教育部九十五學年度高級中學數學競賽

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嘉義區複賽試題（二）【參考解答】

一、【解】

因為9 8 7 6 5 7     42可被 3 整除，且9 8 7 6 5 7     0可被 11 整除，所 以987657有質因數 3 和 11。現在

9 8 7 6 5 7  3 1 1 2 9 9 2 9

但已知987657有 12 個正因數，且 29929 不含 3 或 11 為其因數，所以 29929 必可 寫成p 的形式，其中² p為質數，因此將 29929 開平方得29929 173 ²，經檢驗 173 確為質數，故 987657 的所有質因數為 3, 11, 173.

二、【解】

2 2 2

2 3 3

13 9 9 9 3 3 3

x x x y y y

x y z z

          

1

9 2 9 13

13 3

9 3

x y

z

    

 

       





9 3

13 9 3 x y z

 

 

   

 

所以 ^{x y z3 2 }





等號成立於

2

3 1

9 3 x y

 z  故 x y 的最大值為^{3 2} 3⁷.

三、【證明】

2

2 2

2 2

1 1 4 1

2 8 1

5 10

1 5 1

x x x

x x

       

  .

( )

甲、 當 2x² 8 0，則 8 2x²  1 x²  7 3x²

因此 ^{7 2} 4 3x  .

乙、 當 2x² 8 0，則 2x²  8 1 x² x² 9 因此 4x² 9.

由(a), (b)得到 ^{7 2} 9

3x  結果 7 2 3

   .

四、【解】

設雙曲線方程式為

2 2

2 2 1

x y a b 

若雙曲線的切線L斜率為 m ，則L的方程式為ymx a m^{2 2}b² 今兩切線的斜率分別為1, 2 ，所以可得

a²b² 2與 4a²b² 5

解得a² 7, b² 3。故雙曲線的方程式為

2 2

7 3 1 x y

  .

五、【解】

小明所猜紅球數與 10 個至多相差 3 的事件相當於 2 0 7 , 8 , 9 , 1 0 , 1 1 , 1 2 , 1 3

8

m 

 

 

此相當於m3, 4,5.

而

10 10 10 10 10 10

3 5 4 4 5 3

20 8

( 3, 4,5) 3486.

4199

C C C C C C

P m C

    

  

六、【解】

A B C_{1 1} 的面積是₁ ABC的面積減去A B C_{1 1 1}, BA B_{1 1}, CB C_{1 1}三個三角形的面積。

AA C_{1 1}的面積 ¹ _{1 1} sin 2 AA AC A

  

^{1 2 3} s i n 2 5A B 5A C A

   

^{6 1} sin 25 2AB AC A

   

⁶

25 ABC

  的面積.

同理BA B_{1 1}, CB C_{1 1}的面積皆為ABC的 ⁶

25. 故A B C_{1 1 1}的面積是ABC的

6 7

1 3

25 25

   .

同理A B C_{2 2 2}的面積是A B C_{1 1 1}的 ⁷

25，其餘類推。所以 A B C^{1 1} , ¹A B C² , ^{2 2}

ABC

 



的面積和 的面積

2 3

7 7 7

+ + +

25 25 25

= 1

   

   

   

7

= 25 1- 7

25 = ⁷

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