5.3. Determinant of 3 × 3 Matrix

134 5. Determinant

由於一個矩陣經由 row operation 後取 transpose 就等同於將原矩陣的 transpose 做 column operation. 因 此 Theorem 5.2.6 (3) 告 訴 我 們 elementary column operation 對 determinant 的影響和 elementary row operation 對 determinant 的影響是一致的. 換言之, Theorem 5.2.5 也可改寫成以下的形式.

Corollary 5.2.7. 假設 A 為 n× n matrix. 若 E 為 elementary matrix, 則 det(AE) = det(E) det(A).

接著, 我們證明若 det 這個函數存在, 則它會是唯一的. 這裡的證明有一個很關鍵的觀念 大家要注意, 就是本節中所有的性質我們都僅用前一節中對 det 所要求的四個性質推導出來 的. 因此不管任何的函數, 只要符合這四個性質就都會符合前面這幾個定理.

Theorem 5.2.8. 最多僅有唯一的函數 det : M_n×n(R) → R 會滿足 (1) det(In) = 1.

(2) 若將 n× n matrix A 某相鄰兩個 row 交換所得的矩陣為 A^′, 則 det(A^′) =−det(A).

(3) 若將 n×n matrix A 某個 row 乘上非零實數 r 所得的矩陣為 A^′, 則 det(A^′) = r det(A).

(4) 若 A, B,C 三個 n× n matrix, 其中 A 的 i-th row 是 B 和 C 的 i-th row 之和, 而 A, B,C 其他各 row 皆相等, 則 det(A) = det(B) + det(C).

Proof. 假 設 det : M_n×n(R) → R 和 det^′ : M_n×n(R) → R 皆滿足這四項規則. 考慮 n × n matrix A, 若 A 不是 invertible, 則由 Theorem 5.2.6 (1) 知 det(A) = det^′(A) = 0. 而若 A 為 invertible, 則存在 elementary matrices E₁, . . . , E_k 使得 A = E_k···E1. 因此由 Theorem 5.2.6 (2) 得 det(A) = det(E_k)···det(E1)以及 det^′(A) = det^′(E_k)···det^′(E₁). 最後又由於對任意 elementary matrix E 皆有 det(E) = det^′(E), 我們證得

det(A) = det(E_k)···det(E1) = det^′(E_k)···det^′(E₁) = det^′(A).

因為對任意 A∈ Mn×n(R), 皆有 det(A) = det^′(A), 我們證得 det 和 det^′ 為相同的函數.  或許同學會疑惑, 這裡明明已求出了所有 n× n matrix 的 determinant, 為什麼不是證 出了存在性呢? 主要的原因是, 每一個 invertible matrix 寫成 elementary matrix 的乘積其 寫法並不唯一. 所以我們無法利用這個方法定出 det 這個函數來, 因為有可能會因為寫成 elementary matrix 乘積的方法不同而得到不同的 determinant. 如此一來就違背函數同一 個元素不能有不同取值的要求. 所以也唯有以後我們證明了 det 確實存在後, 才能確保一個 invertible matrix 寫成不同 elementary matrix 的乘積, 仍可求出相同的 determinant.

最後我們介紹如何利用 elementary row operation 求 n×n matrix 的 determinant. 首先 我們先用 elementary row operations 將矩陣變為 echelon form. 而且在化為 echelon form 的 過程中只用 (1) 兩 row 交換 (此時 determinant 變號) 以及 (3) 將某個 row 乘上非零實數 r 加到另一個 row (此時 determinant 不會改變), 這兩種 row operations. 若發現 pivot 的個數 小於 n, 則我們得矩陣的 determinant 為 0. 而若 pivot 的個數為 n, 則我們利用做了幾次兩 row 交換的 row operation, 就可由 echelon form 的 determinant 得到原矩陣的 determinant

(即做了奇數次變號, 偶數次不變號). 然而如何求一個 echelon form 的 determinant 呢? 由 於一個 n× n matrix 的 echelon form 一定是一個 upper triangular matrix (上三角矩陣), 也 就是說矩陣 diagonal (對角線) 的位置 (即 (i, i)-th entry) 以下的位置皆為 0 (即 ai j= 0, for i > j), 此時下一個定理告訴我們其 determinant 就是 diagonal entries 的乘積.

Proposition 5.2.9. 假設 A = [ai j] 為 n× n upper triangular matrix 則 det(A) = a1 1···an n, 即 det(A) 為 A 的 diagonal entries 的乘積.

Proof. 假設 A 有一個 diagonal entry a_{i i} 為 0, 因為 A 為 upper triangular, 我們知 A 化為 echelon form 後其 pivot 的個數必小於 n. 因此 A 不是 invertible, 得知 det(A) = 0. 而此時 A 的 diagonal entries 的乘積 a1 1···ai i···an n 亦為 0, 故得證 det(A) = 0 = a1 1···an n.

現若 A 的 diagonal entry 皆不為 0, 此時將 A 的每個 row 做以下的 elementary row operation: 就是對每一個 i∈ {1,...,n}, 將 A 的 i-st row 乘上 1/ai i. 令所得的矩陣為 A^′, 此 時我們有 det(A) = a1 1···an ndet(A^′). 因為 A^′ 的 diagonal entry 皆為 1, 利用 echelon form 化 為 reduced echelon form 的方法 (參見 Section 1.3), 我們從最後一個 row (即 n-th row) 開 始由下往上的利用該 row 乘上非零實數加到另一個 row 的方法將 A^′ 化為 I_n. 因為這裡所 用的 elementary row operations 都不會影響 determinant, 所以我們有 det(A^′) = det(In) = 1.

因此得證 det(A) = a_{1 1}···an ndet(A^′) = a_{1 1}···an n 

Question 5.2. 假設 A = [ai j] 為 n× n lower triangular matrix, 即 A 的 diagonal 以上的 位置皆為 0 (即 a_{i j}= 0, for i < j). 試證明 det(A) = a_{1 1}···an n, 即 det(A) 為 A 的 diagonal entries 的乘積.

Example 5.2.10. 我們利用 elementary row operation 求







0 2 −1 1 1 2 0 2 1 4 −2 6 2 6 −1 8





 的 determi-

nant. 首先將 1-st, 2-nd row 交換得







1 2 0 2 0 2 −1 1 1 4 −2 6 2 6 −1 8





 (注意此時 determinant 會變號). 接

著將 1-st row 分別乘上−1,−2 加到 3-rd, 4-th row 得







1 2 0 2 0 2 −1 1 0 2 −2 4 0 2 −1 4





 (注意此時 deter- minant 不會改變). 最後將 2-nd row 分別乘上−1,−1 加到 3-rd, 4-th row 得 echelon form







1 2 0 2 0 2 −1 1 0 0 −1 3 0 0 0 3





 (注意此時 determinant 不會改變). 利用 Proposition 5.2.9 我們知最後所 得的 echelon form 其 determinant 為−6, 又整個化為 echelon form 的過程中僅用了一次兩

136 5. Determinant

row 交換的 row operation, 故 determinant 僅變號一次, 得知

det







0 2 −1 1 1 2 0 2 1 4 −2 6 2 6 −1 8





 = −det







1 2 0 2 0 2 −1 1 0 0 −1 3 0 0 0 3





 = 6.

5.3. Determinant of 3 × 3 Matrix

我們利用上一節有關 determinant 的性質, 寫出 3× 3 matrix 的 determinant 可能的形式, 從而證明 3× 3 matrix 的 determinant 確實存在. 同時我們利用此 determinant 定義出 R³ 中三個向量所張成的平行六面體的 signed volume.

在 Theorem 5.2.6 (3) 中, 我們知道 det(A^t) = det(A). 因此有關 determinant 和 row 有關 的性質, 對於 column 也有相對應的性質. 例如我們對 determinant 要求的 (3)(4) 兩個所謂 multi-linear 的性質, 是和 row 有關的, 因此對於 column 也會有 multi-linear 的性質. 我們 大致圖示如下 (所有向量寫成 column vector):

det



  

v₁ ··· vi+ rv^′_i ··· vn



 = det



   v₁ ··· vi ··· vn



 + rdet



   v₁ ··· v^′i ··· vn



.

考慮 3×3 matrix A =



 a_{1 1} a_{1 2} a_{1 3} a_{2 1} a_{2 2} a_{2 3} a3 1 a3 2 a3 3



. 利用 determinant 對於 column 的 multi-linear

的性質, 由於 A 的 1-st column 可以寫成 a_{1 1}



1 0 0



 + a_{2 1}



0 1 0



 + a_{3 1}



0 0 1



, 我們有

det



 a_{1 1} a_{1 2} a_{1 3} a_{2 1} a_{2 2} a_{2 3} a_{3 1} a_{3 2} a_{3 3}



 =

a_{1 1}det



 1 a_{1 2} a_{1 3} 0 a_{2 2} a_{2 3} 0 a3 2 a3 3



 + a_{2 1}det



 0 a_{1 2} a_{1 3} 1 a_{2 2} a_{2 3} 0 a3 2 a3 3



 + a_{3 1}det



 0 a_{1 2} a_{1 3} 0 a_{2 2} a_{2 3} 1 a3 2 a3 3



.

當我們計算 det



 1 a_{1 2} a_{1 3} 0 a_{2 2} a_{2 3} 0 a_{3 2} a_{3 3}



 時, 我們可以利用上一節最後所介紹的方法, 用 elementary row operation 將矩陣先化為 echelon form. 由於我們不必動到 1-st row, 事實上我們是將 [ a_{2 2} a_{2 3}

a_{3 2} a_{3 3} ]

化為 echelon form. 因此我們有 det



 1 a_{1 2} a_{1 3} 0 a_{2 2} a_{2 3} 0 a3 2 a3 3



 = det[

a_{2 2} a_{2 3} a_{3 2} a_{3 3}

] . 同理, 利用 det 的性質, 我們有

det



 0 a1 2 a1 3

1 a2 2 a2 3

0 a_{3 2} a_{3 3}



 = −det



 1 a2 2 a2 3

0 a1 2 a1 3

0 a_{3 2} a_{3 3}



 = −det[

a1 2 a1 3

a_{3 2} a_{3 3} ]

,

det



 0 a_{1 2} a_{1 3} 0 a2 2 a2 3

1 a3 2 a3 3



 = −det



 0 a_{1 2} a_{1 3} 1 a3 2 a3 3

0 a2 2 a2 3



 = det



 1 a_{3 2} a_{3 3} 0 a1 2 a1 3

0 a2 2 a2 3



 = det[

a_{1 2} a_{1 3} a2 2 a2 3

] . 因此依照 determinant 的性質 det(A) “應該” 定義為

det



 a_{1 1} a_{1 2} a_{1 3} a_{2 1} a_{2 2} a_{2 3} a3 1 a3 2 a3 3



 = a_{1 1}det

[ a_{2 2} a_{2 3} a3 2 a3 3

]

− a2 1det

[ a_{1 2} a_{1 3} a3 2 a3 3

]

+ a_{3 1}det

[ a_{1 2} a_{1 3} a2 2 a2 3

] . 注意, 這裡我們是根據 det 應有的性質寫下的定義, 它也確實是一個從 M_3×3 到 R 的函數 (不會將同一個矩陣送至不同的值). 不過這並不表示這樣定義出來的函數會符合當初我們要 求的四個性質. 所以接下來我們將驗證這樣的定義確實會符合當初要求的四個性質, 也因此 證明了 3× 3 matrix 的 determinant 確實存在 (且唯一).

首先檢查 det(I3) = 1. 依定義 det



 1 0 0 0 1 0 0 0 1



 = 1det[ 1 0 0 1

]

− 0det [ 0 0

0 1 ]

+ 0 det [ 0 0

1 0 ]

= 1.

故 det(I3) = 1 成立.

接著檢查相鄰兩個 row 互換後 determinant 會變號. 依定義 det



 a1 1 a1 2 a1 3

a2 1 a2 2 a2 3

a3 1 a3 2 a3 3



 = a_{1 1}det

[ a2 2 a2 3

a3 2 a3 3

]

− a2 1det

[ a1 2 a1 3

a3 2 a3 3

]

+ a3 1det

[ a1 2 a1 3

a2 2 a2 3

] ,

det



 a2 1 a2 2 a2 3

a_{1 1} a_{1 2} a_{1 3} a_{3 1} a_{3 2} a_{3 3}



 = a_{2 1}det

[ a1 2 a1 3

a_{3 2} a_{3 3} ]

− a1 1det

[ a2 2 a2 3

a_{3 2} a_{3 3} ]

+ a_{3 1}det

[ a2 2 a2 3

a_{1 2} a_{1 3} ]

,

det



 a1 1 a1 2 a1 3

a3 1 a3 2 a3 3

a2 1 a2 2 a2 3



 = a_{1 1}det

[ a3 2 a3 3

a2 2 a2 3

]

− a3 1det

[ a1 2 a1 3

a2 2 a2 3

]

+ a2 1det

[ a1 2 a1 3

a3 2 a3 3

] . 由於 2× 2 matrix 的兩個 row 互換後其 determinant 會變號, 我們有

det

[ a_{3 2} a_{3 3} a_{2 2} a_{2 3}

]

=−det

[ a_{2 2} a_{2 3} a_{3 2} a_{3 3}

] , det

[ a_{2 2} a_{2 3} a_{1 2} a_{1 3}

]

=−det

[ a_{1 2} a_{1 3} a_{2 2} a_{2 3}

] . 因此得證

det



 a2 1 a2 2 a2 3

a1 1 a1 2 a1 3

a_{3 1} a_{3 2} a_{3 3}



 = −det



 a1 1 a1 2 a1 3

a2 1 a2 2 a2 3

a_{3 1} a_{3 2} a_{3 3}



,

det



 a1 1 a1 2 a1 3

a3 1 a3 2 a3 3

a2 1 a2 2 a2 3



 = −det



 a1 1 a1 2 a1 3

a2 1 a2 2 a2 3

a3 1 a3 2 a3 3



.

至於性質 (3), (4) 我們合併檢查, 即檢查 multi-linear 性質. 依定義 det



 a1 1+ rb1 1 a1 2+ rb1 2 a1 3+ rb1 3

a_{2 1} a_{2 2} a_{2 3} a_{3 1} a_{3 2} a_{3 3}



 = (a_{1 1}+ rb_{1 1}) det

[ a2 2 a2 3

a_{3 2} a_{3 3} ]

−

a_{2 1}det

[ a1 2+ rb1 2 a1 3+ rb1 3

a_{3 2} a_{3 3} ]

+ a_{3 1}det

[ a1 2+ rb1 2 a1 3+ rb1 3

a_{2 2} a_{2 3} ]

. (5.2)

138 5. Determinant

而 2× 2 matrix 的 determinant 已知有 multi-linear 的性質, 亦即 det

[ a1 2+ rb_{1 2} a1 3+ rb_{1 3} a3 2 a3 3

]

= det

[ a1 2 a1 3

a3 2 a3 3

] + r det

[ b1 2 b1 3

a3 2 a3 3

] ,

det

[ a1 2+ rb_{1 2} a1 3+ rb_{1 3} a2 2 a2 3

]

= det

[ a1 2 a1 3

a2 2 a2 3

] + r det

[ b1 2 b1 3

a2 2 a2 3

] . 因此式子 (5.2) 等式右邊可寫成

( a_{1 1}det

[ a_{2 2} a_{2 3} a_{3 2} a_{3 3}

]

− a2 1det

[ a_{1 2} a_{1 3} a_{3 2} a_{3 3}

]

+ a_{3 1}det

[ a_{1 2} a_{1 3} a_{2 2} a_{2 3}

]) + r

( b_{1 1}det

[ a_{2 2} a_{2 3} a_{3 2} a_{3 3}

]

− a2 1det

[ b_{1 2} b_{1 3} a_{3 2} a_{3 3}

]

+ a_{3 1}det

[ b_{1 2} b_{1 3} a_{2 2} a_{2 3}

]) . 再利用定義還原回 3× 3 matrix determinant 得證

det



 a1 1+ rb_{1 1} a1 2+ rb_{1 2} a1 3+ rb_{1 3} a2 1 a2 2 a2 3

a3 1 a3 2 a3 3



 = det



 a1 1 a1 2 a1 3

a2 1 a2 2 a2 3

a3 1 a3 2 a3 3



+rdet



 b1 1 b1 2 b1 3

a2 1 a2 2 a2 3

a3 1 a3 2 a3 3





同理對於 2-nd row 和 3-rd row 我們有 det



 a1 1 a1 2 a1 3

a2 1+ rb2 1 a2 2+ rb2 2 a2 3+ rb2 3

a_{3 1} a_{3 2} a_{3 3}



 = det



 a1 1 a1 2 a1 3

a2 1 a2 2 a2 3

a_{3 1} a_{3 2} a_{3 3}



+rdet



 a1 1 a1 2 a1 3

b2 1 b2 2 b2 3

a_{3 1} a_{3 2} a_{3 3}





det



 a1 1 a1 2 a1 3

a_{2 1} a_{2 2} a_{2 3} a_{3 1}+ rb_{3 1} a_{3 2}+ rb_{3 2} a_{3 3}+ rb_{3 3}



 = det



 a1 1 a1 2 a1 3

a_{2 1} a_{2 2} a_{2 3} a_{3 1} a_{3 2} a_{3 3}



+rdet



 a1 1 a1 2 a1 3

a_{2 1} a_{2 2} a_{2 3} b_{3 1} b_{3 2} b_{3 3}





我們利用 2× 2 matrix 的 determinant 存在來證明 3 × 3 matrix 的 determinant 存在, 這樣的方法稱為 “降階” 的方法. 下一節中, 我們要用降階的方法以及數學歸納法證明任 意 n× n matrix 的 determinant 皆存在. 其實我們這裡定義出 determinant 方法稱為對 1-st column 展開的降階, 我們也可以對 2-nd column 以及 3-rd column 展開. 為了方便起見, 我 們有以下的定義.

Definition 5.3.1. 假設 A = [ai j] 為 3× 3 matrix. 將 A 的 i-th row 和 j-th column 除去所 得的 2× 2 matrix, 稱為 A 的 (i, j) minor matrix, 用 Ai j 表示. 令 a^′_{i j}= (−1)^{i+ j}det(A_{i j}),稱 為 A 的 (i, j) cofactor.

依此定義, 當初 det(A) 的定義可以寫成

det(A) = a_{1 1}a^′_{1 1}+ a_{2 1}a^′_{2 1}+ a_{3 1}a^′_{3 1}.

如果我們一開始將 det(A) 定義為 det(A) = a_{1 2}a^′_{1 2}+ a_{2 2}a^′_{2 2}+ a_{3 2}a^′_{3 2}, 即對 2-nd column 展開, 得

det



 a1 1 a1 2 a1 3

a2 1 a2 2 a2 3

a_{3 1} a_{3 2} a_{3 3}



 = −a1 2det

[ a2 1 a2 3

a_{3 1} a_{3 3} ]

+ a_{2 2}det

[ a1 1 a1 3

a_{3 1} a_{3 3} ]

− a3 2det

[ a1 1 a1 3

a_{2 1} a_{2 3} ]

. 如同前面的證明會發現這個定義仍符合我們對 det 四項要求 (注意 cofactor 的正負號變 化, 確保 det(I₃) = 1). 因此由 det 的唯一性 (參見 Theorem 5.2.8), 我們知道這樣求出的

determinant 和對 1-st column 展開的結果是一樣的. 同樣的我們也可對 3-rd column 展開 得

det



 a_{1 1} a_{1 2} a_{1 3} a_{2 1} a_{2 2} a_{2 3} a3 1 a3 2 a3 3



 = a_{1 3}det

[ a_{2 1} a_{2 2} a3 1 a3 2

]

− a2 3det

[ a_{1 1} a_{1 2} a3 1 a3 2

]

+ a_{3 3}det

[ a_{1 1} a_{1 2} a2 1 a2 2

] . 又因為 det(A) = det(A^t), 我們可以將 A 轉置後對 A^t 的 1-st column 展開得

det



 a1 1 a2 1 a3 1

a_{1 2} a_{2 2} a_{3 2} a_{1 3} a_{2 3} a_{3 3}



 = a_{1 1}det

[ a2 2 a3 2

a_{2 3} a_{3 3} ]

− a1 2det

[ a2 1 a3 1

a_{2 3} a_{3 3} ]

+ a_{1 3}det

[ a2 1 a3 1

a_{2 2} a_{3 2} ]

. 然而 2× 2 matrix 取轉置後其 determinant 也不變, 所以上式等號右邊可改寫為

a_{1 1}det

[ a_{2 2} a_{2 3} a_{3 2} a_{3 3}

]

− a1 2det

[ a_{2 1} a_{2 3} a_{3 1} a_{3 3}

]

+ a_{1 3}det

[ a_{2 1} a_{2 2} a_{3 1} a_{3 2}

] .

因此得知 det(A) = det(A^t) = a1 1a^′_{1 1}+ a1 2a^′_{1 2}+ a1 3a^′_{1 3},也就是說 determinant 也可對 1-st row 展開求得. 同理對 2-nd row 和 3-rd row 展開也可求得 determinant. 我們有以下的定理.

Theorem 5.3.2. 假設 A = [a_{i j}] 為 3× 3 matrix. 令 a^′_{i j} 為 A 的 (i, j) cofactor, 則

det(A) = a1 1a^′_{1 1}+ a2 1a^′_{2 1}+ a3 1a^′_{3 1}= a1 2a^′_{1 2}+ a2 2a^′_{2 2}+ a3 2a^′_{3 2}= a1 3a^′_{1 3}+ a2 3a^′_{2 3}+ a3 3a^′_{3 3}

= a_{1 1}a^′_{1 1}+ a_{1 2}a^′_{1 2}+ a_{1 3}a^′_{1 3}= a_{2 1}a^′_{2 1}+ a_{2 2}a^′_{2 2}+ a_{2 3}a^′_{2 3}= a_{3 1}a^′_{3 1}+ a_{3 2}a^′_{3 2}+ a_{3 3}a^′_{3 3}

———————————– 26 February, 2019