Introduction to Scientiﬁc Computing 科

(1)

Introduction to Scientiﬁc Computing

科學計算導論期中考 A 卷

Name:

Student ID number:

Guidelines for the test:

• 在每頁最上方寫上你的學號或姓名

• ^共四題, 第一題為是非題, 第二題為選擇題, 這兩題皆無部份分數. 第三題為計算題, 請把最後結果清楚標示. 第四題為 programming.

• 第四題分兩部分:

1. (a) 部份計算使用幾個初始值時的數值解.

2. (b) 部份為作圖題. 完成後, 請找助教或老師協助將學號打在圖上由印表機印出.

• 請先執行sample.m, 確認程式可以正確執行.將 sample.m 及 myf.m 另存新檔後, 再開始寫.

• 交卷前, 程式請放入一資料夾中再壓縮成一壓縮檔(_{以學號為檔名}), _{再存入助教的隨身碟中}.

(2)

科學計算導論期中考 A卷 Student ID number:

1. (10 pts) _考慮一 LC(_電感電容) _電路. _{假設電路中的電容為}C, _電感為L_{而電路中電流為}i, _其中電

流i(t)為時間的函數且滿足以下的微分方程: d²

dt²i(t) + 1

LCi(t) = 0.

各物理量的因次分別為: 時間[t] = T , 電流[i] = I, 電容[C] = V⁻¹IT , 電感[L] = V I⁻¹T (_註V_{是電壓的因次}). _{請回答以下五個是非題} (True ⇒ ° ; False ⇒ ×):

LC 電路中電流隨時間變化的情形與(_無磨擦)彈簧系統位移隨時間變化的情形類似.

電流隨時間變化是一週期性運動且週期為LC.

我們只需要分析 d²

dt²i(t) + i(t) = 0這個方程就夠了. 其他不同L,C的系統可以經過

scaling(縮放/變數變換) 的技巧得到.

電流隨時間變化是一週期性運動且初始電流越大週期越小.

電流隨時間變化是一週期性運動且初始電流越大週期越大.

2. (10 pts) 二次大戰期間一位英國流體力學學者 G.I.Taylor 使用因次分析 (Dimensional Anal- ysis) _{得到了原子彈爆炸時}, 球形震波半徑與時間的關係. _{相關的物理量有}: _{球形震波半徑} R, _時間 t,

原子彈釋放的能量 E及初始的空氣密度ρ₀. 各物理量的因次分別為: 半徑[R] = L, 時間[t] = T , 能量[E] = M L²T⁻²及初始的空氣密度[ρ₀] = M L⁻³. 請問該學者得到的公式為何? (註: c為一無因次常數) Hint: _檢查因次(dimension)

(A) R = cE^2/5ρ^2/5₀ t^−3/5, (B) R = cE²ρ⁻²₀ t³, (C) R = cE^1/5ρ^−1/5₀ t^2/5, (D) R = cEρ⁻¹₀ t². 3. (20 pts) 考慮以下系統

dx

dt = 2x− x²− xy, dy

dt =−y + xy,

求系統的 (三個) 平衡點並分析各平衡點的(線性) 穩定性為下表六種中的那一種

(a) unstable node, (b) stable node, (c) saddle point (unstable), (d) unstable spiral, (e) stable spirals (f) center .

Hint:

• (Linear Stability Analysis)先找出系統在平衡點附近的Jacobi matrix. 再由Jacobi matrix的特徵值判斷穩定性.

• 例如

{ _dx

dt = 2x− x²,

dy

dt = y, ^在平衡點(0, 0)的 Jacobi matrix 為

( 2 0 0 1

)

, 特徵值為2, 1. 該非線性系統在平衡點(2, 0)附近的行為與

{ _dx

dt = 2x,

dy

dt = y, ^相似,故平衡點(0, 0)為

unstable node.

Page 1

(3)

科學計算導論期中考 A_卷 Student ID number:

Ans:

• ^點一: ;穩定 /不穩定;六種模式中的哪一種: ,

• ^點二: ;穩定 /不穩定: 六種模式中的哪一種: ,

• 點三: ;穩定 /不穩定: 六種模式中的哪一種: ,

計算過程:

Page 2

(4)

科學計算導論期中考 A_卷 Student ID number:

4. (60 pts) 提供的sample.m 及myf.m 是以matlab內建的 ode45解以下初始值問題(Initial Value Problem) _的 matlab _程式:

dx

dt = y, 0 < t < 40, dy

dt =−ω²0x, x(0) = x₀, y(0) = y₀,

請參考 sample.m 及 myf.m 寫出一個 Matlab 的程式以內建的 ode45解以下 Population model:

dx

dt = 2x− x²− xy, 0 < t < 10, dy

dt =−y + xy, x(0) = x₀, y(0) = y₀,

(a) 針對下列幾個不同初始值,使用你的程式計算數值解在T = 10的值:

• (x0, y₀) = (1, 0), x(10) = , y(10) = ,

• (x0, y₀) = (2, 2), x(10) = , y(10) = ,

(b) _令(x₀, y₀) = (2, 2), _將數值解x(t)_與y(t)_{對時間作圖}(以不同種線畫在同一張圖)

• 使用 legend功能,正確標示x(t)與y(t)

• 正確標示 x-axis 與 y-axis (xlabel,ylabel): x 軸為 Time; y軸為 population.

• 完成後, 請助教或老師協助將學號打在圖上由印表機印出.

• 程式請放入一資料夾中再壓縮成一壓縮檔 (以學號為檔名), 再存入助教的隨身碟中. Tips for programming:

(a) 可以參考第三題的結果來判斷程式的結果是否合理

(b) 檢查 (大, 中, 小)括弧有沒有打錯, 有沒有成對. (c) 如果一直找不到錯誤, 建議重新寫.

Page 3