P x y 滿足

圓與球面

圓的方程式

我們利用2 點的距離公式，以及圓的定義，我們就可以求得圓的方程式。考 慮平面上一定點

O x y

P x y 滿足

2 2

0 0

(x−x ) +(y−y ) =r, 接著 2 邊平方，便得到我們的標準式。因此我們要求得 一個圓的方程式中，只要知道圓心與半徑2 個資料即可。

1. 標準式

(

x

x

y

y

r

O x y

如果我們將標準式利用乘法公式展開，我們會發現它的“一般＂長相。

2. 一般式

x

y

dx ey

f

方，我們便可以得到它的圓心與半徑，當然我們可以每次都用配方法將其求出，

但為了節省時間，我們先將其結果列出來，提供同學記憶。

2 2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) )

2 2 2 2 2 2

d e d e d e

x y f f

⇒ + + + = + − = + −

我們觀察一下等式的右邊，如果隨便給一個一般式，我們能保證右邊一定是“正 數＂嗎( r∵ 必須大於 0)？恐怕不一定吧！因此右邊這個式子，在判斷是不是一個 圓是很重要的，因此我們稱右邊的式子為圓的判別式，為了方便起見，我們用Δ 表示，也就是說 ( )² ( )²

2 2

d e

Δ = + − (口訣：一半的平方，一半的平方減去常數項)，

f

Corollary.○

d e

O

2 2

d e O

Example1.

(1) 求圓2

x

y

x

y

O B A

C(x,y)

(2) 若方程式

x

y

kx

y

k

Solution.

(1) ^{2 2} 1

4 0

2 2

x

y

x

y

− 4

2² ( )^{1 2 1} 4 ^{1 1 64 1 32 57}.

4 2 16 2 16 4

r + −

= + − = + − = =

(2)∵圖形為一個點⇒ Δ =

k

k

3 1

k k k

∴ − − =

∴ = ∨ − 但因為此點在第三象限

∴ = − 此點為 ( 1, 2).

k

Note. 從此題的解題過程，我們會發現不能直接代口訣，而是要把 x y 的係數

x y 的

在國中時，我們在圓周角時學到一個很重要的性質，那就是半圓所對的圓周 角為直角，底下我們就要利用此事實來推導圓的另一種表達式。

3. 直徑式

設

A x y

B x y

1 2 1 2

(

x

x

x

x

y

y

y

y

直徑式時，很容易背錯，不知道哪2 個括號要先乘再加起來，所以我們還是列出 記憶口訣在右上方，以方便同學記憶，避免搞混。

Proof. 在圓上任取一點 ( , ), C x y

∵

AB

1 2 1 2

( , ) ( , ) 0 ( )( ) ( )( ) 0.

x x y y x x y y x x x x y y y y

⇒ − − ⋅ − − =

⇒ − − + − − =

Example2.

自

P

x

y

A B 求

PAB

Solution.

我們知道切線有個特性，就是它會與切點 所連的半徑互相垂直，由圖知

直徑式口訣：

x 用完，再用 y.

A

P O

1800

PAO PBO

∠ + ∠ = (對角互補)⇒

P A O B

∴Δ

PAB

x

x

y

y

⇒ − + + − − =

圓從外形來看，它有2 個變數，我們是不是可以像直線一樣，去找它的參數 式，讓它變成只有一個變數(參數)，在作棟點軌跡時會比較方便處理呢？答案是 肯定的，因為它與直線一樣，都是相當於一條圓周而已，所以我們要辦法把它參 數化，那我們要如何找它的參數式呢？底下我們就來回答這個問題。

4. 參數式

(1) 如果圓的 eq:

x

y

r

,0 2 . sin

x r y r

θ θ π

θ

⎧ = ≤ <

⎨ =⎩

這裡我們可以發現其實它的參數式，就是三角函數的定義結合而已。不過如 果只是但純要找參數的記憶法可以採用以下的形式(這在將來橢圓也可以 用)，原式：( )

x

y

r

r

θ

θ

x

y

r

θ r

θ

(2) 如果圓的(

x h

y

k

r

,0 2 . sin

x h r y k r

θ θ π

θ

⎧ = + ≤ <

⎨ = +

⎩

同樣地，我們可以從他的幾何意義下手，發現它只是從原點平移的過程而已，

也可以利用原式：(

x h

y k

r r

− + − = ∴令

x h

y k

r θ r θ

− = − = 即可。

Example3.

(1) 設 ,

x y

x

y

x

y

(2) (1, 2), ( 3,0),

A B

P x y 是以 AB 為直徑之圓上移動，則 2 x

y

Solution.

(1) 看到求最大值與最小值，我們通常對於 2 個變數以上便會很頭痛，如果我們 能化簡成1 個變數，處理起來就會方便很多，因此我們自然就會想利用圓的 參數式來幫我們解這個題目。我們令圓的參數式： 2 5 cos

,0 2 1 5 sin

x y

θ θ π

θ

⎧ = +

⎪ ≤ <

⎨ = − +

⎪⎩

3

x

y

θ

θ

L O

L O

10− 45 80 10 5 5.+ = −

(2) 由直徑式： ( , )

P x y 滿足 ( x

x

y

y

2 2

2 2

2 2 3 0 ( 1) ( 1) 5

1 5 cos

,0 2 1 5 sin

2 1 2 5 cos 5 sin 2

x y x y

x y

x y

x y

θ θ π

θ

θ θ

+ + − − = + + − =

⎧ = − +

⎪ ≤ <

⎨ = +

⎪⎩

∴ + − = + −

最大值為 20 5 2 5 2 3.+ − = − =

Note. 稍微複習一下，當

a

b

a

θ

b

θ

a

b

a b 為 2 股的斜邊，而非

圓與直線的關係

在國中時，我們已經有探討過圓與直線的關係。現在我們引進圓的方程式，

一樣利用這些判斷性質，來探討圓與直線的關係。

(1) (2) (3)

( , ) ,

d O L

r d O L

r

d O L

r

Note. (1) L 與圓相交(包含相割與相切這2種情形)

d O L

r

(2) L 與圓不相交⇔

d O L

r

在找圓與直線的關係，盡量利用距離的關係會比用判別是容易的多(∵點到直線 有距離公式)，因此看到直線與圓，就利用距離去判斷。

Example4.

在坐標平面上，一圓通過點( 2,7)− ，且與直線4

x

y

x

y

ax by

c

Solution.

令

A

B

通過點B與 4

x

y

x

y

O

AB 的中點

2 2

− ，

AB

AB

x

y

8 0

x y

x y

− + =

∴⎧⎨⎩ − + = ⇒圓心( 5,3)− ，半徑= ( 2 5)− + ²+ −(7 3)² = 5

∴圓的方程式：(

x

y

x

y

x

y

a

b

c

8

6

4

2

-2

-10 -5

4x+3y=14 (-2,7)

(-1,6)

我們討論完直線與圓的關係，那我們下一個就會關心，如果給定特定的點，

我們要如何找到切線方程式呢？

切線

A.過圓上一點之切線

Property. 若圓 C x

y

dx ey

f

P x y

2 2

d e

x x

y y

x

x

y

y

f Proof. 圓心 (

2 2

d e

O

P

x

y

dx

ey

f

Q x y

0 0 0 0

0 0 0 0

0 ( , ) ( , ) 0

2 2

( )( ) ( )( ) 0

2 2

OP PQ

d e

OP PQ x y x x y y

d e

x x x y y y

⊥

⇒ ⋅ = ⇒ + + ⋅ − − =

+ − + + − =

∵

P(x₀,y₀) O

Q(x,y)

2 2

0 0 ( 0) ( 0) ( 0 0 0 0) 0

2 2

d e

x x

y y

x

x

y

y

x

y

dx

ey

0 0 ( 0) ( 0) 0

2 2

d e

x x

y y

x

x

y

y

f

Note. 有些書本所列的切點公式可能略有不同，但是以下提供一種方法是可以適

它給列出來，提供同學參考。 ² ₀ , ² ₀ , ⁰,

2 2

x x x x

x

x x x x y

y y y y x

0, .

2 2

y y y y

y

f

f

Example5.

若

C x

y

x

y

P

Solution.

∵ 代入圓

P

2

2 4 2 2 2 18 0 4 5 14 0.

x y x y

x y x y

x y

⇒ ⋅ + + + + + − =

∴ + + + + + − =

∴ + − =

Note. 第一歩代入檢驗是很重要的一歩，許多剛學到這裡的同學，常常會忽略掉

B.過以知圓外一點( , )

x y 之切線問題

其實這個問題我們如果能夠令出直線的方程式，就可以迎刃而解，在高一中我們 學過點斜式，我們就利用點斜式把直線給假設出來，在把斜率給解出來即可。

【方法】(1)令切線eq:

y

y

m x

x

d O L

r

Corollary. 過圓外一點切線必有2條

若m只能求出一解的話，則另一條直線必與x軸垂直(即m不存在) (∵點斜式不能表示出過某一定點所有直線，其缺憾就是當直線斜率

不存在時，無法表示，因此缺漏的那條便是鉛垂線)

Example6.

若圓

C x

y

x

y

P

Solution.

∵ 代入圓

P

L y

m x

4 6 0

mx

y m

令圓心

O

2 2

2 2

( , ) 2 4 6

3 3 4 3 1

1

9 24 16 9 9

d O L r

m m

m m

m

m m m

=

− − +

= ⇒ − + = +

+

− + = +

∵

24 7 7

m

m

7

x

y

x

Note. 要判斷一點與圓的關係，可以利用點與圓心的距離跟 r 做比較，也可以像

C

P 且 x y 的係數大於

C P

C P

研究完切線方程式，我們很自然的就會想了解切線段的長。

切線段長

Theorem. P x y 為

2 2 0

x

y

dx ey

f

2 2

0 0 0 0 .

PA= x +y +dx +ey + f

Proof. 圓心 (

d e

O

2 2

d e

r= + − f

2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0

2 2

0 0 0 0

( ) ( ) [( ) ( ) ] ,

2 2 2 2

.

d e d e

PA OP r x y f x y dx ey f

PA x y dx ey f

= − = + + + − + − = + + + +

∴ = + + + +

Corollary. 這邊我們再次提醒，代切線長公式時，需要注意： x

y 的係數必須

Example7.

圓

C

x

y

x

y

P

B C 則

(3)過 P 作圓C的切線，切點為

Q R 求過 , ,

P Q R 三點之圓的方程式。

Solution.

r

P(x₀,y₀) O

A

B A

P C

R Q

P(-1,2)

C2=0 C1=0

T₂ T₁

B A P(x,y)

2 2 3

: 2 3 0

C x

y

x

y

圓心 3

(1, )

O

(1)所求 1 4 2 6 ^{3 23 46}.

2 2 2

= + + + − = = (2)由圓冪定理知：

我們利用弦切角與圓周角在加上 相似形對應邊成比例的性質，便 可以得到

2 23

2 .

PB PC

PA

(3) 與前面直徑式的Example同樣的 想法，即以OP為直徑的圓

3

( 1)( 1) ( 2)( ) 0.

x

x

y

y

兩圓中，有一種是交於2點，我們會有興趣它交點所在的直線方程式，以及 此線有沒有什麼幾何意義呢？

根軸

Definition. C

x

y

d x

e y

f

C

x

y

d x

e y

f

1, 2

C C 切線段等長所有點的軌跡，所在的直線稱為根軸，且根軸方程式為

1 2 1 2 1 2

(

d

d x

e

e y

f

f

Proof. 令軌跡 ( , ), P x y 由切線段長公式，

2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

1 2 1 2 1 2

( ) ( ) ( ) 0.

x y d x e y f x y d x e y f d d x e e y f f

∴ + + + + = + + + +

⇒ − + − + − =

Corollary. 如右圖，如果2圓交於 , A B 2點，那麼這

C

C

當然也會滿足

C

C

2, 2

x y 的係數必須是“1＂才能相減，不然不會是直線，

也就是說想辦法消去平方項即可，這在之後圓錐曲線也是同樣的方法找根軸)。

最後我們來看幾何意義，我們利用2次圓冪定理可得：

PT

PA PB

PT

C

C

也是為什麼此線上的點到2圓的切線會等距離的原因。

如果同學對圓的觀念很清楚的話，接下來我們學要看看立體中的“球＂，很 多只是圓的推廣，所以在學習上就會是輕而易舉的事。

球面方程式

Definition. 空間中與一定點等距離所有點所形成的軌跡我們稱之為球。

1.標準式

以

O x y z 為球心， r 為半徑之方程式為

x

x

y

y

z z

r

在平面中我們知道不共線的3點恰可決定唯一1圓。而在空間中，不共面的4點恰 可決定唯一1球，我們只要仿照圓的一般式假設球面方程式：

2 2 0,

x

y

dx ey

fz

g d e f g 便可清楚知道球

2 2 2 2 2 2

d e f d e f

O

g

原只有差在多一個

z 記憶的方法皆相同)。

Corollary.○

d e f

O

r

2 2 2

d e f O

3.直徑式

以

A x y z

B x y z

1 2 1 2 1 2

(

x

x

x

x

y

y

y

y

z z

z

z

Example8.

空間中有2 點

P

Q

(1)以 PQ 為直徑的球面方程式 (2)此球與 xy 平面之交圓面積 (3)此球在 z 軸上截出之線段長

Solution.

(1)由直徑式得：(

x

x

y

y

z

z

x

y

z

x

y

z

(2)令z=0代入

4 36 15 5

0 15 12

2 4

2

=

− +

=

⇒

= +

−

− +

⇒ r

y x y x

∴圓面積=5²

π

π

x

y

⇒

z

z

z

Note. 在一般的平面或直線截過去時，如果我們要求它交圓的半徑或交線段的長

切平面

在平面中，我們很自然的會考慮圓上的切線與圓外的切線。那相對於空間 中，我們就會考慮切平面；一樣的，球上一點的切平面只有唯一一個，在空間中 一樣有切點公式，所以可以輕鬆求出切平面，如果我們考慮球外一點呢？我們會 發現有無限多個切平面與球相切，這樣子討論是無意義的，所以我們不可能只考 慮1 個點；那如果是通過 2 個點呢，我們知道如果一個平面通過 2 個點它就會通 過它們2 點所決定的直線，也就是說直線上的每一個點都在這個平面上。但是問 題於焉產生，第一個是是否像平面一樣有2 個呢，直觀上從圖形上是有 2 個切平 面，這個好解決。另一個問題是，在空間中通過一條直線的平面我們要如何假設 呢？這時候就要去回想我們在之前常常使用的“平面族＂，它是個非常好假設的 工具，除了可以假設平面外，還可以讓平面的旋轉僅由一個變數控制，這樣子便 解決我們的問題了，接著我們利用代數的手法，來確定平面只有唯一的一個即 可，底下我們就來看例子。

Example9.

(1)過 (4,1,5)

P

x

y

z

y

z

(2)過 (4, 2,3), (2, 2,1)

A B

x

y

z

x

z

Solution.

(1) P∵ 代入球面方程式合⇒P點在球面上

代切點公式：

^{4 8 ( 1) 2( 5) 20 0} 4 3 31

x y z y z

x z

+ + − + − + − =

∴ + =

(2)○¹

AB

4 1 0

: 2 , , :

3 2 0

x t

x z

AB y t AB

z t y

⎧ = +

− − =

⎪ ⎧

∴ ⎨⎪ = +⎩ = ∈ ⎨⎩ − =

○² ∵我們令包含 AB 的平面方程式：

x

z

k y

x

ky

z

k

球心

O

r

∵相切

2

1 1 1 2

( , ) 3

1 1

d O E r k

k

− − −

⇒ = ⇒ =

+ +

^{2 2}

2

(2 1) 3(2 )

4 5 0 5 1

k k

k k k

⇒ + = +

⇒ + − = ⇒ = − ∨ 切平面：

x

y

z

x y z

所以我們的確從代數的計算發現它確實會有2 個切平面。

切點求法

在圓中我們知道切線會與切點所連的半徑垂直，空間中的平面也會與切點所 連的半徑垂直，因此如果我們要求切點的話，只要考慮球心對切平面的投影點即 可，也就是去找投影點。

Example10.

2 2 2

: ( 1) ( 3) 4, : 2 2 0,

S x

y

z

E x

y z

k

Solution.

(1)球心 (1,0, 3),

O

r

d O E

r

4 1 4

k k

⇒ + + = ⇒ + = + +

∴ = − ∨ −k 2 14∵k ≤10⇒ = −k 2.

(2)切點即球心O對切平面 E 之投影點 H

1 2

: ,

3 2

x t

OH y t t

z t

⎧ = +

∴ ⎪⎨ = − ∈

⎪ = − −

⎩

代入

: 2(1 2 ) 2(3 2 ) 2 0 9 6 0 2 1 2 5

( , , ) 3 3 3 3

E t t t t

t H

+ + + + − = ⇒ + =

∴ = − ⇒ − −

球面族

我們知道 2 個圓相交是 2 個點，那麼 2 個球相交呢？答案是一個圓。那麼如 果我們現在要求一個球面，必須要過2 個固定球共同的部分(即交圓)，那我們要 怎麼假設此球的方程式呢？與平面族類似，如果2 球面方程式

S

S

S S

kS

S

E

S S x y 的係數相等，則

S

S

Example11.

求過球面

S x

y

z

E x

y

z

(1)過點 (1,1,1) 之球面方程式。 (2)球心在平面 E 上之球面方程式。

Solution.

(1)由球面族：此球面可假設為S+kE=0

x

y

z

k x

y

z

k

k

所求球面方程式：

x

y

z

x

y

z

1 0

S

2 0

S

S

S

H

R

(3, 4, 12) N = − − (2)與前概念同假設球面：

x

y

z

k x

y

z

⇒ 球心 ( , , ) 2

O

k

k k

E

k k

k

2

k

∴ = −

所求球面方程式： ^{2 2 2} 2

9 ( 2 2 3) 0

x

y

z

x

y

z

3 3 3 7 0.

x y z x y z

⇒ + + − − + − =

我們與平面上圓類似，討論完球的一些基本性質，接著我們就會討論球與平 面的關係，與圓一樣是利用半徑去討論，唯一的差異是，如果是相交的話，平面 會對球截出一個圓，底下就是整理的結果。

球面與平面的關係

設S為一球面，O為球心， r 為半徑， E 為平面

○¹ 若

d O E

r

○² 若

d O E

r

○³ 若

d O E

r

○⁴ 大圓：過球心的平面所截之圓面積最大，稱為大圓(即所截圓半徑等於球半徑) 小圓：不過球心的平面所截之圓，稱為小圓

Example12.

(1) 球

S x

y

z

x

y

z

x

y

z

求此圓之圓心、半徑。

(2) 承(1)，若 yz 平面截球S於一圓，求此圓之圓心，圓面積。

Solution.

(1)假設圓心 ( 1 3 , 2 4 , 2 12 ),

H

t

t

t t

3( 1 3 ) 4(2 4 ) 12(2 12 ) 17 0 169 52 0 4

13

t t t

t t

− + − − + − − =

− = ∴ =

圓心 1 10 22 ( , , ).

13 13 13

H

球心

R

Note. 圓心H O: 對 E 之投影點

3 8 24 17

( , ) 4

OH d O E

= = =

∴圓半徑

r

(2)x=0代入，

y

z

y

z

r

從上面這個例子我們便可以比較，如果截面不是坐標平面，那要處理起來便 會複雜許多，但是如果是坐標平面，我們只要代入，便回到平面上圓的形式，接 著用我們熟悉的圓的性質就可以輕鬆得到它重要的資訊。

地球上兩點的距離

我們是住在地球上面，如果不嚴謹的要求，地球可視作為一個圓，也就是說 我們所處的地球我們看作是平的，事實上有一個弧度在。那我們知道在空間中最 短的距離是直線，而且從此便可以延伸出三角不等式(2 邊之和大於第 3 邊)；那 活在球面上的我們，自然會有興趣考慮，如果只能在球面上運動，那最短的距離 是什麼呢？底下我們把討論此重要的結果。

Definition. 球面上 , A B 2 點的球面距離，以球心

A B 所決定的平面截球於大

Remark. 事實上我們在定義距離時，都是依照最短距離去定的，就會有同學去

O

A − B( 2, 5,1)−

我們從上圖會發現，通過固定2 點的圓，當圓越大時，它的弧長會接近直線，所 以我們就可以很直觀的感覺到圓越大其弧長越短這個事實，那我們又知道地球中 最大的圓為大圓，所以我們可以推論大圓是最短路徑。這也是為什麼我們會通常 把我們生活的陸地視為平面，因為相對於地球的半徑來講，我們生活的空間實在 是很小，所以基本上我們可以假設我們生活的地區為一個平面便也是這樣來的。

Example13.

在空間中，球面

x

y

z

A

B

A 爬到 B 的最短距離。

Solution.

(1,0, 3), ( 2, 5,1) 2 0 3 1

cos 10 10 2

OA OB

OA OB OA OB θ

= − = −

⋅ − + −

= = = −

2 , 3

θ π

∴ = 故最短距離 AB r= =

θ

2 2 10

10 .

3 3

π π

= =

θ