1. 兩母體變異數已知

2. 兩母體變異數未知

兩個獨立母體平均數差的統計推論

-大樣本

Z = vX1- X2

X 1 - X 2

] g - n^ 1 - n2 h

Z = SX1- X2

X 1 - X 2

] g - n^ 1 - n2h

SX1- X2 = ^S12 n1h + S^ 22 n2h

_ i

(25)

獨立大樣本母體平均數差 µ1 - µ2 的檢定統計量 1. 兩母體變異數已知

2. 兩母體變異數未知

3. 兩母體變異數未知但已知相等

兩個獨立母體平均數差的統計推論

-大樣本

Z = vX1- X2

X 1 - X 2

] g - n^ 1 - n2 h

Z = SX1- X2

X 1 - X 2

] g - n^ 1 - n2h

SX1- X2 = ^S12 n1h + S^ 22 n2h

_ i

Z = SX1- X2

X 1 - X 2

] g - n^ 1 - n2h

SX1- X2 = S p ^1 n1h + 1 n^ 2 h

_ i

(26)

兩個獨立母體平均數差的統計推論

-大樣本

利用 Excel 做兩母體平均數差的檢定

工具 → 資料分析 → Z 檢定:兩個母體平均數差異檢定

(27)

兩個獨立母體平均數差的統計推論

-大樣本

(28)

兩個獨立母體平均數差的統計推論

-大樣本

組別 大學生人數 碩士生人數

畢業前已有或已找到工作 8 33

一到二週內 146 223

三到四週內 33 89

五到六週內 15 32

七到八週內 12 34

二到三個月 26 26

三到四個月 4 7

四個月以上 6 12

台大畢業生找到第一份工作所花的時間

(29)

t 分配在做母體平均數差 µ1 - µ2 統計推論的假設條件

在下列假設條件為真的情況下,t 分配可用來作母體平均 數差 µ1 - µ2 的統計推論:

1. 兩母體為常態分配

兩個獨立母體平均數差的統計推論

-小樣本

(30)

t 分配在做母體平均數差 µ1 - µ2 統計推論的假設條件

在下列假設條件為真的情況下,t 分配可用來作母體平均 數差 µ1 - µ2 的統計推論:

1. 兩母體為常態分配

2. 兩樣本為獨立小樣本 (n1 < 30,n2 < 30)

兩個獨立母體平均數差的統計推論

-小樣本

(31)

t 分配在做母體平均數差 µ1 - µ2 統計推論的假設條件

在下列假設條件為真的情況下,t 分配可用來作母體平均 數差 µ1 - µ2 的統計推論:

1. 兩母體為常態分配

2. 兩樣本為獨立小樣本 (n1 < 30,n2 < 30) 3. 兩個母體變異數 σ12σ22 未知

兩個獨立母體平均數差的統計推論

-小樣本

(32)

獨立小樣本常態母體平均數差的信賴區間 1. 兩母體為常態且兩個變異數均已知

兩個獨立母體平均數差的統計推論

-小樣本

X

1

- X

2

] g ! Z

a/2

v

X1- X2

(33)

獨立小樣本常態母體平均數差的信賴區間 1. 兩母體為常態且兩個變異數均已知

2. 兩母體變異數未知

兩個獨立母體平均數差的統計推論

-小樣本

X

1

- X

2

] g ! Z

a/2

v

X1- X2

X 1 - X 2

] g

! t{ , a/2 SX1- X2 _SX1- X2 = ^S12 n1h + S^ 22 n2h i

(34)

獨立小樣本常態母體平均數差的信賴區間 1. 兩母體為常態且兩個變異數均已知

2. 兩母體變異數未知

3. 兩母體變異數未知但已知相等

兩個獨立母體平均數差的統計推論

-小樣本

X

1

- X

2

] g ! Z

a/2

v

X1- X2

X 1 - X 2

] g

! t{ , a/2 SX1- X2 _SX1- X2 = ^S12 n1h + S^ 22 n2h i

X

1

- X

2

] g ! t

v , a/2

S

X1- X2 _SX1- X2 = S p ^1 n1h + 1 n^ 2h i

(35)

兩個獨立母體平均數差的統計推論

-小樣本

樣本數 樣本平均數 標準差

男性病患 14 830 283

女性病患 15 748 275

男、女性病患門診醫療費用的調查結果

資料來源:《全民健康保險統計》,中央健康保險局,2001 年 6 月

(36)

獨立小樣本常態母體平均數差 µ1 - µ2 的檢定統計量 1. 兩母體變異數已知

兩個獨立母體平均數差的統計推論

-小樣本

Z = vX1- X2

X 1 - X 2

] g - n^ 1 - n2 h

(37)

獨立小樣本常態母體平均數差 µ1 - µ2 的檢定統計量 1. 兩母體變異數已知

2. 兩母體變異數未知

兩個獨立母體平均數差的統計推論

-小樣本

Z = vX1- X2

X 1 - X 2

] g - n^ 1 - n2 h

t = SX1- X 2

X 1 - X 2

] g

- n^ 1 - n2 h

(38)

獨立小樣本常態母體平均數差 µ1 - µ2 的檢定統計量 1. 兩母體變異數已知

2. 兩母體變異數未知

3. 兩母體變異數未知但已知相等

兩個獨立母體平均數差的統計推論

-小樣本

Z = vX1- X2

X 1 - X 2

] g - n^ 1 - n2 h

t = SX1- X 2

X 1 - X 2

] g

- n^ 1 - n2 h

t = SX1- X 2

X 1 - X 2

] g

- n^ 1 - n2 h

(39)

兩個獨立母體平均數差的統計推論

-小樣本

訓練課程 受訓成績 平均數 標準差 樣本數

86 80 82 74 82 77 77 83

75 78 72 81 72 73 74 77.73 4.42 15 89 84 85 95 82 87 94 83

83 86 83 87 86.50 4.27 12

兩個訓練課程的差異

(40)

兩個獨立母體平均數差的統計推論

-小樣本

利用 Excel 求解

工具 → 資料分析 → t 檢定:兩個母體平均數差異檢定,假設變異數不相等

(41)

成對樣本

自母體中抽取元素,對同一元素蒐集實驗前後兩個觀察 值所構成的樣本稱為成對樣本(paired samples)。

成對母體平均數差的統計推論

(42)

成對母體平均數差的統計推論

1

n

X1 X2

X11 X21

X1n X2n

X X

抽樣

1

N

X1 X2

X11 X21

X1N X2N

µ1 µ2

成對母體

(43)

成對母體平均數差的統計推論

1

n

X1 X2

X11 X21

X1n X2n

X X

抽樣

1

N

X1 X2

X11 X21

X1N X2N

µ1 µ2

成對母體

µ1 - µ2 = µD

D = X1 - X2

1

N

D1 = X11 - X21

DN = X1N - X2N

µD

成對差母體

(44)

成對母體平均數差的統計推論

D = X1 - X2

1

n

D1 = X11 - X21

Dn = X1n - X2n

1

n

X1 X2

X11 X21

X1n X2n

X X

抽樣 抽樣

X1- X2 = D

1

N

X1 X2

X11 X21

X1N X2N

µ1 µ2

成對母體

µ1 - µ2 = µD

D = X1 - X2

1

N

D1 = X11 - X21

DN = X1N - X2N

µD

成對差母體

(45)

成對差大樣本平均數的抽樣分配

成對母體平均數差的統計推論

n

D

= n

D

v

2D

= n v

2D

(46)

成對母體平均數差 µD 的信賴區間

1. 大樣本變異數 σD2 已知

成對母體平均數差的統計推論

D ! Za/2 vD

(47)

成對母體平均數差 µD 的信賴區間

1. 大樣本變異數 σD2 已知

2. 大樣本變異數 σD2 未知

成對母體平均數差的統計推論

D ! Za/2 vD D ! Za/2 SD

(48)

成對母體平均數差 µD 的信賴區間

1. 大樣本變異數 σD2 已知

2. 大樣本變異數 σD2 未知

3. 小樣本 D 母體分配為常態分配,σD2 已知

成對母體平均數差的統計推論

D ! Za/2 vD D ! Za/2 SD

D ! Za/2 vD

(49)

成對母體平均數差 µD 的信賴區間

1. 大樣本變異數 σD2 已知

2. 大樣本變異數 σD2 未知

3. 小樣本 D 母體分配為常態分配,σD2 已知

4. 小樣本 D 母體分配為常態分配,σD2 未知

成對母體平均數差的統計推論

D ! Za/2 vD D ! Za/2 SD

D ! Za/2 vD

D ! t

n - 1 , a/2

S

D

(50)

學童代號 減肥前體重 減肥後體重 體重差 D2 X1 X2 D = X1 - X2

1 75 65 10 100

2 82 68 14 196

3 61 53 8 64

4 62 57 5 25

5 77 62 15 225

Σ D = 52 Σ D2 = 610

減肥學童體重的變化

成對母體平均數差的統計推論

(51)

成對母體平均數差 µD 的檢定統計量

1. 大樣本變異數已知:

成對母體平均數差的統計推論

Z =

n vD

D - nD

(52)

成對母體平均數差 µD 的檢定統計量

1. 大樣本變異數已知:

2. 大樣本變異數未知:

成對母體平均數差的統計推論

Z =

n vD

D - nD

Z =

n SD

D - nD

(53)

成對母體平均數差 µD 的檢定統計量

1. 大樣本變異數已知:

2. 大樣本變異數未知:

3. 小樣本母體常態變異數已知:

成對母體平均數差的統計推論

Z =

n vD

D - nD

Z =

n SD

D - nD

Z =

n vD

D - nD

(54)

成對母體平均數差 µD 的檢定統計量

1. 大樣本變異數已知:

2. 大樣本變異數未知:

3. 小樣本母體常態變異數已知:

4. 小樣本母體常態變異數未知:

成對母體平均數差的統計推論

Z =

n vD

D - nD

Z =

n SD

D - nD

Z =

n vD

D - nD

t =

n SD

D - nD

(55)

成對母體平均數差的統計推論

觀賞前形象分數 X1i 觀賞後形象分數 X2i 成對差 Di Di2

64 65 -1 1

24 26 -2 4

42 46 -4 16

38 35 3 9

62 67 -5 25

Σ D = -9 Σ D2 = 55

形象分數-成對資料

(56)

成對母體平均數差的統計推論

利用 Excel 求解

(57)

兩個母體比例差的統計推論

獨立大樣本母體比例 的抽樣分配Wp1 - pW2

Wp

1 - pW

2 ~N nWp

1- pW

2 , vWp

1- pW

2

_ 2 i

(58)

兩個母體比例差的統計推論

平均數:

獨立大樣本母體比例 的抽樣分配Wp1 - pW2

Wp

1 - pW

2 ~N nWp

1- pW

2 , vWp

1- pW

2

_ 2 i

nWp

1- pW

2 = p1 - p2

(59)

兩個母體比例差的統計推論

平均數:

變異數:

獨立大樣本母體比例 的抽樣分配Wp1 - pW2

Wp

1 - pW

2 ~N nWp

1- pW

2 , vWp

1- pW

2

_ 2 i

nWp

1- pW

2 = p1 - p2

vWp

1- pW

2

2 = np1 q1 1

+ np2 q2 2

(60)

兩個母體比例差的統計推論

平均數:

變異數:

大樣本母體比例差的信賴區間

獨立大樣本母體比例 的抽樣分配Wp1 - pW2

Wp

1 - pW

2 ~N nWp

1- pW

2 , vWp

1- pW

2

_ 2 i

nWp

1- pW

2 = p1 - p2

vWp

1- pW

2

2 = np1 q1 1

+ np2 q2 2

Wp

1 - pW

a 2k ! Za/2 SWp

1- pW

2 SWp1- pW2 = n1

Wp

1qU

1 + n2

Wp

2 qU

e 2 o

(61)

兩個母體比例差的統計推論

平均數:

變異數:

大樣本母體比例差的信賴區間

母體比例差的信賴區間

獨立大樣本母體比例 的抽樣分配Wp1 - pW2

Wp

1 - pW

2 ~N nWp

1- pW

2 , vWp

1- pW

2

_ 2 i

nWp

1- pW

2 = p1 - p2

vWp

1- pW

2

2 = np1 q1 1

+ np2 q2 2

Wp

1 - pW

a 2k ! Za/2 SWp

1- pW

2 SWp1- pW2 = n1

Wp

1qU

1 + n2

Wp

2 qU

e 2 o

Wp

- pW

a k ! Za/2 SW W SW W = 21 n

# 21

+ 21 n

# 21

f p

(62)

兩個母體比例差的統計推論

母體比例差的檢定統計量

Z = SWp

1- pW

2

Wp

1 - pW

a 2k - p^ 1 - p2h

(63)

兩個母體比例差的統計推論

母體比例差的檢定統計量

Z = SWp

1- pW

2

Wp

1 - pW

a 2k - p^ 1 - p2h

生產線 瑕疵品數目 抽樣數

生產線 1 6 50

生產線 2 6 40

兩生產線瑕疵率的檢討

(64)

兩個母體變異數比的統計推論

的分配

v

12

v

22

S

12

S

22

v

12

v

22

S

12

S

22

= S

22

v

12

S

12

v

22

~F

n1- 1 , n2- 1

(65)

兩個母體變異數比的統計推論

F 分配的性質

1. F 分配為一右偏分配。F 分配決定於兩個自由度 v1 , v2,不同的 v1 , v2 有不同的 F 分配。

(66)

兩個母體變異數比的統計推論

F 分配的性質

1. F 分配為一右偏分配。F 分配決定於兩個自由度 v1 , v2,不同的 v1 , v2 有不同的 F 分配。

2. F 分配的平均數與變異數:

E F] g = v2 - 2 v2

v2 > 2

] g V F] g =

v1 ]v2 - 2g2 ]v2 - 4g 2v22 ]v1 + v2 - 2g

v2 > 4

] g

(67)

兩個母體變異數比的統計推論

F 分配的性質

1. F 分配為一右偏分配。F 分配決定於兩個自由度 v1 , v2,不同的 v1 , v2 有不同的 F 分配。

2. F 分配的平均數與變異數:

3. F 分配的定理:

E F] g = v2 - 2 v2

v2 > 2

] g V F] g =

v1 ]v2 - 2g2 ]v2 - 4g 2v22 ]v1 + v2 - 2g

v2 > 4

] g

S22 v12 S12 v22

~Fn1- 1 , n2- 1

(68)

兩個母體變異數比的統計推論

F 分配的性質

1. F 分配為一右偏分配。F 分配決定於兩個自由度 v1 , v2,不同的 v1 , v2 有不同的 F 分配。

2. F 分配的平均數與變異數:

3. F 分配的定理:

4. tv2 = F1 , v。意即自由度 v 的 t 隨機變數的平方恰為自 由度 1 與 v 的 F 隨機變數。

E F] g = v2 - 2 v2

v2 > 2

] g V F] g =

v1 ]v2 - 2g2 ]v2 - 4g 2v22 ]v1 + v2 - 2g

v2 > 4

] g

S22 v12 S12 v22

~Fn1- 1 , n2- 1

參考文獻

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