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國立高師大附中101學年第一學期高三數學科第二次段考自然組試題
1 多重選擇題(共12分。每題全對得6分，答錯一個選項得4分，答錯兩個選項得2分，其 他情形得0分)
1. 已知θ為銳角，下列哪些是正確的？
(A) sec
4θ－tan
4θ＝2 tan
2θ (B) 1 (C) (1 tan sec )(1 sin cos ) 2 2cos (D) 1 (E)
2. 函數y = tan ( 2x + 4
)，則下列何者正確
(A) 定義域為 ,
2 8 x R x n n Z
(B) 週期為 2
(C) 與y軸的交點坐標為( 0 , 1 ) (D)
( 3 ,0) 8
為對稱點 (E) 漸近線為 ,
4 8 x n n Z
2 填充題(共68分。全對才給分，計分如下)
答對題數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
得 分 8 16 24 32 40 46 52 58 61 64 66 68
1. 傳統時鐘在8點10分30秒，求此時，分針與秒針所夾較小的角其度數為 弧度。
2. 如下圖，扇形AOB中，∠AOB 90°，半徑 ＝1公分，以 為直徑各作一半圓，求陰影 部份面積為 平方公分。
3. 在區間 2 , 2 上， y x 與 y tan x 的圖形有 個交點。
4. 函數
( ) sin( ) f x a bx c d
，其中 0, 0,
a b 2 c
，若 ( ) f x
的最大值是4，最小值 是0，最小正週期為 2
，且直線 x 3
為圖形的對稱軸，試求
( , , , ) a b c d
= 。 5. 設
5 2 x 2
，求不等式
2cos
2x sin x 1
之解為 6. y =
2sin 3 3sin 2
x x
，求y的範圍為 7.
sec 2 tan 1
4
且 2
<
<
，則tan
之值為 8. 設
3 cos 2
+
2 sin 2
= 1，而
1
及
2
為滿足此方程式之兩角，且– 2
<
1
<
2
< 2
， 求tan (
1+
2) 之值為
9. 如下圖一所示，一鉛直懸掛的輕彈簧 ( 彈力常數k為2 )，其上端繫在天花板上，下端繫
2
一質量為m公斤的物體。靜止之後，將物體往下拉3公尺 ( 在彈性範圍內 )，放手之後
，則物體將作上下回復的週期振動，若不計摩擦力，根據物理原理，此物體的振動週 期為2π，若以平衡位置為原點，向上為正，向下為負，設t秒時物體的位移為y公尺，
而y可用正弦函數y A sin ( ω t +α)，其中A，α為正數來表示，其圖形如下圖二所示
：試求 ( , , , ) m A = 。
圖一 圖二
10. 設－ x ，若cos x sin x ，則x 弧度
11. f (x) 2 2 ( sin x cos x ) sin 2x x為實數，若f (x)之最大值為M，最小值為m，則 ( M , m )
12. 已知－ x ，則方程式cos 2x 4 sin
2x cos x 2 0之解為 3 計算題(共20分)
1. 若有兩個角度 、 ，滿足 sin sin ， cos cos ，試證： 、 必定是同界角
。(5分)
2. 請依x的範圍討論(4分)並作y sin x sin x｜(－2π x 2π)的圖形(2分)
3. 若 P 為圓 C x : ( 1)
2 ( y 1)
2 上的一動點，又已知點 A (1,－1)及點 B (4,－3)，試求： 4
PAB 的面積最大值(5分)，以及當 PAB 的面積有最大值時，點 P 的坐標(4分)。
國立高師大附中101學年第一學期高三數學科第二次段考自然組試題 答案卷
高三 班 座號： 姓名：
1 多重選擇題(共12分。每題全對得6分，答錯一個選項得4分，答錯兩個選項得2分，其 他情形得0分)
1.
CE
2.
ABCD
二、填充題(共68分。全對才給分，計分如下)
答對題數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
得 分 8 16 24 32 40 46 52 58 61 64 66 68
1.
13
20 2. 3.
3 4. (2,4, 5
6
,2)
3
5.
2 x 56或
x32或
136 x 526.
5 y
或
1 y 5
7.
3
4
8.
6 3
9. ( 8 , 3 , 1 2 , 6
) 10.
1 12
或 5 12
11. ( 4 , 1 2) 12. ±或－π
三、計算題(共20分) 1.
(5分)
2. (1) 當x ≥ 0 時，y sin x sin x
(2分)(2) 當x 0 時，y sin x sin x (2分)
又－2π x 2π，作圖如下：(2分)
